intensivoenem matemática1 Regra de Cramer 18 10 2018 (1)

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1 
 
M
a
t.
 
Mat. 
 
Professor: Gabriel Miranda 
Monitor: Roberta Teixeira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
M
a
t.
 
Regra de Cramer 
18 
out 
 
RESUMO 
 
 
Consideramos o sistema: 
ax by e
cx dy f
+ =

+ =
 
Suponhamos que a 
a b x e
c d y f
    
=    
    
 
Já vimos que esse sistema é possível determinado quando o determinante 
a b
D
c d
=
 for diferente de zero. 
 
Agora, apresento-lhes um novo jeito de resolver sistemas! Este método é chamado de regra de Cramer. 
 
As soluções desse sistema são dadas por: 
x = Dx/D 
y = Dy/D 
 
Mas o que são Dx e Dy? Eu te explico: 
 
x
e b
D
f d
=
, em que trocamos a 
y
a e
D
c f
=
, em que 
 
Como dito antes, esses resultados são conhecidos como Regra de Cramer e podem ser generalizados para 
um sistema n x n (n equações e n incógnitas). 
 
Vamos ao exemplo? 
 
Resolva o sistema: 
 
 
 
1 2 2
1 1 1 8
2 1 3
D
− −
= − = −
 
 
1 2 2
2 1 1 8
1 1 3
xD
− − −
= − − = −
 
 
 
3
 
 
M
a
t.
 
1 1 2
1 2 1 16
2 1 3
yD
− −
= − = −
 
1 2 1
1 1 2 8
2 1 1
zD
− −
= − − =
 
 
8
1
8
16
2
8
8
1
8
x
y
z
−
= =
−
−
= =
−
= = −
−
 
E está resolvido o nosso sistema! 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Pedro e André possuem, juntos, 20 cartões colecionáveis. Em uma disputa entre ambos, em que 
fizeram apostas com seus cartões, Pedro quadriplicou seu número de cartões, enquanto André ficou 
com apenas 2 / 3 do número de cartões que possuía inicialmente. Dessa forma, o número de cartões 
que Pedro ganhou na disputa foi 
a) 6. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 14. 
2. Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de equações 
lineares: 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
3. Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma 
velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se 
pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: 
Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; 
Carlos e Andreia pesam 123 kg; 
Andreia e Bidu pesam 66 kg. 
O peso de cada uma deles é: 
 
a) Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg. 
b) Andreia pesa 50 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg. 
c) Andreia pesa 51 kg, Bidu 12 kg e Carlos 72 kg. 
d) Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 70 kg. 
 
 
4
 
 
M
a
t.
 
4. Para que o sistema linear 
2 5
2
x y
ax y b
+ =

+ =
 seja possível e indeterminado, o valor de a + b é: 
a) -1 
b) 4 
c) 9 
d) 14 
e) 19 
 
5. Sr. Luiz pretende dividir a quantia x reais entre seus netos. Observou que se der 50 reais para cada um 
lhe faltarão 50 reais e se der 40 reais para cada um, lhe sobrarão 40 reais. Com base nisso, é correto 
afirmar que 
a) Sr. Luiz possui menos de 500 reais para dividir entre seus netos. 
b) Sr. Luiz tem mais de 10 netos. 
c) se um dos netos do Sr. Luiz não quiser o dinheiro, os demais receberão menos de 45 reais cada 
um. 
d) é possível que o Sr. Luiz divida a quantia x em partes iguais entre todos os seus netos, de forma 
que não lhe sobre nenhum centavo. 
6. Cristina resolveu empilhar seus 48 livros de duas coleções, de Matemática e de História. Seus livros de 
Matemática possuem 8 cm de espessura cada um, enquanto que os livros de História possuem 5 cm 
de espessura cada um. No fim da organização, Cristina viu que a pilha de livros tinha 321cm de altura. 
Quantos livros de Matemática Cristina possui? 
a) 27 
b) 25 
c) 23 
d) 22 
e) 21 
7. O Sr. João tem três filhos: Jessé, Jesselan e Jessenildo. A idade de Jessé é metade da idade de 
Jessinildo mais quatro anos; a idade de Jesselan é igual à de Jessé mais 3 anos; e a soma da idade dos 
três filhos é igual a 35 anos. De acordo com estas informações, a idade de Jesselan é igual a: 
a) 10 anos. 
b) 11 anos. 
c) 12 anos. 
d) 13 anos. 
e) 14 anos. 
8. Inovando na forma de atender aos clientes, um restaurante serve alimentos utilizando pratos de três 
cores diferentes: verde, amarelo e branco. Os pratos da mesma cor custam o mesmo valor. Na mesa 
A, foram consumidos os alimentos de 3 pratos verdes, de 2 amarelos e de 4 brancos, totalizando um 
gasto de R$ 88,00. Na mesa B, foram consumidos os alimentos de 2 pratos verdes e de 5 brancos, 
totalizando um gasto de R$ 64,00. Na mesa C, foram consumidos os alimentos de 4 pratos verdes e de 
1 amarelo, totalizando um gasto de R$ 58,00. Comparando o valor do prato branco com o valor dos 
outros pratos, verifica-se que esse valor é 
a) 80% do valor do prato amarelo. 
b) 75% do valor do prato amarelo. 
c) 50% do valor do prato verde. 
d) maior que o valor do prato verde. 
e) a terça parte do valor da soma dos valores dos outros pratos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5
 
 
M
a
t.
 
