378059-RESUMO_ATUALIZADO_Geometria_Analítica_parte1- matrizes e determinantes

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Disciplina: Geometria Analítica e
Álgebra Vetorial
Ementa
Equações analíticas de retas, planos e cônicas; vetores: operações e bases;
equações vetoriais de retas e planos; equações paramétricas; álgebra de ma-
trizes e determinantes; autovalores; sistemas lineares: resolução e escalon-
amento; coordenadas polares no plano; coordenadas cilíndricas e esféricas;
superfícies quádricas: equações reduzidas (canônicas).
Conteúdo Programático
Unidade I – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes
1.1 Propriedades e operações matriciais
1.2 Sistemas de Equações Lineares
1.3 Soluções de Sistemas
1.4 Determinantes: definição e propriedades
1.5 Cofatores e aplicações
Unidade II – Vetores no Plano e no Espaço
2.1 Tratamento Geométrico
2.2 Tratamento Algébrico
2.3 Produto Escalar
2.4 Produto Vetorial
2.5 Produto Misto
2.6 Aplicações
Unidade III – Retas e Planos
3.1 Equações Vetoriais
3.2 Equações Paramétricas
3.3 Intersecções
3.4 Ângulos e distâncias
Unidade IV – Cônicas
4.1 Parábola, Elipse e Hipérbole
4.2 Translação de Eixos
4.3 Superfícies Quádricas
2
Avaliação
Três provas individuais escritas de 30 pontos cada.
Listas de exercícios no valor total de 10 pontos.
Referência Bibliográfica
BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria analítica: um tratamento vetorial.
3. ed. São Paulo: Prentice-Hall, 2005.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria analítica. 3. ed. São Paulo:
Pearson Education, 2005.
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron Books,
2000.
3
Matrizes
Definição: Sejam m e n dois inteiros positivos. Uma matriz m por n A
sobre R é dada por m × n valores aij ∈ R , com 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
agrupados em m linhas e n colunas que será representada como:
A =
 a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn

A = (aij) , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
Notação: Mm×n(R) e se m = n então usaremos Mn(R).
Matrizes especiais
• Matriz quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número
de colunas (m = n).
( −1 2
3 −5
)
;
 −1 2 −93 −5 16
−8 7 9
 ;

−1 2 −9 8
3 −5 16 −6
−8 7 9 −4
2 5 7 −4

Existem duas diagonais que podemos destacar em matrizes quadradas:
• Matriz retangular: uma matriz na qual m 6= n.
4 (
4 −3 8
3 −5 1
)
• Matriz oposta: a matriz oposta da matriz A é aquela que possui
elementos opostos correspondentes ao da matriz A.
A =
(
7 −4 −9
2 −1 51
)
⇒ −A =
( −7 4 9
−2 1 −51
)
• Matriz nula: é aquela em que aij = 0, para todo i e j.
(
0 0 0
0 0 0
)
;
 0 0 00 0 0
0 0 0

• Matriz linha: é aquela que possui uma única linha (m = 1).
( −6 −2 5 1 )
• Matriz coluna: é aquela que possui uma única coluna (n = 1). 9−4
3

• Matriz triangular superior: é uma matriz quadrada onde todos os
elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, i > j . −1 3 50 2 6
0 0 4

• Matriz triangular inferior: é uma matriz quadrada onde todos os
elementos acima da diagonal são nulos, isto é, m = n e aij = 0, i < j. 7 0 03 2 0
−6 1 4

5
• Matriz diagonal: é uma matriz quadrada onde todos os elementos
que não estão na diagonal principal são nulos, isto é, m = n e aij = 0
para i 6= j.  9 0 00 6 0
0 0 −7

• Matriz transposta: dada a matriz A = (aij) ∈ Mm×n(R) definimos
a sua transposta como sendo a matriz At = (bij) ∈ Mn×m(R) tal que
bij = aji para cada par (i,j), isto é, as linhas da matriz A são as colunas
da matriz At.
A =
(
7 −2 3 −1
0 1 4 −8
)
⇒ At =

