Aula 06

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Professor: Jeronymo Marcondes
Econometria p/ BACEN 2016 
Teoria e exercícios comentados 
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AULA 06 ± Séries de Tempo/ parte 2 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Passos na análise de série de tempo 2 
2. Passo 1 - Identificação 2 
2.1 Teste de estacionariedade 3 
2.2 Identificação de um modelo ARIMA 10 
3. Passo 2 ± estimação 22 
4. Passo 3 ± grau de ajustamento e diagnóstico 23 
4.1 Diagnóstico 23 
4.2 Ajustamento 24 
Lista de exercícios resolvidos com gabarito 46 
Gabarito 59 
 
E aí pessoal? Estão estudando firme? Hora de acelerar. Antes de iniciarmos, uma 
dica de concurseiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bem, na última aula abordamos aspectos teóricos da análise de séries temporais. 
Agora vamos nos focar na fórmula que qualquer analista tem de seguir para analisar 
uma série temporal. Portanto, esta aula terá foco prático, ensinando quais são os 
passos para estimar uma série de tempo. Será uma aula curta e mais simples! 
DICAS DE UM CONCURSEIRO 
 
Essa é para o pessoal que está estudando por livros 
para o concurso! Entenda uma coisa, você não está 
estudando para redigir sua tese de doutorado, ok? 
Foco no edital! Muitas pessoas vão te indicar livros 
mirabolantes de 1500 páginas para estudo. Esse não 
é o objetivo! Tentem maximizar o tempo de estudo. 
Utilizem bibliografias que abordam o conteúdo de 
forma completa, mas simples! Lembrem-se, há uma 
dezena de matérias que caem, não é só uma! 
Objetividade galera! 
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1. Passos na análise de série de tempo 
 
Olha gente, a teoria econométrica aponta três passos que devem ser seguidos ao 
estimarmos uma série temporal: 
 
1) Identificação 
2) Estimação 
3) Avaliação de ajustamento e diagnóstico 
 
Resumidamente, a ideia é verificar qual é o modelo, da classe ARIMA, que a série 
que você está estudando se enquadra, seguindo-se da estimação do modelo e da 
avaliação de sua capacidade de descrever a dinâmica da série. 
 
Então vamos lá. 
 
Primeira coisa que vocês têm de fazer é revisar todo o conteúdo da aula anterior e ter 
certeza que este está bem entendido na sua cabeça. Vamos precisar nos utilizar 
de uma série de conceitos ensinados na aula anterior. 
 
2. Passo 1 - Identificação 
 
Antes de qualquer coisa, precisamos avaliar se a série que estamos estudando é 
realmente estacionária, pois, caso não seja, qualquer avaliação dos parâmetros a 
serem estimados será inconsistente. 
 
Só para dar mais uma pincelada na ideia intuitiva dessa necessidade, suponha 
que você tenha uma série não estacionária. Então, conforme vimos na aula 
anterior, os choques sobre a variável analisada serão persistentes. Assim, é 
impossível avaliar se um determinado movimento na variável foi decorrente da própria 
dinâmica da mesma, ou se trata-se de um efeito retardado de um choque ocorrido no 
passado. Assim, qualquer estimativa de um parâmetro auto-regressivo é 
inconsistente! 
 
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2.1 Teste de estacionariedade 
 
Vocês se lembram, não? A necessidade de identificar se sua série é ou não 
estacionária é essencial. 
 
-³3URIHVVRU��PDV�FRPR�HX�VHL�VH�D�VpULH�p�HVWDFLRQiULD´" 
 
É exatamente isso que vou explicar agora. Suponha uma série de dados para uma 
variável qualquer (ݕ௧): 
 ݕ௧ ൌ ߩݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ (1) 
Sendo ݁௧ os erros. 
 
Nesse caso, a série será estacionária se ȁߩȁ ൏ ?. Se ߩ ൌ ?, a série é não estacionária, 
ou apresenta raiz unitária! Ou seja, no caso de um modelo AR(1), a série será 
considerada como portadora de raiz unitária se ߩ ൌ ?. 
 
Nós já te mostramos na aula anterior que, se ߩ ൌ ?, a média e a variância da série 
não mais serão constantes, bem como a covariância não dependerá somente da 
defasagem �RX� ³ODJ´�� da variável. Portanto, uma variável com raiz unitária não é 
estacionária. 
 
Só um detalhe, uma série não estacionária pode ter mais de uma raiz unitária! 
Lembram-se do conceito de uma variável I(2)? É uma variável que precisa ser 
diferenciada duas vezes para se tornar estacionária, ou seja, que possui 2 raízes 
unitárias. 
 
Uma pergunta que sempre surge é��³H�VH�ߩ ൐ ?´"�1HVVH�FDVR��a série é chamada de 
explosiva! Essa tem propriedades de análise semelhantes a uma série com raiz 
unitária. Assim, apesar de haver algumas diferenças conceituais, não é nada 
que você precise se preocupar para sua prova. 
 
 
 
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Mas, chega de papo, como você pode identificar se a amostra que você está 
estudando tem raiz unitária? Bom, se você está trabalhando com uma amostra, não 
basta estimar o coeficiente auto-regressivo e verificar se o mesmo é igual a 1. Isso 
abre a necessidade de um teste estatístico para verificação desse fato. Em termos 
leigos, averiguar qual a probabilidade de que o mesmo seja igual a 1. 
 
É assim, lembre-se que eu disse que, normalmente, ao diferenciar uma variável uma 
vez, a mesma se torna estacionária? Então, o caso da raiz unitária que estamos 
mostrando acima é um destes casos. Veja, vamos diferenciar a equação (1): ݕ௧ െ ݕ௧ିଵ ൌ ȟݕ௧ 
O que é equivalente a diminuir ݕ௧ିଵ dos dois lados da equação (1): ݕ௧ െ ݕ௧ିଵ ൌ ሺߩݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ሻ െ ݕ௧ିଵ ȟݕ௧ ൌ ሺߩ െ ?ሻݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ ȟݕ௧ ൌ ܾݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ 
Opa! Então a última linha acima nos dá uma nova equação, com ሺߩ െ ?ሻ ൌ ܾ. 
 
Agora, me responda, como testar se essa nova equação tem raiz unitária? É isso 
mesmo! Basta realizar um teste de hipóteses sob os parâmetros da equação estimada 
acima, de forma que a hipótese nula seja ܾ ൌ ?, o que é equivalente a ߩ ൌ ?. 
 
Mas, atenção, apesar de a ideia ser a mesma, a distribuição a ser usada para este 
teste não pode ser a t de Student nem a Normal. Por motivos da teoria estatística 
que fogem ao escopo desse curso, saibam que, para realizar o teste de hipóteses 
sobre o coeficiente estimado ܾ, precisaremos de uma nova distribuição. Portanto, 
podem ficar felizes, teremos que aprender a manusear outra tabelinha. 
 
 
 
 
 
 
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O teste a ser utilizado para a análise de ܾ chama-se teste de Dickey-Fuller (DF). 
Este é realizado tal como um teste de hipóteses sobre os coeficientes de forma usual, 
porém os valores limites para a rejeição da hipótese nula são diferentes. 
 
O teste DF pode ser realizado de diversas formas, em equações com intercepto (ݕ௧ ൌܿ ൅ ߩݕ௧ିଵ ൅ ݁௧), sem intercepto (ݕ௧ ൌ ߩݕ௧ିଵ ൅ ݁௧) e com tendência e intercepto (ݕ௧ ൌܿ ൅ ܽݐ ൅ ߩݕ௧ିଵ ൅ ݁௧). Cada uma destas aplicações do teste apresenta diferentes 
valores críticos na distribuição DF, conforme vocês podem verificar na tabela no fim 
do texto. 
 
Vocês se lembram do que é uma tendência determinística? Se não, vou dar uma 
ajuda. Uma variável tendência se comporta de forma que a primeiraobservação seja 
igual a 1, a segunda igual a 2, a terceira igual a três e assim por diante. 
 
A ideia por detrás da inclusão de uma tendência no teste de raiz unitária é excluir a 
possibilidade de que o comportamento explosivo de uma variável seja decorrente de 
um modelo com tendência estacionária, tal como: ݕ௧ ൌ ?ǡ ?ݐ ൅ ?ǡ ? 
Veja o modelo acima! Se este for o modelo original e você estimá-lo por meio de um 
AR, ao não levar em conta a tendência estacionária, você pode acabar concluindo 
que o modelo possui raiz unitária. 
 
Bom, nós só falamos do AR(1). Mas, qual a contrapartida do processo de raiz unitária 
em modelos auto-regressivos de ordem mais alta? Já adianto, vocês não tem que 
saber isso para todas as ordens possíveis de modelos AR, até porque há infinitas 
possibilidades. Mas, no caso do AR(2), vale a pena saber. 
 
