apostila 4 - Integrais

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Diferencial de uma Função 
 
Seja a função )(xfy = . Sua derivada é )(xfy ¢=¢ ou usando a notação de 
Leibniz temos dxxfdyxf
dx
dy
×
¢
=Þ
¢
= )()( , onde: 
dx é a diferencial de x e dy é a diferencial de y ou da função. 
 
 
Exemplos 
 
 
1) Seja a função 3xy = , sua derivada é 23x
dx
dy
= e a diferencial da função é 
dxxdy 23= . 
2) Seja a função xsenxf =)( , sua derivada é x
dx
df
cos= e a diferencial da 
função é dxxdf cos= . 
3) Seja a função xy 2= , sua derivada é 2ln2 x
dx
dy
= e a diferencial da função 
é dxdy x 2ln2= . 
4) Seja a função 583)( 2 -+= xxxf , sua derivada é 86 += x
dx
df
 e a diferencial 
da função é dxxdf )86( += . 
 
 
Exercícios 
 
 
Determine a diferencial das seguintes funções: 
 
1) 975 25 --+= xxxy R.: dxxxdy )7105( 4 -+= 
 
2) 
3
21
xx
y -= R.: dx
xx
dy )
61
(
42
+-= 
 
3) 3 22 )32( += xy R.: 
3 2 323
8
+
=
x
dxx
dy 
 
4) 53)( += xexf R.: dxedf x 533 +×= 
 
5) 62ln += xy R.: 
62 +
=
x
dx
dy 
 
 
 
 
 
Significado Geométrico de Diferencial 
 
Seja um ponto ),( yxP da função )(xfy = definida no intervalo I, sendo então x 
um elemento de I e )(xf seu valor correspondente para a função. 
 
 
 
A diferença )()( xfxxf -D+ chamamos de yD que será o acréscimo ou 
incremento da função relativamente ao ponto x . 
 
Sabemos que a derivada )(
)()(
limlim
00
xftg
x
xfxxf
x
y
dx
dy
xx
¢
==
D
-D+
=
D
D
=
®D®D
a . 
 
Consideremos a reta secante s que passa pelos pontos P e Q e que forma um 
ângulo b com o eixo das abscissas e a reta t , tangente ao gráfico da função 
)(xf no ponto P , e que forma um ângulo a com o eixo das abscissas. 
 
Quando calculamos a derivada em relação a x , a reta passa de secante para 
tangente e se xD for pequeno em relação a x considera-se que xdx D= e 
ydy D@ . 
 
Então a diferencial da função pode ser definida por: 
 
 
 
Exemplos 
 
1) Calcular yD , dy e dyy -D , conhecendo-se a função xxxf 3)( 2 += em 
2=x e 5,0=dx . 
 
Solução 
 
5,0==D dxx 
)2()5,2()2()5,02()()( ffffxfxxfy -=-+=-D+=D 
[ ] [ ] 75,30,1075,13)64()5,725,6()2(3)2()5,2(3)5,2( 22 =-=+-+=×+-×+=Dy 
y 
x x xx D+ 
)(xf 
)( xxf D+ 
P 
Q 
Damos um acréscimo ou 
incremento xD para a 
variável x em e obte- 
mos um outro valor que 
será xx D+ e que terá 
)( xxf D+ como seu 
correspondente para a 
função. xD 
yD 
b 
a 
t 
s 
)(xf 
dy 
xxfydouxdxfyd D×¢=×¢= )()( 
 
5,35,075,0)34(5,0)322()32( =×=×+=×+×=+= dxxdy 
25,05,375,3 =-=D-D yy 
 
 
2) Seja um fio condutor de resistência W=100R , atravessado por uma 
corrente elétrica de intensidade I , quando em suas extremidades é 
aplicada uma diferença de potencial voltsV 100= . De quanto variará a 
intensidade de corrente elétrica, se variarmos a d.d.p. de volt1 . 
 
Solução 
 
W=100R , VV 100= e VdV 1= 
 
Sabemos que 
R
V
I = , derivando em relação a V , temos )1(
11
×=Þ=
RdV
dI
dV
dV
RdV
dI
 
AdIdI
R
dV
dI
RdV
dI
01,0
100
11
=Þ=Þ=Þ= 
 
 
Exercícios 
 
1) A área de um círculo de raio cmR 10= é A . Calcular a variação da área se R 
sofrer uma variação de cm1,0 . R.: 22 cmdA p= 
 
2) Calcular a variação aproximada do volume de um cubo cuja aresta mede cm3 , 
causada pelo acréscimo de %1 na aresta. R.: 381,0 cmdV = 
 
3) Uma esfera de 336 cmp de volume, ao ser pintada, sofreu um acréscimo no seu 
volume de 3cmp . Qual a alteração ocorrida no raio da esfera? 
 R.: cm0277,0 
 
Cálculo Aproximado 
 
Sabemos da figura anterior que jab += tgtg , mas 
x
y
tg
D
D
=b e )(xf
xd
yd
tg ¢==a 
 Portanto: j+¢=
D
D
)(xf
x
y
 xxxfy D×+D×¢=DÞ j)( 
 
Como 0®Dx e 
j
 é um número muito pequeno o produto 0®×D jx temos: 
 
xxfxfxxfxxfxfxxfxxfy D×¢+@D+ÞD×¢@-D+ÞD×¢@D )()()()()()()(
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular o valor aproximado de .353 
 
Solução 
 
3 2
3
2
1
3
1
3
1
3
3
1
3
1
3
1
)()(
x
xxxfxxxf ===¢Þ==
--
 
 
xxfffxxfxfxxf D×¢+@+ÞD×¢+@D+ )()27()827()()()( 
286,3
27
89
27
881
8
93
1
38
273
1
2735
3 2
33
==
+
=´
´
+=´+@
 
 
1) Sabendo que 08,203 =e , determine por diferencial, o valor aproximado de 
1,3e . R.: 088,22 
 
2) Utilizando diferencial, calcule o valor aproximado de 5 35 . R.: 0375,2 
 
3) Calcular o valor aproximado de .46 0sen R.: 7194,0 
 
4) Calcular o valor aproximado de .0360cos 0 ¢ R.: 4925,0 
 
5) Calcule o valor aproximado de 002,1 R.: 001,1 
 
 
Funções Primitivas 
 
Dada a função 2)( xxf = , sua derivada será xxf 2)( =¢ . Inversamente dada a 
derivada xxf 2)( =¢ , a função 2)( xxf = denomina-se primitiva da função dada. 
 
Portanto: 
 
“Primitiva de uma função )(xf ¢ é uma função )(xf , cuja derivada é )(xf ¢ ”. 
 
Do mesmo modo, se dxx2 é a diferencial de 2x , então 2x denomina-se integral 
de dxx2 . 
 
 
O processo de cálculo que permite achar uma função partindo de sua diferencial 
denomina-se INTEGRAÇÃO e é indicada com o símbolo 
ò
, que é uma forma 
modificada da letra S, inicial da palavra soma. 
 
Assim: 
ò
=
22 xdxx 
 
Nos casos simples, a integral ou a primitiva, obtém-se imediatamente, 
invertendo-se as fórmulas de derivação. Estas fórmulas invertidas denominam-se, 
por este motivo, primitivas imediatas. 
 
 
Exemplos 
 
1) 
ò
= xsendxxcos pois xxsenD cos)( = . 
2) 
ò
=
2
2x
dxx pois x
x
D =
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
2
2
. 
 
Observação: A integração é a operação inversa da diferenciação. 
 
 
Constante de Integração. Integral Indefinida. 
 
 
Consideremos as seguintes diferenciais: 
 
dxxxdx
dx
xd
2)(2
)( 2
2
=Þ= 
 
dxxxdx
dx
xd
2)1(2
)1( 2
2
=+Þ=
+
 
 
 dxxxdx
dx
xd
2)5(2
)5( 2
2
=-Þ=
-
 
 
De um modo geral sendo C uma constante arbitrária, temos: 
 
 dxxCxdx
dx
Cxd
2)(2
)( 2
2
=+Þ=
+
 
 
Vemos que uma diferencial dada tem uma infinidade de integrais, que diferem por 
uma quantidade constante, denominada constante de integração e podemos 
então escrever: 
 
ò
+= Cxdxx 22 
 
E de modo geral: 
ò
+=
¢ Cxfdxxf )()( 
 
Por esta razão, as integrais até agora apresentadas, denominam-se integrais 
indefinidas. 
 
 
 
Exemplos 
 
1) 
ò
+= Cxtgdxx2sec pois dxxCxtgd 2sec)( =+ 
 
2) 
ò
+= Cxdxx 32
3
5
5 pois dxxCxd 23 5
3
5
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+ 
 
 
Primitivas Imediatas 
 
Vimos as fórmulas para se obter a derivada de uma função. A partir destas 
fórmulas obtemos fórmulas de integração imediata, chamadas de Primitivas 
Imediatas, que veremos algumas delas a seguir. 
 
Sejam u e v funções de x e a , n e e números reais. 
 
1) 
ò ò ò
±±=±± ......)( dvdudvdu 
 
2) 
ò
+= Cxdx 
 
3) 
ò ò
= duCduC. 
 
4) 
ò
+
+
=
+
C
n
u
duu
n
n
1
.
1
, se 1-¹n 
 
5) 
ò
+= Cu
udu
ln , se 0>u 
 
6) 
ò
+= C
a
a
dua
u
u
ln
. , se 0>a 
 
7) 
ò
+= Cedue uu . 
 
8) 
ò
+-= Cudusenu cos. 
 
9) 
ò
+= Csenuduu.cos 
 
10) 
ò
+= Ctguduu.sec2 
 
11) 
ò
+-= Cuduu cot.csc2 
 
12) 
ò
+= Cudutguu sec..sec 
 
 
13) 
ò
+-= Cuduuu csc.cot.csc 
 
14) 
ò
+= Cudutgu secln. 
 