7 0
−2 1
3 4
−1 −8

• Matriz identidade: é uma matriz quadrada onde todos os elementos
que não estão na diagonal principal são nulos e na diagonal principal
são iguais a 1, isto é, m = n e aij = 0 para i 6= j.
I2 =
(
1 0
0 1
)
; I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 ; I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Observação: Se A é qualquer matriz m× n, então
AIn = A e ImA = A
• Matriz inversa: uma matriz quadrada A, de ordem n, é dita invertível
se existir uma matriz quadrada B, também de ordem n, tal que
A ·B = B · A = In.
Neste caso, dizemos que B é a inversa de A e escrevemos B = A−1.
Exemplo: a matriz A =
(
3 1
2 1
)
é invertível uma vez que, tomando
A−1 =
(
1 −1
−2 3
)
então AA−1 = A−1A =
(
1 0
0 1
)
= I2.
6
• Matriz simétrica: uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = At.
 7 9 −59 −3 1
−5 1 4
 ;

a b c d
b e f g
c f h i
d g i k

• Matriz antissimétrica: uma matriz quadrada A é dita antissimétrica
se A = −At.
 0 9 −5−9 0 −1
5 1 0
 ;

0 a b −c
−a 0 d −e
−b −d 0 f
c e −f 0

• Matriz ortogonal: uma matriz A é ortogonal se A · At = I, isto é,
uma matriz cuja inversa coincide com sua transposta (A−1 = At). 12
√
3
2√
3
2
−1
2
 ·
 12
√
3
2√
3
2
−1
2
 = ( 1 0
0 1
)
·
Igualdade de matrizes
SeA,B ∈Mm×n(R), A = B ⇔ aij = bij,∀i ∈ {1, 2, . . . ,m} e ∀j ∈ {1, 2, . . . , n}. x −18 y
3 2
 =
 5 w8 1
3 z
 ⇒ x = 5y = 1
z = 2
w = −1
(
1 −3
9 7
)
6=
 7−3
5

Operações com matrizes
1o)Adição: Se A,B ∈ Mm×n(R), então indicamos por A + B e chamamos
soma de A com B a matriz m x n cujo termo geral é aij + bij, isto é,
A+B =
 a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn
 +
 b11 · · · b1n... ...
bm1 · · · bmn

7
=
 a11 + b11 · · · a1n + b1n... ...
am1 + bm1 · · · amn + bmn

Exemplo: Consideremos as matrizesA =
 1 8 1 −2−4 3 9 0
2 7 0 4
 eB =
 2 5 6 −36 −7 −1 8
2 −8 0 −1
.
Temos que A+B =
 3 13 7 −52 −4 8 8
4 −1 0 3

Propriedades
1. ∀A,B ∈Mm×n(R), A+B = B + A (comutativa).
2. ∀A,B,C ∈Mm×n(R), (A+B) + C = A+ (B + C) (associativa).
3. Existe uma matriz de Mm×n(R), denotada por 0 (matriz nula), tal que
∀A ∈Mm×n(R), A+ 0 = A.
4. ∀A ∈Mm×n(R) existe uma matriz deMm×n(R) denotada por −A (ma-
triz oposta), tal que A+ (−A) = 0 (matriz nula).
2o)Subtração: Se A,B ∈Mm×n(R), então indicamos por A−B e chamamos
diferença de A com B a matriz m x n cujo termo geral é aij − bij, isto é,
A−B =
 a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn
 +
 b11 · · · b1n... ...
bm1 · · · bmn

=
 a11 − b11 · · · a1n − b1n... ...
am1 − bm1 · · · amn − bmn

Exemplo: Consideremos as matrizesA =
 1 8 1 −2−4 3 9 0
2 7 0 4
 eB =
 2 5 6 −36 −7 −1 8
2 −8 0 −1
.
Temos que A−B =
 −1 3 −5 1−10 10 10 −8
0 15 0 5

