Aula 03 Modelos matemáticos com EDO’s de 1ª ordem

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10/11/2018
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MODELOS MATEMÁTICOS COM 
EDO’S DE PRIMEIRA ORDEM
Modelos de Crescimento e Decaimento Exponenciais
I. Decaimento radioativo
As substâncias radioativas (núcleos instáveis) decaem
pela emissão espontânea de radiação (energia nuclear).
Ao decair, tais substâncias tem sua massa diminuída ao
longo do tempo, � � , denominada massa remanescente.
A diminuição dessa massa � � ao longo do tempo � é
descrito pelo seguinte problema de valor inicial:
��
��
� ��, � 0 � �	
cuja solução é
� � � �	 
��
em que �	 é massa inicial da substância e � é a taxa de
decaimento relativo � 
 0 .
10/11/2018
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Exercício:
O Cobalto 60, ����
�	 , é uma substância radioativa
usada em hospitais em radioterapia, para tratamento
de pacientes com câncer. Possui uma taxa de
decaimento relativo constante de 13,86% por ano.
A partir de uma amostra de 10 g do cobalto 60,
determine a massa de isótopo daqui a 5 anos e daqui
a 10 anos.
É comum expressarmos a taxa de decaimento
radioativo em termos de uma grandeza denominada
de meia-vida.
Meia-vida ou período de
semidesintegração ��� é o
tempo necessário para a
desintegração de metade dos
átomos radioativos (ou metade da
massa) de um certo isótopo de
um elemento químico
� ��� �
�	
2
10/11/2018
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Exercício (Q31)
A meia-vida do rádio-226 ( Ra��
��� ) é de 1.590 anos.
a) Uma amostra de rádio-226 tem uma massa de
100 mg. Encontre uma fórmula para a massa de
Ra��
��� que permanece após � anos;
b) Calcule a massa depois de 1.000 anos, com
precisão de 1 mg;
c) Quando a massa será reduzida a 30 mg?
Datação por carbono
É a utilização do carbono 14 (C – 14), que é
radioativo, como meio de determinar a idade
aproximada de fósseis.
Este método de datação baseia-se no conhecimento
da meia-vida do C – 14, que é de aproximadamente
5.600 anos.
10/21/2018
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Exercício (Q39)
Uma garrafa de soda limonada em temperatura
ambiente (72℉) é colocada em refrigerador onde a
temperatura é de 44℉. Depois de meia hora a soda
está resfriada a uma temperatura de 61℉.
a) Qual a expressão da diferença da temperatura
entre a da soda e do ambiente?
b) Qual é a temperatura da soda depois de mais 30
minutos na geladeira?
c) Quanto tempo demoraria para a soda atingir
50℉?