 
 
 
 
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³(VWi�EHP�SURIHVVRU��$JRUD�p�Vy�DSOLFDU�R�WHVWH�')�QR�$5���´� 
 
Bom, o teste DF só funciona para testar raiz unitária em modelos AR(1). Caso um 
modelo AR possua ordem maior que 1, precisamos de um outro teste: o teste de 
Dickey-Fuller aumentado (ADF). Gente, a derivação desse teste está fora do escopo 
desse curso, assim, vou dar a vocês uma exemplificação de seu uso em um modelo 
AR(2), sem intercepto e tendência determinística: ȟݕ௧ ൌ ܾݕ௧ିଵ ൅ ߣଵȟݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ 
E se fosse um AR(3)? ȟݕ௧ ൌ ܾݕ௧ିଵ ൅ ߣଵȟݕ௧ିଵ ൅ ߣଶȟݕ௧ିଶ ൅ ݁௧ 
E assim por diante. A metodologia é testar se ܾ ൌ ? com os valores críticos da 
distribuição DF. Essa equação poderia, sem problemas, incluir os termos tendência e 
intercepto. 
 
Percebam que a metodologia de aplicação é exatamente a mesma descrita para o 
teste DF em AR(1). A única coisa que muda são as n variáveis ȟݕ௧ି௡ incluídas na 
regressão para um AR(n). 
 
Vamos fazer um exercício inventado para vocês aprenderem a usar a tabela DF. 
 
 
 
 
Um modelo AR(2), dado por: ݕ௧ ൌ ܽ଴ ൅ ܽଵݕ௧ିଵ ൅ ܽଶݕ௧ିଶ ൅ ݁௧, 
será estacionário se, conjuntamente: ȁܽଶȁ ൏ ? ܽଵ ൅ ܽଶ ൏ ? ܽଶ െ ܽଵ ൏ ? 
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Exercício 1 
 
Se um economista tivesse estimado um modelo explicativo para a renda 
nacional, de forma que: ࢚࢟ ൌ ૛ǡ ૙૙ െ ૙ǡ ૜૚࢚࢟ି૚ ൅ ૙ǡ૝ઢܡ࢚ି૚ �����������ሺ૙ǡ ૜૛૜ሻ������ሺ૙ǡ૚૙૜ሻ������ሺ૙ǡ ૝૞૝ሻ 
Sabendo que os desvios padrões das variáveis são os valores em parênteses 
localizados bem abaixo delas e que a tabela da distribuição DF encontra-se no 
fim do texto, pergunta-se: o processo em questão é estacionário a 5% de 
significância? 
 
 
Resolução 
 
Bom, o que está sendo perguntado é se o processo possui raiz unitária. Simples: ݐ ൌ െ ?ǡ 甃? ?ǡ 猃爃? ൌ െ ?ǡ ? ? 
Olhem a tabela no fim do texto! 
 
Procurem a tabela que dá os valores com coeficiente e sem tendência, que é o 
nosso caso. Agora, procure o valor 5% na linha relacionada ao modelo com 
intercepto. Você vai encontrar -2,86. 
 
Assim: ȁ ?ǡ 爃?ȁ ൐ ȁ ?ǡ 稃?ȁ ՜ ݎ݆݁݁݅ݐܽ െ ݏ݁�ܽ�݄݅݌×ݐ݁ݏ݁�݊ݑ݈ܽ�݀݁�ݎܽ݅ݖ�ݑ݊݅ݐžݎ݅ ܽ
Portanto, a série é estacionaria a 5% de significância. 
 
 
 
 
 
 
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Retornando. 
 
Obs. Inversão de modelos 
 
Oba! Um tópico importante, a inversão de modelos ARIMA. 
 
³2�TXH�p�LVVR´" 
 
Simples! 
 
Se um modelo auto-regressivo de primeira ordem, AR, for estacionário (isso é, não 
possui raiz unitária), o mesmo pode ser escrito como um processo de médias móveis, 
MA, de ordem infinita. Ou seja, suponha um AR(1): ݕ௧ ൌ ߠݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ ՜ ݕ௧ ൌ ݁௧ ൅ ߠ݁௧ିଵ ൅ ߠଶ݁௧ିଶ ǥ ߠ௡݁௧ି௡ 
Da mesma forma, suponha um modelo MA(1), tal que: ݕ௧ ൌ ݁௧ െ ߶݁௧ିଵ 
Suponha, adicionalmente, que este modelo é invertível, ou seja, ߶ ൏ ?. 
 
Assim, se o modelo MA(1) é invertível, podemos reescrevê-lo como: ݕ௧ ൌ ݁௧ െ ߶݁௧ିଵ ՜ ݁௧ ൌ ݕ௧ ൅ ߶ݕ௧ିଵ ൅ ߶ଶݕ௧ିଶ ǥ ߶௡ ݕ௧ି௡ 
Entenderam? Todo modelo auto-regressivo de ordem 1, sem raiz unitária, pode ser 
reescrito como um MA infinito, tal como todo MA(1) invertível pode ser reescrito como 
um AR infinito. 
 
Decorem, porque isso cai! Dêem uma olhada. 
 
 
 
 
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Exercício 2 
 
(BACEN ± 2010) Sobre séries temporais, analise as proposições a seguir: 
I ± Se um processo de médias móveis (MA) de primeira ordem for estacionário, 
ele pode ser representado como um processo auto-regressivo (AR) de ordem 
infinita 
II ± Se um processo AR for estacionário, este pode ser representado por um MA 
de ordem infinita 
III ± Uma série de tempo é um conjunto ordenado de variáveis aleatórias, isto é, 
um processo estocástico, portanto uma série de tempo y(t) pode ser 
representada pela função densidade conjunta dos y(t) (t = 1, 2...n); assim, 
trabalhar com uma série de tempo é inferir sobre o processo estocástico com 
uma única realização desse processo. 
 
Estão corretas as proposições: 
a) Apenas I 
b) Apenas I e II 
c) Apenas I e III 
d) Apenas II e III 
e) Todas 
 
Resolução 
 
Vamos lá. 
 
Alternativa (I). Veja que a imposição para que um MA possa ser transformado em um 
AR infinito é que o mesmo seja invertível, até porque, todo MA é estacionário. 
Alternativa (II). Essa é exatamente a definição que estipulamos no tópico acima. 
Alternativa (III). Perfeito! Quem não se lembra dessa definição, dê uma olhadinha na 
aula anterior. 
 
 
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2.2 Identificação de um modelo ARIMA 
 
A ideia na identificação dos modelos ARIMA é dizer qual o modelo dessa classe que 
melhor se adéqua à dinâmica da série que você está estudando. Ou seja, quando 
você for estimar uma regressão de uma série de dados histórica com base na 
metodologia Box-Jenkins, você precisa saber qual o modelo que você irá utilizar, 
como um AR ou ARMA, por exemplo. 
 
Uma das formas para identificar qual o modelo que você irá utilizar é por meio da 
função de autocorrelação. Assim, a análise da função de autocorrelação (FAC) 
para uma variável e suas defasagens permitirá que visualizemos o tipo de 
modelo que melhor se adéqua à série. 
 
Bom, como podemos testar a autocorrelação entre a variável em estudo e suas 
defasagens? Para isso, tenho que lembrá-los de uma definição de estatística, o 
conceito do coeficiente correlação. Para duas variáveis ݔ e ݕ, o coeficiente de 
correlação é: ߩሺݔǡ ݕሻ ൌ ܿ݋ݒሺݔǡ ݕሻඥܸܽݎሺݔሻܸܽݎሺݕሻ 
 
Antes de avançarmos, preciso ensinar dois conceitos para vocês. 
 
 
Beleza! Vou mostrar para vocês como se comporta a FAC de um AR(1). Suponha: ݕ௧ ൌ ߠݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ 
 
 
 
 
ܿ݋ݒሺݔǡݕሻ ൌ ܧሺݔݕሻ ݒܽݎሺݕሻ ൌ ܧሺݕଶሻ 
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A variância deste modelo é dada por: ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺߠݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ሻ 
Lembrem-se das propriedades:ࢂࢇ࢘ሺ࢚࢞ ൅ ࢚࢟ሻ ൌ ࢂࢇ࢘ሺ࢚࢞ሻ ൅ ࢂࢇ࢘ሺ࢚࢟ሻ ൅ ૛࡯࢕࢜ሺ࢚࢟ǡ࢚࢞ሻ ࢂࢇ࢘ሺ࢚࢞ െ ࢚࢟ሻ ൌ ࢂࢇ࢘ሺ࢚࢞ሻ ൅ ࢂࢇ࢘ሺ࢚࢟ሻ െ ૛࡯࢕࢜ሺ࢚࢟ǡ࢚࢞ሻ 
Assim, como, neste caso, o último membro é igual à zero, já que, por hipótese, a 
variável explicativa e o termo do erro não podem ser autocorrelacionados, podemos 
escrever: ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ߠ ?ܸܽݎሺݕ௧ିଵሻ ൅ ܸܽݎሺ݁௧ሻ 
Sabendo que a variância dos erros é dada por ߪ ଶǣ ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ߠ ?ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൅ ߪ ଶ 
Assim: ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ߪ ଶ ? െ ߠ ? 
E a covariância? 
 
