slides de controle

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2 - Introdução.pptx
Sistemas de Controle I
Introdução
Roteiro
O que é um sistema de controle?
Para que serve?
Como projetar?
O que é um sistema de controle?
Sistema mecânico, elétrico, químico ou de outra natureza que atua sobre um processo (planta) com o objetivo de fazer com que o sistema se comporte de acordo com um padrão
Malha aberta e 
malha fechada
Controle em malha aberta
Controle em malha fechada
Qual a diferença?
Controle em malha aberta
Controle em malha fechada
MF
MA
Desafio
Dê um exemplo de uma tarefa do dia a dia que pode ser feita em malha fechada ou em malha aberta.
Justifique qual a melhor forma de executar a tarefa
Para que serve?
Estabilidade
Autonomia
Rastreamento (precisão)
Economia (otimização)
Como projetar?
Modelagem e análise
Projeto analítico simulação
Projeto físico
3 - Modelagem de sistemas.pptx
Modelagem de sistemas
O que é um modelo?
Por que modelagem?
Tipos de modelo
Linearização
Por que linearizar?
Modelo MAGLEV
Linearização do MAGLEV
O que é um modelo?
Modelo MAGLEV
ou
Modelo entrada/saída
Equações de estados
Modelos de 
força magnética
O que é um modelo?
Simplificação da realidade
Equações matemáticas
“Um modelo deve ser tão simples quanto possível, mas nunca mais simples”
				Einstein.
O que podemos falar sobre o modelo?
Tempo:
Contínuo (equação diferencial)
Discreto (equação de diferenças)
Abordagem:
Entrada/saída (função de transferência)
Estados (equações matriciais)
Exemplo de equação de diferenças
O que fazer com o modelo?
Equilíbrio do MAGLEV
Cilindro parado
Linearização
Função de transferência
Simulação (exercício)
Construa um modelo de simulação do ambiente Simulink
Pesquise sobre como você poderia simular o mesmo sistema usando integração numérica em linha de comando (funções “ode”)
Vamos generalizar:
Equilíbrio de um sistema
Entrada/saída: todas as derivadas nulas
Modelo de estados:
Sistema de equações
algébricas
Linearização
Entrada/saída: expandir todas as funções algébricas em série de Taylor ao redor de um ponto de equilíbrio
Estados: usar série de Taylor matricial
Linearização
Função de transferência geral
Variáveis “internas” despercebidas
Linearização
Equação de estados geral
Variáveis “internas” explícitas
n x n
n x p
q x n
q x p
n – estados
p – entradas
q - saídas
Exercícios
Pesquise:
Pêndulo invertido
Ball-beam/ Ball-plate
Pêndulo simples
Oscilador Duffing
Oscilador Van der Pol
Analise o equilíbrio; linearize
Aspectos práticos do MAGLEV
Modelo do sensor
Modelo da bobina
Modelo do controlador
Como medir os sinais?
Como armazenar os sinais?
4 - Especificações de desempenho.pptx
Especificações de desempenho
Objetivos do MAGLEV?
Estabilidade
Sobressinal (overshoot)
Tempo de subida/pico
Erro de regime
Margens de estabilidade
Estabilidade
Todo sistema de controle é projetado para funcionar estável
O que acontece se o sistema for instável?
Harrier jump jet
Segway
Resposta ao degrau
Resposta ao degrau
Sistema de segunda ordem padrão
Pólos
Interpretação geométrica
Eixo imaginário
Eixo real
x
x
s
wd
wn
j
Resposta ao degrau (subamortecido)
Exercício
Deduzir as fórmulas de overshoot e tempo de pico
Propor uma maneira de obter as fórmulas de tempo de subida e de acomodação
Para o MAGLEV
O que acontece se:
O overshoot for grande? E se for pequeno?
O tempo de pico for grande? E se for pequeno?
Pólos dominantes
Experimento na bancada
Com o controlador analógico funcionando, injetar um sinal de referência do tipo onda quadrada
Armazene os sinais (corrente e posição)
Plote os sinais no MATLAB
Analise os sinais quanto ao desempenho
5 - Amplificadores operacionais.pptx
Amplificadores operacionais
Buffer
Ganho
Integrador
Diferenciador
Digramas de simulação
Princípios básicos:
 
 
 Não circula corrente para dentro do amplificador
Buffer
Ganho
Somador
Diferenciador
Integrador
Diagramas de simulação
K
-
Exercício
Proponha um diagrama de simulação de um sistema com dois pólos e dois zeros, que podem ser variados com ampla liberdade
Projete um sistema de amplificadores que implemente a função do diagrama
6 - Controladores PID.pptx
Controladores PID
Ação proporcional
Ação derivativa
Ação integral
Realização analógica
Controle do MAGLEV
Ação proporcional
A ação é instantânea e proprocional à magnitude do erro
Analogia
Saúde: uma pessoa que toma precauções médicas apenas no momento em que tem necessidad
Exemplos
Analise: 
Pólos de malha fechada
Sinal de saída
Sinal de entrada
Exemplo
Ação derivativa
A ação é antecipativa e proporcional à taxa de variação do erro
Analogia
Saúde: uma pessoa que toma precauções médicas antes de realmente necessitar.
Exemplo
Ação integral
A ação é cumulativa e proporcional à integral do erro
Analogia
Saúde: uma pessoa que toma precauções após repetidos episódios de mal estar
Exemplo
Raciocine:
Como seria a analogia das ações P, I e D nas seguintes situações?
Finanças (endividamento)
Universidade (desempenho na disciplina)
Ações PD e PI
Ação PID
Em geral:
Ação derivativa melhora o overshoot 
Ação integral melhora o erro de regime
Realização analógica
Controle do MAGLEV
PID
Exercícios no MATLAB
Simule o MAGLEV com um controlador PID. Varie os ganhos individualmente e observe o que acontece
Exercício na bancada
Varie os ganhos do controlador analógico interno. Verifique o que acontece
Utilize o controlador analógico interno para calibrbação do sensor
1 - Apresentação.pptm
Sistemas de Controle I
2015/02
Conteúdo
Metodologia
Avaliação
Bibliografia
Aplicações
Engenharia Aeroespacial
Robótica
Geração de energia
Tendências
Controle adaptativo
Controle robusto
Controle ótimo
Controle embarcado
Controle inteligente
Ementa do curso
Modelagem
Especificações de desempenho
Amplificadores operacionais
Controladores PID
Lugar geométrico das raízes
Resposta em frequência
Metodologia
Aulas teóricas e práticas
Temática principal: MAGLEV
Trabalho em equipe
Apenas controle analógico
Objetivo: visualizar todos os aspectos de um sistema de controle
Avaliação
Entrevistas com as equipes
Relatórios escritos
Exercícios
Livros texto
Franklin, Gene. “Sistemas de Controle em Engenharia”, 2a Edição. Editora Pearson.
Nise, Norman. “Engenharia de Sistemas de Controle” 6a Edição. Editora LTC
Monografias
MAGLEV
Ball Beam
TCC_BallBeam_Paulo.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construção de Protótipo de Bancada para 
Ensino e Pesquisa de Sistemas de Controle: 
“Ball & Beam” 
 
 
 
 
 
Paulo Sergio Nascimento Filho 
 
 
 
 
 
2
o
 Semestre / 2008 
 
 
 
INSTITUTO DE TECNOÇOGIA 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO GUAMÁ 
BELÉM - PARÁ 
 
 
UFPA 
 ii 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE TECNOLOGIA 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Paulo Sergio Nascimento Filho 
 
 
 
 
 
 
 
 
Construção de protótipo didático de bancada 
para o ensino e pesquisa de sistemas de 
controle: “Ball & Beam” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELÉM 
2008 
TRABALHO SUBMETIDO AO 
CURSO DE ENGENHARIA 
ELÉTRICA PARA OBTENÇÃO 
DO GRAU DE ENGENHEIRO 
ELETRICISTA. 
 
 iii 
Construção de protótipo de bancada para o ensino e pesquisa de 
sistemas de controle: ”Ball & Beam” 
 
 
 
Este trabalho foi julgado em ____/____/____ adequado para obtenção do Grau de 
Engenheiro Eletricista, e aprovado na sua forma final pela banca examinadora que atribuiu o 
conceito _________________. 
 