15) 
ò
+= Cusenduu ln.cot 
 
16) 
ò
+-= Cuuduu )cotln(csc.csc 
 
17) 
ò
++= Cutguduu )ln(sec.sec 
 
18) 
ò
+=
-
C
a
u
senarc
ua
du
22
 
 
19) 
ò
+=
+
C
a
u
tgarc
aua
du 1
22
 
 
20) C
a
u
arc
aauu
du
+=
-
ò
sec
1
22
 
21) 
ò
+
+
-
=
-
C
au
au
aau
du
ln
2
1
22
 
22) 
ò
+
-
+
=
-
C
ua
ua
aua
du
ln
2
1
22
 
23) Cauu
au
du
+++=
+
ò
)ln( 22
22
 
24) 
ò
+-+=
-
Cauu
au
du
)ln( 22
22
 
25) C
a
u
senarcauauduua ++-=-
ò
22222
2
1
2
1
 
26) Cauuaauuduau +±+±±=± )ln(
2
1
2
1 2222222 
 
 
 
Exemplos 
 
1) 
ò
dxx 
 
Solução 
 
Se dxduxu =Þ= portanto podemos usar a fórmula 4, portanto 
C
x
C
x
dxx +Þ+
+
=
+
ò 211
211
 
 
2) 
ò 3x
dx
 
 
Solução 
 
Aplicamos novamente a fórmula 4, pois 
ò ò
-
= dxx
x
dx 3
3
 e dxduxu =Þ= . 
ò ò
+-=+
-
=+
+-
==
-+-
- C
x
C
x
C
x
dxx
x
dx
2
213
3
3 2
1
213
 
 
3) 
ò
+ dttt 34 )1( 
 
Solução 
 
Se dttdut
dt
du
tu 334 441 =Þ=Þ+= , observamos que está faltando o 4 em du . 
Temos que acrescentar o 4 em du e ao fazer isto, estamos multiplicando a 
função por 4 , então para não alterar a função devemos dividi-la por 4 , para 
fazer a compensação. 
 
ò òò
++=+
+
+
=×+=×+=+
+
CtC
t
dtttdtttdttt 24
114
343434 )1(
8
1
11
)1(
4
1
4)1(
4
1
4)1(
4
1
)1( 
 
Observar que ao integrar, a diferencial du desaparece. 
 
4) 
ò
+ 2x
dx
 
 
Solução 
 
Observar que 
ò ò
-
+=
+
dxx
x
dx 1)2(
2
, 2+= xu e dxdu = . Não podemos usar a 
fórmula 4, pois a mesma só pode ser usada quando o expoente for diferente de 1. 
 
Quando 1-=n , devemos usar a fórmula 5. 
 
Então Cxdxx
x
dx
++=+=
+
ò ò
- )2ln()2(
2
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
ò
-
++-
xd
x
xxx
2
23
2
24
 
 
Solução 
 
Dividindo 23 24 ++- xxx por 22 -x , obtém-se 
2
1
2
2
-
+-
x
x
x , portanto 
 
 
ò ò òòò
=
-
+-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+-=
-
++-
22
1
2
23
2
2
2
2
2
24
x
xdx
dxdxxxd
x
x
xxd
x
xxx
 
 
òòò
+-+-=
-
+-= Cxx
x
x
dxx
xdxdx )2(ln
2
1
32
2
2
1 2
3
2
2 
 
 
6) 
ò
xd
xsen
xsen
2
2
 
 
Solução 
 
Sendo xdxsenudxsenxxsen
dx
du
xsenu 22cos22 =Þ==Þ= 
( )
ò ò
+==
-
Cxsendxxsenxsendx
xsen
xsen
)ln(2
2 212
2
 
 
 
7) xd
a
aa
x
xx
ò
-
-
 
 
Solução 
 
 
( )
ò ò ò ò ò òò
=-+=-=-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
-
---
--
xdadxdxadxxdaxd
a
a
a
a
xd
a
aa xxx
x
x
x
x
x
xx
)2(
2
1
1 222
 
C
a
a
x
x
+×+=
-
ln2
1 2
 
 
 
8) 
ò
xdx2cos 
 
Solução 
 
Sabemos que ,
2
2cos1
cos2
x
x
+
= então: 
 
ò ò ò òòò
=×+=+=
+
= xdxdxxdxdxdx
x
xdx 22cos
4
1
2
1
2cos
2
1
2
1
2
2cos1
cos2 
Cxsenx ++= 2
4
1
2
1
 
 
 
9) 
ò
xdxtg 
 
Solução 
 
ò
xdxtg ( )
ò ò
=+-=+-=--==
- CxCxxdxsenxdx
x
xsen
)ln(cos1ln)(coslncos
cos
1 
CxC
x
+=+= )(secln
cos
1
ln (Ver Primitiva Imediata 14) 
 
 
10) 
ò
xdxtg 2 
 
Solução 
 
ò
xdxtg 2 ( )
ò òò
+-=-=-= Cxxtgdxxxdx 22 sec1sec 
 
 
11) 
ò
xdxsec 
 
Solução 
 
 
=
ò
xdxsec
( ) ( )
ò ò
++=++=
+
+
=
-
Cxtgxxdxtgxxxtgxxd
xtgx
xtgxx
)(seclnsecsecsec
sec
)(secsec 21 
 
 
12) 
ò
-
2416 x
xd
 
 
Solução 
 
Sabendo que 
ò
+=
-
,
22
C
a
u
senarc
ua
ud
 e se xdudxu 22 =Þ= , temos: 
ò
-
2416 x
xd
ò ò
+==
-
=
-
= C
x
senarc
x
senarc
x
xd
x
xd
22
1
4
2
2
1
)2(4
2
2
1
)2(4 2222
 
 
 
13) 
ò
-
235 x
dx
 
 
Solução 
 
Fazendo dxudxu 33 =Þ= e 5=a . De acordo com a 
fórmula usada no exercício anterior, temos: 
ò
-
235 x
dx
( ) ( ) ( ) ( )
ò ò
+=
-
=
-
= C
x
senarc
x
xd
x
xd
5
3
3
1
35
3
3
1
35
2222
 
 
14) 
ò
++ 942 xx
xd
 
 
Solução 
 
Solução 
 
Fazendo xdudxu =Þ+= 2 e 5=a temos: 
 
ò
++ 942 xx
xd
=
ò ò
++
=
+++
222 )5()2(544 x
xd
xx
xd
C
x
tgarc +
+
=
5
2
5
1
 
 
 
15) 
ò
dxxtgx4sec 
 
Solução 
 
ò
dxxtgx4sec
ò
+=×= Cxdxtgxx
4
sec
secsec
4
3 
 
 
16) 
ò
+
+
dx
x
x
2
4
 
 
Solução 
 
ò
+
+
dx
x
x
2
4
ò ò ò ò ò
=
+
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
+
+
=
+
++
=
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
22
x
xd
xdxd
x
xd
xx
x
xd
x
x
 
Cxx +++= )2ln(2 
 
17) 
ò
+
-
xd
x
x
4
4
 
 
 
Solução 
 
ò
+
-
xd
x
x
4
4
ò ò òò
=
-
-
-
=
-
-
=
-
-
×
+
-
= xd
x
x
xd
x
xd
x
x
xd
x
x
x
x
222222 44
4
4
4
4
4
4
4
 
( )
Cx
x
senarcC
xx
senarc +-+=+
-
+=
2
2
1
2
16
4
4
2
1
16
2
1
4
4 
 
18) ( )
ò ò ò
=+=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
+
xdxtgxxd
x
xsen
x
dx
x
xsen 22
2
2
22
2
sec
coscos
1
cos
1
 
 ( ) ( )
ò òòò
+-=-=-=-+= Cxxtgdxdxxxdxxdxx 2sec21sec21secsec 2222 
 
 
19) ( )
ò òòòò
=-=-=×= xdxtgxdxtgxxdxtgxxdxtgxtgxdxtg 2223 sec1sec 
 
ò ò
+-=-= Cx
xtg
xdxtgxdxxtg secln
2
sec
2
2 
 
Obs.: xdxduxtgu 2sec=Þ= 
 
 
20) 
ò ò ò ò
=-=
-
= dxxxddx
x
xdxsen 4cos
2
1
2
1
2
4cos1
22 
 Cxsenxxdxxd +-=×-=
òò
4
8
1
2
1
)4(4cos
4
1
2
1
2
1
 
 
 
21) ( )
ò ò ò
=-== xdxsenxxdxsenxsendxxsen 223 cos1 
 
ò ò òò
++-=-+=-= C
x
xxdxsenxxdxsenxdxsenxxdxsen
3
cos
cos)(coscos
3
22
 
 
22) 
ò ò
+=
+
=
+
Cxtgarc
xtgarc
x
dx
xtgarcx
xd
)ln(1
)1(
2
2
 
 
Obs.: 
21 x
dx
duxtgarcu
+
=Þ= 
 
 
23) 
ò ò
=+
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
+-
C
x
tgarc
x
dx
xx
dx
2
19
2
3
2
19
1
2
19
2
373
222
 
 Cxtgarc +
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
2
3
19
2
19
2
 
 
Obs.: 
2
3
322)(73 2222 =Þ-=-Þ+-=-=+- aaaaxxaxxx 
 
2
2
2
2
19
4
19
4
928
4
9
77
4
9
4
9
3
2
3
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
==Þ
-
=-=Þ=+Þ+-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
- tttxxx24) =
ú
û
ù
ê
ë
é
+-
+
+-
-
=
+-
++-
=
+-
+
ò ò òò
dx
xx
dx
xx
x
xd
xx
x
xx
xdx
115
7
115
52
2
1
115
2552
2
1
115
)1(
2222
 
 =
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
+-
-
=
ò ò
dx
x
dx
xx
x
222
2
19
2
5
7
115
52
2
1
 
 
=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=+
-
×++-= C
x
tgarcxx
2
19
2
5
2
19
1
7)115ln(
2
1 2 
 Cxtgarcxx +
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-++-=
2
5
19
2
19
14
)115ln(
2
1 2 
 
 
Exercícios 
 
Calcular usando as primitivas imediatas: 
 
1) 
ò
dxx5 R.: C
x
+
6
6
 
2) 
ò 2x
dx
 R.: C
x
+-
1
 
3) dxx
ò
3 R.: Cx +3
4
4
3
 
4) 
ò 3 2x
dx
 R.: Cx +3
1
3 
 
5) 
ò
+- dxxx )352( 2 R.: Cxxx ++- 3
2
5
3
2 23 
6) dxxx
ò
- )1( R.: Cxx +- 2
5
2
3
5
2
3
2
 
7) 
ò
+ dss 2)43( R.: Csss +++ 16123 23 
8) 
ò
-+
dx
x
xx
2
23 45
 R.: C
x
x
x
+++
4
5
2
2
 
9) 
ò
dxe x R.: Ce x + 
10) 
ò
+1t
dt
 R.: Ct ++ )1(ln 
11) 
ò
dxx2sec R.: Cxtg + 
12) 
ò
- dxx 3 R.: C
x
+-
22
1
 
13) 
ò
×+ dttt 223 3)2( R.: C
t
+
+
3
)2( 33
 
14) 
ò
+
33
2
)2(
8
x
dxx
 R.: C
x
+
+
-
23 )2(3
4
 
15) 
ò
+
+
3 2 6
)3(
xx
dxx
 R.: Cxx ++3 22 )6(
4
3
 
16) dxxx
ò
-
3 21 R.: Cx +-- 3
4
2 )1(
8
3
 
17) 
ò
dxxxsen cos2 R.: C
xsen
+
3
3
 
18) 
ò
+ dxee xx 3)1( R.: C
e x
+
+
4
)1( 4
 
19) 
ò
+
+
dx
x
x
1
2
 R.: Cxx +++ )1(ln 
20) 
ò
+
24
3
)3(
3
x
dxx
 R.: C
x
+
+
-
)3(4
3
4
 
21) 
ò
dxxsenx2cos R.: C
x
+-
3
cos3
 
22) 
ò
+
+
dx
x
x
4
2
 R.: Cxx ++- )4ln(2 
23) 
ò
+
25 x
dx
 R.: C
x
tgarc +
55
1
 
24) 
ò
xd
x
xsen
6
4
cos
 R.: C
xtg
+
5
5
 
25) 
ò
+
xd
x
xsen
2
2
cos
1
 R.: Cxxtg +-2 
26) td
t
ttt
ò
-+- 12 23
 R.: Ct
tttttt
+-+- 2
3
2
5
4
7
2 23
 
 
27) 
ò
-
24 x
dx
 R.: C
x
senarc +
2
 
28) 
ò
× xdxx 24sec R.: Cxtgx ++ )44(secln
8
1 22 
29) 
ò
xdxseccos R.: Cxgx ++- )cotsecln(cos 
 
 
Integração por Partes 
 
Nem sempre é possível resolver integrais usando as primitivas imediatas. Muitas 
integrais são resolvidas usando a Integração por Partes. 
 