A covariância entre ݕ௧ e ݕ௧ିଵ é dada por: ܿ݋ݒܽݎ݅Ÿ݊ܿ݅ܽሺݕ௧ ǡ ݕ௧ିଵሻ ൌ ߛଵ ൌ ܧሺݕ௧ݕ௧ିଵሻ 
Para o modelo acima: ߛଵ ൌ ܧሺݕ௧ݕ௧ିଵሻ ൌ ܧ൫ሺߠݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ሻݕ௧ିଵ൯ ߛଵ ൌ ܧሺߠݕ௧ିଵଶ ൅ ݕ௧ିଵ݁௧ሻ ߛଵ ൌ ߠܧሺݕ௧ିଵଶ ሻ ൅ ܧሺݕ௧ିଵ݁௧ሻ 
Como, por hipótese do modelo de regressão linear, não pode haver correlação entre 
as variáveis explicativas e o termo de erro: ܧሺݕ௧ିଵ݁௧ሻ ൌ ? 
 
 
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Portanto: ߛଵ ൌ ߠܧሺݕ௧ିଵଶ ሻ ܥ݋ݒሺݕ௧ ǡ ݕ௧ିଵሻ ൌ ߛଵ ൌ ߠܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ߠܸܽݎሺݕ௧ିଵሻ ൌ ߠߛ଴ 
Assim: ܥ݋ݎݎሺݕ௧ ǡݕ௧ିଵሻ ൌ ߩଵ ൌ ߛଵߛ଴ ൌ ߠ 
Não é difícil! Basta substituir a equação no operador esperança em uma das variáveis 
e, assim, resolver para o coeficiente de correlação, que é a divisão da covariância 
pela variância. 
 
E se fosse um coeficiente de correlação com duas defasagens (ߩଶ )? Começamos com 
o cálculo da covariância: 
 ߛଶ ൌ ܧሺݕ௧ݕ௧ିଶሻ ൌ ܧ൫ሺߠݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ሻݕ௧ିଶ൯ 
Substituindo ݕ௧ିଵ encontrado com base na equação: ݕ௧ିଵ ൌ ߠݕ௧ିଶ ൅ ݁௧ିଵ 
Encontramos: ߛଶ ൌ �ܧ൫ሺߠሺߠݕ௧ିଶ ൅ ݁௧ିଵሻ ൅ ݁௧ሻݕ௧ିଶ൯ 
Agora basta trabalharmos o operador, pois só há uma variável do lado direito, ݕ௧ିଶ. 
Assim: ߛଶ ൌ �ܧ൫ሺߠ ?ݕ௧ିଶ ൅ ߠ݁௧ିଵ ൅ ݁௧ሻݕ௧ିଶ൯ ߛଶ ൌ �ܧሺߠ ?ݕ௧ିଶ ? ൅ߠ݁௧ିଵݕ௧ିଶ ൅ ݁௧ݕ௧ିଶሻ ߛଶ ൌ �ܧሺߠଶݕ௧ିଶ ?ሻ ൅ ܧሺߠ݁௧ିଵݕ௧ିଶሻ ൅ ܧሺ݁௧ݕ௧ିଶሻ 
Como, por hipótese, os dois últimos membros da equação são iguais a zero: ߛଶ ൌ � ߠଶܧሺݕ௧ିଶଶ ሻ ൅ ? ൅ ? ߛଶ ൌ �ߠଶܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ߠଶߛ଴ 
Assim: ܥ݋ݎݎሺݕ௧ ǡ ݕ௧ିଶሻ ൌ ߩଶ ൌ ߛଶߛ଴ ൌ ߠ ? 
 
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Estão enxergando um padrão? É isso aí, em um processo estacionário, a covariância 
e, por consequência, a autocorrelação entre uma variável e uma versão defasada 
dela mesma é igual ao coeficiente da variável defasada elevada ao número de 
defasagens de diferença entre elas. Simplificando: ܥ݋ݎݎሺݕ௧ ǡ ݕ௧ି௡ሻ ൌ ߩ௡ ൌ ߛ௡ߛ଴ ൌ ߠ௡ 
Mas, se o processo é estacionário, você concorda comigo que ߠ ൏ ?ǫ Então, a 
correlação entre uma variável e suas defasagens tende a assumir um valor cada vez 
menor quanto maior for a diferença entre elas. Por exemplo, com base no que 
demonstramos, pode-se afirmar que: ߠ௡ ൏ ߠଶǢ ݏ݁�݊ ൐ ? 
É isso que a FAC irá mostrar para vocês. A FAC é uma função que demonstra qual a 
dinâmica da correlação entre uma variável e suas defasagens. 
 
Então, como se comporta a FAC de um modelo AR(1) estacionário? Dêem uma 
olhada no gráfico de uma FAC de um processo AR. 
 
 
 
No eixo horizontal estão descritas o número de defasagens. 
 
E como é o comportamento da FAC de um MA? Vou ensinar agora! 
 
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No caso do MA, a FAC para um processo MA(1), dado por: ݕ௧ ൌ ݁௧ െ ߶݁௧ିଵ, 
A variância do processo é dada por: ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺ݁௧ െ ߶݁௧ିଵሻ ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺ݁௧ሻ ൅ ߶ ?ܸܽݎሺ ௧݁ିଵሻ ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ߪ ଶ ൅ ߶ ?ߪଶ ߛ଴ ൌ ܸܽݎሺݕ௧ሻ ൌ ሺ ? ൅ ߶ଶ ሻߪ ଶ 
Agora a covariância: ߛଵ ൌ ܧሺݕ௧ݕ௧ିଵሻ ߛଵ ൌ ܧሺሺ ௧݁ െ ߶݁௧ିଵሻሺ݁௧ିଵ െ ߶݁௧ିଶሻሻ ߛଵ ൌ ܧሺ݁௧ ௧݁ିଵ െ ߶݁௧ିଵଶ െ ߶݁௧݁௧ିଶ ൅ ߶ ? ௧݁ିଵ݁௧ିଶሻ ߛଵ ൌ ܧሺ݁௧݁௧ିଵሻ െ ߶ܧሺ݁௧ିଵଶ ሻ െ ߶ܧሺ݁௧ ௧݁ିଶሻ ൅ ߶ ?ܧሺ ௧݁ିଵ݁௧ିଶሻ 
Como, por hipótese, os erros não são autocorrelacionados: ߛଵ ൌ ? െ ߶ߪଶ െ ? ൅ ? ߛଵ ൌ െ߶ߪ ଶ 
Portanto, a autocorrelação de 1ª ordem do processo será: ߛଵߛ଴ ൌ െ߶ߪ ଶሺ ? ൅ ߶ଶ ሻߪ ଶ ൌ െ߶ሺ ? ൅ ߶ଶሻ 
Olha gente, se você fizer as mesmas operações para as autocorrelações de ordens 
maiores, vocês irão encontrar: ߩଶ ൌ ߩଷ ൌ ڮ ൌ ߩ௡ ൌ ? 
Ou seja, para um MA(1), a função de autocorrelação só é diferente de zero na primeira 
defasagem e igual a zero para as demais. Isso vale para todas as ordens do processo, 
como, por exemplo, no caso de um MA(3), a FAC é diferente de zero nas três 
primeiras defasagens e igual a zero nas demais. Veja o gráfico de uma FAC para um 
MA (1): 
 
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Gente, não vou derivar todas as autocorrelações dos processos MA e ARMA, a 
forma de realização é exatamente a mesma mostrada acima. Então decorem as 
características dos processos em termos das suas funções de autocorrelação: 
 
 
FAC AR MA ARMA 
Comportamento 
Infinita e 
declinante 
Finita e truncada 
na ordem do 
processo 
Infinita e 
declinante 
 
 
Bom, mas isso é o suficiente para identificar um processo? Não, pois, no caso dos 
modelos AR e ARMA, não há como dizer qual a ordem do processo. Para isso nos 
utilizamos da função de autocorrelação parcial (FACP). 
 
A definição da FACP nada mais é que a autocorrelação existente entre uma a variável 
em estudo e uma determinada defasagem do processo, excluídas influências das 
outras defasagens. 
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- ³3URIHVVRU��QmR�HQWHQGL´� 
 
Beleza! A título de exemplo, suponha um processo AR(2): ݕ௧ ൌ ܽଵݕ௧ିଵ ൅ ܽଶݕ௧ିଶ ൅ ݁௧ 
Qual é a autocorrelação parcial entre ݕ௧ e ݕ௧ିଶ? 
 
(VVD�p� IiFLO�� (VVH�HIHLWR� ³PDQWLGR� WXGR� PDLV� FRQVWDQWH´� WH� GL]� DOJXPD� FRLVD"�e�D�
própria definição do coeficiente estimado por meio de Mínimos Quadrados Ordinários 
(MQO)! Então, a autocorrelação parcial entre ݕ௧ e ݕ௧ିଶ é o próprio coeficiente ܽଶ. E a 
correlação entre ݕ௧ e ݕ௧ିଵ? Claro que é ܽଵ! 
 
Agora, qual a autocorrelação parcial entre ݕ௧ e ݕ௧ିଷ? É zero! Pois, nós supomos que 
o processo é AR(2), então o coeficiente de ݕ௧ିଷ é zero, já que não afeta o processo! 
O mesmo vale para ݕ௧ିସ, ݕ௧ିହ, e por aí vai! Portanto, a FACP de um processo AR 
é truncada na ordem do processo! 
 
E a FACP para um MA? Bom, isso foge um pouco ao escopo do curso, pois 
precisamos de um pouco mais de matemática do que é cobrado pelo concurso! Mas, 
entendam a ideia! Um MA(1), se invertível, não pode ser escrito como um AR de 
ordem infinita? ݁௧ ൌ ݕ௧ ൅ ߶ݕ௧ିଵ ൅ ߶ଶ ݕ௧ିଶ ǥ ߶௡ ݕ௧ି௡ 
 Como seria a FACP de um AR(infinito)? Seria declinante, pois ߶ ൏ ?! Portanto, a 
FACP de um MA é declinante! 
 