3o)Multiplicação por um escalar: Se A ∈ Mm×n(R) e λ ∈ R, pode-
mos definir o produto de λ por A como sendo a matriz B = (bij) ∈Mm×n(R)
tal que,para cada par (i, j) temos bij = λaij, ou seja,
8
λA = λ
 a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn
 =
 λa11 · · · λa1n... ...
λam1 · · · λamn

Exemplo: 5
( −1 5 3 7
2 −3 6 1
)
=
( −5 25 15 35
10 −15 30 5
)
Propriedades
1. (αβ)A = α(βA)
2. (α + β)A = αA+ βA
3. α(A+B) = αA+ αB
4. 1 · A = A
quaisquer que sejam as matrizes A e B e quaisquer que sejam os números
reais α e β.
4o) Produto de matrizes: sejam A ∈Mm×n(R) e B ∈Mn×p(R). Podemos
definir o produto de A por B como sendo a matriz C = (cij) ∈Mm×p(R) tal
que,
cij =
∑n
k=1 aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj, para i = 1, . . . ,m e
j = 1, . . . , p, ou então,
A ·B =
 a11 · · · a1n... ...
am1 · · · amn
 ·
 b11 · · · b1n... ...
bm1 · · · bmn
 =
=

∑n
k=1 a1kbk1 · · ·
∑n
k=1 a1kbkp
...
...∑n
k=1 amkbk1 · · ·
∑n
k=1 amkbkp

Exemplo: Considere as matrizes A =
(
2 1 −3
−4 0 5
)
e B =
 6 2−1 4
3 7
 .
Daí, A·B =
(
2 · 6 + 1 · (−1) + (−3) · 3 2 · 2 + 1 · 4 + (−3) · 7
(−4) · 6 + 0 · (−1) + 5 · 3 (−4) · 2 + 0 · 4 + 5 · 7
)
=
(
2 −13
−9 27
)
5o) Potências de uma matriz: se A é uma matriz quadrada, definimos as
potências inteiras não negativas de A por
A0 = I
9
An = AA · · ·A︸︷︷ ︸
n fatores
, n > 0.
Além disso, se A é invertível, então definimos as potências inteiras negativas
por
A−n = (A−1)n = A−1A−1 · · ·A−1︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Se A é uma matriz quadrada e r e s são inteiros, então
ArAs = Ar+s e (Ar)s = Ars
Propriedades
1. A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈Mm×n(R) e ∀B,C ∈Mn×p(R).
2. (A+B)C = AC +BC,∀A,B ∈Mm×n(R) e ∀C ∈Mn×p(R).
3. A(BC) = (AB)C, ∀A ∈Mm×n(R), ∀B ∈Mn×p(R) e ∀C ∈Mp×q(R).
4. α(AB) = (αA)B = A(αB),∀A ∈Mm×n(R),∀α ∈ R e ∀B ∈Mn×p(R).
Observações: a) Em geral, o produto de matrizes não é comutativo:
• A =
(
1 2
1 3
)
eB =
(
2 2
1 5
)
⇒AB =
(
4 12
5 17
)
eBA =
(
4 10
6 17
)
.
• A =
(
1 1 5
2 1 −1
)
e B =
 2 41 1
0 1
 ⇒ AB = ( 3 10
5 8
)
e BA = 10 6 63 2 4
2 1 −1
.
b)a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica:
(A+B)t = At +Bt = A+B.
c) O produto de duas matrizes simétricas de ordem n não é uma matriz
simétrica: (
1 2
2 0
)
·
(
0 3
3 1
)
=
(
6 5
0 6
)
d) a soma de duas matrizes antissimétricas é também antissimétrica:
10
(A+B)t = At +Bt = −A−B = −(A+B).
e) O produto de duas matrizes antissimétricas de ordem n não é uma matriz