 
 
__________________________________ 
Prof. Dr. Orlando Fonseca Silva 
ORIENTADOR 
 
__________________________________ 
Prof. Dr. Carlos Tavares da Costa Júnior 
MEMBRO DA BANCA EXAMINADORA 
 
__________________________________ 
Prof. Dr. Walter Barra Junior 
MEMBRO DA BANCA EXAMINADORA 
 
 
__________________________________ 
 Msc. Max Rothe Neves 
MEMBRO DA BANCA EXAMINADORA 
 
__________________________________ 
Prof. Msc. Edson Ortiz de Matos 
DIRETOR DA FACULDADE DE ENGENHRAIA 
ELÉTRICA 
 iv 
 
DEDICATÓRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico este Trabalho a Deus, pois, se não fosse por Ele, talvez eu não tivesse chegado 
aonde cheguei. 
Aos meus queridos pais, Paulo e Cátia, por toda dedicação e amor que deram para 
mim. 
Aos meus amigos e aos meus parentes, que me apoiaram e acreditaram e mim, em 
especial, a minha tia Maria Cristina. 
A minha namorada Cristiane pelos momentos inesquecíveis. 
A minha avó, Maria Antônia, por ter sido a maior influência na minha formação como 
pessoa. 
 v 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao amigo Max Rothe Neves e ao Professo Orlando Fonseca Silva pelo apoio e 
orientação. 
Aos colegas e companheiros do PET, na época em que fui integrante, em especial, o 
meu amigo Fulton Marion Hiker Júnior pelas trocas de conhecimento. 
Aos meus amigos do GSEI, Tiago Blanco, Roger Soares e Adolfo Sena, pois com 
vocês aprendi muito. 
Aos meus amigos Andersom Roberto Barbosa de Morais e Fabrício Nogueira, pela 
ajuda importante. 
Aos Professores Jurandyr Nascimento Garcez, Carlos Tavares e Walter Barra Júnior 
pelas oportunidades. 
A todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho. 
 vi 
 
SUMÁRIO 
 
 
LISTA DE FIGURAS.................................................................................................... 
 
LISTA DE TABELAS................................................................................................... 
 
LISATA DE QUADROS............................................................................................... 
 
LISTA DE SÍMBOLOS................................................................................................ 
 
RESUMO........................................................................................................................ 
 
CAPÍTULO 1 – Introdução.......................................................................................... 
1.1 – Considerações Gerais................................................................................... 
1.2 – Objetivo do Trabalho.................................................................................... 
1.3 – Metodologia utilizada no desenvolvimento do protótipo............................. 
 
CAPÍTULO 2 – Modelagem Matemática e Levantamento de Parâmetros............. 
2.1 – Modelagem Matemática do Sistema Dinâmico “Ball & Beam”................. 
2.1.1 – Velocidade angular da esfera.................................................................... 
2.1.2 – Posição e velocidade da esfera................................................................. 
2.1.3 – Aplicação da equação de Lagrange.......................................................... 
2.1.4 – Linearização do Modelo Matemático em torne de um ponto de 
operação........................................................................................................................... 
2.1.5 – Parâmetros do Modelo Matemático do “Ball & Beam”........................... 
2.2 – Modelagem Matemática do Motor CC – Atuador Eletromecânico............. 
2.2.1 – Modelo do motor CC................................................................................ 
2.2.2 – Ensaios para estimação de parâmetros do motor...................................... 
2.3 – Modelo Matemático do Sistema Considerando Planta e Atuador............... 
2.3.1 – Modelo contínuo....................................................................................... 
2.3.2 – Modelo Discreto....................................................................................... 
ix 
 
xii 
 
xiii 
 
xiv 
 
xv 
 
1 
1 
2 
2 
 
3 
3 
5 
5 
7 
 
11 
13 
15 
15 
17 
20 
20 
21 
 vii 
 
CAPÍTULO 3 – Desenvolvimento e Construção do Protótipo.................................. 
3.1 – Estrutura Física............................................................................................ 
3.2 – As Partes que Compõem o Protótipo.......................................................... 
3.2.1 – Barra e sensor de posição da esfera.......................................................... 
3.2.1.1 – A constante de proporcionalidade do sensor de posição da esfera........ 
3.2.2 – O motor CC e o sensor de posição angular da barra................................ 
3.2.2.1 – A Constante de proporcionalidade do sensor de posição angular da 
barra................................................................................................................................. 
3.3 – Componentes Eletrônicos Utilizados no Desenvolvimento do Protótipo... 
 3.3.1 – O dsPIC30F3014 e seus periféricos.......................................................... 
 3.3.1.1 – Conversor A/D de 12 Bits..................................................................... 
 3.3.1.2 – Módulo UART....................................................................................... 
 3.3.1.3 – O módulo de comunicação SPI............................................................. 
 3.3.1.4 – Timer 3.................................................................................................. 
 3.3.2 – O conversor D/A de 12 Bits MCP4921.................................................... 
 3.3.3 – Circuito integrado gerador de referência de tensão REF192.................... 
 3.3.4 – Os circuitos integrados TL082 e TL084................................................... 
 3.3.5 – Os transistores Darlington de potência TIP122 e TIP127........................ 
3.4 – Circuitos Utilizados no Desenvolvimento do Protótipo.............................. 
3.4.1 – Buffer ou seguidor de tensão.................................................................... 
3.4.2 – Filtro passa-baixa de primeira ordem ativo.............................................. 
3.4.3 – Amplificador de diferenças......................................................................
3.4.4 – Amplificador não inversor....................................................................... 
3.4.5 – O amplificador de potência “Push-Pull” classe B.................................... 
3.5 – Condicionamento para os Sensores............................................................. 
3.5.1 – O circuito condicionador.......................................................................... 
3.5.2 – Projeto do circuito condicionador............................................................ 
3.5.3 – Cálculo das derivadas dos sinais 

e 

.................................................... 
3.6 – O Algoritmo de Cálculo das Variáveis de Estados..................................... 
3.7 – Condicionamento para os Sinais de Controle............................................. 
3.7.1 – Circuito condicionador para os sinais de controle................................... 
3.7.1.1 – Projeto do circuito condicionador para o sinal de controle................... 
 
23 
23 
23 
24 
25 
25 
 
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26 
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30 
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35 
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39 
39 
40 
41 
42 
 viii 
3.7.2 – Fonte de corrente controlada por tensão.................................................. 
3.7.2.1 – Projeto da fonte de corrente controlada por tensão............................... 
CAPÍTULO 4 – Análise da Planta e Projeto de Controladores................................ 
4.1 – Análise em Malha Aberta........................................................................... 
4.1.1 – Estabilidade do sistema............................................................................ 
4.1.2 – Controlabilidade e Observabilidade......................................................... 
4.1.4 – Resposta em freqüência............................................................................ 
4.2 – Controle por Alocação de Pólos Utilizando Realimentação de 
Estados............................................................................................................................. 
4.2.1 – Controlador digital por realimentação de estados com integrador na 
malha direta..................................................................................................................... 
4.2.2 – Determinação da matriz de realimentação de estados K e do ganho do 
integrador 
IK
 para o sistema de controle do “Ball & Beam”......................................... 
 
CAPÍTULO 5 – Resultados.......................................................................................... 
5.1 – Resultados................................................................................................... 
5.1.1 – Resultados construtivos............................................................................ 
5.1.2 – Resultados simulados e experimentais..................................................... 
 
CAPÍTULO 6 – Conclusões.......................................................................................... 
6.1 – Considerações gerais................................................................................... 
6.2 – Dificuldades................................................................................................ 
6.3 – Propostas para Trabalhos Futuros............................................................... 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS........................................................................ 
 
APÊNDICE A – Códigos Gráficos em LabView do VI Principal e do sub-VI que 
configura a comunicação serial da Interface Homem Máquina............................... 
APÊNDICE B – Código em C do algoritmo implementado no dsPIC30F3014 
que controla e gerencia o protótipo.............................................................................. 
 
42 
43 
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44 
44 
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46 
 
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55 
55 
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58 
58 
59 
 
60 
 
 
61 
 
62 
 
 ix 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
 
CAPÍTULO 2 
Figura 2.1 – Sistema Dinâmico “Ball & Beam”............................................................. 
Figura 2.2 – Sistema de Coordenadas............................................................................ 
Figura 2.3 – Geometria e Dinâmica do Movimento de Rotação da Esfera.................... 
Figura 2.4 – Geometria da Planta................................................................................... 
Figura 2.5 – Representação do modelo linearizado em Espaço de Estados................... 
Figura 2.6 – Medição de h.............................................................................................. 
Figura 2.7 – Calculo de R............................................................................................... 
Figura 2.8 – Motor CC com redução.............................................................................. 
Figura 2.9 – Modelo do motor CC em diagrama de blocos........................................... 
Figura 2.10 – Modelo do motor CC com rotor bloqueado............................................. 
Figura 2.11 – Medição de velocidade angular utilizando um Tacômetro...................... 
Figura 2.12 – Fonte de alimentação com indicadores de tensão e corrente................... 
Figura 2.13 – Modelo do sistema atuador-planta em diagrama de blocos..................... 
Figura 2.14 – Representação do modelo discretizado em espaço de estados................. 
Figura 2.15 – Diagrama de blocos do sistema discretizado........................................... 
 
