Inversão de Matrizes

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Inversão de Matrizes
Dada uma matriz A quadrada de dimensão d×d, a inversa de A, denotada por
A−1, é uma matriz quadrada tal que:
A×A−1 = Id,
onde Id é a matriz identidade de dimensão d× d.
Método dos Cofatores
Podemos calcular a inversa de uma matriz quadrada A, de dimensões d × d,
seguindo os seguintes passos:
1. Monte a matriz de menores, M, de dimensão d × d, onde cada elemento
mi,j desta matriz é o determinante da matriz resultante da remoção da
linha i e coluna j de A.
2. Monte a matriz de cofatores, C, de dimensão d× d, onde cada elemento é
dado por
ci,j =
{
mi,j se i e j têm mesma paridade
−mi,j caso contrário
3. A inversa de A é dada por
A−1 = C
T
det(A) ,
onde CT é a transposta de C.
Note que a inversa só existe se o determinante de A é não-nulo.
Exemplo
Seja A dada por:
A =
8 1 63 5 7
4 9 2
 .
Primeiramente, vamos calcular o determinante de A para saber se a inversa
existe:
det(A) = −360
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Seguindo o método proposto, podemos calcular cada um dos elementos da
matriz M:
m1,1 = det
�A8 �A1 �A6�A3 5 7
�A4 9 2
 = −53 m1,2 = det
�A8 �A1 �A63 �A5 7
4 �A9 2
 = −22 m1,3 = det
�A8 �A1 �A63 5 �A7
4 9 �A2
 = 7
m2,1 = det
�A8 1 6�A3 �A5 �A7
�A4 9 2
 = −52 m2,2 = det
8 �A1 6�A3 �A5 �A7
4 �A9 2
 = −8 m2,3 = det
8 1 �A6�A3 �A5 �A7
4 9 �A2
 = 68
m3,1 = det
�A8 1 6�A3 5 7
�A4 �A9 �A2
 = −23 m3,2 = det
8 �A1 63 �A5 7
�A4 �A9 �A2
 = 38 m3,3 = det
8 1 �A63 5 �A7
�A4 �A9 �A2
 = 37
então temos:
M =
−53 −22 7−52 −8 68
−23 38 37
 .
O segundo passo diz que devemos inverter o sinal dos elementos que têm
linha e coluna de paridade diferente, ou seja, sempre que a linha for par e a
coluna ímpar, ou vice-versa, o sinal deve ser invertido. Portanto:
C =
−53 22 752 −8 −68
−23 −38 37
 .
Finalmente, calculamos a matiz inversa:
A−1 =
−53 22 752 −8 −68
−23 −38 37
T × 1det(A) =
−53 52 −2322 −8 −38
7 −68 37
× 1−360
A−1 =
 0, 147222 −0, 144444 0, 063889−0, 061111 0, 022222 0, 105556
−0, 019444 0, 188889 −0, 102778

Por fim, podemos verificar nosso resultado multiplicando A por A−1 e ve-
rificando se obtemos a identidade. Usando o Haskell, e multiplicador que vocês
implementaram, obtive o seguinte resultado na multiplicação:
A×A−1 =
 1, 0 0, 0 0, 00, 0 1, 0 0, 0
−1, 86× 10−8 −2, 98× 10−8 1, 0

.
Parece errado, mas é comum obter valores próximo de zero, como os obtidos
acima, ou próximos de um, como 0, 9999. Estas discrepâncias vêm da imprecisão
na representação de números reais no computador.
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