Bom, como eu disse antes, decorem! 
 
 
 
 
 
 
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FACP AR MA ARMA 
Comportamento 
Finita e truncada 
na ordem do 
processo 
Infinita e 
declinante 
Infinita e 
declinante 
 
 
 
 
 
Exercício 3 
(ANS ± 2007) Para o modelo autoregressivo ࢆ࢚ ൌ ૙ǡ૞ࢆ࢚ି૚ െ ૙ǡ ૡࢆ࢚ି૛ ൅ ࢇ࢚ 
Onde ࢇ࢚ é o ruído branco de média zero e variância ࣌૛ , a autocorrelação de 
ordem 1 é: 
a) 0,28 
b) 0,63 
c) 0,28࣌૛ 
d) 0,25/࣌૛ 
e) 0,38࣌૛ 
 
 
 
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Resolução 
 
Bom pessoal, vamos derivar o processo: ܧሺܼ௧ܼ௧ିଵሻ ൌ ܧሺሺ ?ǡ ? ௧ܼିଵ െ ?ǡ ? ௧ܼିଶ ൅ ܽ௧ሻܼ௧ିଵሻ 
Lembrem-se que a única coisa impositiva é que a diferença entre as duas defasagens 
seja igual a 1. O fato de ter usado ܼ௧ e ܼ௧ିଵ é apenas para simplificar! Vamos lá: ܧሺܼ௧ܼ௧ିଵሻ ൌ ܧሺ ?ǡ ? ௧ܼିଵܼ௧ିଵ െ ?ǡ ? ௧ܼିଶܼ௧ିଵ ൅ ܽ௧ܼ௧ିଵሻ ܧሺܼ௧ܼ௧ିଵሻ ൌ ܧሺ ?ǡ ? ௧ܼିଵܼ௧ିଵ ሻ െ ܧሺ ?ǡ ? ௧ܼିଶܼ௧ିଵሻ ൅ ܧሺܽ௧ܼ௧ିଵሻ ܧሺܼ௧ܼ௧ିଵሻ ൌ ?ǡ ?ܧሺܼ௧ିଵܼ௧ିଵ ሻ െ ?ǡ ?ܧሺ ௧ܼିଶܼ௧ିଵሻ ൅ ܧሺܽ௧ܼ௧ିଵሻ ܧሺܼ௧ܼ௧ିଵሻ ൌ ?ǡ ?ܧሺܼ௧ିଵܼ௧ିଵ ሻ െ ?ǡ ?ܧሺܼ௧ିଶܼ௧ିଵሻ ൅ ? ܧሺܼ௧ܼ௧ିଵሻ ൌ ?ǡ ?ܧሺܼ௧ିଵ ?ሻ െ ?ǡ ?ܧሺܼ௧ିଶ ܼ௧ିଵሻ 
 
Agora, vamos substituir a covariância (de ordem 1) e a variância pelas variáveis ߛଵ e ߛ଴ , respectivamente: ߛଵ ൌ ?ǡ ?ߛ଴ െ ?ǡ ?ߛଵ ߛଵ ൅ ?ǡ ?ߛଵ ൌ ?ǡ ?ߛ଴ ?ǡ ?ߛଵ ൌ ?ǡ ?ߛ଴ ߛଵߛ଴ ൌ ߩଵ ൌ ?ǡ ? ?ǡ ?ൌ ?ǡ ? ? 
Alternativa (a) 
Bom, com o intuito de facilitar sua vida, vale a pena decorar! 
 
 
 
 
 
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Agora vocês vão entender porque decorar isso! 
 
Exercício 4 
(EPE ± 2007) A demanda de um certo derivado de petróleo segue um modelo 
auto-regressivo de ordem 2: ࢆ࢚ ൌ ࣘ૚ࢆ࢚ି૚ ൅ ࣘ૛ࢆ࢚ି૛ ൅ ࢋ࢚ 
Sendo ࣘ૚ ൌ ૙ǡ૟ e ࣋૚ ൌ ૙ǡૡ (࣋૚ é a autocorrelação de primeira ordem). O valor de ࣘ૛ é: 
a) 0,25 
b) 0,20 
c) 0,15 
d) 0,10 
e) 0,05 
 
 
 
 
 
 
 
Para um processo AR(2), tal como: ࢆ࢚ ൌ ࣘ૚ࢆ࢚ି૚ ൅ ࣘ૛ࢆ࢚ି૛ ൅ ࢋ࢚, 
a autocorrelação de primeira ordem é dada 
por: ࣋૚ ൌ ࣘ૚૚ െ ࣘ૛ 
 
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Resolução 
 
Aplique a fórmula! Ou resolva de novo, você que sabe! Mas: ߩଵ ൌ ߶ଵ ? െ ߶ଶ ՜ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? െ ߶ଶ ?െ ߶ଶ ൌ ?ǡ ? ?ǡ ? ߶ଶ ൌ ? െ ?ǡ ? ?ǡ ? ߶ଶ ൌ ?ǡ 球? 
Alternativa (a). 
 
 
(MPE ± 2006/modificada) Para o processo ARIMA (1,d,1), julgue a afirmativa 
 
Exercício 5 
A função de autocorrelação parcial só é diferente de zero no lag 1 
 
Resolução 
Pensem no quadro da FACP! Por se tratar de um ARIMA (1,d,1), este processo tem 
componentes auto-regressivos e de médias móveis. Portanto, a FACP não é truncada 
na ordem, mas declinante! Assim, ela não é diferente de zero somente na ordem do 
processo! 
 
 
 
 
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Exercício 6 
A função de autocorrelação só é diferente de zero nos lags 1 e 2 
 
Resolução 
Mesma coisa da questão anterior. Pensem no quadro da FAC! Ela é declinante em 
processo ARMA e ARIMA, portanto ela não é diferente de zero, somente, nos lags 1 
e 2. 
 
 
(IBGE ± 2010) Seja ࢚࢞ �um processo MA(1), ࢚࢞ ൌ ࢇ࢚ െ ࣂࢇ࢚ି૚, onde ࢇ࢚ é um ruído 
branco normal, com média zero e variância constante. Considere o processo ࢚࢟ ൌ ࢚࢞ ൅ ࢚࢞ି૚, t = 1,2,...,n, e avalie as afirmações a seguir: 
 
Exercício 7 
A função de autocorrelação do processo ࢚࢞ é infinita e decrescente 
 
Resolução 
Viram como essa definição cai? Força na peruca e lembrem-se do quadro da FAC. 
No caso, trata-se de um MA, portanto a FAC é truncada na ordem do processo. 
 
Exercício 8 
A função de autocorrelação parcial de ࢚࢟ é finita 
 
Resolução 
Se você substituir o processo ݔ௧ em ݕ௧, verá que se trata de um MA! Portanto, a FACP 
é infinita e declinante! 
 
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3. Passo 2 ± estimação 
 
Bom, agora que já vimos como testar a estacionariedade de um processo, bem como 
verificar qual a classe de modelos ARIMA que melhor explica sua série, chegou a 
hora de estimar o modelo! 
 
A forma de estimar um modelo por meio da metodologia Box-Jenkins é, 
simplesmente, utilizando o método de MQO! Não tem segredo, aplique os 
estimadores de MQO! 
 
Porém, não é a única forma, muitos autores pregam o uso do estimador de Máxima 
Verossimilhança. Além disso, há outras formas que visam estimar versões não 
lineares desses modelos, que fogem ao escopo do curso! 
 
Nós já estudamos que o problema central trazido por Mann-Wald é que, sem a 
satisfação de algumas hipóteses, haverá problemas concernentes ao viés dos 
estimadores. Assim, precisamos garantir que o modelo a ser estimado surja de uma 
série estacionária e não produza erros serialmente correlacionados. 
 
Porém, mesmo com a satisfação de tais hipóteses, você vai ouvir muita gente falar: 
 
-³1mR�Gi�SDUD�FRQILDU�QHVVD�VpULH�GH�WHPSR��p�PXLWR�FXUWD´� 
 
Isso decorre da análise destes autores, que afirmam que, mesmo satisfeitas tais 
hipóteses, o estimador de modelos auto-regressivos só terá propriedades desejáveis 
em grandes amostras! 
 
Bom, mas tudo isso é um blá blá blá, feito de maneira muito superficial! O que 
interessa é que, normalmente, estimam-se tais modelos por meio de MQO, mas 
não é a única forma! 
 
 
 
 
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4. Passo 3 ± grau de ajustamento e diagnóstico 
 
4.1 Diagnóstico 
 
Então, para que o método seja adequado, precisamos garantir que a série não possua 
resíduos serialmente correlacionados, ok? Ou seja, estamos verificando se o modelo 
que estimamos é adequado, pois, caso os resíduos sejam autocorrelacionados, a 
especificação funcional não está correta! Somado a outras hipóteses, estamos 
averiguando se os resíduos se comportam como ruído branco. 
 
