27_Quadricas_Aula2

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Quádricas não cêntricas (2)
Jorge Lizardo Díaz Calle
Quádrica não cêntrica
• Se na equação de segundo grau, uma das 
variáveis só considera um termo linear, e as 
outras são quadráticas
a superfície é uma quádrica não cêntrica.
• Da expressão fornecida, sempre pode se 
escrever:
zCyBxA =+ 22
zc
b
y
a
x
=±± 2
2
2
2
0,0,0 ≠≠≠→ CBA
0≠∧∈⇒ cconde R
cx
b
z
a
y
=±± 2
2
2
2
cy
b
z
a
x
=±± 2
2
2
2
Quádrica não cêntrica
• Nas coordenadas originais temos as formas:
• Assim, a diferença principal das formas é o 
sinal dos quadrados, iguais ou diferentes.
cz
b
y
a
x
=±± 2
2
2
2
0≠∧∈⇒ cconde R
Parabolóide elíptico
• Quando os sinais dos termos quadráticos são 
iguais:
• Pontos de interseção com qualquer eixo:
• Observar que se , a superfície toda está 
acima do plano coordenado . Caso 
contrário, está completamente abaixo dele.
zc
b
y
a
x
=+ 2
2
2
2
)0,0,0(=IP
0>c
YX
Parabolóide elíptico
• Traços:
– Eixo
– Eixo parábola
– Eixo parábola
• Seções:
– Plano elipses
– Plano parábolas
– Plano parábolas
⇒=⇒ 0zYX
02
2
2
2
=+
b
y
a
x
)0,0,0(=⇒ P
⇒=⇒ 0xZY zc
b
y
=2
2
⇒=⇒ 0yZX zca
x
=2
2
⇒>=⇒ 0// kzYX ckb
y
a
x
=+ 2
2
2
2
⇒=⇒ kxZY// zc
b
y
=2
2
⇒=⇒ kyZX// zc
a
x
=2
2
Parabolóide elíptico
Parabolóide hiperbólico
• Quando os sinais dos termos quadráticos são 
contrários: Analisamos para 
• Pontos de interseção com qualquer eixo:
zc
b
y
a
x
=+− 2
2
2
2
)0,0,0(=IP
0>c
• Traços:
– Eixo
portanto são duas retas.
– Eixo parábola
– Eixo parábola
Parabolóide hiperbólico
⇒=⇒ 0zYX 02
2
2
2
=+−
b
y
a
x
⇒=⇒ 0xZY zc
b
y
=2
2
⇒=⇒ 0yZX zc
a
x
=2
2
x
a
by
a
x
b
y
a
x
b
y
a
x
b
y ±=⇒=




 +





−⇒=− 002
2
2
2
Parabolóide hiperbólico
• Seções:
– Plano 
que são hipérboles:
Se , o eixo focal é paralelo ao eixo ,
e se , o eixo focal é paralelo ao eixo 
– Plano parábolas
– Plano parábolas
⇒=⇒ kzYX// ck
b
y
a
x
=+− 2
2
2
2
⇒=⇒ kxZY//
2
2
2
2
a
k
zc
b
y
+=
⇒=⇒ kyZX//
2
2
2
2
b
k
zc
a
x
−=−
0>k Y
0<k X
Parabolóide hiperbólico
Parabolóide hiperbólico
Exercícios de aplicação
• Dada a equação
Se for uma quádrica, determine o tipo de mesma e 
a seção no plano com , informando seus 
elementos da seção.
• Determine a quádrica
e analise as seções para 
16254 22 =−+− xzyx
2=z
0442422 =+−−−− yxzzx
ky =
Exercícios e problemas
Exercícios e problemas