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Cálculo II - Teorema De Green atual

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1 Teorema de Green
Um dos teoremas mais importantes no cálculo vetorial integral, relaciona uma integral de linha
em torno de uma curva simples suave por partes C a uma integral dupla sobre a região R limitada
pela curva.
1.1 Integrais de linha ao longo de curvas simples
Dizemos que a região ao redor de uma curva fechada simples C é aquela direção em que um ponto
na curva tem que se mover, ou a direção em que uma pessoa tem que andar em C, para manter a
região R limitada por C à esquerda. Os sentidos positivos e negativos correspondem aos sentidos
anti-horário e horário respectivamente. Integrais de linha em curvas fechadas simples são escritas
como
ffi
C
P (x, y)dx+Q(x, y)dy,
fi
C
P (x, y)dx+Q(x, y)dy,
ffi
C
f(x, y)ds,
E assim por diante. Os símbolos
fl
e
ff
se referem as integrações nas direções positiva e negativa,
respectivamente.
Teorema 1.1.1 Teorema de Green no plano
Suponha que C seja uma curva fechada simples suave por partes limitando uma região R. Se
P , Q, ∂P
∂y
, ∂Q
∂x
foram contínuas em R, então
ffi
C
P (x, y)dx+Q(x, y)dy =
¨
R
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA.
Exemplo 1.1.1 Calcule a integral
fl
C
(x2 − y2)dx + (2y − x)dy, onde C consiste no contorno da
região no primeiro quadrante que está limitada pelos gráficos y = x2 e y = x3.
Solução:
Se P (x, y) = (x2 − y2) e Q(x, y) = 2y − x, então ∂P
∂y
= −2y, e ∂Q
∂x
= −1, logo temos
ffi
C
(x2 − y2)dx+ (2y − x)dy = ˜
R
(−1 + 2y)dA
=
´ 1
0
´ x2
x3
(−1 + 2y)dydx
=
´ 1
0
(−y + y2)
]x2
x3
dx
=
´ 1
0
(−x6 + x4 + x3 − x2)dx = − 11
420
Exemplo 1.1.2 Calcule a integral
fl
C
(x5 + 3y)dx + (2x − ey3)dy, onde C é o círculo (x − 1)2 +
(y − 5)2 = 4.
Solução:
Se P (x, y) = x5 + 3y e Q(x, y) = 2x− ey3, então ∂P
∂y
= 3, e ∂Q
∂x
= 2, logo temos
ffi
C
(x5 + 3y)dx+ (2x− ey3)dy =
¨
R
(2− 3)dA = −
¨
R
dA
A integral dupla
˜
R
dA dá a região da área R limitada pelo círculo de raio 2, portanto
1
ffi
C
(x5 + 3y)dx+ (2x− ey3)dy =
¨
R
(2− 3)dA = −4pi
Exemplo 1.1.3 Trabalho realizado pela força.
Determine o trabalho realizado pela força ~F = (−16y + sen x2)~i + (4ey + 3x2)~j atuando ao
longo da curva fechada simples C. Veja figura dada em aula.
Sugestão: Utilize uma mudança para coordenadas polares, onde x = r cos θ e y = r sen θ e
definida pela região R, onde 0 ≤ r ≤ 1, pi
4
≤ θ ≤ 3pi
4
.
Solução:
O trabalho realizado por ~F é dado por
W =
ffi
C
~F dr =
ffi
C
(−16y + sen x2)dx+ (4ey + 3x2)dy
assim pelo teorema de Green, W =
˜
R
(6x+ 16)dA.