Fórmula 
 
Sejam u e v funções de x , e a função produto vuy ×= 
 
Diferenciando temos: duvdvudy += 
 
Integrando os dois membros temos: 
ò ò ò ò ò
+=Þ+= duvdvuyduvdvudy 
 
Mas 
ò ò
+=×Þ×= duvdvuvuvuy e isolando 
ò
dvu temos: 
 
 
 
Exemplos 
 
Calcular as integrais, usando a integração por partes: 
 
1) 
ò
dxex x 
 
Vamos tentar resolver a integral de duas maneiras: 
 
a) fazendo xu = e dxedv x= , temos: 
 dxdu = e 
ò ò
=Þ===
xxx evedxedvv 
 aplicando a fórmula, temos: 
 
ò ò
+-=+-=-= CxeCeexdxeexdxex xxxxxx )1( 
 
b) fazendo xeu = e dxxdv = , temos: 
 dxedu x= e 
ò ò
===
2
2x
dxxdvv 
 aplicando a fórmula, temos: 
 
ò ò
-= dxe
xx
edxex xxx
22
22
 
ò ò
-= duvvudvu 
 
 
Observa-se que a integral resultante é mais complicada que a original e este 
caminho deve ser abandonado. Vemos que a parte escolhida como dv deve ser 
facilmente integrável. 
 
 
2) 
ò
dxxsenx 
 
 Fazendo xu = e dxxsendv = , temos: 
 dxdu = e 
ò ò
-=== xdxxsendvv cos 
 aplicando a fórmula, temos: 
 
ò ò
++-=+---=---= CxsenxxCxsenxxdxxxxdxxsenx cos)(cos)cos()cos( 
 
 
3) 
ò
dxxsen 2 
 
 fazendo xsenu = e dxxsendv = , temos: 
 dxxdu cos= e 
ò ò
-=== xdxxsendvv cos 
 aplicando a fórmula, temos: 
 
ò ò ò
=+-=---= dxxxxsendxxxxxsendxxsen 22 coscoscos)cos()cos( 
 
ò ò ò
-+-=-+-= dxxsendxxsendxxsenxxsen 22 2
2
1
)1(cos 
 Então: 
ò ò
-+-= dxxsenxxsendxxsen 22 2
2
1
 
 Fazendo a transposição de 
ò
- dxxsen2 para o primeiro membro, temos: 
 
ò ò
++-=Þ+-= C
x
xsendxxsenxxsendxxsen
2
2
4
1
2
2
1
2 22 
 
4) 
ò
+ xdx )1ln( 2 
 
 fazendo dx
x
x
duxu
1
2
)1ln(
2
2
+
=Þ+= e xvdxdv =Þ= 
 aplicando a fórmula temos: 
 
 
ò
+ xdx )1ln( 2
ò ò
=
+
-+=
+
-×+= dx
x
x
xxdx
x
x
xxx
1
2
)1ln(
1
2
)1ln(
2
2
2
2
2 
 
ò ò ò
=
+
+-+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-×-+=
1
22)1ln(
1
1
12)1ln(
2
2
2
2
x
dx
dxxxdx
x
xx 
 Cxtgarcxxx ++-+= 22)1ln( 2 
 
 
 
5) 
ò x
dx
x)ln(ln 
 
 fazendo dx
xx
duxu
1
ln
1
)ln(ln ×=Þ= 
 
ò
==Þ= x
x
dx
v
x
dx
dv ln 
 
 aplicando a fórmula temos: 
 
ò x
dx
x)ln(ln
ò ò
=-×=××-×=
x
dx
xxdx
xx
xxx )ln(lnln
1
ln
1
lnln)ln(ln 
 [ ] CxxCxxx +-×=+-×= 1)ln(lnlnln)ln(lnln 
 
 
Exercícios 
 
Calcular usando integração por partes: 
 
1) 
ò
dxex x2 R.: Cxxe x ++- )22( 2 
2) 
ò
dxxx ln2 R.: Cx
x
+- )
3
1
(ln
3
3
 
3) 
ò
dxxln R.: Cxx +- )1(ln 
4) dxxx
ò
+1 R.: Cxxx ++-+ 2
5
2
3
)1(
15
4
)1(
3
2
 
5) 
ò
+ dxxx cos)73( R.: Cxxsenx +++ cos3)73( 
6) 
ò
- dxex x)12( R.: Cex x +- )32( 
7) 
ò
+- dxxx 5cos)13( R.: C
xxsenx
+-
+-
25
5cos3
55)13(
 
8) 
ò
- dxex x R.: Cex x ++- -)1( 
9) 
ò
dxxx ln R.: Cxx +- )
3
2
ln(
3
2
2
3
 
10) 
ò
dxxx ln R.: Cxx
x
+-
2
2
4
1
ln
2
 
11) 
ò
+ dxxx 5 R.: Cxxx ++-+ 2
5
2
3
)5(
15
4
)5(
3
2
 
12) 
ò
dxxsenx2 R.: Cxxsenxxx +++- cos22cos2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integração por Frações Parciais 
 
A função racional )(xf é definida como o quociente de duas funções polinomiais, 
ou seja 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf = , onde )(xP e )(xQ são polinômios. Muitas vezes devemos 
decompor a função racional numa soma de frações. A decomposição só é 
possível se o denominador da função for fatoravel. Estudaremos quatro casos: 
 
 
1º. Caso: Fatores lineares distintos. 
 
Exemplo 
 
Calcular a integral: 
 
1) 
ò
-
dx
x 1
2
2
 
 
Solução 
 
Sendo o denominador do 2º. Grau, podemos decompor a fração numa soma de 2 
frações parciais. 
 
Sabemos que )1)(1(12 +-=- xxx , então podemos decompor a fração numa soma 
de duas frações parciais cujos denominadores são fatores lineares distintos: 
 
)1)(1(
)(
)1)(1()1)(1(
)1()1(
111
2
2
+-
-++
=
+-
-++
=
+-
-++
=
+
+
-
=
-
xx
BAxBA
xx
BBxAAx
xx
xBxA
x
B
x
A
x
 
 
î
í
ì
-=
=
Þ
î
í
ì
=-
=+
Þ-++Þ
-
=
+-
-++
1
1
2
0
)(
)1(
2
)1)(1(
)(
2 B
A
BA
BA
BAxBA
xxx
BAxBA
 
 
Então 
1
1
1
1
1
2
2
+
-
+
-
=
-
xxx
, portanto 
 
ò ò ò ò
+
+
-
=++--=
+
-
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
+
-
=
-
C
x
x
Cxx
x
dx
x
dx
dx
xx
dx
x 1
1
ln1ln1ln
111
1
1
1
1
2
2
 
 
 
2º. Caso: Fatores lineares repetidos 
 
Exemplos 
 
Calcular as integrais 
 
1) 
ò
+--
+
1
)53(
23 xxx
dxx
 
 
 
Solução 
 
Vamos decompor a fração numa soma de três frações parciais, pois o 
denominador é do 3º. grau. As raízes do denominador são 121 == xx e ,13 -=x 
e os denominadores das frações serão 2)1(),1( -- xx e )1( +x , pois o m.m.c. 
deverá ser .123 +-- xxx 
 
2
2
223 )1)(1(
)1()1)(1()1(
)1(111
53
-+
++-++-
=
-
+
-
+
+
=
+--
+
xx
xCxxBxA
x
C
x
B
x
A
xxx
x
 
 
2
2
23 )1)(1(
)2()(
1
53
-+
+-++-++
=
+--
+
xx
CBAxCAxBA
xxx
x
Þ
Þ
ï
î
ï
í
ì
=+-
=+-
=+
5
32
0
CBA
CA
BA
 
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
=
-=
=
Þ
4
2
1
2
1
C
B
A
223 )1(
4
1
2
1
1
2
1
1
53
-
+
-
-
+
=
+--
+
Þ
xxxxxx
x
, então 
ò ò òò
=
-
+
-
-
+
=
+--
+
223 )1(
4
12
1
12
1
1
)53(
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
dxx
C
xx
xx
xx +
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
=
-
-
+--+=
-
1
4
1
1
ln
2
1
1
)1(4
1ln
2
1
1ln
2
1 1
 
 
Observação: Para decompor uma função do tipo 
)(
)(
xQ
xP
 em frações parciais, o grau 
de )(xP deve ser menor que o grau de )(xQ . Se isto não ocorre, dividimos )(xP 
por )(xQ para chegar a forma adequada. Para exemplificar vamos resolver o 
exemplo seguinte. 
 
