INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR - Prova3 UFV

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas - CCE
Departamento de Matema´tica
3a Prova de MAT138 - Noc¸o˜es de A´lgebra Linear - 31/08/2013
Nome: Matr´ıcula:
[ ]Turma 1 [ ]Turma 2 [ ]Turma 20
Edson Walter Filipe
1a Questa˜o:(10 pontos) Encontre o polinoˆmio de grau 2 que passa pelos pontos (−1, 5), (1, 1) e (0, 2).
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2a Questa˜o: Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha do Para´. Sabe-se que o
quilo de amendoim custa R$ 1,00, o quilo de castanha de caju custa R$ 2,00 e o quilo de castanha do Para´ R$ 1,00. Cada
lata deve conter 3 quilos da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,00.
(a) (2 pontos) Explicite o modelo matema´tico que representa o problema.
(b) (3 pontos) Encontre o conjunto soluc¸a˜o do modelo.
(c) (2 pontos) O problema apresenta soluc¸a˜o que fac¸a sentido pra´tico? Em caso afirmativo, determine uma mistura.
(d) (3 pontos) Se ale´m disso, a empresa exigir que a quantidade de castanha de caju em cada lata seja igual a um terc¸o
da soma das outras duas, sera´ poss´ıvel obter uma mistura destes treˆs ingredientes satisfazendo as condic¸o˜es impostas
pela empresa? Justifique.
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3a Questa˜o: Seja T : IR3 → IR2 uma aplicac¸a˜o linear dada por T (1, 1, 1) = (0, 2), T (1, 1, 0) = (−1, 3) e T (1, 0, 0) = (1, 2).
Assuma que B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e´ uma base para IR3. Fac¸a o que se pede:
(a) (2 pontos) Mostre que T (x, y, z) = (x− 2y + z, 2x+ y − z).
(b) (4 pontos) Encontre uma base e a dimensa˜o do nu´cleo de T. A aplicac¸a˜o e´ injetora? Justifique.
(c) (4 pontos) Encontre uma base e a dimensa˜o da imagem de T. A aplicac¸a˜o e´ sobrejetora? Justifique.
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4a Questa˜o: Considere o operador linear T : IR3 → IR3 dado por T (x, y, z) = (x− y + z, 2y − z, z).
(a) (2 pontos) Mostre, sem calcular autoespac¸o, que o vetor (1,−1, 0) e´ um autovetor de T.
(b) (2 pontos) Encontre o polinoˆmio caracter´ıstico de T.
(c) (1 ponto) Mostre que os autovalores de T sa˜o λ1 = 1, λ2 = 1 e λ3 = 2.
(d) (3 pontos) Encontre o autoespac¸o relacionado a cada um dos autovalores.
(e) (2 pontos) O operador T e´ diagonaliza´vel? Justifique.
Boa Prova!
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