Introdução a álgebra linear - Prova1 UFV

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Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica
1a Prova de MAT138 - Noc¸o˜es de A´lgebra Linear - 08/06/2013
Nome: Matr´ıcula:
[ ]Turma 1 [ ]Turma 2 [ ]Turma 20
Edson Luiz/Walter Filipe
1a Questa˜o: Fac¸a o que se pede.
(a) (2 pontos) Seja A ∈Mn(IR) uma matriz que satisfaz a equac¸a˜o A2 −A+ I = 0. Mostre que A−1 = I −A.
(b) (2 pontos) Mostre que a matriz B =
[
2 3
−1 −1
]
satisfaz a equac¸a˜o B2 −B + I = 0.
(c) (2 pontos) Utilizando os ı´tens anteriores, encontre B−1.(So´ sera´ considerada a resoluc¸a˜o utilizando
os ı´tens anteriores.)
Soluc¸a˜o:
(a) Basta verificar que A(I−A) = I. Mas antes observe que pela equac¸a˜o A2−A+ I = 0, temos que I = A−A2.
Assim, temos que
A(I −A) = A−A2 = I,
como quer´ıamos.
(b) Basta efetuar as operac¸o˜es
B2 −B + I =
[
2 3
−1 −1
]
.
[
2 3
−1 −1
]
−
[
2 3
−1 −1
]
+
[
1 0
0 1
]
=
[
1 3
−1 −2
]
−
[
2 3
−1 −1
]
+
[
1 0
0 1
]
=
[
0 0
0 0
]
(c) Vemos que a matriz B satisfaz a mesma equac¸a˜o do ı´tem (a). Logo a sua inversa e´ dada por
B−1 = I −B =
[
1 0
0 1
]
−
[
2 3
−1 −1
]
=
[ −1 −3
1 2
]
1
2a Questa˜o:Seja a matriz C =

1 2 3 0
2 1 0 −1
0 0 2 −3
3 4 0 0

(a) (2 pontos) Calcule os cofatores ∆33 e ∆34.
(b) (2 pontos) Calcule o determinante da matriz C utilizando o ı´tem anterior.
(c) (1 ponto) A matriz C e´ invers´ıvel? Justifique.
Soluc¸a˜o:
(a)
∆33 = (−1)3+3
∣∣∣∣∣∣
1 2 0
2 1 −1
3 4 0
∣∣∣∣∣∣ = −6 + 4 = −2
e
∆34 = (−1)3+4
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
2 1 0
3 4 0
∣∣∣∣∣∣ = (−1)(24− 9) = −15.
(b) det(C) = a31∆31 + a32∆32 + a33∆33 + a34∆34 = 2 · (−2)− 3 · (−15) = −4 + 45 = 41.
(c) Temos que C e´ invers´ıvel, pois det(C) 6= 0.
3a Questa˜o:(3 pontos) Utilizando operac¸o˜es elementares encontre a inversa da matriz A =
 1 −1 02 −1 −1
0 2 −1
 .
Soluc¸a˜o:  1 −1 02 −1 −1
0 2 −1
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 L2 ← L2 − 2L1−→
 1 −1 00 1 −1
0 2 −1
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
−2 1 0
0 0 1

L1 ← L1 + L2
−→
L3 ← L3 − 2L2
 1 0 −10 1 −1
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
−1 1 0
−2 1 0
4 −2 1
 L1 ← L1 + L3−→
L2 ← L2 + L3
 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
3 −1 1
2 −1 1
4 −2 1
 .
Logo,
A−1 =
 3 −1 12 −1 1
4 −2 1
 .
2
4a Questa˜o Julgue cada ı´tem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com uma argumento lo´gico ou com um
contra-exemplo. Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
(a) (2 pontos)( F ) Sejam A1, A2, A2, A3, A4 matrizes de ordem 3, obtidas pela aplicac¸a˜o das seguintes operac¸o˜es
elementares
A1
L3↔L2−→ A2 L1←L1+2L3−→ A3 L3←3L3−→ A4.
Se det(A4) = 2, enta˜o det(A1) = −6.
(b) (2 pontos)( F ) Se A,B ∈Mn(IR) sa˜o tais que AB = 0, enta˜o A = 0 ou B = 0.
(c) (2 pontos)( V ) Se A e B sa˜o matrizes de ordem 2 tais que det(A) = −2 e det(B) = 3, enta˜o det(3ATB−1) =
−6.
Soluc¸a˜o:
(a) Notemos que a primeira operac¸a˜o elementar troca o sinal do determinante, a segunda na˜o altera o determinante
e a terceira multiplica o determinante por 3. Desta forma, temos que
detA4 = 3 detA3 = 3 detA2 = −3 detA1.
Logo, se detA4 = 2, devemos ter −3 detA1 = 2, ou seja, detA1 = −2
3
caracterizando a falsidade da sentenc¸a.
(b) A segunda sentenc¸a tambe´m e´ falsa. Basta tomar
A =
[
1 0
0 0
]
e B =
[
0 0
0 1
]
.
Temos que AB = 0, com A 6= 0 e B 6= 0.
(c) Basta aplicar as propriedades de determinante e substituir os dados do exerc´ıcio. Assim, como as matrizes
sa˜o de ordem 2, temos
det(3ATB−1) = 32 det(AT ).det(B−1)
= 9.
detA
detB
= 9.
−2
3
= −6.
3