antissimétrica: (
0 −3
3 0
)
·
(
0 2
−2 0
)
=
(
6 0
0 6
)
f) Será que se A·B = A·C, então B = C, onde A, B e C são respectivamente
matrizes de ordens m× n, n× p e n× p ?
Consideremos: A =
(
1 2
2 4
)
, B =
(
1 1
−3 3
)
e C =
( −5 3
0 2
)
. Note
que AB = AC =
( −5 7
−10 14
)
com A 6= 0 e B 6= C.
g) Será que se A · B = 0, então A = 0 ou B = 0, onde A e B são ma-
trizes de ordens, respectivamente, m× n, n× p e 0 é a matriz nula de ordem
m× p?
Temos que A =
(
2 0
1 0
)
, B =
(
0 0
3 0
)
e AB =
(
0 0
0 0
)
.
Propriedades da matriz transposta
1. (A+B)t = At +Bt, ∀A,B ∈Mm×n(R).
2. (αA)t = αAt,∀α ∈ R,∀A ∈Mm×n(R).
3. (AB)t = BtAt, ∀A ∈Mm×n(R) e ∀B ∈Mn×p(R).
4. (At)t = A, ∀A ∈Mm×n(R).
Propriedades da matriz inversa
1. A inversa de uma matriz, caso exista é única.
2. Se A e B são matrizes invertíveis de mesma ordem, AB é invertível e
(AB)−1 = B−1A−1.
3. Se A é invertível, At também o é e
(At)−1 = (A−1)t.
4. Se A é invertível e α ∈ R∗, αA também é invertível e
11
(αA)−1 =
1
α
· A−1.
5. Se A é invertível, (A)−1 também o é e
(A−1)−1 = A.
Determinação da inversa
1o Método: determine, se existir, a inversa da matriz A =
(
3 2
7 5
)
. Pela
definição temos que
Observação: A matriz A =
(
a b
c d
)
é invertível se detA 6= 0, caso em que
a inversa é dada pela fórmula
A−1 =
1
detA
(
d −b
−c a
)
Definição: dada uma matriz A, entenderemos por operação elementar com
as linhas de A uma das seguintes alternativas:
a) a permuta de duas linhas;
b) a substituição de uma linha por si mesma, previamente multiplicada por
uma constante não nula.
c) a substituição de uma linha pela soma de si mesma, com uma outra pre-
viamente multiplicada por uma constante.
Definição: se uma matriz B foi obtida de A através de um número finito
12
de operações elementares, dizemos que ambas são equivalentes e escrevemos
A ∼ B.
Observação: a mesma sucessão de operações que transformam A em In
transformam In em A−1.
2o Método: Considere A =
 1 1 00 1 1
1 0 2
. Aplicando as operações ele-
mentares temos que
Portanto, A−1 =
 2/3 −2/3 1/31/3 2/3 −1/3
−1/3 1/3 1/3
 .
Definição: seja A = (aij)n×n. O cofator Aij de aij é definido como Aij =
(−1)i+j · det(Mij) sendo Mij a submatriz (n− 1)× (n− 1) de A obtida pela
eliminação da i-ésima linha i da j-ésima coluna de A.
Definição: seja A = (aij)n×n. A matriz n × n adj A, chamada de adjunta
de A, é a matriz cujo (i,j)- ésimo elemento é o cofator Aij de aij.
adjA =