Mas, como testar isso? Bom, normalmente, não estaremos trabalhando com a 
população, mas com uma amostra. Assim, não basta calcularmos a FAC para os 
resíduos, pois precisaremos testar estatisticamente se a correlação entre eles é igual 
a zero! 
 
Há mais de uma forma. Como elas não são muito cobradas em provas, só vou ensinar 
a mais comum. 
 
A mais comum parte do cálculo amostral do coeficiente autocorrelação para os 
resíduos (ߩ). Este teste advém da estatística de Box-Pierce (ܳ): ܳ ൌ ܶȭߩ 
Sendo ܶ o número de observações e o somatório para todas as autocorrelações 
amostrais. Sob a hipótese nula de que estas autocorrelações são iguais a zero, a 
estatística ܳ tem distribuição ߯ଶ com grau de liberdade igual ao número de 
autocorrelações testadas. 
 
O valor limite deste teste é dado por: ݒ݈ሺܳሻ ൌ േ ? ?݊ 
Sendo ݊ o número de observações. 
 
 
 
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Ao aplicar esta fórmula você terá um intervalo de confiança (que vai do valor negativo 
ao valor positivo do número encontrado). Se as autocorrelações amostrais calculadas 
estiverem dentro do intervalo, aceitamos a hipótese nula de que todas estas são 
iguais a zero. 
 
Nesse diapasão, você será capaz de testar se as autocorrelações entre os resíduos 
são estatisticamente diferentes de zero! 
 
Pessoal, só um parêntese não se esqueça dos testes que eu já ensinei para testar 
autocorrelação nos resíduos, ok? Como o teste de Durbin-Watson e o teste h de 
Durbin! 
 
4.2 Ajustamento 
 
Está bem, você já tem conhecimentossuficientes para testar autocorrelação nos 
resíduos. Mas, se mais de um modelo possuir resíduos com comportamento de ruído 
branco? E agora, José? 
 
Aí entram alguns critérios de seleção de ajustamento de modelos. Agora só vou 
repetir o que já ensinei na aula 02, pois é igualzinho! É só para você lembrar! 
 
Bom, um critério fácil de lembrar é o R² ajustado: 
 
 
 
Sendo ݇ o número de variáveis explicativas, ܴܵܳ e ܵܳܶ a soma dos quadrados dos 
resíduos e totais da regressão, respectivamente. 
 
 
 
23$��9RX�ID]HU�XP�³PHD�FXOSD´�DTXL��1D�DXOD�����D�IyUPXOD�FRORFDGD�IRL� 
ܴ ? ൌ ? െ ܴܵܳ݊ െ ݇ െ ?ܵܳܶ݊ െ ? 
 
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ܴ ? ൌ ? െܴܵܳ݊ െ ݇ܵܳܶ݊ െ ? 
O que não é igual ao que mostrei agora! Bom, considerem o que eu coloquei 
agora! Na verdade, houve erro de digitação! 
 
Mas, esta fórmula seria possível! Alguns autores consideram ࢑ o número de 
parâmetros, incluindo o intercepto! Neste caso, a fórmula da aula 02 estaria 
correta, mas os graus de liberdade da soma de quadrados explicados (ࡿࡽࡱ) 
deveria ser ࢑ െ ૚ e não ࢑! 
 
Outros critérios muito utilizados são os critérios de Akaike (AI) e Schwarz (SC). 
 
- ³3URIHVVRU��FRPR�HX�FDOFXOR� WDLV�FULWpULRV"´ 
 
Olha pessoal, isso não é muito importante, mas, só por desencargo de consciência, 
vou mostrar. Minha opinião: não perca muito tempo decorando as fórmulas. Vamos 
lá. ܣܫ ൌ ? ൅Ž ?ߨ ൅Ž ܴܵܳ݊ ൅ ?݇݊ ܵܥ ൌ ? ൅Ž ?ߨ ൅Ž ܴܵܳ݊ ൅ ݇ ڄ Ž ݊݊ 
Sendo ݊ o número de observações. 
 
O que é importante é o seguinte: TXDQWR�PHQRU�R�YDORU�GHVWD�HVWDWtVWLFD��³PHOKRU´�
o modelo. 
 
 
 
 
 
 
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Vocês perceberam que a ideia é a mesma? Você está avaliando a perda de graus de 
liberdade ao serem acrescentadas novas variáveis em um modelo. Perceba que a 
comparação é: será que a perda de graus de liberdade foi mais que compensada 
pela variância explicada de variáveis adicionais incluídas em um modelo? 
 
Lembraram? Vamos treinar. 
 
 
 
(ANPEC ± 2008) Julgue as afirmativas 
 
Exercício 9 
 
No processo AR(1), ࢚࢟ ൌ ࣘ૙ ൅ ࣘ૚࢚࢟ି૚ ൅ ࢋ࢚, em que ȁࣘȁ ൏ ? e que ࢋ࢚ é um ruído 
branco de média nula e variância constante, a média de ࢚࢟ é ࣘ૙ 
 
Resolução 
 
Vamos tirar a esperança: ܧሺݕ௧ሻ ൌ ܧሺ߶଴ ൅ ߶ଵݕ௧ିଵ ൅ ݁௧ሻ ܧሺݕ௧ሻ ൌ ܧሺ߶଴ ሻ ൅ ܧሺ߶ଵݕ௧ିଵ ሻ ൅ ܧሺ݁௧ሻ ܧሺݕ௧ሻ ൌ ߶଴ ൅ ܧሺ߶ଵ ݕ௧ିଵሻ ൅ ? 
Isolando: ܧሺݕ௧ሻሺ ? െ ߶ଵሻ ൌ ߶଴ ܧሺݕ௧ሻ ൌ ߶଴ ? െ ߶ଵ 
 
 
 
 
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Exercício 10 
 
O processo MA(1), ࢚࢟ ൌ ࢋ࢚ ൅ ࣂࢋ࢚ି૚, em que ࢋ࢚ é um ruído branco de média nula e 
variância constante, será estacionário mesmo que ȁࣂȁ ൏ ? 
 
Resolução 
 
Perfeito! O coeficiente em questão só define a invertibilidade do processo, pois um 
MA sempre é estacionário. 
 
Exercício 11 
 
Seja a função de autocorrelação do processo AR(1), definido no exercício 9, 
dada por ࢚࣋. É correto afirmar que ࢚࣋ ൌ ࣘ૚࢚ . 
 
Resolução 
 
Olhem a fórmula na página 12: ܥ݋ݎݎሺݕ௧ ǡ ݕ௧ି௡ሻ ൌ ߩ௡ ൌ ߛ௡ߛ଴ ൌ ߠ௡ 
Verdadeiro, ok? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(ANPEC ± 2009) Julgue a afirmativa 
 
Exercício 12 
 
A estatística Dickey-Fuller para testar a presença de raiz unitária em séries 
temporais possui sempre distribuição normal 
 
Resolução 
 
Nós já dissemos que a estatística DF não se utiliza da distribuição normal, mas de 
uma distribuição DF, com valores críticos próprios, tal como na tabela no fim do texto! 
 
 
(BACEN ± CESPE\2013) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 13 
 
Em um processo estocástico gaussiano, uma série temporal é dita estritamente 
estacionária se a sua média for constante e a sua função de autocovariância 
depender da defasagem temporal. 
 
Resolução 
 
Já discutimos isso pessoal. Quais são os requisitos para que uma série seja dita 
estacionária? Lembrem-se da aula anterior: 
 
³$VVLP��SRGHPRV�GHILQLU�XPD�VpULH�HVWDFLRQiULD�FRPR�DTXHOD�TXH�SRVVXL�PpGLD�
e variância constantes e finitas, além de covariância igual para o mesmo valor 
GH�GHIDVDJHP´� 
 
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Portanto, alternativa errada, pois o enunciado não definiu completamente o processo 
além do fato de citar autocovariância, o que não faz parte da definição. 
 
Exercício 14 
 
Nos modelos em que aparecem valores defasados da variável dependente no 
segundo membro ² cujo exemplo mais simples é ࢚࢟ ൌ ࢻ ൅ ࢼ࢚࢟ି૚ ൅ ࢿ࢚em que os 
distúrbios (ࢿ࢚) são serialmente independentes ², as consequências de se 
utilizar os estimadores de mínimos quadrados para o caso de violação da 
independência entre o distúrbio e a variável explicativa é a possibilidade de 
obtenção de estimativas viesadas e perda de eficiência. 
 
Resolução 
 
No caso, está sendo utilizado um caso de um processo auto-regressivo, mas este 
enunciado serve para todo tipo de regressão. O que o enunciado está falando é que, 
se houver correlação entre a variável explicativa e o termo de erro, as estimativas 
serão viesadas e não mais eficientes. Ora, nós sabemos que essa é uma das 
hipóteses necessárias para garantir o não viés dos estimadores. 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 15 
 
No modelo de regressão linear clássico, a premissa de linearidade, necessária 
à estimativa dos parâmetros do modelo, indica que não existe uma relação 
linear exata entre qualquer variável independente do modelo. 
 
Resolução 
 
Não é isso! Qual é o problema econométrico relacionado a relação linear exata entre 
variáveis explicativas? Colinearidade perfeita! 
 
