INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR - Prova3 gabarito UFV

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas - CCE
Departamento de Matema´tica
3a Prova de MAT138 - Noc¸o˜es de A´lgebra Linear - 31/08/2013
Nome: Matr´ıcula:
[ ]Turma 1 [ ]Turma 2 [ ]Turma 20
Edson Walter Filipe
1a Questa˜o:(10 pontos) Encontre o polinoˆmio de grau 2 que passa pelos pontos (−1, 5), (1, 1) e (0, 2).
Devemos encontrar o polinoˆmio p(x) = ax2 + bx + c, tal que p(−1) = 5, p(1) = 1 e p(0) = 2. Desta forma, devemos
encontrar a,b e c tais que  a− b+ c = 5a+ b+ c = 1
c = 2
Escalonando a matriz ampliada do sistema, temos 1 −1 11 1 1
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
5
1
2
 L2 ← L2 − L1−→
 1 −1 10 2 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
5
−4
2
 .
Da´ı, temos o sistema equivalente e´ dado por  a− b+ c = 52b = −4
c = 2
,
que nos fornece c = 2, b = −2 e a = 1. Logo, o polinoˆmio procurado e´ dado por
p(x) = x2 − 2x+ 2.
1
2a Questa˜o: Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha do Para´. Sabe-se que o
quilo de amendoim custa R$ 1,00, o quilo de castanha de caju custa R$ 2,00 e o quilo de castanha do Para´ R$ 1,00. Cada
lata deve conter 3 quilos da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,00.
(a) (2 pontos) Explicite o modelo matema´tico que representa o problema.
(b) (3 pontos) Encontre o conjunto soluc¸a˜o do modelo.
(c) (2 pontos) O problema apresenta soluc¸a˜o que fac¸a sentido pra´tico? Em caso afirmativo, determine uma mistura.
(d) (3 pontos) Se ale´m disso, a empresa exigir que a quantidade de castanha de caju em cada lata seja igual a um terc¸o
da soma das outras duas, sera´ poss´ıvel obter uma mistura destes treˆs ingredientes satisfazendo as condic¸o˜es impostas
pela empresa? Justifique.
Soluc¸a˜o:
(a) Considere x como sendo a quantidade em quilos de amendoim, y a quantidade em quilos de castanha de caju e z a
quantidade em quilos de castanha do Para´. Assim, para atender as necessidades da empresa, devemos ter{
x+ y + z = 3
x+ 2y + z = 5
(b) Para encontrar o conjunto soluc¸a˜o, devemos escalonar a matriz ampliada do sistema[
1 1 1
1 2 1
∣∣∣∣ 35
]
L2 ← L2 − L1
−→
[
1 1 1
0 1 0
∣∣∣∣ 32
]
.
Da´ı, temos que y = 2 e x = 1− z, z ∈ IR. Logo, o conjunto soluc¸a˜o e´ dado por
S = {(1− z, 2, z); z ∈ IR}.
(c) Uma soluc¸a˜o que fac¸a sentido pra´tico corresponde a uma soluc¸a˜o com todas as treˆs quantidades positivas. Basta fazer
z =
1
2
para obter uma soluc¸a˜o. Logo, uma mistura poss´ıvel e´ tomando 0.5 Kg de amendoim, 2 kg de castanha de caju
e 0.5 kg de castanha do Para´.
(d) A nova exigeˆncia da empresa e´ descrita pela equac¸a˜o y =
1
3
(x + z). Se a mistura com a nova restric¸a˜o fosse poss´ıvel,
dever´ıamos ter 2 =
1
3
(x+ z) =
1
3
(1− z + z) = 1
3
, que e´ um absurdo.
2
3a Questa˜o: Seja T : IR3 → IR2 uma aplicac¸a˜o linear dada por T (1, 1, 1) = (0, 2), T (1, 1, 0) = (−1, 3) e T (1, 0, 0) = (1, 2).
Assuma que B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e´ uma base para IR3. Fac¸a o que se pede:
(a) (2 pontos) Mostre que T (x, y, z) = (x− 2y + z, 2x+ y − z).
(b) (4 pontos) Encontre uma base e a dimensa˜o do nu´cleo de T. A aplicac¸a˜o e´ injetora? Justifique.
(c) (4 pontos) Encontre uma base e a dimensa˜o da imagem de T. A aplicac¸a˜o e´ sobrejetora? Justifique.
