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A regra de Cramer

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INTRODUÇÃO 
 Gabriel Cramer nasceu no dia 31 de julho de 1704 em Geneva (agora Suíca), e morreu em 4 de janeiro de 1752 em Bagnols-sur-Cèze, na França. Cramer trabalhou em análise e determinantes. Ele se tornou professor de matemática em Geneva e escreveu em trabalho relacionado a física, também em geometria e história da matemática. Cramer é melhor conhecido pelo seu trabalho em determinantes (1750) mas também fez contribuições ao estudo das curvas algébricas (1750).
 A regra de Cramer é um método de resolver EQUAÇÕES LINEARES simultâneas pelo uso de DETERMINANTES. Uma equação linear é uma equação que pode ser representada por uma linha reta. Se duas retas se cruzam, o ponto de interseção delas é comum. São ditas as coordenadas deste ponto para satisfazer ambas as equações "simultaneamente". A regra de Cramer usa determinantes para achar as coordenadas do ponto de interseção. Cada denominador consiste nos coeficientes de x e y. O numerador para x é determinado substituindo os coeficientes de x pelas constantes no lado direito das equações. O numerador para y é semelhantemente determinado. Numeradores e denominadores são alcançados por multiplicação cruzada e subtração. O método vale para n equações lineares com n desconhecido. Nestes casos, devem ser usados determinantes de terceira ordem ou mais alta.
 A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais com n-equações e n-incógnitas. Como é mostrado no sistema abaixo;
	
 Em termos de determinantes. A regra nos fornece instruções precisas para o cálculo das incógnitas. 
 Uma maneira de apresentar a Regra de Cramer, comum em textos antigos, é a seguinte:
 Nesta notação Δ é o determinante da matriz dos coeficientes:
 Os numeradores em (2) também são determinantes, os quais se relacionam com Δ da seguinte maneira:
 Para cada i de 1 a n, Δi é o determinante que se obtém de Δ substituindo-se a i-ésima coluna pela coluna dos termos constantes.
 Os termos constantes do sistema (1) são b1 , ... , bn ;eles não dependem das incógnitas. De acordo com o parágrafo precedente, devemos ter:
 
 Nos textos atuais, a notação matricial tem um papel maior. Houve época em que se falava em “teoria dos determinantes” (na tradição de Laplace, Cauchy e Gauss); as matrizes não eram mencionadas. Hoje já não se fala mais em “determinante”, mas em “determinante de uma matriz”. As matrizes estão no centro das atenções. O determinante é apenas uma função de matrizes: para cada matriz quadrada (de números reais) A , temos o número real |A|, o determinante de A. Além desta notação com barras, usaremos também det(A) A função det leva matrizes em números reais.
 Em termos de matrizes, o sistema (1) pode ser escrito como
 AX=B
Onde
 (5)
 Neste contexto, tornou-se comum apresentar as igualdades (2) assim:
 Onde Ai é a matriz que se obtém de A colocando (os elementos de) B em sua i-ésima coluna.
 Há mais um detalhe importante sobre a Regra de Cramer: ela só se aplica a sistemas de AX=B para os quais Δ ≠ 0 isto é detA ≠ 0.
 Esta restrição torna-se evidente a partir da própria regra tal como apresentada em (2) ou em (6). Como as incógnitas são expressas por frações nas quais o determinante do sistema figura nos denominadores, é necessário supor que esse determinante seja não-nulo ,uma vez que a divisão por zero é impossível.
 Em resumo, a Regra de Cramer nos diz que para toda matriz quadrada A tal que detA ≠ 0, o sistema AX=B (seja qual for B) tem solução única, e esta solução é dada por
Exemplo:
Dado o sistema de 3 equações e 3 incógnitas ;
	2x – 3y + 7z = 1 
	x + 3z = 5
	 2y - z = 0
onde
	2 -3 7	 x	 1	 
 A = 1 0 3 , X = y B = 5
 0 2 -1 z 0 
	
 2 - 3 7
 detA = 	1 0 3 = -1 
	0 2 -1
= ( 2 .0 .-1 ) + ( -3 . 3 . 0 ) + ( 7 . 1 . 2) – (7 . 0 . 0) – (2 . 3 . 2) – (-3 . 1 . -1)
= 0 + 0 +14 -0 -12 -3
= 14 – 15
= -1 ≠ 0
	
 Encontramos o determinante de A1 substituindo a primeira coluna de A pelos termos de B.
 
 1 - 3 7
 detA1 = 	5 0 3 = 49	
	0 2 -1	
=(1 . 0 . -1) + (-3 . 3 . 0) + (7 . 5 . 2 ) – (7 . 0 . 0 ) – ( -3 . 5 . -1 ) – ( 1 . 3 . 2)
=0 + 0 + 70 – 0 – 15 – 6 =49
 
 Para encontrar o valor de x dividimos detA1 por detA.
 Encontramos o determinante de A2 substituindo a segunda coluna de A pelos termos de B. 
	 
 2 1 7
 detA2 = 1 5 3 = 9 
	0 0 -1
=(2 . 5 . -1) + (1 . 3 . 0) + (7 . 1 . 0 ) – (7 . 5 . 0 ) – ( 1 . 1 . -1 ) – ( 2 . 3 . 0)
= -10 + 0 + 0 – 0 – ( -1 ) – 0 = -9 
 Para encontrar o valor de y dividimos detA2 por detA.
 Encontramos o determinante de A3 substituindo a terceira coluna de A pelos termos de B. 
 2 - 3 1
 detA3 = 1 0 5 = 
	 0 2 0
= ( 2 .0 .0 ) + ( -3 . 5 . 0 ) + ( 1 . 1 . 2) – (1 . 0 . 0) – (-3 . 1 . 0) – (2 . 5 . 2)
= 0 + 0 +2 – 0 – 0 – 20 
= -18 
 Para encontrar o valor de z dividimos detA3 por detA.

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