Análise Real - Lista 1

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Disciplinas:
MAP 0216 - Introduc¸a˜o a` Ana´lise Real
MAT 0206 - Ana´lise Real
Semestre: 2014/2
Professor: Rodrigo Bissacot - Sala 147A - IME-USP
mail: rodrigo.bissacot@gmail.com
Monitores:
Marina Cenamo Salles - mail: marinacs@gmail.com
Edgardo Pe´rez - mail: edgardomath@gmail.com
(responsa´vel pelo fo´rum)
Carlos Cardozo - mail: ccardozo@ime.usp.br
(monitorias nas quartas feiras durante os meses de setembro e outubro).
Monitorias:
Terc¸as: das 18 h a`s 20:00 hs - Marina e Edgardo - sala: B04
Quartas: das 18 h a`s 20:00 hs - Edgardo e Carlos - sala: a` ser definida.
Su´mula da Disciplina:
https://sistemas.usp.br/jupiterweb/jupDisciplina?sgldis=MAP0216
Avaliac¸a˜o: 3 provas + Listas.
Em cada uma das avaliac¸o˜es o estudante pode somar ate´ 1,5 pontos
atrave´s das listas de exerc´ıcios e as provas valera˜o no mı´nimo 8,5 cada uma.
A me´dia final Mf e´ calculada atrave´s da me´dia aritme´tica das avaliac¸o˜es.
Ou seja, Mf =
A1+A2+A3
3 onde, Ai = Pi + Li sendo Pi a nota obtida na
prova i e Li a nota das listas referente a`quela prova (i = 1, 2, 3). Os alunos
que na˜o atingirem 5,0 mas que ficarem com me´dia entre 3,0 e 5,0 podera˜o
fazer recuperac¸a˜o, as regras ainda sera˜o definidas.
Um comenta´rio importante: As listas de exerc´ıcios fazem parte do
conteu´do do curso, ou seja, resultados importantes sera˜o trabalhados atrave´s
das listas e estes resultados podem ser usados nas provas sem a necessidade
de prova´-los novamente. Mesmo os que na˜o pretendem entregar as listas de
exerc´ıcios devem estar a par do conteu´do destas.
As listas de exerc´ıcios e informac¸o˜es sobre o curso sera˜o disponibilizados
em: https://sites.google.com/site/matbissacot/Home/teaching/analise2014
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Lista 1: (Conjuntos e Func¸o˜es) - DATA DA ENTREGA: 22.08.2014
Lembre que se A e B sa˜o conjuntos temos que:
A ∪B = {x; x ∈ A ou x ∈ B}
A ∩B = {x; x ∈ A e x ∈ B}
1. Sejam A e B conjuntos.
Mostre que as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(i) A ⊆ B
(ii) A ∩B = A
(iii) A ∪B = B.
2. Sejam A,B e C conjuntos. Mostre que A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
3. Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Mostre que f e´ injetora se, e somente
se, f possui uma inversa a` esquerda. Lembro que dizemos que g : Y → X e´
uma inversa a` esquerda para f : X → Y quando g ◦ f = IdX , onde IdX e´ a
func¸a˜o identidade de X em X.
4. Sejam f : X → Y e g : Y → Z func¸o˜es. Mostre que:
(a) Se f e g sa˜o injetoras, enta˜o g ◦ f e´ injetora.
(b) Se g ◦ f e´ injetora, enta˜o f e´ injetora.
(c) Se g ◦ f e´ injetora e f e´ sobrejetora, enta˜o g e´ injetora.
(d) Se g ◦ f e´ sobrejetora e g e´ injetora, enta˜o f e´ sobrejetora.
5. Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Mostre que f e´ injetora se, e somente
se, para todo A ⊆ X, f−1(f(A)) = A.
6. Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Prove que f e´ sobrejetora se, e somente
se, para todo conjunto Z e todo par de func¸o˜es g : Y → Z e h : Y → Z,
g ◦ f = h ◦ f enta˜o temos que g = h.
7. Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Mostre que f e´ injetora se, e somente
se, para todo par de subconjuntos A e B de X, vale f(A\B) = f(A)\f(B).
Obs: Lembro que f(A) = {y ∈ Y ; ∃ x ∈ A tal que f(x) = y}.
8. Seja f : A → B uma func¸a˜o, (Aλ)λ∈L uma famı´lia de subconjuntos
de A e (Bµ)µ∈M uma famı´lia de subconjuntos de B. Mostre que:
(a) f(
⋂
λ∈L
Aλ) ⊆
⋂
λ∈L
f(Aλ)
(b) f−1(
⋃
µ∈M
Bµ) =
⋃
µ∈M
f−1(Bµ)
9. Exiba uma func¸a˜o f : X → Y e dois subconjuntos A,B do conjunto
X tais que f(A ∩B) 6= f(A) ∩ f(B).
10. Sejam A,B e C conjuntos, mostre que:
A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)
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11.(Produzindo co´pias disjuntas) Sejam A,B subconjuntos(na˜o necessa-
riamente disjuntos) de um conjunto X seja x ∈ X tal que x /∈ A∪B. Mostre
que existe um conjunto X ′ e subconjuntos A′, B′ disjuntos em X ′ tais que
existem bijec¸o˜es de A em A′ e entre B e B′. Exiba as bijec¸o˜es.(precisa mos-
trar que de fato sa˜o bijec¸o˜es)
Sugesta˜o: Considere o produto cartesiano X × X e os subconjuntos
{x} ×A e B × {x}.
Pontuac¸a˜o: A lista sera´ avaliada no ma´ximo em 10 pontos, mas as
questo˜es 4 e 11 valem 2 pontos cada. Quem tirar 13 na lista na˜o fica com
os 3 pontos para o futuro, a inflac¸a˜o ira´ corroer esses dois pontos...
Bom trabalho!
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