A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2
...
...
...
A1n A2n · · · Ann
.
Observação: A−1 =
1
detA
· adjA.
3o Método: Considere A =
 1 1 13 5 4
−2 −1 −2
. Observe que
detA =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
3 5 4
−2 −1 −2
∣∣∣∣∣∣ = −1
13
Calculando os cofatores obtemos
Logo, A−1 =
1
detA
· adjA = 1−1
 −6 1 −1−2 0 −1
7 −1 2
 =
 6 −1 12 0 1
−7 1 −2
.
Exercício: Supondo as matrizes A, B e C quadradas, de mesma ordem
e invertíveis, resolver as equações matriciais nas quais X é a variável.
a) ABX = C d) CAX t = C
b)DX t = DC e) D−1XD = AC
c) ADX = ABC f) CX + 2B = 3B
Determinantes
1o) Determinante de matrizes de primeira ordem.
Exemplos: A = (35)→ detA = |35| = 35.
B = (−10)→ detB = | − 10| = −10.
2o) Determinante de matrizes de segunda ordem.
Exemplo: a)
∣∣∣∣ 4 −1−5 −2
∣∣∣∣ = −8− 5 = −13.
3o) Determinante de matrizes de terceira ordem (Regra de Sarrus).
Exemplo:
14
4o) Determinante de matrizes de ordem n ≥ 2 (Teorema de Laplace).
Propriedades dos Determinantes
1o) Um determinante é igual a zero em apenas 3 situações:
• Quando tem uma fila (coluna ou linha) de zeros:∣∣∣∣∣∣
0 0 0
5 4 1
2 3 5
∣∣∣∣∣∣ = 0 ou
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −2 0 0
1 2 3 0
0 5 10 0
2 1 9 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
• Quando tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais:
∣∣∣∣∣∣∣∣
7 −2 0 7
−6 2 3 −6
0 5 10 0
7 1 8 7
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ou
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 −2 0 7 21
−9 2 3 −6 −18
1 5 10 0 0
−6 0 2 5 15
7 4 6 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0
• Quando uma das filas é combinação linear das outras filas paralelas:∣∣∣∣∣∣
1 3 5
1 2 3
5 12 19
∣∣∣∣∣∣ = 0 ou
∣∣∣∣∣∣
−1 1 0
7 −5 2
2 3 5
∣∣∣∣∣∣ = 0 ou
∣∣∣∣∣∣
5 −2 4
−7 3 1
−2 1 5
∣∣∣∣∣∣ = 0
L3 = 2L1 + 3L2 C3 = C1 + C2 L3 = L1 + L2
15
2o) Se trocarmos de posição duas filas, o determinante da nova matriz é o
anterior com sinal trocado:∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2 1
2 3 1 2
3 0 5 0
1 2 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 36⇒
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 1 2 1
3 2 1 2
0 3 5 0
2 1 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −36
3o) Se multiplicarmos todos os elementos de uma fila por um número real k,
então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado por k:∣∣∣∣∣∣∣∣
3 · 1 0 2 1
3 · 2 3 1 2
3 · 3 0 5 0
3 · 1 2 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 3 · 108
4o)O determinante de uma matriz triangular será igual ao produto dos ele-
mentos da diagonal principal:∣∣∣∣∣∣∣∣
2 0 0 0
3 3 0 0
0 3 5 0
2 1 2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2 · 3 · 5 · (−1) = −30∣∣∣∣∣∣∣∣
−5 7 −1 3
0 −4 −5 2
0 0 −2 1
0 0 2 7
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−5) · (−4) · (−2) · 7 = −280
5o) O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de
sua transposta At, ou seja, detA = detAt.∣∣∣∣∣∣
1 2 3
2 −1 4
0 1 5
∣∣∣∣∣∣ = −23⇒ detAt = −23
6o) Se A é de ordem n, então det(k · A) = kn · detA, k ∈ R.
Se A é de ordem 2 e det(A) =
1
27
, então det(3A) = 32 · detA = 9 · 1
27
=
1
3
.
7o) SeA−1 é a inversa da matriz quadradaA, então detA−1 =
1
detA
, detA 6= 0.
detA =
∣∣∣∣∣∣
−1 3 1
2 −2 0
0 1 −1
∣∣∣∣∣∣ = 6⇒ detA−1 = 1detA = 16 .
16
Observação: Uma matriz quadrada A admite uma matriz inversa se, e so-
mente se, detA 6= 0. Matrizes singulares são matrizes que não admitem uma
matriz inversa.
8o) Teorema de Binet: se A e B são matrizes quadradas de mesma or-
dem e AB é a matriz produto, então det(A ·B) = detA · detB.
detA =
∣∣∣∣ 3 21 4
∣∣∣∣ = 10 e detB = ∣∣∣∣ 5 42 3
∣∣∣∣ = 7⇒ det(A·B) = det(A)·det(B) =
10 · 7 = 70.
Observações: Temos que
a) det(A + B) =
∣∣∣∣ 8 63 7
∣∣∣∣ = 38 ⇒ det(A + B) = 38 6= 17 = 10 + 7 =
det(A) + det(B).
b) det(A − B) =
∣∣∣∣ −2 −2−1 1
∣∣∣∣ = −4 ⇒ det(A − B) = −4 6= 3 = 10 − 7 =
det(A)− det(B).
c) det(An) = (detA)n ⇒ det(A3) = (detA)3 = 103 = 1000.
Regra de Chió
O cálculo do determinante de uma matriz quadrada A de ordem n > 1 que
possua algum elemento igual a 1 pode ser feito através dos seguintes passos:
i) Suprima a linha e a coluna que se interceptam no elemento ars = 1.
ii) De cada elemento restante, subtraia o produto dos elementos que se encon-
tram nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado à linha
e à coluna suprimidas.iii) O determinante assim obtido, multiplicado por (−1)r+s é igual ao deter-
minante da matriz A.
Exemplo:
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Processo de triangulação para o cálculo de determinantes
Definição: Uma matriz da forma∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
... 1
x1 x2 x3
... xn
x21 x
2
2 x
2
3
... x2n
...
...
...
...
...
xn−11 x
n−1
2 x
n−1
3
... xn−1n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
é dita uma matriz de Vandermonde.
Observação: Se A é uma matriz de Vandermonde, então
detA =
∏
i<j
(xj − xi)
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Exemplo:
Sistemas Lineares
Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um con-
junto de equações do tipo
(∗)

