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Transformações Homogêneas Cinemática Direta

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Aula 5 
 
Tranformações Homogêneas 
Cinemática Direta 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
Escola Politécnica 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Regra da mão-direita 
Transformações homegêneas 
básicas 













1000
0100
0010
001
,
a
Trans ax













1000
0100
010
0001
,
b
Trans by













1000
100
0010
0001
,
c
Trans cz
Translação: 
P
c 0x
0y
0z
P
1x
1y
1z
0x
0y
0z
1x
1y
1z
Transformações homegêneas 
básicas 
Rotação: 














1000
00
00
0001
, 


CS
SC
Rot x














1000
00
0010
00
, 


CS
SC
Rot y











 

1000
0000
00
00
,



CS
SC
Rot z
0x
0z
0y
1y
1z
P
1x
Representação geral da 
Transformação homegênea 




















1000
1000
dasn
dasn
dasn
dasn
T
zzzz
yyyy
xxxx
n=(nx,ny,nz)
T vetor representando a direção de X1 no sistema O0X0Y0Z0 
s=(sx,sy,sz)
T vetor representando a direção de Y1 no sistema O0X0Y0Z0 
a=(ax,ay,az)
T vetor representando a direção de Z1 no sistema O0X0Y0Z0 
d=(dx,dy,dz)
T representa o vetor de origem O0 para a origem O1 
 expressado no sistema O0X0Y0Z0 
Composição de rotações e translações 
Exemplo 
 Achar a matriz H que representa: 
 Rotacao de no eixo corrente X 
 Translacao de b sobre o eixo corrente X 
 Translacao de d sobre o eixo corrente Z 
 Rotacao de no eixo corrente Z 


Cinemática nos manipuladores 
 Cinemática direta: 
A partir das posições das articulações, encontrar 
a posição e orientação da ferramenta no espaço 
cartesiano da base. 
),,,,,,( 654321 nqqqqqqqq 
 ),,,,,( TAOzyxY 
x
y
z
 Cinemática inversa: 
Definir as posições das articulações, dada uma posição e 
orientação desejada para a ferramenta. 
Cinemática nos manipuladores 
),,,,,,( 654321 nqqqqqqqq 
 ),,,,,( TAOzyx
x
y
z
Representação de 
Denavit-Hartenberg (DH) 















1000
0
,,,,1
iii
iiiiiii
iiiiiii
xaxdzz
i
i
dCS
SaCSCCS
CaSSSCC
RTTRA




 Metodologia que está se tornando padrão para calcular os 
parâmetros necessários do modelo cinemático. 
 O modelo de D-H permite obter a posição e a orientação 
da ferramenta. 
 O modelo D-H define completamente a cinemática do 
manipulador. 
 Cada matriz é de transformação é representada por: 
Representação de 
Denavit-Hartenberg (DH) 
 Um robô pode ser especificado ao se descrever 
os valores de 4 parâmetros para cada elo: 
 Angulo:  
 Distancia da junta (excentricidade): d 
 Comprimento: a 
 Torção: 

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