CAPÍTULO 3 
Figura 3.1 – O protótipo didático “Ball & Beam”.......................................................... 
Figura 3.2 – Diagrama esquemático e funcional da arquitetura geral do protótipo....... 
Figura 3.3 – Detalhes da Barra....................................................................................... 
Figura 3.4 – Esquema elétrico do sensor de posição da esfera sobre a barra................. 
Figura 3.5 – Constante de Proporcionalidade................................................................. 
Figura 3.6 – Servo-motor CC......................................................................................... 
Figura 3.7 – Constante de Proporcionalidade................................................................. 
Figura 3.8 – Pinagem do micro-controlador dsPIC30f3014.......................................... 
Figura 3.9 – Representação em diagrama de blocos do conversor A/D......................... 
Figura 3.10 – Ilustração de transmissão serial de dados................................................ 
Figura 3.11 – Interface de comunicação serial PC/dsPIC.............................................. 
 
4 
4 
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30 
30 
 x 
Figura 3.12 – Conversor D/A......................................................................................... 
Figura 3.13 – Comandos de escrita no MCP4921 pela comunicação SPI..................... 
Figura 3.14 – Representação em diagrama de blocos do conversor D/A...................... 
Figura 3.15 – CI gerador de referência de tensão de 2,5V............................................. 
Figura 3.16 – Circuitos integrados com amplificadores
operacionais........................... 
Figura 3.17 – Transistores Darlington............................................................................ 
Figura 3.18 – Circuito seguidor de tensão ou buffer...................................................... 
Figura 3.19 – Filtro passa-baixa..................................................................................... 
Figura 3.20 – Amplificador de diferenças...................................................................... 
Figura 3.21 – Amplificador não-inversor....................................................................... 
Figura 3.22 – Amplificador de potência “Push-Pull” classe B...................................... 
Figura 3.23 – Diagrama esquemático do processo de condicionamento do sensor de 
posição da esfera........................................................................................ 
Figura 3.24 – Diagrama esquemático do processo de condicionamento do sensor de 
posição angular da barra............................................................................. 
Figura 3.25 – Circuito condicionador............................................................................. 
Figura 3.26 – Diagrama de blocos do processamento que gera os sinais de controle.... 
Figura 3.27 – Circuito condicionador do sinal de controle............................................ 
Figura 3.28 – Fonte de corrente controlada por tensão.................................................. 
 
CAPÍTULO 4 
Figura 4.1 – Mapa de pólos e zeros do “Ball &Beam” no plano S................................ 
Figura 4.2 – Representação do modelo matemático do “Ball & Beam” no espaço de 
estados........................................................................................................ 
Figura 4.3 – Resposta em Freqüência do sistema “Ball & Beam”................................. 
Figura 4.4 – Sistema de Controle em Malha Fechada.................................................... 
Figura 4.5 – Sistema de controle digital com um integrador inserido no ramo 
direto........................................................................................................... 
Figura 4.6 – Região no plano S que satisfaz as condições impostas por M e 
st
............ 
Figura 4.7 – Diagrama de blocos montado no Simulink pata simular o sistema de 
controle em malha fechada......................................................................... 
Figura 4.8 – Simulação da resposta da planta a uma entrada degrau............................. 
 
31 
31 
32 
32 
33 
33 
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35 
35 
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38 
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47 
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54 
54 
 
 xi 
CAPÍTULO 5 
Figura 5.1 – O protótipo didático................................................................................... 
Figura 5.2 – Interface homem-máquina......................................................................... 
Figura 5.3 – Resposta ao degrau simulada e a real......................................................... 
Figura 5.4 – Resposta a onda quadrada.......................................................................... 
 
CAPÍTULO 6 
Figura 6.1 – Sinal de controle contaminado por ruído................................................... 
 
APÊNDICE A 
Ilustração A.1 – Código gráfico do VI principal da IHM.............................................. 
Ilustração A.2 – Código gráfico do sub-VI (Lê-Bytes) de configuração da 
comunicação serial..................................................................................... 
 
55 
56 
57 
57 
 
 
58 
 
 
61 
 
61 
 
 xii 
LISTA DE TABELAS 
 
 
CAPÍTULO 2 
Tabela 2.1 – Dados extraídos de (Neves, 1999)............................................................. 
Tabela 2.2 – Dados medidos ou calculados.................................................................... 
Tabela 2.3 – Medidas realizadas nos ensaios com rotor bloqueado............................... 
Tabela 2.4 – Medidas realizadas nos ensaios de malha aberta....................................... 
Tabela 2.5 – Parâmetros estimados................................................................................ 
 
13 
14 
18 
20 
21 
 
 xiii 
LISTA DE QUADROS 
 
 
CAPÍTULO 3 
Quadro 3.1 – Algoritmo de cálculo das variáveis de estados......................................... 
Quadro 3.2 – Algoritmo que processa o sinal de controle............................................. 
 
CAPÍTULO 4 
Tabela 4.1 – Base de regras do controlador PD fuzzy.................................................... 
 
41 
42 
 
 
59 
 
 xiv 
LISTA DE SÍMBOLOS 
 
 

 Posição linear da esfera sobre a barra. 

 Posição angular da barra. 

 Torque aplicado pelo motor. 

 Velocidade angular da esfera. 

 Deslocamento angular da esfera em relação a {X, Y}. 

 Deslocamento angular da esfera em relação a {X’, Y’}. 
R
 Raio de rotação da esfera. 
r
 Raio da esfera. 
h
 Distância entre o centro de massa da barra ao contato da esfera com a barra. 
m
 Massa da esfera. 
g
 Aceleração da gravidade. 
J
 Momento de inércia da barra. 
I
 Momento de inércia da esfera. 
v
 Velocidade linear da esfera em relação ao referencial. 
( )bbG s
 Função de transferência do “Ball & Beam”. 
( )G s
 Função de transferência “Ball & Beam” e o motor CC. 
x e y Coordenadas cartesianas. 
a e b Variáveis auxiliares. 
n Relação de engrenagens da caixa de redução. 
k
 Constante de torque. 
ek
 Constante de força contra-eletromotriz. 
ts Tempo de Acomodação. 
M Sobre-sinal. 
 xv 
Resumo 
 
Este trabalho tem o objetivo de desenvolver um protótipo didático de bancada, o 
sistema dinâmico “Ball and Beam”, para ser utilizado em ensino e pesquisa de Engenharia de 
Sistemas de Controle e Instrumentação Eletrônica no Laboratório de Engenharia Elétrica e 
Computação. Esse protótipo, em trabalhos anteriores, já havia sido construído, mas devido ao 
sucateamento, os protótipos anteriores ficaram obsoletos. 
Protótipos didáticos, como este, podem ser encontrados comercialmente no mercado. 
No entanto, seu custo é muito elevado e desenvolver um equipamento como ele na 
universidade gera um ganho maior na formação de estudantes e os custos são bem menores. 
O “Ball and Beam” é uma planta didática clássica com características interessantes, do 
ponto de vista do estudo de sistemas de controle, como a não linearidade e estabilidade. 
Através deste sistema é possível estudar diversas técnicas de controle, sejam elas clássicas, 
modernas, inteligentes, etc. 
 Neste trabalho, propõem-se a dedução de um modelo matemático mais detalhado para 
o “Ball and Bem”, o qual será linearizado pelo primeiro método de Lyapunov ou método do 
jacobiano de linearização de equações de estados. O modelo linearizado é então discretizado e 
o modelo resultante é utilizado no projeto de controladores digitais no espaço de estados. O 
controlador digital é implementado num controlador digital de sinais que captura os sinais 
condicionados dos sensores da planta e gera um sinal de controle para um conversor D/A, que 
é condicionado por um circuito conversor de sinais de tensão em
sinais de corrente para 
acionar um motor CC. Este motor funciona como atuador eletromecânico para o “Ball and 
Beam”, ou seja, a planta é controlada por um sinal de corrente injetado no enrolamento de 
armadura do motor CC. Os sinais de saída e de entrada da planta podem ser vistos através de 
uma interface gráfica, pois o protótipo se comunica com um PC através da Comunicação 
serial. 
 Após a construção do protótipo, ensaios foram realizados e os resultados foram 
comparados com os resultados de simulações. 
 Portanto, com a construção deste equipamento, pretende-se obter um equipamento de 
baixo custo e flexível que possa ser usado com desenvoltura em atividades de ensino e 
pesquisa. 
 