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
com aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, números reais (ou complexos).
Uma solução do sistema (∗) é uma n-upla de números (x1, x2, . . . , xn).
Exemplo: resolva o sistema a seguir
2x+ 3y − z = 5
x+ y + z = 6
3x+ 5y − 4z = 1
Aplicando o método de Gauss temos
Portanto,
1x+ 1y + 1z = 6
1y − 3z = −7
−1z = −3
Substituindo os valores encontrados obtemos z = 3, y = 2 e z = 3.
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Exercício: determine a solução dos sistemas a seguir:
a)
{ 2x+ y + 7z = 16
x+ 3y + 2z = −5⇒ S = {(3,−4, 2)}
5x+ 3y + 4z = 11
b)
{ 3x+ 2y − 5z = 8
2x− 4y − 2z = −4⇒ S = {(3, 2, 1)}
x− 2y − 3z = −4
c)
{ 2x+ 3y − 2z = 2
3x− 5y + 4z = 5⇒ S = {(1, 2, 3)}
x− 2y − 7z = −24
Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando apresentam o
mesmo conjunto solução.
Sistemas lineares homogêneos: são sistemas formados por equações cujos
termos independentes são todos igauis a zero.
Classificação de um sistema linear
Sistema possível e determinado (SPD): admite uma única solução.
Sistema possível e indeterminado (SPI): admite infintas soluções.
Sistema impossível: não tem solução.
Exemplo: Discuta o sistema linear:
x+ ay + 3z = −2
2x− 3y + 5z = 1
−x+ 9y − z = b− 3
Portanto,
{ −3a+ 3 6= 0⇒ −3a 6= −3⇒ a 6= 1⇒ SPD
−3a+ 3 = 0 e b+ 5 6= 0⇒ a = 1 e b 6= −5⇒ SI
−3a+ 3 = 0 e b+ 5 = 0⇒ a = 1 e b = −5⇒ SPI
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Conclusão:
{ a 6= 1⇒ SPD
a = 1 e b 6= −5⇒ SI
a = 1 e b = −5⇒ SPI
Faça a interpretação geométrica e classifique os sistemas a seguir:
a)
{
2x+ y = 2
3x− y = 8 b)
{
x+ y = 1
2x+ 2y = 2
c)
{
x+ y = 2
x+ y = 3