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Quando falamos em regressão linear o que estamos falando é que a forma funcional 
HVWLPDGD�p�OLQHDU��RX�VHMD��RV�VHXV�HOHPHQWRV�QmR�HVWmR�³HOHYDGos a potência maiores 
GR�TXH��´� 
 
Alternativa errada. 
 
Exercício 16 
 
(METRO ± CESPE\2013) Assinale a opção correspondente a processo 
estacionário, com base nos modelos de Box e Jenkins e no princípio da 
parcimônia. 
a)AR, ARIMA ou ARMA 
b)MA, ARIMA ou ARMA 
c)SARIMA ou ARIMA 
d)AR ou IMA 
e)AR, MA ou ARMA 
 
Resolução 
 
2�~QLFR�FDVR�TXH�FRQWpP� SURFHVVR�HVWDFLRQiULRV�VmR�RV�TXH�QmR�WHP�R�³,´ �� WDO�FRPR�
ARIMA e SARIMA (você não precisa saber o que é isso). Este exercício é fácil, 
alternativa (e). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 17 
 
(METRO ± CESPE\2013)Considere os processos de médiasmóveis (moving 
average) Wt ~ MA(q1) e Zt ~ MA(q2), em que q1 e q2 representam as ordens 
desses processos e Wt e Zt são independentes. Então, nesse caso, o processo 
St = Wt + Zt será um processo de médias móveis de ordem igual a 
a)min{q1, q2}. 
b)q1. 
c)q1 + q2. 
d)max{q1, q2}. 
e)q2. 
 
Resolução 
 
Tente pensar um pouco, afinal esta questão vai além do escopo deste curso, mas dá 
para fazer. Suponha dois processos: 
 ݓ௧ ൌ ߝ௧ ൅ ܽଵߝ௧ିଵ ൅ ݄௧ ݖ௧ ൌ ݁௧ ൅ ܽଵ݁௧ିଵ ൅ ܽଶ ݁௧ିଶ ൅ ݑ௧ 
 
Assim: 
 ݏ௧ ൌ ݓ௧ ൅ ݖ௧ ൌ ݁௧ ൅ ܽଵ݁௧ିଵ ൅ ܽଶ݁௧ିଶ ൅ ݑ௧ ൅ ߝ௧ ൅ ܽଵߝ௧ିଵ ൅ ݄௧ 
 
Ora, qual é a maior ordem deste processo? 2! Portanto, a ordem deste processo será 
igual ao máximo da ordem destes dois processos. Não invente, pense deste jeito mais 
simples que você chega na solução sem complicações, isso é ser um concurseiro. 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
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Exercício 18 
 
(EPE = CESGRANRIO/2012) 
 
 
Resolução 
 
O R² da regressão com uma única variável (x1) é dado por: 
 ܴ ? ൌܵ݋݉ܽ�ܳݑܽ݀ݎܽ݀݋ݏ�ܴ݁݃ݎ݁ݏݏ ݋ܵ݋݉ܽ�ܳݑܽ݀ݎܽ݀݋ݏ�ܶ݋ݐܽ݅ݏ ൌ ? ? ?ൌ ?ǡ ? 
 
Se acrescentarmos uma nova variável ao modelo, o R² irá aumentar. Nós já 
estudamos isso, certo? Lembre-se do conceito de R² ajustado! A ideia deste último é 
levar em conta a perda de gruas de liberdade após a inclusão de uma nova variável! 
O R² tradicional sempre aumenta após a inclusão de uma variável. 
 
Portanto, o R² será maior ou igual a 0,8 após a inclusão da variável x2. 
 
Alternativa (d). 
 
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Exercício 19 
 
(IBGE - CESGRANRIO/2013) 
 
 
Resolução 
 
Vamos repetir os cálculos que fizemos ao longo desta aula a fim de calcularmos a 
variância e a autocovariância de ordem 2 do processo acima. Vamos começar com a 
variância: 
 ܸܽݎሺݔ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺܾ଴ ൅ ܾଵݔ௧ିଵ ൅ ݑ௧ሻ ܸܽݎሺݔ௧ሻ ൌ ܸܽݎሺܾଵݔ௧ିଵሻ ൅ ܸܽݎሺݑ௧ሻ ܸܽݎሺݔ௧ሻ ൌ ܾଵ ?ܸܽݎሺݔ௧ିଵሻ ൅ ? ൌ ଵܾ ?ܸܽݎሺݔ௧ሻ ൅ ? ܸܽݎሺݔ௧ሻ ൌ ܾଵ ?ܸܽݎሺݔ௧ሻ ൅ ? ሺ ? െ ଵܾଶሻܸܽݎሺݔ௧ሻ ൌ ? ܸܽݎሺݔ௧ሻ ൌ ?ሺ ? െ ଵܾଶ ሻ 
 
 
 
 
 
 
 
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E a autocovariância? Nós já criamos um jeito de conhece-la sem ser necessário 
realizar todos os cálculos. Veja nos nossos exemplos da aula e você verá que: 
 
Para encontrar a autocovariância, basta multiplicar a correlação de segunda ordem 
(que é o próprio coeficiente que multiplica a variável defasada, que, no nosso 
exemplo, é ܾଵ) pela variância do processo (ߛ଴ ). Assim: 
 ܽݑݐ݋ܿ݋ݒܽݎ݅Ÿ݊ܿ݅ܽ�݀݁�݋ݎ݀݁݉� ? ൌ ߛଶ ൌ ܾଵଶ ൈ ?ሺ ? െ ଵܾଶ ሻ ൌ ܾଵଶሺ ?െ ܾଵଶሻ 
Alternativa (c). 
 
Exercício 20 
 
(IBGE ± CESGRANRIO/2013) 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Trata-se de uma FAC declinante e uma FACP truncada em 1. Lembre-se: 
 
 
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Portanto, estamos tratando de um AR(1), com coeficiente que multiplica a primeira 
defasagem igual a 0,8. Neste caso, nos restringimos às alternativas (a) e (d), pois 
todas as outras representam processo de médias móveis ((b) e (c)) ou AR de ordem 
superiores ((e)). 
 
Agora, precisamos saber se há um intercepto associado ao processo. Veja, o 
enunciado diz que a média incondicional do processo é igual a 10. Se não houver 
intercepto, não tem como a média do processo ser definida. Vamos nos basear na 
alternativa (a) e calcular a média: 
 ݕ௧ ൌ ? ൅ ?ǡ ?ݕ௧ିଵ ൅ ݑ௧ ܧሺݕ௧ሻ ൌ ܧሺ ? ൅ ?ǡ ?ݕ௧ିଵ ൅ ݑ௧ሻ ൌ ? ൅ ?ǡ ?ܧሺݕ௧ିଵሻ ൌ ? ൅ ?ǡ ?ܧሺݕ௧ሻ ሺ ? െ ?ǡ ?ሻܧሺݕ௧ሻ ൌ ?ǡ ?ܧሺݕ௧ሻ ൌ ? ܧሺݕ௧ሻ ൌ 猃? 
 
Ou seja, a alternativa (a) é compatível com as informações do enunciado. 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
(IBGE ± CESGRANRIO/2013) 
 
 
Resolução 
 
Lembre-se de que nós não podemos incluir variáveis dummies (binárias) relativas a 
todas as possíveis ocorrências em um modelo. Na aula 01 estudamos esta variável 
no caso de avaliarmos um modelo sob diferentes sexos dos indivíduos: 
 
 
 
 
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Perceba que no modelo deste exercício, não há uma binária relativa ao quarto 
trimestre. Claro, pois esta será determinada pelo valor do intercepto! Isso porque, 
quando estivermos no quarto trimestre, todas as outras dummies assumirão valores 
iguais a zero, sobrando somente o intercepto e as variáveis PIB e Inflação. 
 
Assim, o coeficiente relativo ao quarto trimestre será o próprio intercepto. E no caso 
do terceiro trimestre? A dummie relativa ao mesmo assumirá valor igual a 1 e as 
outras serão iguais a zero: 
 ݑ௧ ൌ ܽ଴ ൅ ܽଷሺܴܶܫܯ ?ሻ ൅ ܽସሺܲܫܤሻ ൅ ܽହሺߨሻ ൅ ߝ௧ ൌ ܽ଴ ൅ ܽଷ ൅ ܽସ ሺܲܫܤሻ ൅ ܽହሺߨሻ ൅ ߝ௧ 
 
Portanto, o coeficiente relativo ao terceiro trimestre será a0 + a3. 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 22 
(ICMS-RJ ± FCC\2013) Considere o modelo ࢟࢏ ൌ ࢻ ൅ ࢼ࢏ ൅ ࢋ࢏, i = 1,2,3,... onde: 
I. yi e xi representam, respectivamente, o tempo de reação a certo estímulo, em 
segundos, e a idade, em anos, do indivíduo i. 
II. ࢻ e ࢼ representam os parâmetros desconhecidos do modelo. 
III. ࢋ࢏ representa o erro aleatório com as respectivas hipóteses para a regressão 
linear simples. 
IV. As estimativas de �ࢻ e ࢼ foram obtidas pelo método de mínimos quadrados 
por meio de 10 observações, utilizando-se as seguintes informações: 
 
Nessas condições, a soma de quadrados residuais do modelo é igual a 
a) 785 
b) 810 
c) 515 
d) 920 
e) 460 
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Resolução 
 
Para resolver esta questão precisamos encontrar a estimativa para o parâmetro ߚ do 
modelo de regressão. Isso será feito por: 
 ?ݕ෤௜ݔ෤௜ ൌ ?ܻܺ െ� ?ܺ ?ܻ݊ 
 ?ݔ෤௜ଶ � ൌ ?ܺଶ െ �ሺ ?ܺሻଶ݊ 
 ?ݕ෤௜ଶ � ൌ ? ଶܻ െ � ሺ ? ሻܻଶ݊ 
 
 
Assim, o estimador será dado por: 
 ߚ ൌ ?ݕ෤݅ݔ෤݅ ?ݔ෤ ݅? ൌ ቂ ?ܻܺ െ � ?ܺ ?ܻ݊ ቃ൤ ?ܺ ?െ �ሺ ? ሻܺ ?݊ ൨ ൌ ቀ ? 爃球爃?െ
 甃爃? ? 猃爃球? 猃? ቁ൬ ? 甃爃爃?െ 甃爃? ? 猃? ൰ ൌ ? 砃爃? 瘃爃爃?ൌ ?ǡ ? 
 