 
 1 
Capítulo 1 
Introdução 
 
1.1 – Considerações Gerais. 
A construção de protótipos didáticos é uma prática comum em cursos de engenharia, 
pois é uma tarefa interdisciplinar que contribui na formação de estudantes e professores, na 
consolidação de conceitos teóricos, aumento da experiência em projetos e associação da teoria 
à prática, bem como na satisfação e divertimento que trás para os estudantes que os 
constroem. 
Os protótipos didáticos são equipamentos com aplicações pedagógicas eficazes no 
ensino de engenharia, porque é um recurso que possibilita aos estudantes comprovarem como 
toda a instrução formal em matemática e ciências aplicadas que recebem em sala de aula é 
importante na descrição e manipulação de fenômenos físicos. 
Existem diversos tipos de protótipos didáticos que variam entre as engenharias. No 
caso da Engenharia Elétrica e da Engenharia de Sistemas de Controle, tem-se o pêndulo 
invertido, o levitador magnético, o sistema de níveis de líquidos, etc., que são protótipos que 
estão disponíveis comercialmente, mas possuem, geralmente, custo elevado e tecnologia 
fechada. Por isso desenvolver os próprios protótipos é algo que trás vantagens para 
instituições de ensino e pesquisa, pois além do custo reduzido, adquiri-se certa independência 
tecnológica além dos benefícios já comentados para estudantes e professores. 
Em particular, entre os protótipos didáticos citados, tem-se o sistema de controle 
Barra-Esfera ou, originalmente em inglês, “Ball & Beam”, o qual é constituído por uma barra 
e uma esfera que rola livremente sobre a barra e um motor de corrente contínua (motor CC) 
que serve como atuador para controlar a posição linear da esfera sobre a barra. O “Ball & 
Beam” é uma planta interessante para aplicação em ensino e pesquisa de sistemas de controle, 
por ser um sistema dinâmico não linear, rápido (pequena constante de tempo, da ordem de 
0,28 seg), de fase não mínima, instável, de quarta ordem, controlável e observável como será 
demonstrado nos próximos capítulos deste trabalho. Através do “Ball & Beam” é possível 
aplicar diversas técnicas de controle: Clássicas, Modernas e Inteligentes, mas o interessante 
deste sistema, por ser um protótipo didático, é permitir o teste de técnicas inovadoras de 
controle sejam elas lineares ou não-lineares, pois tais testes não são permitidos, geralmente, 
em plantas industriais devido ao temor de possíveis prejuízos financeiros. 
 
 2 
1.2 – Objetivo do Trabalho. 
O objetivo deste trabalho é construir um equipamento didático de bancada para 
ensino e estudo de sistemas de controle, no caso, o Sistema de controle Barra-Esfera ou “Ball 
& Beam” com recursos de software e hardware comumente utilizados em laboratório por 
estudantes e professores, na atualidade. Deduzir um modelo matemático próprio para o 
sistema. E implementar uma técnica de controle no espaço de estados como exemplo de 
aplicação de controle do protótipo. 
 
1.3 – Metodologia utilizada no desenvolvimento do protótipo. 
 No desenvolvimento do protótipo, primeiramente, após estudos de trabalhos 
publicados sobre o assunto em questão, deduziu-se um modelo matemático para o sistema, 
utilizando como ferramenta a Equação de Lagrange, que resulta num sistema de duas 
equações não lineares que, em seguida, são linearizadas em torno do ponto de equilíbrio zero, 
utilizando o primeiro método de Lyapunov ou método do jacobiano. E, através de ensaios de 
malha aberta e de rotor bloqueado, levantaram-se os parâmetros do motor CC que interessam 
para o controle do “Ball & Beam”. Os parâmetros referentes à esfera e à barra foram 
reaproveitados de um trabalho anterior (Neves, 1999), pois estes componentes do sistema 
foram reaproveitados do referido trabalho. 
 Com o modelo matemático do sistema obtido, projetou-se um sistema eletrônico que 
embarcasse o controle do sistema e fizesse comunicação com um computador pessoal que 
comporta uma interface Homem Máquina (IHM) para ter acesso gráfico às variáveis do 
sistema de controle. 
 Primeiramente, desenvolveram-se circuitos condicionadores para os sensores do 
protótipo, em seguida, os circuitos que condicionam e amplificam os sinais de controle, 
depois se desenvolveu o sistema digital que realiza todo o processamento digital das 
informações dos sensores, gera os sinais de controle e envia as informações serialmente para o 
PC onde foi instalada a IHM de monitoramento. 
 Em seguida, um controlador foi projetado utilizando o método de alocação de pólos 
através da realimentação de estados, o qual foi implementado, no sistema eletrônico de 
controle, via software. Posteriormente, ensaios foram realizados para colher resultados 
práticos para serem comparados com os resultados de simulação. 
 
 
 
 3 
Capítulo 2 
Modelagem Matemática e Levantamento de Parâmetros 
 
Em Engenharia de Sistemas de Controle, a obtenção de modelos matemáticos, que 
representem, satisfatoriamente, a dinâmica do processo ou da planta que se pretenda controlar, 
é o primeiro passo do desenvolvimento e projeto de sistemas de controle, pois a partir destes 
modelos são aplicadas técnicas de análise que fornecem informações importantes a respeito 
da dinâmica da planta, tais como: estabilidade, controlabilidade, resposta em freqüência, etc. 
A partir destas informações e de parâmetros do modelo do sistema, são projetados os 
controladores do processo ou planta (Ogata, 2005). 
Tais modelos podem ser obtidos de maneira analítica ou por técnicas de 
identificação de sistemas. Na primeira forma, é necessário conhecer a física do sistema e a 
partir deste conhecimento são levantadas equações diferenciais cujos parâmetros são obtidos 
através de medições feitas diretamente ou em experimentos. Na segunda forma, pouco ou 
nenhum conhecimento se tem da física do sistema, mas partindo da resposta da planta a 
determinados sinais de excitação como o degrau, é possível levantar um modelo que 
represente a planta satisfatoriamente (Aguirre, 2004). 
 
2.1 - Modelagem Matemática do Sistema Dinâmico “Ball & Beam” 
O “Ball & Beam” é um sistema mecânico constituído por uma barra que gira em 
torno do eixo de um motor CC, que funciona como um atuador eletromecânico, e uma esfera 
que rola livremente sobre a barra como mostra a figura 2.1. 
A saída do sistema é a posição da esfera sobre a barra e o sinal de entrada que atua 
na parte mecânica da planta é o torque resultante aplicado pelo motor CC, que é proporcional 
a corrente elétrica aplicada no seu enrolamento de armadura. 
Considera-se o referencial inercial no centro de massa da barra e se adotam dois 
sistemas de eixos cartesianos {X, Y} e {X’, Y’}, centrados no referencial adotado, onde o 
primeiro é fixo e o segundo se desloca angularmente em função do deslocamento
angular da 
barra, como mostrado na figura 2.2, (Cazzolato, 2007). 
 4 
 
Figura 2.1: Sistema Dinâmico “Ball & Beam”. 
 
Partindo da descrição da planta e dos referenciais adotados, modela-se o “Ball & 
Beam”, analiticamente, utilizando como ferramenta a equação de Lagrange, que oferece uma 
maneira sistemática de obter as equações de movimento do sistema, a partir das suas funções 
de energia cinética e potencial e das perdas energéticas envolvidas. Em seguida, modela-se 
matematicamente o motor CC e, realizam-se ensaios e medições para o levantamento dos 
parâmetros do “Ball & Beam” e do motor CC. 
 
 
Figura 2.2: Sistema de Coordenadas 
 
 
 5 
2.1.1 - Velocidade Angular da Esfera. 
Analisando a geometria e a dinâmica do sistema, Figura 2.3, conclui-se que o 
deslocamento angular

da esfera em relação a {X, Y} é a soma deslocamento angular

 da 
esfera em relação a {X’, Y’} com o deslocamento angular

da barra, isto é, 
   
, onde 
R

 
, (Hirsch, 1999). Então, derivando

, obtém-se a velocidade angular da esfera em 
relação a {X,Y}, dada pela equação 2.1. 
R

  
 (2.1) 
 
 
Figura 2.3: Geometria e Dinâmica do Movimento de Rotação da Esfera. 
 