 
2) 
ò
-
---
23
34 )1(
xx
dxxxx
 
 
Solução 
 
 
Então 
 
10 234 --+- xxxx 23 xx - 
23
1
xx
x
x
-
--
+ 
34 xx +- 
1/// -- x 
 
ò ò ò òò
-
+
-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
--
+=
-
---
xd
xx
x
dxxdx
xx
x
xdx
xx
x
x
xx
dxxxx
23232323
34 )1(11)1(
 
 
Vamos decompor a fração do 2º. termo, no 2º. membro, numa soma de três 
frações parciais, pois o denominador é do 3º. grau, Resolvendo a equação 
023 =- xx , encontramos as raízes 021 == xx e 13 =x . Como existe uma raiz 
dupla, para que o m.m.c. dos denominadores seja 23 xx - , os denominadores das 
três frações deverão ser 2)0(),0( -- xx e 1-x ou simplesmente 2, xx e 
).1( -x Portanto 
 
)1()1(
)1()1(
)1(
1
2
22
2
2
223
-
+-+-
=
-
+-+-
=
-
++=
-
+
xx
CxBBxAxAx
xx
CxxBxAx
x
C
x
B
x
A
xx
x
 
Þ
ï
î
ï
í
ì
=-
=-
=+
Þ--++=+Þ
-
--++
=
-
+
1
1
0
)()(1
)1(
)()(1 2
2
2
23
B
AB
CA
BxABxCAx
xx
BxABxCA
xx
x
 
ï
î
ï
í
ì
=
-=
-=
Þ
2
2
1
C
A
B
 
Þ
 
1
2121
223
-
+
-
+
-
=
-
+
xxxxx
x
, então 
 
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
-
+
-
-=
-
+
-=
-
---
ò ò ò ò ò
xd
xxx
xdxxd
xx
x
xdx
xx
dxxxx
1
212)1()1(
22323
34
 
 
ò ò ò ò
=+--
+-
++
+
=
-
-++=
+-+
Cx
x
x
x
x
dx
x
dx
x
dx
dxx 1ln2
12
ln2
111
22
1211
2
 
C
x
x
x
x
C
x
xxx
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+-=+
-
+
-
+=
-
22
2
212
1
ln
1
2)1(
ln
12
 
 
 
3º. Caso: Fatores distintos do 2º. grau 
 
Exemplo 
 
Calcular a integral 
 
ò
-
+
xd
x
x
1
2
3
2
 
 
Solução 
 
O denominador tem uma raiz real 1=x , portanto um dos fatores é )1( -x e temos 
)1)(1(1 23 ++-=- xxxx e vamos efetuar a seguinte decomposição: 
 
)1)(1(
)1)(()1(
111
2
2
2
23
2
++-
-++++
=
++
+
+
-
=
-
+
xxx
xCBxxxA
xx
CBx
x
A
x
x
 
ï
î
ï
í
ì
-=
=
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
=-
=+-
=+
Þ
-
-++-++
=
-
+
1
0
1
2
0
1
1
)()()(
1
2
3
2
3
2
C
B
A
CA
CBA
BA
x
CAxCBAxBA
x
x
 
( )
ò ò ò ò ò
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
-
-
=
++
-
+
-
=
-
+
2
2
23
2
2
3
2
1
11
1
1
1
1
2
x
dx
x
dx
dx
xx
xd
x
xd
x
x
 
C
x
tgarcx +
+
--=
3
12
3
32
)1ln( 
 
 
4º. Caso: Fatores repetidos do 2º. grau 
 
Exemplo 
 
Calcular a integral 
 
( )
ò
++
++
dx
xx
xx
22
2
32
2
 
 
O denominador não tem raízes reais, então 
 
( ) ( ) ( )
22
23
22222
2
32
)3()23()2(
323232
2
++
+++++++
=
++
+
+
++
+
=
++
++
xx
DBxCBAxBAAx
xx
DCx
xx
BAx
xx
xx
 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-=
-=
=
=
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=+
=++
=+
=
1
1
1
0
23
123
12
0
D
C
B
A
DB
CBA
BA
A
 
 
( )
ò
++
++
dx
xx
xx
22
2
32
2
( )
ò ò
+
++
+
+
=
++
+
-
++
= C
xx
x
tgarcdx
xx
x
dx
xx )32(2
1
2
1
2
2
32
1
32
1
2222
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Calcular as integrais por decomposição em frações parciais: 
 
 
1) 
ò
- 42x
dx
 R.: C
x
x
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
2
2
ln
4
1
 
2) 
ò
-+
-+
dx
xxx
xx
32
9134
23
2R.: C
x
xx
+
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
3
)1(
ln
23
 
3) 
ò
-+
+
xxx
dxx
6
)1(
23
 R.: 
( )
( )
C
xx
x
+
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+×
-
15
2
6
1
10
3
3
2
ln 
4) 
ò
-+-
+-
485
)15175(
23
2
xxx
dxxx
 R.: [ ] C
x
xx +
-
---
2
1
)2()1(ln 23 
5) 
ò
++
+++
dx
xx
xxx
23
2
24
23
 R.: Cxxtgarc +++ )2ln(
2
1 2 
6) 
( )
ò
+
-+-+-
dx
x
xxxxx
32
2345
2
4844
 R.: C
x
x
tgarcx +
+
--+
22
2
)2(
1
22
2
)2ln(
2
1
 
 
 
Integrações Trigonométricas 
 
Usaremos as seguintes identidades trigonométricas no cálculo das próximas 
integrais. 
 
1) 1cos22 =+ xxsen 
 
2) xxtg 22 sec1 =+ 
 
3) xxg 22 seccoscot1 =+ 
 
4) ( )xxsen 2cos1
2
12
-= 
 
5) ( )xx 2cos1
2
1
cos2 += 
 
6) xsenxxsen 2
2
1
cos =× 
 
7) [ ])()(
2
1
cos yxsenyxsenyxsen ++-=× 
 
 
8) [ ])cos()cos(
2
1
yxyxysenxsen +--=× 
 
9) [ ])cos()cos(
2
1
coscos yxyxyx ++-=× 
 
10) 
2
2cos1 2
x
senx =- 
 
11) 
2
cos2cos1 2
x
x =+ 
 
12) 
÷
ø
ö
ç
è
æ
-±=± xxsen
2
cos11
p
 
 
 
I) Senos e Cossenos 
 
Exemplos 
 
Resolver as integrais 
 
1) 
ò ò ò ò ò ò
=×-=-=-= dxxdxdxxdxxdxxdxsen 22cos
4
1
2
1
2cos
2
1
2
1
)2cos1(
2
12 
 Cxsenx +-= 2
4
1
2
1
 
 
2) 
ò ò ò ò ò ò
=+=+=+= dxxdxdxxdxdxxdxx 66cos
12
1
2
1
6cos
2
1
2
1
)6cos1(
2
1
3cos2 
 Cxsenx ++= 6
12
1
2
1
 
 
3) 
ò ò ò ò ò
=-=-== xdxsenxxdxsenxdxsenxxdxsenxsenxdxsen 2223 cos)cos1( 
 C
x
xC
x
x ++-=+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
--=
+
3
cos
cos
12
cos
cos
312
 
 
4) 
ò ò ò ò
=+-=-== xdxxsenxsenxdxxsenxdxxxdx cos)21(cos)1(coscoscos 422245 
 
ò ò ò
=+-= xdxxsenxdxxsendx coscos2cos 42 C
xsenxsen
xsen ++-
53
2
53
 
 
5) 
ò ò ò
=== xdxxxsenxdxxsenxdxxsen coscoscoscos 223232 
 
ò ò ò
=-=-= xdxxsenxdxxsenxdxxsenxsen coscoscos)1( 4222 C
xsenxsen
+-
53
53
 
 
 
6) 
ò òò
=-== xdxsenxxdxxsenxsenxdxxsenx 2)2cos1(2cos222cos22cos 242434 
 
òò
++-=-= Cxxdxxsenxxdxsenx 2cos
14
1
2cos
10
1
22cos22cos 7564 
 
Exercícios 
 
Resolver as integrais 
 
1) 
ò
dxxxsen 3cos3 53 R.: Cxsenxsenxsen ++- 3
24
1
3
9
1
3
12
1 864 
 
2) dxx
ò
2cos C
xsenx
++
4
2
2
 
 
3) dxxsen
ò
4 C
xsenxsenx
++-
32
4
4
2
8
3
 
 
4) 
ò
dxxxsen 22 cos C
xsenx
+-
32
4
8
 
 
5) 
ò
dxxxsen 3cos3 24 Cxsenxsenx +-- 6
144
1
12
192
1
16
1 3 
6) 
ò
dxxsenxsen 23 C
xsenxsen
+-
10
5
2
 
 
 
II) Tangentes, Secantes, Cotangentes e Cossecantes 
 
Exemplos 
 
Resolver as integrais 
 
1) 
ò ò ò ò ò
=-=-== dxxtgxdxxtgdxxxtgdxxtgxtgdxxtg 22222224 sec)1(sec 
 
ò ò
++-=--= Cxxtgxtgdxxdxxxtg 3222
3
1
)1(secsec 
 
2)
ò ò
=+== dxxtgxdxxxdxx )21(2sec2sec2sec2sec 22224 
Cxtgxtgdxxxtgdxx ++=+=
ò ò
2
6
1
2
2
1
2sec22sec 2222 
 
3) 
ò ò
++-=-= C
xxg
dxxxgdxxg
2
)2secln(cos
4
2cot
)12sec(cos2cot2cot
2
23 
 
 
4) 
ò ò
=+= xdxgxdxx 2226 )cot1(seccosseccos 
 
ò òò
=++= dxxxgxdxxgdxx 24222 seccoscotseccoscot2seccos 
 C
xgxg
xg +---=
5
cot
3
cot2
cot
53
 
 
5) 
òò
=×= xdxxgxxgxdxxg seccoscotseccoscotseccoscot 4253 
 
ò
=×-= dxxgxxx cotseccosseccos)1sec(cos 42 
 
ò ò
=-= dxxgxxdxxgxx cotseccosseccoscotseccosseccos 46 
 Cxx ++-= 57 seccos
5
1
seccos
7
1
 
 
 
Exercícios 
 
Resolver as integrais 
 
1) 
ò
dxxtg 5 R.: Cxxtgxtg ++- )ln(sec
2
1
4
1 24 
 
2) 
ò
dxxxtg 3sec3 43 Cxtgxtg ++ 3
18
1
3
12
1 64 
 
3) 
ò
dxxxtg 2sec2 33 Cxx +- 2sec
6
1
2sec
10
1 35 
 
4) 
ò
dxxg 3cot 4 Cxxgxg +++- 3cot
3
1
3cot
9
1 3 
 
5) 
ò
dxxxg 3seccos3cot 4 Cxgxg +-- 3cot
12
1
3cot
6
1 42 
 
 
 
 
Substituições Trigonométricas 
 
Um integrante que possui uma das seguintes formas: 222 uba - , 222 uba + e 
222 aub - e se não tem outro fator irracional , pode ser transformado, com o 
emprego de uma nova variável em outro integrante envolvendo funções 
trigonométricas. Em todos os casos, a integração resulta numa função em que a 
variável é z . A expressão correspondente pode ser obtida através de um 
triângulo retângulo como veremos a seguir: 
 
 
Exemplos 
 
Calcular as integrais 
 
1) 
ò
+
22 4 xx
dx
 
 
 
 
( ) ( )
ò ò ò ò ò
=====
+
dz
zsen
z
dz
z
zsen
z
dz
ztg
z
zztg
dzz
xx
dx
2
2
222
2
22
cos
4
1
cos
cos
1
4
1sec
4
1
sec22
sec2
4
 