9. Um fabricante de ração deseja fabricar três tipos de ração. Para isto ele dispõe de três tipos de mistura, 
Mistura 1, Mistura 2 e Mistura 3. Cada quilograma da Ração 1 custa R$13,00 e contém 200 gramas da 
Mistura 1, 200 gramas da Mistura 2 e 600 gramas da Mistura 3. Cada quilograma da Ração 2 custa R$11,00 
e contém 200 gramas da Mistura 1 e 800 gramas da Mistura 3. Cada quilograma da Ração 3 custa R$16,00 
e contém 600 gramas da Mistura 2 e 400 gramas da Mistura 3. Em virtude do disposto acima, é correto 
afirmar que 
a) um quilograma da Mistura 1 custa R$30,00. 
b) o custo de um quilograma da Mistura 1 somado com o custo de um quilograma da Mistura 3 é 
R$25,00. 
c) um quilograma da Mistura 2 custa R$11,00. 
d) somando-se os custos de um quilograma da Mistura 1, um quilograma da Mistura 2 e um quilograma 
da Mistura 3, obtém-se R$50,00. 
e) um quilograma da Mistura 3 custa R$22,00. 
 
10. Uma coleção de artrópodes é formada por 36 exemplares, todos eles íntegros e que somam, no total 
da coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção não há exemplares das classes às quais 
pertencem o caranguejo, a centopeia e o piolho-de-cobra. Sobre essa coleção, é correto dizer que é 
composta por exemplares das classes Insecta e 
a) Arachnida, com maior número de exemplares da classe Arachnida. 
b) Diplopoda, com maior número de exemplares da classe Diplopoda. 
c) Chilopoda, com igual número de exemplares de cada uma dessas classes. 
d) Arachnida, com maior número de exemplares da classe Insecta. 
e) Chilopoda, com maior número de exemplares da classe Chilopoda. 
 
 
PUZZLE 
 
 
Fábio foi sozinho até a padaria no centro da cidade. Durante o percurso, encontrou duas garotas 
passeando com três cachorros, que estavam brincando com dois gatos, que, por sua vez, tinham dois 
donos. Quantos seres no total foram com Fábio até a padaria? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
 
 
M
a
t.
 
 
GABARITO 
 
 
Exercícios 
 
1. Equacionando e resolvendo o sistema: 
20
2
4 20
3
p a
p a
+ =


+ =
 
Por Cramer: 
1 1
2 2 12 10
42
3 3 3 34
3
D = = − = − = −
 
 20 1
40 40 60 20
202
3 3 3 320
3
2
p
p
D
D
D
= = − = − = −
=
 
Se Pedro possuía 2 cartões inicialmente e após a disputa quadriplicou seu número de cartões, então 
este ficou com 8cartões ao final (4.2 = 8). Ou seja, Pedro ganhou 6 cartões na disputa. 
Letra a. 
 
2. No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus. 
 
y = Dy / D 
y = 62/31 
y = 2 
O valor da incógnita y no sistema de equações é 2. 
Letra b. 
 
3. Seja Andreia = A, Bidu = B e Carlos = C. Temos: 
87
123
66
b c
a c
a b
+ =

+ =
 + =
 ` 
Por Cramer, temos: 
 
7 
 
M
a
t.
 
 
b = Db / D 
b = 30 / 2 
b = 15 
 
b + c = 87 
15 + c = 87 
c = 87 15 
c = 72 
 
a + b = 66 
a = 66 15 
a = 51 
 
Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg. 
Letra a. 
 
4. Devemos ter Dx = Dy = D = 0 
2 1
4 0 4
2
5 1
10 0 10
2
14
a a
a
b b
b
a b
= − =  =
= − =  =
+ =
 
Letra d. 
 
5. x reais para dividir para n netos. De acordo com as informações do problema, podemos concluir que: 
 
Letra a. 
 
6. 
 
Letra a. 
 
 
8
 
 
M
a
t.
 
7. Sendo E a idade de Jessé, N a idade de Jesselan e O a idade de Jessenildo, pode-se escrever: 
 
Letra d. 
 
8. Observe: 
 
Letra a. 
 
9. Admitindo x, y e z como os preços em reais por quilograma das misturas 1, 2 e 3, respectivamente, temos 
o seguinte sistema: 
 
Letra b. 
 
10. A questão pode ser resolvida por meio de um sistema linear composto por duas equações: sejam x e y, 
respectivamente, o número de insetos e de aracnídeos na coleção, e 6x e 8y o número respectivo de 
patas. Então: 
 
Letra d. 
 
Puzzle 
 
0. Basta ler com atenção e interpretar o desafio: se Fábio foi sozinho até a padaria, então ninguém foi 
junto. Ele apenas "encontrou" uma série de seres pelo caminho.