2.1.2 - Posição e Velocidade da Esfera. 
De acordo com a geometria da planta, Figura 2.4, tem-se a posição do centro de 
massa da esfera, em coordenadas Cartesianas (x, y), em relação aos eixos {X,Y}. Da Figura 
2.4, observa-se que 
tan
R h
a



, portanto, 
 
cos
sin
a R h


 
   
 
e 
sin
R h
c



, portanto, 
sin
R h
c



. 
Observa-se também que y e x são dados, respectivamente, pelas equações (2.2) e (2.3). 
 6 
 siny a   
 (2.2) 
 cosx a c   
 (2.3) 
Onde 

e 

 são o deslocamento da esfera sobre a barra e o deslocamento angular da barra, 
então substituindo 
a
 e 
c
 nas Equações (2.2) e (2.3), tem-se as equações (2.4) e (2.5). 
 cos siny R h     
 (2.4) 
 cos sinx R h    
 (2.5) 
Em seguida, derivando as Eqs. (2.4) e (2.5), obtêm-se as equações (2.6) e (2.7). 
 sin cos siny R h          
 (2.6) 
 cos sin cosx R h          
 (2.7) 
Então a velocidade 
v
 da bola em relação ao referencial inercial é função das 
derivadas das coordenadas (x, y) da esfera, conforme a equação (2.8). 
2 2v x y 
 (2.8) 
Substituindo as Eqs. (2.6) e (2.7) na Eq. (2.8) e aplicando o teorema fundamental da 
trigonometria 
2 2sin cos 1  , conclui-se que a velocidade da esfera é dada pela equação 
(2.9). 
2 2 2 2 2 22( ) ( )v R h R h          (2.9) 
 
 
Figura 2.4: Geometria da Planta 
 
 7 
2.1.3 - Aplicação da equação de Lagrange 
A equação de Lagrange é dada pela equação (2.10), (D’Azzo/ Houpis, 1968). 
i
i i i i
d T T D V
Q
dt q q q q
    
    
    
 (2.10) 
Onde: 
T é a função energia cinética total do sistema; 
D é a função energia dissipada pelo sistema; 
V é a função energia potencial total do sistema; 
iQ
é a função força generalizada aplicada segundo a coordenada 
iq
; 
iq
 é a coordenada generalizada; 
iq
 é a velocidade generalizada e 
1,2,...,i n
 são os graus de liberdade do sistema. 
Observa-se que o sistema “Ball & Beam” possui dois graus de liberdade, onde 

 e 

 são as coordenadas generalizadas e 

é força generalizada do sistema, (Cazzolato, 2007), 
ou seja, em notação vetorial, 
q


 
  
 
, que derivando resulta em
q


 
  
 
, e 0
Q

 
  
 
. 
Então a energia potencial total, 
V
, do sistema é função somente da massa e da altura 
da bola em relação a {X, Y}, pois o centro de massa da barra se localiza no referencial do 
sistema e a energia potencial acumulada em sua massa é nula, ou seja, 
V mgy
. Logo a 
energia potencial total é dada pela equação (2.11). 
 sin cosV mg R h      
 (2.11) 
E a energia cinética total, 
T
, do sistema é soma das energias cinéticas devido a cada 
movimento que ocorre no sistema. Nele ocorrem três tipos de movimento: o movimento da 
esfera em relação ao referencial inercial, a rotação da barra em relação ao seu centro de massa 
que está no referencial inercial e a rotação da esfera em torno do seu centro de massa. Logo 
2 2 2
2 2 2
mv J I
T
 
  
 , ou seja, a energia cinética total é dada pela equação (2.12), onde J e I 
são os momentos de inércia da barra e da bola, respectivamente. 
 
22
2 2 2 2 22( ) ( )
2 2 2
m J I
T R h R h
R
                
 
 (2.12) 
 8 
Considerando todas as perdas energéticas desprazíveis, isto é, 
0D 
 e substituindo 
as Eqs. (2.11) e (2.12) na equação (2.9), segue que: 
T
T
q T


 
  
 
  
  
, onde 
T



 e 
T



 são dados pelas equações (2.13) e (2.14). 
  2
T I I
m m R h
R R
  

    

 (2.13) 
   
22T m R h m m R h J I
R
     
  
         
  
 (2.14) 
E derivando, no tempo, as Equações (2.13) e (2.14), tem-se, respectivamente, 
   2 2
d T I I I I
m m R h m m R h
dt R R R R
                           
 
e 
   
22 2
d T I
m m R h J I m R h m
dt R
                      
. 
Logo, o primeiro termo da equação de Lagrange é dado pela equação (2.15). 
 
   
2
22 2
I I
m m R h
R Rd T
dt q I
m m R h J I m R h m
R
 
   
    
             
                   
 (2.15) 
Da mesma forma 
T
T
q T


 
  
 
  
  
, onde 
2T m




 e 
0
T




, ou seja, o segundo termo 
da equação de Lagrange é dado pela equação (2.16). 
2
0
mT
q
 
  
  
 (2.16) 
E, da mesma maneira, tem-se 
V
V
q V


 
  
 
  
  
, isto é, o terceiro termo é dado pela 
equação (2.17). 
 9 
 
sin
cos sin
mgV
mg R hq

  
 
       
 (2.17) 
Substituindo as Equações (2.15), (2.16) e (2.17) na Equação (9), chega-se ao sistema 
de equações não-lineares que descreve a dinâmica do “Ball & Beam”, dado pelas equações 
(2.18) e
(2.19). 
 
  22 sin 0
I I
m m R h mg m
R R
               
   
 (2.18) 
     
22 2 cos sin
I
m m R h J I m R h m mg R h
R
                          
(2.19) 
 
Em seguida, expressa-se o sistema de equações que descrevem a dinâmica do “Ball 
& Beam” em formato de equações de espaço de estados, ou seja, 
( , , )u tx f x
, onde 
1
2
3
4
x
x
x
x




   
   
   
   
   
    
x e 
u 
, então, resolvendo as Equações. (2.18) e (2.19) em termos da 
aceleração da bola e da aceleração angular da barra, respectivamente, tem-se as equações 
(2.20) e (2.21). 
 
         
      
2 22 2 2
22 2 2 2
( ) ( ) ( ) sin 2 ( )
( ) ( )
m R h I R m I R m R h I R m m R h I R mg m m I R m R h I R
m I R m m R h J I m R h I R m I R
    
            

        
 
  
            
2
2 2 222 2 2
( ) cos ( )sin sinmg m R h I R R h mg m
m I R m I Rm I R m m R h J I m R h I R m I R
    

   
  
           
 (2.20) 
 
          
        
2 2 2 2
222 2 2
( ) ( ) sin 2 cos ( )sinm I R m R h I R m m R h I R mg m m I R mg m I R R h
m I R m m R h J I m R h I R m I R
       
            

          
 (2.21) 
 
Como 
1 1
2 2
3 3
4 4
x f
x f
x f
x f




    
    
      
    
    
       
x , então, obtém-se as equações não lineares do “Ball & 
Beam”, no espaço de estados, dadas pelas equações (2.22), (2.23), (2.24) e (2.25). 
 
 10 
1 2f x
 (2.22) 
 
        
2 222 2 2
1
( )m R h I R u
f
m I R mx m R h J I m R h I R m I R
 
          
 
 
        
 
        
 
        
 
   
2 2
1 4
2 222 2 2
1
2
3
2 222 2 2
1
1 3
222 2 2
1
1 2 4
22 2
1
( )
( ) sin
( ) cos
2 ( )
m m R h I R x x
m I R mx m R h J I m R h I R m I R
m R h I R mg x
m I R mx m R h J I m R h I R m I R
mg m R h I R x x
m I R mx m R h J I m R h I R m I R
m m R h I R x x x
m I R mx m R h
 

          
 

          
 

          
 

       
  
        
   
2 2
3
222 2 2
1
2
3 1 4
2 2
( ) sin
sin
J I m R h I R m I R
mg m R h I R R h x
m I R mx m R h J I m R h I R m I R
mg x mx x
m I R m I R
       
  

          
 
 
 (2.23) 
 
3 4f x
 (2.24) 
 
      
4 222 2
1
u
f
mx m R h J I m R h I R m I R

         
 
 
        
      
 
        
      
2
1 4
222 2 2
1
1 2 4
222 2
1
3
222 2 2
1
3
222 2
1
1
( )
2
( ) sin
( )sin
co
m m R h I R x x
m I R mx m R h J I m R h I R m I R
mx x x
mx m R h J I m R h I R m I R
mg m R h I R x
m I R mx m R h J I m R h I R m I R
mg R h x
mx m R h J I m R h I R m I R
mgx
 

          

         
 

          


         

      
3
222 2
1
s x
mx m R h J I m R h I R m I R         
 (2.25) 
 11 
2.1.4 – Linearização do Modelo Matemático em torno de um ponto de operação. 
 Para aplicar as técnicas lineares de análise e projeto de sistemas de controle, é 
necessário linearizar o modelo matemático do “Ball & Beam” em torno de um ponto de 
operação. 
Utilizando o método de linearização de Lyapunov, (Slotine, 1991), obtém-se um 
modelo linearizado do sistema, no espaço de estados, em torno do ponto de operação 
1 2 3 4 0x x x x u    
, no formato da equação (2.25), ilustrada na figura (2.5), onde 
 1 0 0 0y   Cx x
, 
 
0
1 1 1 1
1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
3 3 3 3
1 2 3 4
4 4 4 4
0
1 2 3 4
0
ox x
u u
f f f f
x x x x
f f f f
x x x x
f f f f
x x x x
f f f f
x x x x  
 
    
    
 
    
    
 
    
 
    
    
 
     
A
 e 
0
1
2
3
4
0
0
ox x
u u
f
u
f
u
f
u
f
u  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
B
. 
 
u
y
 

x Ax B
Cx
 (2.26) 
 
 
Figura 2.5: Representação do modelo linearizado em Espaço de Estados. 
 