 
òò
=+
+
-=+-=-=
-- C
x
x
C
zsen
zdzzsenzdzzsen
2
22
4
4
1
4
1
cos
4
1
cos
4
1
 
 C
x
x
+
+
-=
4
4 2
 
 
 
2) 
ò
-
dx
x
x
42
2
 
 
 
 
 
ò ò ò ò
===
-
dzzzzdzdzztgz
ztg
z
dx
x
x 23
2
2
2
secsec4sec4)sec2(
2
sec4
4
 
 
fazendo zdztgzudzu secsec =Þ= e ztgvdzzvd =Þ= 2sec , então 
 
 
ò ò òò
=-=-==
-
]sec[sec4]sec[sec4sec4
4
23
2
2
dzztgzztgzzdztgzztgztgzzdz
x
x
 
 
ò ò ò
+-=--= dzzzdzztgzzdzzztgz sec4sec4sec4])1(secsec[sec4 32 
 
2 
x 
ztgzzx
dzztgzdxz
z
x
2)1(sec44sec44
sec2sec2
cos
2
222
=-=-=-
=Þ==
 
z 
x 
2 
24 x+ 
zzztgztgx
dzzdxztgx
sec2)(sec4)1(4444
sec22
2222
2
==+=+=+
=Þ=
 
z 
42 -x 
 
ò ò ò ò ò
+=Þ+-= zdzztgzzdzzdzzdzztgzzdz sec4sec4sec8sec4sec4sec4sec4 333
 
 
ò
+++= Cztgzztgzzdz )ln(sec4sec4sec8 3 
 Cztgzztgzdzz +++=
ò
)]ln(sec[sec
2
1
sec3 
òò
+++==
-
Cztgzztgzdzzdx
x
x
)]ln(sec[sec2sec4
4
3
2
2
 
 
ò
=+
-
++
-
××=+++=
-
C
xxxx
Cztgzztgz
x
x
)
2
4
2
ln(2
2
4
2
2)ln(sec2sec2
4
22
2
2
 
 
 C
xxxx
+
-+
+
-
=
2
4
ln2
2
4 22
 
 
 
3) 
ò
-
dx
x
x 249
 
 
 
ò
-
dx
x
x 249
ò ò ò
=
-
=== zd
zsen
zsen
zd
zsen
z
zdz
zsen
z 22 1
3
cos
3)cos
2
3
(
2
3
cos3
 
 
ò ò ò
=-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
- zdzsenzdzdzzsen
zsen
3seccos3
1
3 
 Cx
x
x
Czzgz +-+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
--
=++-=
2
2
49
2
493
ln3cos3)cotsec(cosln3 
 
 
Exercícios 
 
Calcular as integrais 
 
1) 
ò
+
249 xx
dx
 R.: C
x
x
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+
2
349
ln
3
1 2
 
 
2) dx
x
x
ò
-
6
32 )916(
 C
x
x
+
-
×-
5
52 )916(
80
1
 
z 
3 x2 
249x- 
zzsenx
zdzxdzsenx
cos3
4
9
4949
cos
2
3
2
3
22
=×-=-
=Þ=
 
 
 
3) 
ò ò
--
=
-
2
2
2
2
)1(12 x
xdx
xx
xdx
 Cxxxxsenarc +-+-- 22)3(
2
1
)1(
2
3
 
 
4) 
ò ò
--
=
+-
3232 ]9)3(4[)27244( x
xd
xx
dx
 C
xx
x
+
+-
-
-
27244
3
9
1
2
 
 
 
Integração de Funções Hiperbólicas 
 
Fórmulas 
 
1) 
ò
+= Cduuduuhsen cosh 
 
2) 
ò
+= Cusenhduucosh 
 
3) 
ò
+= Cuduutgh coshln 
 
4) 
ò
+= Cusenhduugh lncot 
 
5) 
ò
+= Cutghduuh2sec 
 
6) 
ò
+-= Cughduuh cotseccos 2 
 
7) Cuhduutghuh +-=
ò
secsec 
 
8) 
ò
+-= Cuhduughuech seccoscotcos 
 
9) 
ò
+=
+
- C
a
u
senh
au
du 1
22
 
 
10) ,cosh 1
22
C
a
u
au
du
+=
-
-
ò
 se 0>> au 
 
11) ,
1 1
22
C
a
u
tgh
aua
du
+=
-
-
ò
 se 22 au < 
 
12) ,cot
1 1
22
C
a
u
gh
aau
du
+-=
-
-
ò
 se 22 au > 
 
 
 
 
Exemplos 
 
Calcular as integrais 
 
1) 
ò ò
+== C
xdxx
senhdx
x
senh
2
cosh2
22
2
2
 
 
2) 
ò ò
+=×= C
x
dx
x
tghdx
x
tgh
3
2
coshln
2
3
3
2
3
2
2
3
3
2
 
 
3) 
ò
+=
+
- C
x
senh
x
dx
24
1
2
 
 
 
Exercícios 
 
Calcular as integrais 
 
1) 
ò
dxx2cosh R.: Cxsenh +2
2
1
 
 
2) 
ò
- dxxh )12(sec 2 Cxtgh +- )12(
2
1
 
 
3) 
ò
dxxghxh 3cot3seccos Cxh +- 3seccos
3
1
 
 
4) 
ò
dxxe x cosh Cxe x ++
2
1
4
1 2 
 
5) 
ò
-
291 x
dx
 Cxtgh +- 3
3
1 1 
 
 
 
 
Integral Definida 
 
Teorema Fundamental do Calculo Integral: Se f é uma função contínua no 
intervalo [ ]ba, e se F é uma primitiva de f neste intervalo, então: 
 
 
 
 
[ ] )()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
-==
ò
 
 
Propriedades da Integral Definida 
 
1) 
ò
=
a
a
xdxf 0)( 
 
2) 
ò ò
-=
b
a
a
b
xdxfxdxf )()( 
 
3) 
ò ò ò
+=
b
a
c
a
b
c
xdxfxdxfxdxf )()()()( , sendo .bca << 
 
4) 
ò
>>
b
a
xfsexdxf 0)(0)( para todos os valores de [ ]bax ,Î . 
 
5) 
ò
<<
b
a
xfsexdxf 0)(0)( para todos os valores de [ ]bax ,Î . 
 
 
Exemplos 
 
Calcular as integrais definidas. 
 
1) 4
2
8
2
1
2
9
2
1
2
3
2
22
3
1
23
1
==-=-=
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ò
x
dxx 
2) [ ] 1010
2
cos 2
0
2
0
=-=-==
ò
sensentsendtt
p
p
p
 
3)
12
1
1
3
4
4
1
0
3
0
4
4
0
1
3
1
4
4
1
3
4
4
)14(
3434
1
0
341
0
23
-=+-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+--+-=
ú
û
ù
ê
ë
é
+-=+-
ò
x
xx
dxxx 
 
Exercícios 
 
Calcular as integrais definidas. 
 
1) 
ò
+
1
0
2 1x
xdx
 R.: 2ln
2
1
 
2) 
ò
-
+
2
1
3 )1( dxxx R.: 
10
81
 
3) 
ò
-
+-
0
3
2 )74( dxxx R.: 48 
 
4) 
ò
+
1
0 13y
dy
 R.: 
3
2
 
5) 
ò
-
-
3
2
2
1
1
dx
x
x
 R.: 
2
7
 
6) 
ò
+-
3
1
2
23 542
dx
x
xx
 R.: 
3
10
 
 
 
Cálculo de Áreas por Integral 
 
1º. Caso: Região entre o gráfico da função e o eixo das abscissas 
 
Exemplos 
 
1) Calcular a área limitada pela curva de equação 2xy = , o eixo dos x , e as 
ordenadas de 0=x e 3=x . 
 
Solução 
 
 
x 
y 
O 
)(xfy = 
A 
a b 
 Se )(xf é integrável e 
0)( ³xf para todo [ ]bax ,Î , 
então a área da região 
delimitada pelo gráfico de f , 
pelo eixo das abscissas e 
pelas retas ax = e bx = é: 
 
 
 
 
ò
=
b
a
dxxfA )( 
Gráfico 
2xy = 
0 3 x 
y 
..909
3
0
3
3
3
)(
33
3
0
33
0
2
auA
x
dxxdxxfA
b
a
=-=-=
ú
û
ù
ê
ë
é
===
òò
 
 
 
2) Calcular a área limitada pela curva xy cos= , o eixo das abscissas, e as 
ordenadas de 0=x e p=x . 
 
Solução
 
 
Observação: Quando calculamos a área devemos sempre calcular separadas as 
áreas das regiões abaixo e acima do eixo das abscissas. Se tivéssemos calculado 
sem a separação obteríamos área igual a zero. 
 
 
2º. Caso: Região entre o gráfico da função e o eixo das ordenadas 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
O 
2
3p
 
2
p
 
1 
1-
 
xy cos= 
p 
p2 
[ ]
[ ]
..211
..11
110
2
cos)(
..1010
2
cos)(
21
2
2
22
2
2
0
2
00
1
2
auAAA
auA
sensensenx
xdxdxxfA
ausensensenx
dxxdxxfA
=+=+=
=-=
-=-=-==
===
=-=-==
===
òò
òò
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
 
A área que aparece negativa 
corresponde a região cujo gráfico esta 
abaixo do eixo das abscissas. No 
cálculo de áreas devemos considerar 
sempre o valor positivo 
 
A 
a 
b 
)(ygx = 
x O 
Se )(yg é integrável e )(yg 
está a direita do eixo das 
ordenadas para todo [ ]bay ,Î , 
então a área da região 
delimitada pelo gráfico de g , 
pelo eixo das ordenadas e pelas 
retas ay = e by = é: 
 
 
 
 
 
ò
=
b
a
ydygA )( 
y 
 
Exemplos 
 
1) Calcular a área limitada pela parábola 228 yyx -+= , o eixo dos y e as retas 
1-=y e .3=y 
 
Observação: Se 
ò
=
b
a
ydygA )( for negativa, a área calculada está situada à 
esquerda do eixo das ordenadas. 
 
