prova2a2011 - calculo 3

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Universidade Federal de Lavras
2
a
Prova de GEX108 - Cálculo III
Nome:
N
o
	
de matrícula: Turma:
Data: 30.09.2011
Questões Notas
1
a
2
a
3
a
4
a
Total
Observações:
• Verifique se sua prova contém 4 (quatro) questões;
• Leia com atenção cada questão;
• Justifique todas as suas respostas.
1. Calcule
∮
C
y dx− x dy, onde C é a círculo x2 + y2 = 4, orientado no sentido anti-horário.
2. Considere o campo vetorial
~F (x, y) = 2xy3~i+ 3x2y2~j.
(a) Mostre que a integral
∫ (1,0)
(2,1)
~F . d~r é independente do caminho.
(b) Calcule a função potencial φ tal que ~F = ∇φ =
(
∂φ
∂x
,
∂φ
∂y
)
.
(c) Calcule o valor da integral
∫ (1,0)
(2,1)
~F . d~r.
3. Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças
~F (x, y) = (x2 − y2)~i + x~j, numa partícula que se move ao longo do círculo x2 + y2 = 9,
no sentido anti-horário.
4. Calcule a integral de superfície
∫∫
σ
f(x, y, z) dS, onde f(x, y, z) = x − z e σ é a porção
do plano x+ y = 1 no primeiro octante entre z = 0 e z = 1.
obs:∫∫
σ
f(x, y, z) dS =
∫∫
R
f(~r(u, v))
∥∥∥∥∂~r∂u × ∂~r∂v
∥∥∥∥ dA
1