 
 12 
Portanto, realizando as devidas operações, tem-se que a matriz de estados A é dada 
pela equação (2.27) e a matriz da entrada B, pela equação (2.28). 
 
 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
0 1 0 0
( )
( ) ( ) ( )
( )
0
( )
I
m R h
I I I R
mg m R h mg m R h m R h m R h J I
IR R RI mmg m R h
RR
I
m R h
IR
m R h J I m m R h J
I R
m
R
  
                                                
  
                
      
   
A
   
2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
0
( )
0 0 0 1
( ) ( )
0
( ) ( )
I
m R h
R
I
I
m
R
I I
mg m R h mg m R h
mg R R
I I
m R h m R h
IR R
m R h J I m m R h J I
I IR
m m
R R
  
       
   
   
   
           
      
                            
          
        
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    (2.27) 
 
 
        
      
222 2
22 2
0
0
1
m R h I R
m I R m R h J I m R h I R m I R
m R h J I m R h I R m I R
 
 
     
 
          
  
 
 
 
           
B
 (2.28) 
 
2.1.5 - Parâmetros do modelo Matemático do “Ball & Beam”. 
Como dois componentes construtivos do “Ball & Beam” neste trabalho, a barra e a 
bola, foram reaproveitados de um trabalho anterior (Neves, 1999), organizou-se a Tabela 2.1 
com os dados extraídos do referente trabalho. 
 
Tabela 2.1: Dados extraídos de (Neves, 1999). 
Dados 
Parâmetro Valor Nome 
r 
37,9375 10 m
 Raio da bola 
m 
316,4 10 kg
 Massa da bola 
I 
7 24,1336
10 .kg m
 Momento de inércia da bola 
J 
20,0059 .kg m
 Momento de inércia da barra 
b 9mm Distância entre as paredes internas da barra 
 
 13 
No entanto, o modelo matemático utilizado por (Neves, 1999) despreza os 
parâmetros 
h
 e 
R
, os quais são considerados na dedução do modelo matemático proposto por 
este trabalho. Por isso, é necessário medir a distância 
h
do centro de massa da barra ao 
contato da esfera com a barra e calcular o raio de rotação 
R
 da esfera sobre a barra, ou raio 
efetivo. 
Portanto, como mostra a Figura 2.6, mediu-se o valor de 
h
 diretamente com o 
auxílio de uma régua e chegou-se ao resultado 
1,1h cm
. 
Para calcular o valor de 
R
, adota-se uma secção transversal que passe pela esfera e 
pela barra, então se aplica o teorema de Pitágoras ao triangulo destacado na Figura 2.7, logo 
36,5386 10R m 
. Os resultados obtidos são resumidos na Tabela 2.2. 
 
 
Figura 2.6: Medição de h. 
 
 
Figura 2.7: Cálculo de R. 
 
Tabela 2.2: Dados medidos ou calculados. 
h
 311 10 m 
R 36,5386 10 m
 
 
 14 
A partir dos parâmetros, relevantes ao modelo matemático, listados nas tabelas 2.1 e 
2.2, para o “Ball & Beam” e calculando os elementos das matrizes A e B, chega-se ao 
seguinte modelo matemático linearizado no espaço de estados contínuo dado pelas equações 
(2.29) e (2.30). 
 
1 1
2 2
3 3
4 4
0 1 0 0 0
0,2301 0 6,1691 0 1,4303
0 0 0 1 0
27,2685 0 0,2481 0 169,4915
x x
x x
u
x x
x x

      
       
       
      
      
         
 (2.29) 
 
1
2
3
4
1 0 0 0
x
x
y
x
x
 
 
 
 
 
  
 (2.30) 
 
2.2 – Modelagem matemática do Motor CC – Atuador Eletromecânico. 
O motor CC funciona como atuador eletromecânico, o qual fornece o torque 
necessário, na entrada do sistema “Ball & Beam”, para controlar a posição da bola sobre a 
barra. O motor CC utilizado na construção do protótipo está acoplado a uma caixa de redução, 
que reduz a velocidade e aumenta o torque, aplicados pelo motor, veja a Figura 2.8. O eixo de 
saída da caixa de redução é acoplado no centro de massa da barra do “Ball & Beam”, a qual é 
uma carga para o conjunto motor-caixa de redução. 
 
 
Figura 2.8: Motor CC com redução. 
 
 
 
 15 
2.2.1 - Modelo do motor CC. 
Aplicando as leis de Kirchhoff no enrolamento de armadura do motor CC, obtém-se 
a equação (2.31). 
a
a a a a a
di
v L R i e
dt
  
 (2.31) 
Desprezando a indutância na equação (2.31), pois, em regime permanente, o indutor 
se comporta como curto-circuito para corrente contínua, tem-se a equação (2.32). 
a a a av R i e 
 (2.32) 
O motor CC de imã permanente possui as seguintes propriedades, (Fitzgerald, 
2006): A força contra eletromotriz 
ae
do motor CC é proporcional à velocidade angular
m
do 
eixo do motor, isto é, 
.a em me k 
 e o torque 
m
aplicado ao eixo do motor é proporcional à 
corrente de armadura, ou seja, 
.m m ak i 
. 
Como a caixa de redução possui uma relação de engrenagens n, a velocidade angular 
e o torque, que são observados, no eixo de saída da caixa, são dados por 
m
n

 
 e 
. mn 
, 
respectivamente, (Ogata, 2005), daí obtém-se as equações (2.33) e (2.34), onde 
.e emk n k
e 
. mk n k 
. 
 
. ak i 
 (2.33) 
.a ee k 
 (2.34) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
A constante de atrito viscoso resultante e o momento de inércia resultante vistos na 
saída da caixa de redução do motor CC são dados, respectivamente, por 
2( )R L a eJ J n J J  
e
2
R L aB b n b 
, (Ogata, 2005). 
Então, aplica-se a segunda lei de Newton, no eixo de saída da caixa de redução do 
motor CC, o que resulta na equação (2.35). 
R RJ w B w 
 (2.35) 
Portanto a dinâmica do motor CC é expressa pelas equações (2.32), (2.33), (2.34) e 
(2.35). Como as perdas energéticas por atrito no sistema dinâmico “Ball & Beam” são 
desprezadas, também no motor CC serão desprezadas, conclui-se que o torque resultante 
aplicado pelo motor é dado pela equação (2.36). 
RJ w 
 (2.36) 
Logo, como o sinal de entrada da planta é o torque resultante aplicado pelo motor, 
que é proporcional à corrente de armadura, o modelo matemático do atuador eletromecânico 
utilizado no “Ball & Beam” se reduz, simplesmente, a equação (2.37), veja a Figura 2.9. 
 
. ak i 
 (2.37) 
 
 
Figura 2.9: Modelo do motor CC em diagrama de blocos. 
 
 17 
2.2.2 – Ensaios para a estimação de parâmetros do motor 
a) Ensaio com rotor bloqueado: 
Com o rotor bloqueado, (Fitzgerald, 2006), 
0 
, e sabendo que 
.ae ke
, tem-se 
0e 
. E, em regime permanente, o indutor se comporta como curto-circuito para corrente 
contínua. Então a partir da equação (2.31), chega-se a equação (2.38). Veja a Figura 2.10. 
 
a
a
a
v
R
i

 (2.38) 
 
 
Figura 2.10: Modelo do motor CC com rotor bloqueado. 
 
 
 Então, a partir dos ensaios realizados com o rotor bloqueado do motor CC, 
obtiveram-se resultados que foram organizados na Tabela 2.3. 
 