 
2) Calcule a área limitada pela curva 23 -= xy , pelo eixo dos y e pelas retas 
3-=y e 2=y 
 
 
 
 
1- 
3 
ò
-
-
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-+=-+=
3
1
3
1
3
22
3
8)28(
y
yyydyyA 
 
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
--+-×--+×=
3
)1(
)1()1(8
3
3
338
3
2
3
2 
 =
ú
û
ù
ê
ë
é
+--=
ú
û
ù
ê
ë
é
++---+=
3
1
724
3
1
189924 
 ..
3
92
3
193
3
1
31
3
1
724 au=
-
=-=-+=
 
x 
y 
O 
3- 
2 
23 -= xy 
x 
y 
33 22 +=Þ-= yxxy 
2
3
3
4
2
3
1
3
1
3
1
2
3
1
3
4
)2(
1
3
1
)2(
)2(
-
-
-
-
+
-
-
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
+
=+=
ò
yy
dyyA 
ú
û
ù
ê
ë
é
+--+=
ú
û
ù
ê
ë
é
+=+=
-=
ú
û
ù
ê
ë
é
--=
ú
û
ù
ê
ë
é
+--+-=
-
-
ò
3
4
3
4
2
2
3
42
2
3
1
2
3
4
3
4
3
4
1
)22()22(
4
3
)2(
4
3
)2(
..
4
3
)1(0
4
3
)23()22(
4
3
ydyyA
auA
 
..
4
4123
43
4
3
..4344
4
3
4
4
3
)4(
4
3
3
3
21
333 43
4
2
auAAAauA
+
=+=+=
×=×==
ú
û
ù
ê
ë
é
=
 
2- 
 
Exercícios 
 
1) Calcular a área da região situada acima do eixo dos x e sob a parábola de 
equação .4 2xxy -= R.: ..
3
32
au 
2) Calcular a área da região limitada pela parábola ,67)( 2 +-= xxxf o eixo 
dos x e as retas 2=x e 6=x . R.: ..
3
56
au 
3) Calcular a área da superfície limitada pela curva xxxy 86 23 +-= e pelo eixo 
dos x . R.: ..8 au 
4) Calcule a área da superfície limitada pela curva 782 -+-= xxy , pelo eixo 
dos x e pelas retas 5=x e 8=x . R.: ..
3
38
au 
5) Calcule a área da superfície limitada pela curva 42 -= xy , pelo eixo dos x e 
pelas retas 0=x e 2=x . R.: ..
3
16
au 
 
6) Calcule a área da superfície limitada pela curva 23 yyx -= e pela reta .0=x 
 R.: ..
2
9
au 
7) Calcule a área da superfície limitada pela curva xy ln= e pelas retas 0=y e 
.4=x R.: ..32ln8 au- 
 
3º. Caso: Região entre dois gráficos 
 
 
Exemplos 
 
1) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos das equações 2xy = e 
xy = . 
)(xf 
)(xg 
a b x 
y 
O 
Teorema: Se f e g são funções 
contínuas e )()( xgxf ³ para 
todo [ ]bax ,Î então a área da 
região delimitada pelos gráficos 
de f , g , ax = e bx = é: 
 
 
[ ]dxxgxfA
b
a
ò
-= )()( 
 
Solução 
 
Pontos de Interseção 
 
î
í
ì
=
=
Þ=-Þ=-Þ=Þ=
1
0
0)1(0
2
13442
x
x
xxxxxxxx 
 
 
2) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de 62 +-= xy e 
32 +-= xy . 
 
Solução 
 
Pontos de Interseção: 
 
î
í
ì
=
-=
Þ=--Þ+-=+-
3
1
032632
2
122
x
x
xxxx 
 
 
 
 
y 
x O 1 
1 
2xy = 
xy = 
Gráfico 
[ ] [ ]
..
3
1
3
1
3
2
3
)1(
)1(
3
2
33
2
)()(
3
2
3
1
0
3
2
31
0
22
1
1
0
2
auA
x
xdxxxA
dxxxdxxgxfA
b
a
=-=-=
ú
û
ù
ê
ë
é
-=
ú
û
ù
ê
ë
é
-=
-=-=
ò
òò
 
1- 
3 
y 
x 
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
..
3
32
3
2
2
3
32326
)32(6)()(
3
1
23
2
3
1
2
3
1
2
aux
xx
A
dxxxdxxxA
dxxxdxxgxfA
b
a
=
ú
û
ù
ê
ë
é
++-=
++-=-++-=
+--+-=-=
-
-
-
òò
òò
 
Gráfico 
 
Exercícios 
 
1) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de 2xy = e xy 4= . 
 R.: ..
3
32
au 
2) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de 3+-= xy e 32 +-= xy . 
 R.: ..
6
1
au 
 
3) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de 5=y e 12 += xy . 
 R.: ..
3
32
au 
4) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de 26 xxy -= e xxy 22 -= . 
 R.: ..
3
64
au 
 
5) Calcular a área da região delimitada pelos gráficos de 3xy = e 2xy = . 
 R.: ..
12
1
au 
 
6) Determinar o valor de m tal que a área limitada pela reta 2+= mxy e pela 
parábola 232 +-= xxy seja de ..36 au 
 R.: 3=m 
 
7) Encontre a área da região limitada pelas curvas ,6=- xy 03 =- xy e 
02 =+ xy . 
 R.: ..22 au 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comprimento de Arco 
 
 
 
 
O Comprimento do arco AB é dado por: 
 
 
 
 
Exemplos 
 
1) Calcular o comprimento do arco da curva 2
3
xy = , de 0=x a .5=x 
 
Solução 
 
2
1
2
3
x
xd
yd
=
 e xx
xd
yd
4
9
1
2
3
11
2
2
12
+=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+ , então 
ò
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
b
a
xd
xd
yd
l
2
1 
ò òò
=
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=+=
5
0
5
0
5
0
2
3
2
1
2
1
5
0
..
27
335
2
3
4
9
1
9
4
4
9
4
9
1
9
4
4
9
1
4
9
1 cu
x
xdxxdxdxxl 
 
2) Calcular o comprimento do arco de equação 13 2
3
-= yx , de 0=y a .4=y 
 
Solução 
),( caA 
),( dbB 
Sejam ),( caA e ),( dbB 
dois pontos da curva da 
função 0),( =yxF , dada ao 
lado. 
0),( =yxF 
x 
y 
O b a 
ò ò ò
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+==
AB
b
a
d
c
dy
yd
xd
dx
xd
yd
ldl
22
11 
 
2
1
2
9
y
yd
xd
=
 e y
yd
xd
4
81
11
2
+=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+ , então dy
yd
xd
l
d
c
ò
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
2
1 
( )
ò òò
-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=+=
4
0
4
0
2
1
2
1
4
0
..18282
243
8
4
81
4
81
1
81
4
4
81
1
4
81
1 cuydyydydyyl 
 
 
Exercícios 
 
1) Calcular o comprimento do arco da curva 4824 4 += xyx , de 2=x a .4=x 
 R.: ..
6
17
cu 
2) Calcular o comprimento do arco da curva 
2
4
4
1
8 x
x
y += , de 1=x a .4=x 
 R.: ..
64
2055
cu 
3) Calcular o comprimento da curva dada por 42
3
-= xy de ( )3,1 -A até ( ).4,4B 
 R.: ..
27
13131080
cu
-
 
4) Calcular o comprimento do arco da curva ,1
6
1
2
1 3
-+=
y
yx no intervalo 
.31 ££ y R.: ..
9
118
cu 
5) Calcular o comprimento do arco dado por ,
8
1
4 2
4
x
x
y += no intervalo .21 ££ x 
 R.: ..
32
123
cu 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de Áreas de Superfícies de Revolução por Integral 
 
 
· Superfície obtida em torno do eixo .x 
 
 
 
 
· Superfície obtida em torno do eixo .y 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular a área da superfície gerada pela revolução em torno do eixo dos x do 
arco da parábola xy 22 = , de 0=x a .3=x 
 
Solução 
 
x 
y 
O 
0),( =yxF 
c 
d 
Se ),( caA e ),( dbB são dois pontos 
da curva 0),( =yxF , a área da superfície 
gerada pela revolução do arco AB em 
torno do eixo dos y é: 
 
 
ò ò
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
d
c
d
c
dy
dy
dx
xxddx
dy
xA
22
1212 pp 
A 
B 
a
 
b
 
y
 
x
 
O
 
0),( =yxF 
Se ),( caA e ),( dbB são dois pontos da curva 
0),( =yxF , a área da superfície gerada pela 
revolução do arco AB em torno do eixo dos 
x é: 
 
 
 
dy
dy
dx
ydx
dx
dy
yA
d
c
b
a
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
òò
22
1212 pp 
A 
B 
 
 
 
 
2) Calcule a área da superfície gerada pela revolução, ao redor do eixo ,y do arco 
da curva 3 xy = de 0=y a 1=y . 
 
 
 
 
 
y 
x O 
( )6,3 
ò
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
3
0
2
12 dx
dx
dy
yA p 
xxdx
dy
xyxy
2
1
22
2
222 ==Þ=Þ=
dxxdx
x
x
xA
x
x
xxdx
dy
×+=×
+
×=
+
=+=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
òò
3
0
3
0
22
122
2
12
22
2
12
2
1
1
2
1
11
pp
( ) ..17
3
2
2
3
)12(
2)12(
2
1
2)12(2
3
3
0
2
3
3
0
2
13
0
2
1
au
x
A
dxxdxxA
-=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
=
×+×=×+=
òò
pp
pp
 
x 
y 
( )1,1 
33 yxxy =Þ= 
( )
422
2
2
91311
3
yy
dy
dx
y
dy
dx
+=+=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
 
( )
( )
( )
( ) ..110
27
2
3
91
18
3691
36
2
912
912
12
3
1
0
2
3
4
3
1
0
2
1
4
3
2
1
1
0
4
1
0
43
1
0
2
au
y
A
dyyyA
dyyyA
dyyyA
dy
dy
dx
xA
-=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
=
×+=
×+=
×+=
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
ò
ò
ò
ò
pp
p
p
p
p
 
 
Exercícios: 
 
1) Calcular a área da superfície gerada pela revolução em torno do eixo dos x do 
arco ,ln242 yxy =+ de 1=y a .3=y R.: ..
3
32
au
p
 
 
2) Calcule a área da superfície gerada pela revolução ao redor do eixo ,y do arco 
da curva 2xy = , de 0=y a .2=y R.: ..
3
13
au
p
 
 
3) Calcular a área da superfície gerada pela revolução ao redor do eixo x , do 
arco da curva cujas equações paramétricas são 
î
í
ì
+=
=
tx
ty
24
2
 de 0=t a .2=t 
 
 R.: ..216 aup 
4) Calcular a área da superfície, gerada pela revolução ao redor do eixo ,y do 
arco da curva 1-= xy , de 0=y a .2=y R.: ..28 aup 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de Volumes por Integral 
 
 
· Sólido obtido em torno do eixo .x 
 
 
 
 
 
 
 
 
· Sólido obtido em torno do eixo .y 
 
 
 
Exemplo 
 
A região delimitada pelo eixo x , pelo gráfico da equação 12 += xy e pelas retas 
1-=x e 1=x gira em torno do eixo x . Determine o volume do sólido resultante. 
 