Assim, a soma dos quadrados explicados: 
 ܵܳܧ ൌ ?ሺߚݔ෤௜ሻଶ ൌ ߚଶ ?ሺݔ෤௜ሻଶ ൌ ?ǡ ?ଶ ? 瘃爃爃?ଶ ൌ 球甃爃瘃? 
 
E a soma dos quadrados totais: 
 ?ݕ෤௜ଶ � ൌ ? ଶܻ െ� ሺ ? ሻܻଶ݊ ൌ ? 球稃爃爃?െ 猃爃球? ? 猃? ൌ ? 甃笃砃? 
 
Portanto, a soma dos quadrados dos resíduos é: 
 ܵܳܶ ൌ ܵܳܧ ൅ ܴܵܳ ՜ 球甃笃砃?െ 甃球爃瘃?ൌ ࡿࡽࡾ ൌ ૢ૛૙ 
Alternativa (d). 
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Exercício 23 
 
(ISS Recife ± FGV\2014) Numa regressão linear simples, obteve-se um 
coeficiente de correlação igual a 0,78. O coeficiente de determinação é 
aproximadamente igual a 
(A) 0,36. 
(B) 0,48. 
(C) 0,50. 
(D) 0,61. 
(E) 0,69. 
 
Resolução 
 
Para este exercício, você deveria ter decorado que: 
 ሺܿ݋݂݁݅ܿ݅݁݊ݐ݁�݀݁�ܿ݋ݎݎ݈݁ܽ­ ݋ሻଶ ൌ ܿ݋݂݁݅ܿ݅݁݊ݐ݁�݀݁�݀݁ݐ݁ݎ݉݅݊ܽ­ ݋ሺܴଶሻ 
 
 
Assim: 
 ?ǡ 礃?ଶ ൌ ?ǡ 砃爃稃?؆ ?ǡ 砃? 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 24 
 
(ISS Recife ± FGV\2014) Avalie se as seguintes propriedades de um estimador 
de um certo parâmetro são desejáveis: 
I. Ser não tendencioso para esse parâmetro. 
II. Ter variância grande. 
III. Ter erro quadrático médio grande. 
Assinale: 
(A) se apenas a propriedade I estiver correta. 
(B) se apenas as propriedades I e II estiverem corretas. 
(C) se apenas as propriedades I e III estiverem corretas. 
(D) se apenas as propriedades II e III estiverem corretas. 
(E) se todas as propriedades estiverem corretas 
 
Resolução 
 
I.Perfeito. Sempre queremos um estimador não viesado. 
II.Errado. Quanto maior a variância, menor a capacidade de predição de um 
estimador. 
III.Errado. Pois, o erro quadrático médio é uma combinação de Viés e Variância. 
Assim, buscamos um estimador com baixo valor de erro quadrático médio. 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 25 
 
(COMPESA ± 2014/FGV) Suponha o seguinte modelo econométrico, estimado 
por um economista: 
lnPIB(t) = 10 + 2*lnC(t) + 0,5*lnC(t-1) + û, 
 (0,01) (0,06) (0,12) 
R² = 0,2 
em que, lnPIBt é o logaritmo neperiano do PIB no ano t, lnC(t) é o logaritmo 
neperiano do consumo no ano t e lnC(t ± 1) a sua defasagem em um período. O 
número entre parênteses embaixo de cada estimativa é o p-valor referente à 
estatística de teste t, que testa a hipótese do determinado coeficiente ser nulo. 
O termo R² mede o coeficiente de determinação. A partir dessas informações, 
assinale a afirmativa correta. 
(A) O modelo não é globalmente significante a um nível de 1%. 
(B) A estatística do teste t para o intercepto indica que o mesmo não é 
significante a um nível de 5%. 
(C) O efeito contemporâneo do consumo sobre o PIB é positivo, mas 
estatisticamente nulo ao nível de 10%. 
(D) O efeito defasado do consumo sobre o PIB é positivo, mas estatisticamente 
nulo ao nível de 10%. 
(E) As variáveis de consumo explicam apenas 0,2% da variação do PIB ao longo 
do tempo. 
 
Resolução 
 
a)Não podemos afirmar isso com base nas informações disponíveis. 
b)O intercepto tem p-valor menor do que 0,05, o que garante que o memso é 
significante a 5%. 
c)Errado, pois, como o p-valor é menor do que 0,1, o mesmo é significante a 10%. 
d)Alternativa correta. 
e)As variáveis explicam 20% da variação do PIB, pois o R² é igual à 0,2. 
Alternativa (d). 
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(ANTT ± CESPE\2013) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 26 
A suposição de homocedasticidade é fundamental para mostrar que os 
estimadores de MQO são não viesados. 
 
Resolução 
A hetereocedasticidade não causa viés dos estimadores, apenas resulta no fato de 
que os mesmos não serão mais eficientes. 
 
Alternativa errada. 
 
 
Exercício 27 
Se o estimador de MQO for não viesado e consistente, então ele será, 
necessariamente, eficiente. 
 
Resolução 
Não necessariamente. A eficiência exige que, além de não viesado, o mesmo tenha 
a menor variância dentre os estimadores lineares não viesados. 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 28 
De acordo com a hipótese de consistência do estimador de MQO, à medida que 
o numero de observações aumenta, o valor esperado do estimador converge 
para o valor do parâmetro a ser estimado e a variância do estimador converge 
para zero. 
 
Resolução 
Esta é a própria definição de estimador consistente, pois o mesmo tende para o valor 
populacional conforme a amostra tende para o infinito. 
 
Alternativa correta. 
 
Exercício 29 
Na análise de séries temporais, a suposição de ausência de autocorrelacao 
serial dos resíduos deve sempre ser verificada para garantir que os estimadores 
de mínimos quadrados ordinários sejam não viesados e consistentes. 
 
Resolução 
Cuidado! Isso só é verdade quando uma das variáveis explicativas for uma versão 
defasada da variável dependente. Caso contrário, a autocorrelação só gera perda de 
eficiência e a impossibilidade de confiarmos nos testes de hipóteses. 
 
 
 
 
 
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Exercício 30 
Na presença de multicolinearidade, a variância e a covariância dos estimadores 
serão afetadas, sendo possível que sejam alterados tanto os sinais quanto a 
magnitude dos estimadores. 
 
Resolução 
 
Não se perca ao avaliar a alternativa! Tal como eu expliquei para vocês, sob 
multicolinearidade muito intensa, o sinal e as estatísticas de teste ficam muito 
sensíveis a mudanças no número de observações ou mudança da forma funcional. 
Assim, os estimadores podem apresentar valores alterados. 
 
Alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de exercícios resolvidos com gabarito 
 
Exercício 2 
 
(BACEN ± 2010) Sobre séries temporais, analise as proposições a seguir: 
I ± Se um processo de médias móveis (MA) de primeira ordem for estacionário, 
ele pode ser representado como um processo auto-regressivo (AR) de ordem 
infinita 
II ± Se um processo AR for estacionário, este pode ser representado por um MA 
de ordem infinita 
III ± Uma série de tempo é um conjunto ordenado de variáveis aleatórias, isto é, 
um processo estocástico, portanto uma série de tempo y(t) pode ser 
representada pela função densidade conjunta dos y(t) (t = 1, 2...n); assim, 
trabalhar com uma série de tempo é inferir sobre o processo estocástico com 
uma única realização desse processo. 
 