Tabela 2.1: Medidas realizadas nos ensaios com rotor bloqueado. 
Ensaio N°: 
 av V
 
 ai A
 
 aR 
 
1 0,5 0,27 1,8519 
2 1,0 0,73 1,3699 
3 1,5 1,11 1,3514 
4 2,0 1,57 1,2739 
5 2,5 2,00 1,2500 
6 3,0 2,47 1,2146 
7 3,5 2,80 1,2500 
8 4,0 3,20 1,2500 
9 4,5 3,50 1,2800 
10 5,0 4,05 1,2300 
 
 18 
b) Ensaios para estimação de 
ek
 e 
k
: 
No sistema internacional (SI), 
ek k 
, (Fitzgerald, 2006). Logo, estimando uma das 
constantes, obtém-se a outra. Portanto, a partir das Equações. (2.32) e (2.34), e resolvendo 
para 
ek
,chega-se a equação (2.39). 
 
a a a
e
v R i
k
w


 (2.39) 
 
Utilizando um tacômetro, Figura 2.11, e uma fonte com indicadores de tensão e 
corrente, Figura 2.12, e também a equação (2.39), realizaram-se ensaios de malha aberta no 
motor CC para estimar os parâmetros 
ek
 e 
k
, cujos resultados obtidos foram organizados 
na Tabela 2.4. 
 
 
 Figura 2.11: Medição de velocidade angular usando um Tacômetro. 
 
 
Figura 2.12: Fonte de alimentação com indicadores de tensão e corrente. 
 19 
Tabela 2.4: Medidas realizadas nos ensaios de malha aberta. 
Nº 
 av V
 
 ai A
 
 w rad s
 
 ek V rad s
 
1 5 0,20 5,3514 0,8149 
2 -5 -0,20 -5,7020 0,8278 
3 8 0,24 9,4120 0,8143 
4 -8 -0,25 -9,4120 0,8128 
5 10 0,30 11,7650 0,8143 
6 -10 -0,30 -11,7650 0,8143 
7 12 0,38
13,937 0,8228 
8 -12 -0,38 -14,299 0,8228 
9 15 0,58 18,1000 0,7839 
10 -15 -0,58 -18,1000 0,7839 
 
Os valores médios dos parâmetros estimados relevantes à modelagem do motor 
CC, como atuador eletromecânico do “Ball & Beam”, e para projeto de circuitos que 
controlem a corrente de armadura foram calculados a partir dos resultados obtidos nos 
experimentos descritos anteriormente e organizados na Tabela 2.5. 
 
Tabela 2.5: Parâmetros estimados. 
Parâmetros do Motor CC 
grandeza Valor Nome 
 aR 
 1,40 Resistência de armadura 
 k Nm A
 0,81 Constante de torque 
 
2.3 – Modelo matemático do sistema considerando planta e atuador. 
2.3.1 – Modelo Contínuo. 
Sabendo que o modelo do motor CC como atuador para o “Ball & Beam’” é dado 
por 
u k u 
, onde 
u 
 e 
u i
, obtém-se o modelo completo que descreve o sistema 
dinâmico “Ball & Beam“ e seu atuador, cuja saída é a posição da bola e a entrada é a corrente 
de armadura, expresso nas equações (2.40) e (2.41). 
 20 
1 1
2 2
3 3
4 4
0 1 0 0 0
0,2301 0 6,1691 0 1,1585
0 0 0 1 0
27,2685 0 0,2481 0 137,2881
x x
x x
u
x x
x x
      
       
       
      
      
         
 (2.40) 
 
1
2
3
4
1 0 0 0
x
x
y
x
x
 
 
 
 
 
  
 (2.41) 
 
 Em seguida, com auxílio da expressão 
 
1
( )G s s

 C I A B
 e das Equações (2.40) 
e (2.41), (Ogata, 2005), obtém-se a função de transferência contínua do “Ball & Beam” com 
seu atuador dado pela equação (2.42), Figura 2.13. 
 
2
4 2
( ) 3,5068 1410,971
( )
( ) 0,0675 168,1427a
s s
G s
I s s s
 
 
 
 (2.42) 
 
 
2.3.2 – Modelo Discreto. 
 Para se aplicar controladores digitais num sistema de controle é necessário obter um 
modelo matemático discreto que descreva satisfatoriamente a dinâmica da planta, pois a partir 
dele, projeta-se controladores discretos que são implementados computacionalmente em 
micro-controladores ou em computadores pessoais via programas escritos numa determinada 
linguagem de programação. 
 Sendo assim, o modelo matemático discreto da planta no espaço de estados, obtido a 
partir do modelo contínuo em espaço de estados é dado pelo sistema de equações (2.43), veja 
figura 2.14. 
( 1) ( ) ( )
( ) ( )
k k u k
y k k
  

x Gx H
Cx
 (2.43) 
Onde as matrizes G e H são dadas pelas equações (2.44) e (2.45). 
 
Figura 1.13: Modelo do sistema atuador planta em diagrama de blocos. 
 21 
 
11a
a
T
t T
e s


   
 
A
G I AL
 (2.44) 
0
.
aT
te dt 
A
H B (2.45) 
 
 
 
No entanto, para obter o modelo matemático discreto a partir do contínuo, utilizando 
as equações (2.43), (2.44) e (2.45), é necessário escolher um período de amostragem que faça 
com que o modelo discreto não viole o teorema de Nyquist e não torne o sistema instável em 
malha fechada, (Kuo, 1992) e (Haykin, 2002). 
Então a partir do pólo mais rápido do modelo contínuo do “Ball & Beam”, extraído 
da função de transferência do sistema dada pela equação (2.42), obtém-se a menor constante 
de tempo da planta. Dai 
10
mr
a
T
T 
, onde 
mrT
 é a menor constante de tempo. Portanto 
1
33,6087 27,7 10
10
aT

  
. Logo se escolhe o período de amostragem 
20aT ms
. Portanto, 
em função das equações (2.43), (2.44) e (2.45) e do período de amostragem escolhido, tem-se 
o modelo matemático discreto do “Ball & Beam” dado pelas equações (2.46) e (2.47). 
 
 
 
 
 
1 1
2 2
3 3
4 4
( 1) ( )1 0,02 0,0012 0 0,0004
( 1) ( )0,0004 1 0,1233 0,0012 0,0418
( )
( 1) ( )0,0055 0 1 0,02 0,0280
( 1) ( )0,5454 0,0055 0,0014 1 2,8020
x k x k
x k x k
u k
x k x k
x k x k
       
        
       
       
      
           
 (2.46) 
 
Figura 2.14: Representação do modelo discreto no espaço de estados. 
 22 
 
1
2
3
4
( )
( )
( ) 1 0 0 0
( )
( )
x k
x k
y k
x k
x k
 
 
 
 
 
  
 (2.47) 
Em seguida, com auxílio da expressão 
 
1
( )G z zI

 C G H
, obtém-se a função de 
transferência discreta do “Ball & Beam” com seu atuador, dado pela equação (2.48), veja 
figura 2.15. 
 
3 2
4 3 2
0,0004 0,0005 0,0005 0,0004
( )
4 6 4 1
z z z
G z
z z z z
  

   
 (2.48) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo3 
Desenvolvimento e Construção do Protótipo 
 
3.1 – Estrutura Física. 
 
Figura 2.15: Diagrama de Blocos do sistema discretizado. 
 23 
 A estrutura física do protótipo didático “Ball & Beam”, exibido na Figura 3.1, é 
constituída por uma barra de alumínio que comporta o sensor de posição linear da esfera de 
metal, que deve rolar livremente sobra a barra, um motor CC dentro de uma caixa preta que 
comporta também uma caixa de redução um potenciômetro conectado no eixo de saída da 
caixa de redução, o qual serve de sensor de posição angular para a barra, a qual é acoplada no 
eixo de saída da caixa de redução. É composto também por circuitos de controle, aquisição e 
comunicação e uma fonte de alimentação para o todo protótipo. Todos os elementos citados 
anteriormente são abrigados por uma caixa de acrílico reforçada por dentro por apoios de 
metal e alumínio para tornar o protótipo mais robusto a vibrações. 
 
 
Figura 3.3: O protótipo didático “Ball & Beam”. 
 
3.2 – As partes que compõem o protótipo. 
Na figura 3.2, apresenta-se o diagrama esquemático e funcional da arquitetura geral do 
protótipo desenvolvido e que aborda tanto os aspectos mecânicos quanto os eletrônicos e 
computacionais. 
 24 
 
3.2.1 – Barra e sensor de posição da esfera. 
 A barra, que contêm o sensor de posição linear da esfera, foi reaproveitada de um 
TCC anterior, (Neves, 1999), exibida na Figura 3.3. Ela é constituída por uma calha de 
alumínio, vendida em lojas de confecção de janelas e portas de vidro, e um suporte de 
madeira tipo compensado que protege as ligações entre os resistores que formam o sensor de 
posição da esfera junto com fios e segmentos de cobre. A Figura 3.4 exibe o esquema elétrico 
do sensor de posição linear da esfera que funciona como um potenciômetro. 
 