R 
a b 
y 
x
O 
)(xfy = 
Seja a função f contínua em [ ]ba, e 
seja R, a região delimitada pelo 
gráfico de f , pelo eixo x , e pelas 
retas verticais ax = e bx = . O 
volume V do sólido de revolução 
gerado pela revolução da região R 
em torno do eixo x é: 
 
 
 
[ ]
ò
=
b
a
dxxfV
2
)(p 
R 
x 
y 
O 
)(ygx = 
c 
d Seja a região R girar em 
torno do eixo y , então neste 
caso teremos: 
 
 
[ ]
ò
=
d
c
ydygV 2)(p 
 
Solução 
 
Exercícios 
 
1) A região delimitada pelo eixo x , pelo gráfico da equação 
x
y
1
= e pelas retas 
1=x e 3=x , gira em torno do eixo x . Determine o volume do sólido resultante. 
R.: ..
3
2
au
p
 
2) A região delimitada pelo eixo x , pelo gráfico da equação xxy 42 -= gira em 
torno do eixo x . Determine o volume do sólido resultante. R.: ..
15
512
vu
p
 
3) A região delimitada pelo eixo x , pelo gráfico da equação 3xy = e pela reta 
2-=x , gira em torno do eixo x . Determine o volume do sólido resultante. 
 R.: ..
7
128
vu
p
 
4) A região delimitada pelo eixo x , pelo gráfico da equação 12 -= xy e pelas 
retas 0=x e 4=x , gira em torno do eixo x . Determine o volume do sólido 
resultante. R.: ..
3
172
vu
p
 
5) A região delimitada pela curva 2
4
1
xy = , o eixo x e as retas 1=x e 4=x , gira 
em torno do eixo x . Encontrar o volume do sólido de revolução resultante. 
 R.: ..
80
1023
vu
p
 
 
6) A região delimitada pela curva yx = , o eixo y e as retas 1=y e 4=y , gira 
em torno do eixo y . Determinar o volume do sólido resultante. 
 R.: ..
2
15
vu
p
 
R 
1- 1 
2xy = +1 y 
x 
Gráfico 
[ ]
[ ]
..
15
56
15
30206
2
3
4
5
2
1
3
2
5
1
1
3
2
5
1
3
2
5
12
1
1
1
35
1
1
24
1
1
22
vuV
V
V
x
xx
V
dxxxV
dxxV
p
pp
p
p
p
p
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
++
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
++=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
----
÷
ø
ö
ç
è
æ
++=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++=
++=
+=
-
-
-
ò
ò
 
 
Trabalho 
 
Trabalho de Força Constante 
 
Se aplicarmos uma força constante F num objeto deslocando-o numa 
determinada distância d , o trabalho W , será calculado por: 
 
 
 
Trabalho de Força Variável 
 
Suponhamos que um objeto se desloca sobre um eixo ,x e esteja sujeito a uma 
força variável ),(xFF = sendo )(xF contínua em ].,[ ba O trabalho realizado pela 
força F deslocando um objeto de ax = até bx = , com ba < será: 
 
 
 
Exemplos 
 
1) Uma criança utiliza uma força NewtonsxsenxF 25120)( += para rolar uma 
pedra .metrosx Quanto trabalho deve a criança realizar para fazer a pedra rolar 
.2 metros 
 
Solução 
 
Como a criança vai rolar a pedra por m2 , consideraremos o intervalo de 0=x 
até .2=x Portanto: 
 
( ) [ ]
2
0
2
0
2
0
cos2512025120)( xxxdxsenxdxfW -=+==
òò
 
[ ] )0cos(250)2(cos25240)0cos(25)0(120)2(cos25)2(120 +--=---=W 
JoulesmNW
W
)2cos(25265)2cos(25265
25)2cos(25240)1(25)2cos(25240
-=×-=
=+-=+-=
 
 
 
2) Um balde pesa N5 e contém argila cujo peso é .30 N O balde está no 
extremo inferior de uma corrente com m50 de comprimento, que pesa N5 e está 
no fundo de um poço. Encontrar o trabalho necessário para suspender o balde até 
a borda do poço. 
 
Solução 
Peso da corrente: ./1,0/
50
5
)( mNxmNxxP == 
dFW ×= 
ò
=
b
a
xdxFW )( 
 
 
Peso do conjunto: xxF 1,0305)( ++= , onde x varia de 0 até .50 m 
 
Então o trabalho será: 
 
2
50
1,0)50(35
2
1,035)1,035()(
2
50
0
250
0
50
0
×+=
ú
û
ù
ê
ë
é
+=+==
òò
x
xxdxxdxFW 
JmNW 187518751251750
2
25001,0
1750 =×=+=
×
+= 
Exercícios 
 
1) Se uma bola de ferro é atraída por um imã com uma força de N
x
F
2
15
= quando 
a bola está metrosx do imã, calcule o trabalho realizado para empurrá-la no 
sentido contrário ao do imã de um ponto onde 2=x a um ponto onde .6=x 
 R.:J5 
 
2) Um elevador que pesa N300 acha-se suspenso por um cabo de m12 de 
comprimento pesando N15 por metro linear. Determinar o trabalho necessário 
para elevá-lo ,10 m enrolando-se o cabo numa roldana. R.: J4050 
 
3) Um cabo de m10 de comprimento, pesando N2 por metro linear está 
suspenso verticalmente num poço. Se um balde de N50 prende-se ao extremo 
inferior do cabo, determinar o trabalho realizado na suspensão do balde até a 
borda do poço. R.: J600 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lei de Hooke 
 
A força )(xf necessária para distender ou comprimir uma mola x unidades de 
comprimento além de seu tamanho natural é dada por: 
 
 
Onde k é uma constante denominada constante da mola. 
 
 
Trabalho Realizado por uma Mola 
 
 
 
 
O trabalho realizado para que a mola se distenda de um ponto inicial 1x até um 
ponto final 2x é dada por: 
 
 
 
Observação: A fórmula acima também pode ser usada para a compressão de 
molas. 
 
tamanho 
natural 
O 1x 2x 
ÞO Origem 
1x Þ Distância do ponto inicial à origem. 
2x Þ Distância do ponto final à origem. 
xkxF =)( 
tamanho 
natural x u.c. 
distensão 
ò ò
==
2
1
2
1
)(
x
x
x
x
xdxkxdxFW 
 
Exemplo 
 
Uma mola tem um comprimento natural de .5,0 m Uma força de N4 é exigida 
para conservar a mola esticada mais .6,0 m Calcular o trabalho realizado para que 
a mola se estenda de seu comprimento natural até um comprimento de .2,1 m 
 
Solução 
 
Pela lei de Hooke: 
 
xxFkkkFxkxF
3
20
)(
3
20
6,0
4
46,0)6,0()( =Þ=Þ=Þ==Þ= 
 
Considerando que seu comprimento natural é m5,0 , teremos 01 =x e 
7,05,02,12 =-=x . 
 
O trabalho realizado será: 
 
ò ò
=×=×=
ú
û
ù
ê
ë
é
×===
2
1
63,1
2
49,0
3
20
2
)7,0(
3
20
23
20
3
20
)(
2
7,0
0
7,0
0
2x
x
J
x
xdxxdxFW 
 
Exercícios 
 
1) Uma mola tem o comprimento natural de .2 m Se uma força de N5 a estica 
,50 cm determinar o trabalho realizado no estiramento. R.: J25,1 
 
2) Uma mola mede m6 . Se uma força de N12 a comprime para ,5,5 m 
determinar o trabalho necessário para comprimi-la do tamanho natural até .5 m 
 R.: J12 
 
3) Exige-se uma força de N9 para distender até m8 , uma mola cujo 
comprimento natural é .6 m Determinar: 
a) o trabalho realizado para distender a mola até um comprimento de .10 m 
 R.: J36 
b) o trabalho realizado ao distender a mola de um comprimento de m7 até um 
comprimento de .9 m 
 R.: J18 
 
4) Uma mola tem comprimento natural de cm25 e uma força de N54 estica-a 
.5,1 cm Calcule o trabalho realizado para esticar a mola de cm25 a .45 cm 
 R.: J72 
 
5) Uma mola tem comprimento natural de .10 m Sob um peso de ,5 N ela se 
distende .3m 
 
a) Determinar o trabalho realizado para distender a mola de seu comprimento 
natural até .25 m 
b) Determinar o trabalho realizado para distender a mola de m11 a .21m 
 R.: a) J5,187 , b) J100 
 
6) Uma mola de comprimento normal igual a m5,1 exige uma força de N6 para 
manter um estiramento de .30 cm Determinar o trabalho realizado para alongá-la 
de seu comprimento natural até .2 m 
 R.: J5,2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Peso Específico 
 
O Peso Específico w de uma substância é a razão entre seu peso P e seu 
volume V . 
 
Portanto: 
 
 
 
Pressão Sobre Uma Superfície 
 
A Pressão p sobre uma superfície é a razão entre a força F que atua 
perpendicularmente sobre a superfície e a área A desta superfície. 
 
Em símbolos: 
 
 
 
 
Pressão Sobre Uma Superfície Plana Horizontal Imersa 
 
Numa superfície plana horizontal imersa em um líquido, com profundidade h , a 
força que atua nesta superfície é o peso P do líquido sobre a chapa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V
P
w = (1) 
A
F
p = (2) 
P h 
Da igualdade (2) acima temos 
A
P
p = , 
mas wVP
V
P
w =Þ= . 
Então 
A
wV
p = , mas sendo AhV = , 
 
Teremos: 
 
whp = (3) 
 
Força Sobre Uma Superfície Vertical Imersa 
 
A pressão exercida por um fluido num ponto imerso em seu interior é igual em 
todas as direções. Se considerarmos uma superfície plana vertical imersa em um 
líquido, a medida que aumenta a profundidade, aumenta a pressão nesta 
superfície e por conseguinte aumenta também a força que age sobre ela, portanto 
a força não é constante. 
 
 
 
 
 
Se associarmos o sistema cartesiano a figura acima podemos escrever a fórmula 
anterior em função de x e .y Para isto faremos: yh = , )(yfl = e dyyh =D=D e 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
hD 
l 
h 
a 
b 
Igualando-se as relações (2) e 
(3) do item anterior, teremos: 
whAFhw
A
F
=Þ= . Se numa 
placa plana vertical imersa 
conforme figura, considerarmos 
um retângulo elementar com 
altura hD , largura l e 
profundidade h , teremos no 
retângulo elementar a força: 
ÞD××=D AhwF hlhwF D×××=D . 
 
Na placa a força será dada por 
ò
=
b
a
dhlhwF 
Onde a e b são os lados da 
placa com a menor e maior 
profundidade. 
 
