Lista Teoria dos Números para OBM/Cone Sul

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Lista de TN (pre´ carnaval)
Treinamento Cone Sul/2018
Prof. Armando Barbosa
06 de fevereiro de 2018
Problema 1 (Ita´lia/2002) Prove que se m = 5n + 3n + 1 e´ um nu´mero primo, enta˜o 12 | n.
Problema 2 (EGMO/2012) Os nu´meros p e q sa˜o primos que satisfazem
p
p + 1
+
q + 1
q
=
2n
n + 2
para algum inteiro positivo n. Encontre todos os valores poss´ıveis de q − p.
Problema 3 (China/2010) Seja k > 3 um inteiro. A sequeˆncia {an} satisfaz ak = 2k e para todo
n > k, temos que:
an =
{
an−1 + 1 se (an−1, n) = 1
2n se (an−1, n) > 1
Prove que existem infinitos nu´meros primos na sequeˆncia {an − an−1}.
Problema 4 (China/2009) Encontre todos os pares de nu´meros primos (p, q) tais que pq | 5p + 5q.
Problema 5 (Balkan/2015) Prove que entre 20 inteiros positivos consecutivos, existe um inteiro d
tal que, para todo inteiro positivo n, temos que:
n
√
d
{
n
√
d
}
>
5
2
Problema 6 (EGMO/2016) Seja S o conjunto de todos os inteiros positivos n tais que n4 tem um
divisor no intervalo n2 +1, n2 +2, · · · , n2 +2n. Prove que existem infinitos elementos de S nas formas
7K, 7K + 1, 7K + 2, 7K + 5, 7K + 6 e que na˜o elementos de S na forma 7K + 3 e 7K + 4, sendo K
um inteiro positivo.
Problema 7 (Ru´ssia/2012) Para um inteiro positivo n, seja Sn = 1! + 2! + · · ·+n!. Prove que existe
um inteiro positivo n tal que Sn tem um divisor primo maior que 10
2012.
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