Estão corretas as proposições: 
a) Apenas I 
b) Apenas I e II 
c) Apenas I e III 
d) Apenas II e III 
e) Todas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(ANS ± 2007) Para o modelo autoregressivo ࢆ࢚ ൌ ૙ǡ૞ࢆ࢚ି૚ െ ૙ǡ ૡࢆ࢚ି૛ ൅ ࢇ࢚ 
Onde ࢇ࢚ é o ruído branco de média zero e variância ࣌૛ , a autocorrelação de 
ordem 1 é: 
a) 0,28 
b) 0,63 
c) 0,28࣌૛ 
d) 0,25/࣌૛ 
e) 0,38࣌૛ 
 
 
Exercício 4 
(EPE ± 2007) A demanda de um certo derivado de petróleo segue um modelo 
auto-regressivo de ordem 2: ࢆ࢚ ൌ ࣘ૚ࢆ࢚ି૚ ൅ ࣘ૛ࢆ࢚ି૛ ൅ ࢋ࢚ 
Sendo ࣘ૚ ൌ ૙ǡ૟ e ࣋૚ ൌ ૙ǡૡ (࣋૚ é a autocorrelação de primeira ordem). O valor de ࣘ૛ é: 
a) 0,25 
b) 0,20 
c) 0,15 
d) 0,10 
e) 0,05 
 
 
 
 
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(MPE ± 2006/modificada) Para o processo ARIMA (1,d,1), julgue a afirmativa 
 
Exercício 5 
A função de autocorrelação parcial só é diferente de zero no lag 1 
 
Exercício 6 
A função de autocorrelação só é diferente de zero nos lags 1 e 2 
 
 
 
(IBGE ± 2010) Seja ࢚࢞ �um processo MA(1), ࢚࢞ ൌ ࢇ࢚ െ ࣂࢇ࢚ି૚, onde ࢇ࢚ é um ruído 
branco normal, com média zero e variância constante. Considere o processo ࢚࢟ ൌ ࢚࢞ ൅ ࢚࢞ି૚, t = 1,2,...,n, e avalie as afirmações a seguir: 
 
Exercício 7 
A função de autocorrelação do processo ࢚࢞ é infinita e decrescente 
 
Exercício 8 
A função de autocorrelação parcial de ࢚࢟ é finita 
 
 
(ANPEC ± 2008) Julgue as afirmativas 
 
Exercício 9 
 
No processo AR(1), ࢚࢟ ൌ ࣘ૙ ൅ ࣘ૚࢚࢟ି૚ ൅ ࢋ࢚, em que ȁࣘȁ ൏ ? e que ࢋ࢚ é um ruído 
branco de média nula e variância constante, a média de ࢚࢟ é ࣘ૙ 
 
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Exercício 10 
 
O processo MA(1), ࢚࢟ ൌ ࢋ࢚ ൅ ࣂࢋ࢚ି૚, em que ࢋ࢚ é um ruído branco de média nula e 
variância constante, será estacionário mesmo que ȁࣂȁ ൏ ? 
 
 
Exercício 11 
 
Seja a função de autocorrelação do processo AR(1), definido no exercício 9, 
dada por ࢚࣋. É correto afirmar que ࢚࣋ ൌ ࣘ૚࢚ . 
 
 
(ANPEC ± 2009) Julgue a afirmativa 
 
Exercício 12 
 
A estatística DIckey-Fuller para testar a presença de raiz unitária em séries 
temporais possui sempre distribuição normal 
 
(BACEN ± CESPE\2013) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 13 
 
Em um processo estocástico gaussiano, uma série temporal é dita estritamente 
estacionária se a sua média for constante e a sua função de autocovariância 
depender da defasagem temporal. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 14 
 
Nos modelos em que aparecem valores defasados da variável dependente no 
segundo membro ² cujo exemplo mais simples é ࢚࢟ ൌ ࢻ ൅ ࢼ࢚࢟ି૚ ൅ ࢿ࢚em que os 
distúrbios (ࢿ࢚) são serialmente independentes ², as consequências de se 
utilizar os estimadores de mínimos quadrados para o caso de violação da 
independência entre o distúrbio e a variável explicativa é a possibilidade de 
obtenção de estimativas viesadas e perda de eficiência. 
 
 
Exercício 15 
 
No modelo de regressão linear clássico, a premissa de linearidade, necessária 
à estimativa dos parâmetros do modelo, indica que não existe uma relação 
linear exata entre qualquer variável independente do modelo. 
 
 
Exercício 16 
 
(METRO ± CESPE\2013) Assinale a opção correspondente a processo 
estacionário, com base nos modelos de Box e Jenkins e no princípio da 
parcimônia. 
a)AR, ARIMA ou ARMA 
b)MA, ARIMA ou ARMA 
c)SARIMA ou ARIMA 
d)AR ou IMA 
e)AR, MA ou ARMA 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 17 
 
(METRO ± CESPE\2013)Considere os processos de médias móveis (moving 
average) Wt ~ MA(q1) e Zt ~ MA(q2), em que q1 e q2 representam as ordens 
desses processos e Wt e Zt são independentes. Então, nesse caso, o processo 
St = Wt + Zt será um processo de médias móveis de ordem igual a 
a)min{q1, q2}. 
b)q1. 
c)q1 + q2. 
d)max{q1, q2}. 
e)q2. 
 
 
Exercício 18 
 
(EPE = CESGRANRIO/2012) 
 
 
 
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Exercício 19 
 
(IBGE - CESGRANRIO/2013) 
 
Exercício 20 
 
(IBGE ± CESGRANRIO/2013) 
 
 
 
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Exercício 21 
 
(IBGE ± CESGRANRIO/2013) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 22 
(ICMS-RJ ± FCC\2013) Considere o modelo ࢟࢏ ൌ ࢻ ൅ ࢼ࢏ ൅ ࢋ࢏, i = 1,2,3,... onde: 
I. yi e xi representam, respectivamente, o tempo de reação a certo estímulo, em 
segundos, e a idade, em anos, do indivíduo i. 
II. ࢻ e ࢼ representam os parâmetros desconhecidos do modelo. 
III. ࢋ࢏ representa o erro aleatório com as respectivas hipóteses para a regressão 
linear simples. 
IV. As estimativas de �ࢻ e ࢼ foram obtidas pelo método de mínimos quadrados 
por meio de 10 observações, utilizando-se as seguintes informações: 
 
Nessas condições, a soma de quadrados residuais do modelo é igual a 
a) 785 
b) 810 
c) 515 
d) 920 
e) 460 
 
 
Exercício 23 
 
(ISS Recife ± FGV\2014) Numa regressão linear simples, obteve-se um 
coeficiente de correlação igual a 0,78. O coeficiente de determinação é 
aproximadamente igual a 
(A) 0,36. 
(B) 0,48. 
(C) 0,50. 
(D) 0,61. 
(E) 0,69. 
 
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Exercício 24 
 
(ISS Recife ± FGV\2014) Avalie se as seguintes propriedades de um estimador 
de um certo parâmetro são desejáveis: 
I. Ser não tendencioso para esse parâmetro. 
II. Ter variância grande. 
III. Ter erro quadrático médio grande. 
Assinale: 
(A) se apenas a propriedade I estiver correta. 
(B) se apenas as propriedades I e II estiverem corretas. 
(C) se apenas as propriedades I e III estiverem corretas. 
(D) se apenas as propriedades II e III estiverem corretas. 
(E) se todas as propriedades estiverem corretas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 25(COMPESA ± 2014/FGV) Suponha o seguinte modelo econométrico, estimado 
por um economista: 
lnPIB(t) = 10 + 2*lnC(t) + 0,5*lnC(t-1) + û, 
 (0,01) (0,06) (0,12) 
R² = 0,2 
em que, lnPIBt é o logaritmo neperiano do PIB no ano t, lnC(t) é o logaritmo 
neperiano do consumo no ano t e lnC(t ± 1) a sua defasagem em um período. O 
número entre parênteses embaixo de cada estimativa é o p-valor referente à 
estatística de teste t, que testa a hipótese do determinado coeficiente ser nulo. 
O termo R² mede o coeficiente de determinação. A partir dessas informações, 
assinale a afirmativa correta. 
(A) O modelo não é globalmente significante a um nível de 1%. 
(B) A estatística do teste t para o intercepto indica que o mesmo não é 
significante a um nível de 5%. 
(C) O efeito contemporâneo do consumo sobre o PIB é positivo, mas 
estatisticamente nulo ao nível de 10%. 
(D) O efeito defasado do consumo sobre o PIB é positivo, mas estatisticamente 
nulo ao nível de 10%. 
(E) As variáveis de consumo explicam apenas 0,2% da variação do PIB ao longo 
do tempo. 
 
 
(ANTT ± CESPE\2013) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 26 
A suposição de homocedasticidade é fundamental para mostrar que os 
estimadores de MQO são não viesados. 
 
 
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Exercício 27 
Se o estimador de MQO for não viesado e consistente, então ele será, 
necessariamente, eficiente. 
 
Exercício 28 
De acordo com a hipótese de consistência do estimador de MQO, à medida que 
o numero de observações aumenta, o valor esperado do estimador converge 
para o valor do parâmetro a ser estimado e a variância do estimador converge 
para zero. 
 
 
Exercício 29 
Na análise de séries temporais, a suposição de ausência de autocorrelacao 
serial dos resíduos deve sempre ser verificada para garantir que os estimadores 
de mínimos quadrados ordinários sejam não viesados e consistentes. 
 
 
Exercício 30 
Na presença de multicolinearidade, a variância e a covariância dos estimadores 
serão afetadas, sendo possível que sejam alterados tanto os sinais quanto a 
magnitude dos estimadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2-d 22-d 
3-a 23-d 
4-a 24-a 
5-F 25-d 
6-F 26-F 
7-F 27-F 
8-F 28-V 
9-F 29-F 
10-V 30-V 
11-V 
12-F 
13-F 
14-V 
15-F 
16-e 
17-d 
18-d 
19-c 
20-a 
21-e 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tranquilo pessoal? Segue em anexo a tabela da distribuição DF! 
 
Um abraço e bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
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