 
Nível do líquido x 
y 
O 
ò
=
b
a
dyyfywF )( 
 
Exemplos 
 
1) Uma chapa que tem a forma de um triângulo retângulo isósceles esta 
submersa verticalmente em um tanque com óleo conforme figura. Se cada cateto 
do triangulo mede m1 e o peso específico do óleo é 3/50 mN , determine a força 
causada pela pressão do óleo sobre uma das faces da chapa. 
 
 
 
 
 
 
2) Uma chapa retangular é submersa verticalmente num líquido cujo peso 
específico é 3/40 mN , sendo que um dos lados da chapa coincide com o nível do 
líquido. Se o comprimento da chapa mede m1 e a altura cm50 , determinar a 
força causada pela pressão do líquido sobre uma das faces da chapa. 
 
 
 
 
Nível do óleo x 
y 
yD 
A função que nos dá a forma da 
chapa é: 1)(1 =Þ= yfx . 
 
E a força sobre uma das faces é: 
ò
××=
5,0
0
)( dyyfywF
ò
=
5,0
0
)1(40 dyy 
5,0
0
5,0
0
2
2
40(40
ò
ú
û
ù
ê
ë
é
==
y
dyyF 
NF 525,020
2
25,0
40 =×=
÷
ø
ö
ç
è
æ
= 
1 
5,0 
Nível do óleo x 
y 
1 
1 
yD 
)(yf 
A função que nos dá a forma da 
chapa é 
yyfyx
yx
-=Þ-=Þ=+ 1)(11
11
. 
 
E a força sobre uma das faces é: 
ò
××=
1
0
)( dyyfywF
ò
-=
1
0
)1(50 dyyy 
1
0
1
0
32
2
32
50)(50
ò
ú
û
ù
ê
ë
é
-=-=
yy
dyyyF 
NF
3
25
6
50
6
23
50
3
1
2
1
50 ==
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
 
 
Exercícios 
 
1) Uma chapa triangular cujos lados medem memm 85,5 é mergulhada 
verticalmente em água com seu lado maior para cima, em posição horizontal, a 
m3 abaixo do nível. Calcular a força exercida pela água numa das faces da 
chapa sabendo que o peso específico da água é ./1 3cmgf R.: kgf000.48 
 
2) Calcular a força que age numa face de uma placa coma forma de um triângulo 
retângulo, mergulhado verticalmente num líquido que pesa 3/800 mkgf , cujos 
catetos medem m2 e m5 , e cujo lado menor é paralelo à superfície e está 
situado a m2 abaixo desta superfície. R.: kgf200.7 
 
3) Uma piscina retangular tem m10 de largura e m3 de profundidade. Calcular a 
força decorrente da pressão da água sobre essa parede vertical. R.: Nw45 
 
4) A face da comporta de uma represa é vertical e sua forma é um triângulo 
isósceles com m32 de largura na parte superior e m12 de altura. Se o nível da 
água está na metade da altura da barragem, calcular a força exercida pela 
pressão da água sobre a comporta. R.: Nw96 
 
5) As paredes externas de um tanque são placas semicirculares de raio m2 . 
Determinar a força causada pela pressão hidráulica sobre cada uma dessas 
paredes, se o tanque está cheio de óleo pesando 3/45 mN . R.: N240 
 
 
 
 
 
Centro de Gravidade ou Baricentro ou Centróide 
 
Em Física considera-se que a massa de um corpo homogêneo está concentrada 
num ponto chamado Centro de Gravidade. Numa figura plana seu Centro de 
Gravidade coincide com o seu centro geométrico. Vamos indicar o Centro de 
Gravidade ou Baricentro de uma figura plana por ).,( yxG 
 
Momento de Figura Plana 
 
O momento de uma figura plana em relação a um eixo e representado por eM , é 
igual ao produto da área da figura, pela distância de seu baricentro ao eixo. Se a 
figura for composta, o momento é a soma dos momentos das figuras 
componentes em relação ao eixo. 
 
Exemplos 
 
 
1) Na figura abaixo calcular: 
 
 
a) os momentos em relação aos eixos coordenados. 
b) as coordenadas do Baricentro, 
 
 
a) Momentos em Relação aos Eixos Coordenados 
 
606081240183458135 321 =Þ=++=×+×+×=×+×+×= xx MAAAM 
363616416281428212 321 =Þ=++=×+×+×=×+×+×= yy MAAAM 
 
 
 
 
b) Coordenadas do Baricentro 
 
 Área da Figura: 20848321 =++=++= AAAA 
 
3
20
60
6020
5
9
20
36
3620
=Þ=Þ=×Þ=×
=Þ=Þ=×Þ=×
yyyMyA
xxxMxA
x
y
 
÷
ø
ö
ç
è
æ
Þ 3,
5
9
G 
 
2) Calcular os momentos em relação aos eixos coordenados da figura plana 
limitada no 2º. quadrante pela curva de equação .92 -= yx 
 
x 
y 
2 4 
6 
4 
2 
O 
P 
Q 
R 
 
 
Baricentros dos Retângulos Componentes 
 
)1,2();3,1();5,2( RQP 
 
Áreas dos Retângulos Componentes 
 
824
422
824
3
2
1
=×=
=×=
=×=
A
A
A
 
 
 
O Momento da figura limitada no 2º. Quadrante em relação ao eixo x é dada por 
ò ò òò
ú
û
ù
ê
ë
é
--=--=--=-=×-×=
3
0
3
0
3
0
3
0
24
32
3
0
2
9
4
)9()9()(
yy
ydyyydyyydxyydxyM x 
4
81
4
16281
2
81
4
81
)0(
2
9
9
4
81
2
0
9
4
0
2
3
9
4
3 2424
=
-
-=
ú
û
ù
ê
ë
é
--=
ú
û
ù
ê
ë
é
-×--=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×--×--=xM 
 
 
O Momento da figura limitada no 2º. Quadrante em relação ao eixo y é dada por 
ò ò òò
+--=--=-=×-×=
3
0
3
0
3
0
24222
3
0
)8118(
2
1
)9(
2
1
2
1
)(
2
1
ydyyydyydxydxxM y 
ú
û
ù
ê
ë
é
+--=
ú
û
ù
ê
ë
é
-×+
×
--=
ú
û
ù
ê
ë
é
+--= 243162
5
243
2
1
)0(381
3
318
5
3
2
1
81
3
18
52
1 35
3
0
35
y
yy
M y 
5
324
5
648
2
1
5
405243
2
1
81
5
243
2
1
-=×-=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-=
ú
û
ù
ê
ë
é
+-=yM 
 
 
3) Calcular o Centro de Gravidade da área limitada no primeiro quadrante pela 
parábola .4 2xy -= 
 
x 
y 
O 
9- 
3 
yD 
x 
Seja o retângulo elementar de 
base x e altura yD com 
centro de gravidade no ponto 
÷
ø
ö
ç
è
æ
yx,
2
1
. Sendo y a variável 
livre, ao calcular a área à 
esquerda do eixo vertical o 
resultado será negativo, então 
devemos considerar a área do 
retângulo elementar igual a 
yx D×- ou dyx ×- pois 
ydy D= , 
),( yx 
92 -= yx 
 
 
 
A área limitada no primeiro quadrante será 
 
ò òò
=
-
=-=-×=
ú
û
ù
ê
ë
é
-=-===
2
0
2
0
3
2
0
3
2
2
0
3
16
3
824
3
8
8
3
2
24
3
4)4()(
x
xxdxxdyxdxfA 
 
O Momento da área em relação ao eixo x será 
 
ò òò
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+-=-==××=
2
0
2
0
532
0
222
2
0
15
128
53
8
16
2
1
)4(
2
1
2
1
2
1 xx
xxdxdxyxdyyM x 
 
O Momento da área em relação ao eixo y será 
 
ò ò ò
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-=-=-=××=
2
0
2
0
2
0
4
2
2
0
32 4
4
2)4()4(
x
xxdxxxdxxxdyxM y 
 
As coordenadas do Centro de Gravidade serão 
 
5
8
3
16
15
128
4
3
3
16
4
===
===
A
M
y
A
M
x
x
y
 
÷
ø
ö
ç
è
æ
Þ
5
8
,
4
3
G 
 
 
 
 
4) Calcular o centro de gravidade da área limitada no 1º. quadrante pela parábola 
2xy = e pela reta .xy = 
 
),( yx 
x 
y 
O 
xD 
y 
Seja o retângulo elementar de base 
xD e altura y com centro de gra- 
vidade no ponto 
÷
ø
ö
ç
è
æ
yx
2
1
, e de área 
.xy D× 
 
Sendo x a variável livre então 
.xdx D= 2 
24 xy -= 
2
1 xy = 
 
 
 
A área da figura limitada pelos dois gráficos é 
 
[ ] [ ] [ ]
6
1
3
1
2
1
32
)()(
1
0
321
0
2
1
0
12
1
0
=-=
ú
û
ù
ê
ë
é
-=-=-=-=
òòò
xx
xdxxxdyyxdxgxfA 
 
Os Momentos da figura são 
 
( )( ) ( )
ò ò
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-=-=-+=
1
0
1
0
1
0
53
4222
15
1
532
1
2
1
2
1 xx
xdxxxdxxxxM x 
 
( ) ( )
ò ò
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-=-=-=
1
0
1
0
1
0
43
322
12
1
43
xx
xdxxxdxxxM y 
 
As coordenadas do Centro de Gravidade são 
 
5
2
6
1
15
1
2
1
6
1
12
1
===
===
A
M
y
A
M
x
x
y
 
÷
ø
ö
ç
è
æ
Þ
5
2
,
2
1
G 
 
 
 
 
 
Exercicios 
 
xy =2 
xD 
)( 2xx - 
x 
y 
O 
O centro de gravidade do retângulo 
elementar é ( )
ú
û
ù
ê
ë
é
+
2
2
1
, xxx e a área 
deste retângulo é ( ).2xxx -D 
 
Sendo xdx D= 
)1,1( 
 
1) Determine os momentos em relação aos eixos dos x e dos y da área plana 
limitada pela curva ,42 += xy no 2º. Quadrante. R.: 
15
128
;4 -== yx MM 
 
2) Determine o baricentro da área limitada pela curva 
2
2x
y = e a reta .xy = 
 R.: 
÷
ø
ö
ç
è
æ
5
4
,1G 
 
3) Determine o Centro de Gravidade da área plana limitada pelos gráficos das 
equações ,3xy = 0=y e .1=x R.: 
÷
ø
ö
ç
è
æ
7
2
,
5
4
G 
 
4) Determine o Baricentro da área plana delimitada pelos gráficos de 24 xy -= e 
.0=y R.: 
÷
ø
ö
ç
è
æ
5
8
,0G 
 
5) Determine Centróide da área delimitada pelos gráficos de xy =2 e .2 xy = 
 R.: 
÷
ø
ö
ç
è