Gentil Lopes  - Artigo DOIS ERROS GRAVES COMETIDOS PELOS MATEMÁTICOS
67 pág.

Gentil Lopes - Artigo DOIS ERROS GRAVES COMETIDOS PELOS MATEMÁTICOS


DisciplinaMatemática103.081 materiais2.463.218 seguidores
Pré-visualização15 páginas
Dois Erros Graves Cometidos Pelos Matema´ticos
Gentil, o iconoclasta\u2217
15 de dezembro de 2018
A matema´tica esta´ longe de ser esta´tica e perfeita; ela esta´ cons-
tantemente evoluindo, mudando a todo instante e plasmando-se em no-
vas formas. Novos conceitos continuamente transformam a matema´tica
e criam novos campos, novos pontos de vista, novas e\u2c6nfases e novas
questo\u2dces para serem respondidas. (Gregory Chaitin/Metamat!)
Resumo
Este artigo tem por objetivo apontar \u2212 e corrigir \u2212 dois erros
graves cometidos pelos matema´ticos ha´ se´culos. Este e´ o que podemos
denominar de um artigo acachapante.
Introduc¸a\u2dco:
No nosso entendimento existem dois equ´\u131vocos que ve\u2c6m sendo cometi-
dos pelos matema´ticos ha´ se´culos, quais sejam:
1o ) Ambiguidades nas Representac¸o\u2dces Decimais;
2o ) Representac¸o\u2dces decimais de nu´meros reais sa\u2dco nu´meros reais.
Nota: No Google e no YouTube o leitor encontrara´ dezenas e dezenas de
artigos e v´\u131deos sobre estes temas. Por exemplo, digite
0, 999 . . . = 1
Em se tratando de um tema delicado, \u201cabstrato\u201d, estaremos delibera-
damente escrevendo um longo e detalhado artigo, para que \u201cqualquer crianc¸a
do Ensino Fundamental\u201d entenda onde reside o erro crasso dos matema´ticos
\u2212 ja´ que os pro´prios se recusam a enxergar. Ou na\u2dco se coloca vinho novo
em odres velhos?.
Nota: Este artigo foi escrito para a palestra anunciada a seguir.
\u2217gentil.iconoclasta@gmail.com / Mestre em matema´tica / Professor do Departamento
de Matema´tica da UFRR. (65 pa´ginas)/Download: www.goo.gl/DVWQxz
1
CICLO DE PALESTRAS DO DEPARTAMENTO DE
MATEMA´TICA DA UFRR 2018
T´ITULO: DOIS ERROS GRAVES COMETIDOS PELOS MATEMA´TICOS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA
CENTRO DE CIE\u2c6NCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CICLO DE PALESTRAS 2018
Prof. Me. Gentil, o iconoclasta
Contato: gentil.iconoclasta@gmail.com
Resumo: Existem dois erros de interpretac¸a\u2dco que os ma-
tema´ticos ve\u2c6m cometendo ha´ se´culos, quais sejam:
1 o ) Ambiguidades nas Representac¸o\u2dces Decimais;
2 o ) Representac¸o\u2dces Decimais sa\u2dco nu´meros reais.
No livro \u201cMeu Professor de Matema´tica\u201d (5 a Edic¸a\u2dco)
o Prof. Elon Lages Lima trata das representac¸o\u2dces decimais.
O leitor Sun Hsien Ming lhe dirige a seguinte pergunta:
\u201cO fato de a mesma frac¸a\u2dco ordina´ria poder ter duas
representac¸o\u2dces decimais distintas, por exemplo
2
5
= 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . .
na\u2dco apresenta inconveniente nem origina paradoxos?\u201d
Vamos argumentar no sentido de provar por que a res-
posta do Prof. Elon esta´ errada. Ademais, uma outra
\u201cigualdade\u201d que o Prof. Elon, e (quase) todos os outros
matema´ticos, na\u2dco entenderam e´ esta
0, 999 . . . = 1
Sugesta\u2dco: Na\u2dco perca esta palestra a final de contas na\u2dco e´
todo se´culo que se tem a oportunidade de apontar dois er-
ros grav´\u131ssimos (de matema´tica elementar) cometidos pelos
matema´ticos \u2212 de todo o mundo.
Local: UFRR/Audito´rio do CCT/Anexo Bloco 5
Data e hora´rio: 29/11/2018 a`s 15hs
Adendo: As origens deste artigo
As origens deste artigo remontam ha´ cerca de 15 anos atra´s. Na ocasia\u2dco
eu estudava a construc¸a\u2dco da Curva de Peano (Ver p. 50 deste pdf)
p
0
1
1
2
s
\u3c7
p p
p
p
0 11
3
2
3
1
3
2
3
1
s
A Curva de Peano pertence
a um ramo da matema´tica
conhecido como Topologia
e tem aplicac¸o\u2dces em com-
pressa\u2dco de imagens digitais.
