Calculo 3

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Universidade Federal de Lavras
3
a
Prova de GEX108 - Cálculo III
Nome:
N
o
	
de matrícula: Turma:
Data: 04.11.2011
Questões Notas
1
a
2
a
3
a
4
a
Total
Observações:
• Verifique se sua prova contém 4 (quatro) questões;
• Leia com atenção cada questão;
• Justifique todas as suas respostas.
1. Escreva os cinco primeiro termos da sequência
{
1− 1
n
}+∞
n=1
. Essa sequência converge ou
diverge? Justifique sua resposta.
2. Encontre o fluxo do campo vetorial
~F (x, y, z) = x~i+ y~j + z~k, onde σ é a porção do cone
z2 = x2 + y2 entre os planos z = 1 e z = 2, orientados por vetores normais unitários para
cima.
3. Use o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo de
~F (x, y, z) = z2~k, onde σ é a
superfície do sólido cônico compreendido por z =
√
1− x2 − y2 e z = −1, orientado para
fora.
4. Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
C
~F . d~r onde ~F (x, y, z) = 3z~i− 4x~j + 2y~k, e C é
a interseção do plano z = 4 e o parabolóide z = x2 + y2. Com orientação horária olhando
no eixo z de cima para baixo.
obs:∫∫
σ
~F .~n dS =
∫∫
R
~F (~r(u, v)).
(
∂~r
∂u
× ∂~r
∂v
)
dA
∫∫
σ
~F .~n dS =
∫∫∫
G
div(~F ) dV
∫
C
~F d~r =
∫∫
σ
rot(~F ).~n dS
1