 
 
Figura 3.3: Detalhes da barra de alumínio. 
 
Figura 3.2: Diagrama esquemático e funcional da arquitetura geral do protótipo. 
 
 25 
 
Figura 3.4: Esquema elétrico do sensor de posição da esfera sobre a barra. 
 
3.2.1.1 – A constante de proporcionalidade do sensor de posição da esfera. 
 O sinal de saída do sensor relaciona a posição relativa da esfera sobre a barra, 
através de um nível de tensão. Para se determinar a relação entre entrada e saída do sensor de
posição linear, isto é, a constante de proporcionalidade do sensor, Figura 3.5, de forma que 
este nível de tensão seja interpretado como unidade de distância, divide-se a máxima 
diferença de tensão, na faixa de tensão que o sensor excursiona, isto é, [-15, 15]V, pelo 
comprimento da barra. Ou seja, 
30
50,85 V/m
0,59
V
K
m
  
. 
 
 
Figura 3.5: Constante de Proporcionalidade. 
 
3.2.2 – O motor CC e o sensor de posição angular da barra. 
 O motor CC, que fornece o torque necessário para controlar o “Ball & Beam”, é 
acoplado no interior de uma caixa preta, que comporta também a caixa de redução do motor e 
um potenciômetro, conectado no eixo de saída da caixa de redução, que funciona como sensor 
de posição angular da barra. Este sistema completo é um servo motor da “Hitec” com seu 
 26 
próprio circuito de acionamento e controle embarcado na caixa preta. Este sistema foi 
adquirido através da internet, (www.hobbydelivery.com.br). No entanto, o circuito de controle 
e acionamento do servo não era previsto pelo modelo matemático do motor CC, por isso, foi 
retirado e um circuito de acionamento mais adequado para os fins didáticos do protótipo foi 
desenvolvido para o motor, Figura 3.6. 
 
 
Figura 3.6: Servo Motor CC. 
 
3.2.2.1 – Constante de proporcionalidade do sensor de posição angular da barra. 
 A relação entre o nível de tensão do sensor de posição angular e a posição angular da 
barra em radianos é definida pela constante de proporcionalidade 
K
. Para identificar 
K
, 
mediu-se a saída do sensor para 
2

rad e para -
2

rad que resultou, respectivamente, nas 
medidas 11,7V e -11,7V, veja a Figura 3.7. Portanto, 
23,4
7,45 V/rad
V
K
rad
  
. 
 
 
Figura 4.7: Constante de Proporcionalidade. 
 27 
3.3 – Componentes eletrônicos utilizados no desenvolvimento do protótipo. 
3.3.1 – O dsPIC30F3014 e seus periféricos. 
Os controladores de sinais digitais dsPIC, da Microchip, são dispositivos que 
integram as principais características do mundo dos micro-controladores (baixo custo e 
variedade de periféricos internos), com a arquitetura voltada para o processamento em tempo 
real dos Processadores digitais de sianais, assim, criando uma linha de dispositivos 
intermediários. São dispositivos de alto desempenho, chegando a operar a 120 MHz. Neste 
projeto, foi escolhido o DSPIC30F3014, ilustrado na Figura 3.8 por disponibilizar as 
ferramentas essenciais para as aplicações requeridas, ou seja: Conversores A/D, “Timers”, 
canal de comunicação serial assíncrona e comunicação síncrona SPI (Serial Peripheral 
Interface). 
Principais características: 
 Arquitetura Harvard modificada de alto desempenho. 
 33 fontes de interrupção. 
 Instruções e registradores próprios para DSP. 
 Pinos de I/O com alta corrente de dreno e fonte: 25mA. 
 Conversor analógico-digital de 12 bits. 
 Módulo I2C. 
 Dois módulos UART (Universal Asynchronous Receiver Transmitter). 
 Módulo de comunicação CAN 2.0. 
 Memória de programa flash de 48 Kbytes, 2048 bytes de SRAM e 1024 bytes 
de EEPROM. 
 Programação serial In-circuit (ICSP™). 
 Fabricado com tecnologia CMOS admitindo faixas de temperatura industriais. 
 Cinco timers/contadores de 16 bits, podendo agrupar um par para gerar um 
módulo de timer de 32 bits. 
 28 
 
Figura 3.8: Pinagem do micro-controlador dsPIC 30f3014. 
 
3.3.1.1 – Conversor A/D de 12 Bits. 
O conversor analógico-digital de 12 bits permite a conversão de sinais de entrada 
analógicos para um número digital de 12 bits. O módulo é baseado na arquitetura de 
aproximação sucessiva (folha de dados do componente) e permite uma taxa de amostragem 
máxima de 200 ksps. 
O módulo A/D do DSPIC tem até 16 entradas analógicas (dependendo do modelo) 
que são multiplexadas em um amplificador sample and hold. A saída deste estágio é a entrada 
do conversor que gera o resultado. 
Uma maneira aproximada de representar o conversor A/D é através de um ganho, 
pois, sabendo que para sinais de entrada na faixa de 0 a 2.5V, o conversor A/D gera um sinal 
discreto de números inteiros na faixa de 0 a 4095. Sendo assim, a Figura 3.9, exibe a 
representação matemática do conversor A/D através de diagrama de blocos. 
 
 
Figura 3.9: Representação em diagrama de blocos do conversor A/D 
 
3.3.1.2 – Módulo UART 
 O módulo UART é um periférico que realiza a comunicação serial assíncrona nos 
controladores de sinais digitais dsPICs. É um método de comunicação full-duplex, ou seja, 
 29 
com dois canais de comunicação independentes que podem operar ao mesmo tempo, mas com 
a mesma taxa de transferência e tamanho de dados. O modo de comunicação é assíncrona, não 
existe a necessidade de sincronização entre os dispositivos, uma vez que os caracteres são 
transmitidos individualmente e não em blocos como na comunicação síncrona. A transmissão 
de cada caractere é precedida de um bit de start e terminada por 1 ou 2 bit(s) de stop, como é 
ilustrado na figura 3.10. 
 
 
Figura 3.10 – Ilustração de uma transmissão serial de dados. 
 
A implementação desta via de comunicação é feita com uso de um circuito integrado 
(MAX232) que, com auxílio de capacitores, ajusta os níveis de tensão entre o micro-
controlador e a porta serial de um PC. Na Figura 3.11 é ilustrada essa interface de 
comunicação. 
 
 
Figura 3.11 – Interface de comunicação serial PC/dsPIC. 
 
Transmissor 
Gerador de taxa 
de comunicação 
Receptor 
Dado1 Dado2 
DSPIC 
 30 
O dsPIC se comunica com a Interface Homem Máquina utilizando (IHM) o código 
ASCII, onde cada byte representa um caractere. A cada ciclo de comunicação é enviado um 
vetor com os 30 caracteres que levam as informações das variáveis de estado, do sinal de 
controle e de referência para serem exibidos na IHM. 
 
3.3.1.3 – O módulo de comunicação SPI. 
 O padrão SPI é um método de comunicação serial síncrona de alta velocidade entre 
periféricos. Muito utilizado para conectar controladores e processadores de sinais digitais e 
micro-controladores a conversores A/D, memórias, etc. Este módulo é utilizado para 
comunicar o dsPIC com o conversor D/A utilizado nos circuitos do protótipo para gerar o 
sinal de tensão que controla fonte de corrente que aciona o motor CC. 
 
3.3.1.4 – Temer. 
 O temporizador Timer3 é um contador de 16 bits. Ele é o periférico que fornece a 
noção de tempo para o conversor A/D do dsPIC, pois a cada estouro de contagem deste timer 
uma conversão A/D é iniciada. 
 
3.3.2 – O conversor D/A de 12 Bits MCP4921. 
 Os sinais digitais de controle gerados pelo algoritmo de controle embarcado no 
dsPIC são convertidos em sinais analógicos pelo conversor D/A de 12bits MCP490219 
(MCP), Figura 3.12. O MCP se comunica com o dsPIC através da comunicação SPI, por meio 
de uma palavra de 16bits, onde os quatro mais significativos são de configuração do MCP e 
os doze bits menos significativos para os dados, Figura 3.13. 
 
 
Figura 3.12: Conversor D/A. 
 
 31 
 
Figura 3.13: Comandos de escrita no MCP4921 pela comunicação SPI. 
 
Da mesma forma que o conversor A/D do dsPIC foi representado por um ganho, 
Figura 3.9, o conversor D/A MCP4921 (MCP) também pode ser, pois, sabendo que para 
sinais discretos de números inteiros na faixa de 0 a 4095, o conversor