pelo livro de Espac¸os Me´tricos do Prof. Elon Lages Lima, no qual se ler:
\u201ca representac¸a\u2dco decimal de um nu´mero real x \u2208 [ 0, 1 ] e´ u´nica, exceto por
ambigu¨idades do tipo 0, 47999 . . . = 0, 48000 . . . \u201d (p. 231)
Para contornar as supostas ambiguidades o Prof. Elon lanc¸a ma\u2dco de
alguns artif´\u131cios, como por exemplo, o conjunto de Cantor e a representac¸a\u2dco
de um nu´mero em base 3; pois bem, achei que a referida construc¸a\u2dco po-
deria ser consideravelmente simplificada se as supostas ambiguidades na\u2dco
existissem, fossem apenas um mito. Na e´poca consegui formular alguns ar-
gumentos contra as ambiguidades, cheguei ate´ a trocar alguns email´s com
um matema´tico do IMPA (Gugu/ver p. 62) colega do Prof. Elon. Meus
argumentos de 15 anos atra´s na\u2dco foram suficientemente claros para me fazer
entender. Deixei de lado a questa\u2dco (neste \u131´nterim escrevi alguns livros, em
um deles de fato consegui simplificar a construc¸a\u2dco da Curva de Peano, e fui
mais longe), mais recentemente retomei os argumentos contra as ambigui-
dades e agora consegui lapidar a pedra outrora bruta, transformando-a em
um diamante cristalino (este artigo), agora creio que \u201cqualquer crianc¸a do
Ensino Fundamental\u201d e´ capaz de entender meus argumentos.
Ademais, tive a oportunidade de constatar que alguns matema´ticos
(falo de doutores) chegam ate´ a desdenhar do tema representac¸o\u2dces decimais
por tratar-se de \u201cmatema´tica elementar\u201d, isto na\u2dco e´ digno de suas atenc¸o\u2dces,
seria perda de tempo. Farei tre\u2c6s observac¸o\u2dces. Primeira: eles te\u2c6m raza\u2dco
trata-se de matema´tica elementar, contudo, esquecem que esta \u201cmatema´tica
elementar\u201d reverbera em a´reas importantes da matema´tica, como a Topolo-
gia, por exemplo. Segunda: mesmo doutores tropec¸am nesta \u201cmatema´tica
elementar\u201d, como estaremos provando neste artigo. A terceira observac¸a\u2dco
fundamenta-se nesta citac¸a\u2dco:
E´ poss´\u131vel que os mitos matema´ticos sejam fonte do que Bachelard
chama de \u201cobsta´culos epistemolo´gicos\u201d, pois aqueles, na sua condic¸a\u2dco de
\u201cverdades\u201d matema´ticas consolidadas, seriam obsta´culos para o surgimento
de outras verdades (interpretac¸o\u2dces) que as substituam. ([2])
Os dois erros graves objeto deste artigo sa\u2dco exemplos de mitos ma-
tema´ticos que \u201csa\u2dco obsta´culos para o surgimento de outras verdades
(interpretac¸o\u2dces) que as substituam.\u201d \u2212 Ver Gregory Chaitin, p. 1.
3
1 Ge\u2c6nios tambe´m cometem erros elementares
Dissemos que (quase) todos os matema´ticos na\u2dco entenderam a equac¸a\u2dco
0, 999 . . . = 1
Parece mentira. Para atenuar um poss´\u131vel cepticismo do leitor \u2212 quanto ao
t´\u131tulo desta secc¸a\u2dco \u2212 afirmamos que isto ja´ aconteceu pelo ao menos uma
vez na histo´ria da matema´tica. Com efeito, na\u2dco foram poucos os ge\u2c6nios
da matema´tica que sucumbiram, intelectualmente falando, frente a` seguinte
\u201cequac¸a\u2dco elementar\u201d
(\u22121) · (\u22121) = 1
Dentre eles, destacamos:
\u2212 Leonhard Euler (1707-1783);
\u2212 Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855);
\u2212 Rene´ Descartes (1596-1650);
\u2212 Pierre Simon Laplace (1749-1827);
\u2212 Pierre Fermat (1601-1665);
\u2212 Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716);
\u2212 Isaac Newton (1643-1727).
Apenas para citar alguns dos mais eminentes. Reiteramos, nenhum
destes matema´ticos entendeu a equac¸a\u2dco acima \u2212 entendeu significa provou.
Processar s´\u131mbolos na\u2dco e´ o mesmo que processar significado
Veja bem, o fato de que eventualmente um aluno do ensino fundamental
saiba que (\u22121) · (\u22121) = 1 isto na\u2dco significa que ele compreenda o porque\u2c6
deste produto. Dizemos que ele foi apenas programado para isto, tipo: \u201co
inimigo do meu inimigo e´ meu amigo\u201d, etc.
Uma \u201csimples\u201d calculadora
como a HP Prime tambe´m \u201csabe\u201d
que (\u22121) · (\u22121) = 1, perguntamos,
ela entende isto?. De igual modo
a grande maioria de estudantes foi
apenas programada para lidar com
a matema´tica, a efetiva compre-
ensa\u2dco na\u2dco e´ maior que a da calculadora. O ce´rebro humano e´ programa´vel.
4
Foi precisamente a possibilidade de dar diversas interpretac¸o\u2dces aos
nu´meros negativos que fez com que eles fossem aceitos aos poucos na co-
letividade matema´tica. Pore´m, desde seu aparecimento, esses nu´meros
suscitaram du´vidas quanto a` sua legitimidade. Em 1543 Stieffel ainda
os chamava de nu´meros absurdos, e Cardano, contempora\u2c6neo de Stieffel,
denominava-os soluc¸o\u2dces falsas de uma equac¸a\u2dco. ([5])
Descartes (1596 -1650) chamava de falsas as ra´\u131zes negativas de uma
equac¸a\u2dco; Viete (1540 -1603) era mais radical: simplesmente rejeitava os nega-
tivos \u2212 bem como D\u2019Alembert