Em vista da região R, a última integral é melhor calculada em coordenadas polares, usaremos
a mudança de coordenadas onde x = r cos θ e y = r sen θ. Como R é definida por 0 ≤ r ≤ 1,
pi
4
≤ θ ≤ 3pi
4
, logo,
W =
´ 3pi
4
pi
4
´ 1
0
(6r cos θ + 16)r dr dθ
=
´ 3pi
4
pi
4
(2r3 cos θ + 8r2)
]1
0
dθ
=
´ 3pi
4
pi
4
(2 cos θ + 8)
]1
0
dθ = 4pi
Exemplo 1.1.4 Normalmente não podemos aplicar diretamente o Teorema de Green em regiões
com "buracos", isto é, uma região limitada entre duas ou mais curvas fechadas simples suaves por
partes, como no caso da integral abaixo:
Seja C uma curva fechada constituída pelos 4 segmentos de reta C1 = −2, C2 = 2, C3 = 2 e
C4 = −2. ffi
C
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy
O teorema de Green não é aplicável pois P,Q, ∂P
∂y
e ∂Q
∂x
não são contínuas na origem.
Exemplo 1.1.5 Exemplo 1.1.4 revisto. Utilizando a propriedade (II) da definição 1.1 das inte-
grais de linha, ou seja
˛
C
=
ˆ
C1
+
ˆ
C2
+
ˆ
C3
+
ˆ
C4
Um método para se calcular as quatro integrais nos segmentos c1, c2, c3, e c4 de modo alterna-
tivo é observarmos que C ′ = x2 + y2 = 1 forma o círculo situado inteiramente dentro de C, então
fica evidente que P = −y
(x2+y2)
e x
(x2+y2)
tem derivada parcial primeira contínua na região R limitada
pelas curvas C e C ′. Além disso, considerando que temos derivada parcial primeira contínua, de
modo que
2
∂P
∂y
=
(x2 + y2).(−1)− (−y).(2y)
(x2 + y2)2
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
∂Q
∂x
=
(x2 + y2).(1)− (x).(2x)
(x2 + y2)2
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
logo,
∂P
∂y
=
y2 − x2
(x2 + y2)2
=
∂Q
∂x
em R.
Solução:
Assim temos,
ffi
C
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy =
ffi
C′
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy
Usando a parametrização, x = cos t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ 2pi para C’, obtemos
ffi
C
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy =
ˆ 2pi
0
[−sen t(−sen t) + cos t(cos t)]dt
ˆ 2pi
0
(sen2 t+ cos2 t)dt =
ˆ 2pi
0
dt = 2pi
1.2 Exercícios
1. Verifique o teorema de Green calculando:
a.
fl
C
(x− y) dx+ xy dy = ˜
R
dA, onde C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 3)
b.
fl
C
3x2 dx+ (x2 − 5y) dy = ˜
R
(2x− 3x2) da, onde C é o retângulo com vértices (−1, 0),
(1, 0), (1, 1), (−1, 1)
c.
fl
C
−y2 dx+x2 dy = ˜
R
(2x+2y)dA, onde C é o círculo x = 3cos t, y = 3sen t, 0 ≤ t ≤ 2pi
d.
fl
C
−2y2 dx+ 4xy dy = ˜
R
8y dA, onde C é o contorno da região no primeiro quadrante
determinado pelos gráficos y = 0, y =
√
x, y = −x+ 2
2. Calcule usando o teorema de Green:
a.
fl
C
2y dx+ 5y dy, onde C é o círculo (x− 1)2 + (y + 3)2 = 25
b.
fl
C
(x + y2) dx + (2x2 − y) dy, onde C é o contorno da região determinada pelo gráfico
y = x2, y = 4
c.
fl
C
(x4 − 2y3) dx+ (2x3 − y4) dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 4
3
d.
fl
C
(x − 3y) dx + (4x + y) dy, onde C é o retângulo com vértices (−2, 0), (3, 0), (3, 2) e
(−2, 2)
e.
fl
C
2xy dx+ 3xy2 dy, onde C é o triângulo de vértices (1, 2), (2, 2) e (2, 4)
f.
fl
C
e2x sen 2y dx+ e2x cos 2y dy, onde C é a elipse 9(x− 1)2 + 4(y − 3)2 = 36
4

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