Soluc¸a˜o:
(a) Uma transformac¸a˜o linear fica unicamente definida conhecendo a imagem dos elementos de uma base qualquer do
domı´nio. Como B e´ uma base de IR3, basta verificar que T : IR3 → IR2 definida por T (x, y, z) = (x−2y+z, 2x+y−z),
satisfaz T (1, 1, 1) = (0, 2), T (1, 1, 0) = (−1, 3) e T (1, 0, 0) = (1, 2). Isto e´ facilmente verificado substituindo os 3 vetores
da base B em T.
(b)
N(T ) = {(x, y, z) ∈ IR3;T (x, y, z) = (0, 0)}.
Logo, devemos resolver o sistema linear homogeˆneo
{
x− 2y + z = 0
2x+ y − z = 0[
1 −2 1
2 1 −1
]
L2 ← L2 − 2L1
−→
[
1 −2 1
0 5 −3
]
.
Assim,
N(T ) =
{
(x, y, z) ∈ IR3; y = 3
5
z, x =
1
5
z, z ∈ IR
}
=
{
z(
1
5
,
3
5
, 1); z ∈ IR
}
=
[(
1
5
,
3
5
, 1
)]
= [(1, 3, 5)]
Desta forma, temos que uma base para o nu´cleo e´ dada por B = {(1, 3, 5)}, dimN(T ) = 1 e a aplicac¸a˜o T na˜o e´
injetora, pois N(T ) 6= {0}.
(c) Pelo Teorema do Nu´cleo e Imagem, temos que dim(Im(T )) = dim(IR3)− dim(N(T )) = 3− 1 = 2. Como Im(T ) ⊂ IR2
e dim(IR2) = dim(Im(T )), temos que Im(T ) = IR2, consequentemente T e´ sobrejetora. Qualquer base de IR2 sera´ uma
base para a imagem de T. Em particular, podemos tomar C = {(1, 0), (0, 1)} como uma base para Im(T ).
3
4a Questa˜o: Considere o operador linear T : IR3 → IR3 dado por T (x, y, z) = (x− y + z, 2y − z, z).
(a) (2 pontos) Mostre, sem calcular autoespac¸o, que o vetor (1,−1, 0) e´ um autovetor de T.
(b) (2 pontos) Encontre o polinoˆmio caracter´ıstico de T.
(c) (1 ponto) Mostre que os autovalores de T sa˜o λ1 = 1, λ2 = 1 e λ3 = 2.
(d) (3 pontos) Encontre o autoespac¸o relacionado a cada um dos autovalores.
(e) (2 pontos) O operador T e´ diagonaliza´vel? Justifique.
Soluc¸a˜o:
(a) Basta observar que T (1,−1, 0) = (2,−2, 0) = 2(1,−1, 0), ou seja, (1,−1, 0) um autovetor associado ao autovalor 2.
(b) Considere C a base canoˆnica de IR3. Assim,
pT (λ) = det([T ]
C
C − λI) =
∣∣∣∣∣∣
1− λ −1 1
0 2− λ −1
0 0 1− λ
∣∣∣∣∣∣
= (1− λ)(2− λ)(1− λ) = (1− λ)2(2− λ).
(c) Como os autovalores sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico, temos que estes sa˜o dados por λ1 = 1, λ2 = 1 e λ3 = 2.
(d) Como ma(2)=1, temos obrigatoriamente que mg(2)=1. Pelo ı´tem (a), temos que (1,-1,0) e´ uma autovetor associado a
este autovalor. Logo, AutT (2) = [(1,−1, 0)].
Para encontrar o autoespac¸o associado ao autovalor λ = 1 devemos encontrar o nu´cleo do operador T − I, ou seja,
AutT (1) = N(t− I).  0 −1 10 1 −1
0 0 0
 L2 ← L2 + L1−→
 0 −1 10 0 0
0 0 0
 .
Portanto,
AutT (1) = {(x, y, z) ∈ IR3; z = y, x, y ∈ IR}
= {(x, y, y) ∈ IR3;x, y ∈ IR}
= [(1, 0, 0), (0, 1, 1)]
(e) Como ma(2) = 1 = mg(2) e ma(1) = 2 = mg(1), temos que o operador T e´ diagonaliza´vel.
4
Boa Prova!
5