Lista Algebra Linear - Autovalores, autovetores e diagonalizacao

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A´lgebra linear
Autovalores, autovetores e diagonalizac¸a˜o
1. Encontre os autovalores e os autoespac¸os da matriz 0 0 10 0 0
0 1 0
 .
A matriz e´ diagonaliza´vel?
2. Encontre os autovalores e os autoespac¸os da matriz 1 0 01 2 −1
2 2 −1
 .
A matriz e´ diagonaliza´vel?
3. Encontre os autovalores e os autoespac¸os da matriz 1 1 10 2 1
0 0 3
 .
A matriz e´ diagonaliza´vel?
4. Encontre os autovalores e os autoespac¸os da matriz 10 −2 −11−12 5 16
12 −2 −13
 .
A matriz e´ diagonaliza´vel?
2
5. Encontre os autovalores e os autoespac¸os da matriz 10 5 −4−12 −7 4
12 10 −1
 .
A matriz e´ diagonaliza´vel?
6. Encontre os autovalores e os autoespac¸os da matriz 3 −2 110 3 5
−10 4 −4
 .
A matriz e´ diagonaliza´vel?
7. Encontre os valores de k para os quais x =
 11
2
 e´ autovetor da matriz
 1− k 0 0−1 2 −1
−k 2 −1
 .
Estabelec¸a se, para tais valores de k, a matriz e´ diagonaliza´vel.
8. Deˆ exemplos de matrizes 4× 4 com as propriedades seguintes:
i) diagonaliza´vel e com determinante nulo;
ii) na˜o diagonaliza´vel e com determinante nulo;
iii) diagonaliza´vel e com determinante na˜o nulo;
iv) na˜o diagonaliza´vel e com determinante na˜o nulo.
9. Encontre os valores de a para os quais a matriz
A =
 1 1 0a a −a
0 1 1

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pode ser escrita como A = S∆S−1, com ∆ diagonal e S invertivel. Nesses
casos, determine S e ∆.
10. Encontre os valores de t para os quais a matriz t 1 01 0 t
0 1 t

e´ diagonaliza´vel.
11. Encontre os valores de t para os quais a matriz 3 −1 −1t− 1 t+ 3 t+ 1
−t −t 2− t

e´ diagonaliza´vel.
12. Seja f : R2 → R2 a aplicac¸a˜o linear cuja matriz representativa nas bases
B =
{(
3
4
)
,
(
−2
−2
)}
, A =
{(
1
0
)
,
(
0
1
)}
e´
µB,A (f) =
(
−1 0
0 2
)
.
f e´ diagonaliza´vel?
13. Seja V um espac¸o vetorial finitamente gerado, sejam A e B duas bases
e seja H a matriz de transic¸a˜o entre elas. Determine a condic¸a˜o sobre H para
que exista pelo menos um vetor na˜o nulo de V com as mesmas componentes
nas duas bases.
14. Seja A uma matriz quadrada tal que A2 − A = A. Prove que A e´
diagonaliza´vel.
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15. Seja V um espac¸o vetorial real finitamente gerado e seja f ∈ End(V )
uma involuc¸a˜o (ou seja, f 2 = 1V ). Prove que f e´ diagonaliza´vel.
Dica: Observe que, para todo v ∈ V , v = 1
2
[v + f(v)] + 1
2
[v − f(v)].
16. Encontre uma matriz A tal que
h1 =
 10
1
 seja autovetor relativo ao autovalor 1;
h2 =
 01
0
 , h3 =
 01
2
 sejam autovetores relativos ao autovalor 2.