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1 Teorema de Green Um dos teoremas mais importantes no cálculo vetorial integral, relaciona uma integral de linha em torno de uma curva simples suave por partes C a uma integral dupla sobre a região R limitada pela curva. 1.1 Integrais de linha ao longo de curvas simples Dizemos que a região ao redor de uma curva fechada simples C é aquela direção em que um ponto na curva tem que se mover, ou a direção em que uma pessoa tem que andar em C, para manter a região R limitada por C à esquerda. Os sentidos positivos e negativos correspondem aos sentidos anti-horário e horário respectivamente. Integrais de linha em curvas fechadas simples são escritas como ffi C P (x, y)dx+Q(x, y)dy, fi C P (x, y)dx+Q(x, y)dy, ffi C f(x, y)ds, E assim por diante. Os símbolos fl e ff se referem as integrações nas direções positiva e negativa, respectivamente. Teorema 1.1.1 Teorema de Green no plano Suponha que C seja uma curva fechada simples suave por partes limitando uma região R. Se P , Q, ∂P ∂y , ∂Q ∂x foram contínuas em R, então ffi C P (x, y)dx+Q(x, y)dy = ¨ R ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dA. Exemplo 1.1.1 Calcule a integral fl C (x2 − y2)dx + (2y − x)dy, onde C consiste no contorno da região no primeiro quadrante que está limitada pelos gráficos y = x2 e y = x3. Solução: Se P (x, y) = (x2 − y2) e Q(x, y) = 2y − x, então ∂P ∂y = −2y, e ∂Q ∂x = −1, logo temos ffi C (x2 − y2)dx+ (2y − x)dy = ˜ R (−1 + 2y)dA = ´ 1 0 ´ x2 x3 (−1 + 2y)dydx = ´ 1 0 (−y + y2) ]x2 x3 dx = ´ 1 0 (−x6 + x4 + x3 − x2)dx = − 11 420 Exemplo 1.1.2 Calcule a integral fl C (x5 + 3y)dx + (2x − ey3)dy, onde C é o círculo (x − 1)2 + (y − 5)2 = 4. Solução: Se P (x, y) = x5 + 3y e Q(x, y) = 2x− ey3, então ∂P ∂y = 3, e ∂Q ∂x = 2, logo temos ffi C (x5 + 3y)dx+ (2x− ey3)dy = ¨ R (2− 3)dA = − ¨ R dA A integral dupla ˜ R dA dá a região da área R limitada pelo círculo de raio 2, portanto 1 ffi C (x5 + 3y)dx+ (2x− ey3)dy = ¨ R (2− 3)dA = −4pi Exemplo 1.1.3 Trabalho realizado pela força. Determine o trabalho realizado pela força ~F = (−16y + sen x2)~i + (4ey + 3x2)~j atuando ao longo da curva fechada simples C. Veja figura dada em aula. Sugestão: Utilize uma mudança para coordenadas polares, onde x = r cos θ e y = r sen θ e definida pela região R, onde 0 ≤ r ≤ 1, pi 4 ≤ θ ≤ 3pi 4 . Solução: O trabalho realizado por ~F é dado por W = ffi C ~F dr = ffi C (−16y + sen x2)dx+ (4ey + 3x2)dy assim pelo teorema de Green, W = ˜ R (6x+ 16)dA. Em vista da região R, a última integral é melhor calculada em coordenadas polares, usaremos a mudança de coordenadas onde x = r cos θ e y = r sen θ. Como R é definida por 0 ≤ r ≤ 1, pi 4 ≤ θ ≤ 3pi 4 , logo, W = ´ 3pi 4 pi 4 ´ 1 0 (6r cos θ + 16)r dr dθ = ´ 3pi 4 pi 4 (2r3 cos θ + 8r2) ]1 0 dθ = ´ 3pi 4 pi 4 (2 cos θ + 8) ]1 0 dθ = 4pi Exemplo 1.1.4 Normalmente não podemos aplicar diretamente o Teorema de Green em regiões com "buracos", isto é, uma região limitada entre duas ou mais curvas fechadas simples suaves por partes, como no caso da integral abaixo: Seja C uma curva fechada constituída pelos 4 segmentos de reta C1 = −2, C2 = 2, C3 = 2 e C4 = −2. ffi C −y x2 + y2 dx+ x x2 + y2 dy O teorema de Green não é aplicável pois P,Q, ∂P ∂y e ∂Q ∂x não são contínuas na origem. Exemplo 1.1.5 Exemplo 1.1.4 revisto. Utilizando a propriedade (II) da definição 1.1 das inte- grais de linha, ou seja ˛ C = ˆ C1 + ˆ C2 + ˆ C3 + ˆ C4 Um método para se calcular as quatro integrais nos segmentos c1, c2, c3, e c4 de modo alterna- tivo é observarmos que C ′ = x2 + y2 = 1 forma o círculo situado inteiramente dentro de C, então fica evidente que P = −y (x2+y2) e x (x2+y2) tem derivada parcial primeira contínua na região R limitada pelas curvas C e C ′. Além disso, considerando que temos derivada parcial primeira contínua, de modo que 2 ∂P ∂y = (x2 + y2).(−1)− (−y).(2y) (x2 + y2)2 = y2 − x2 (x2 + y2)2 ∂Q ∂x = (x2 + y2).(1)− (x).(2x) (x2 + y2)2 = y2 − x2 (x2 + y2)2 logo, ∂P ∂y = y2 − x2 (x2 + y2)2 = ∂Q ∂x em R. Solução: Assim temos, ffi C −y x2 + y2 dx+ x x2 + y2 dy = ffi C′ −y x2 + y2 dx+ x x2 + y2 dy Usando a parametrização, x = cos t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ 2pi para C’, obtemos ffi C −y x2 + y2 dx+ x x2 + y2 dy = ˆ 2pi 0 [−sen t(−sen t) + cos t(cos t)]dt ˆ 2pi 0 (sen2 t+ cos2 t)dt = ˆ 2pi 0 dt = 2pi 1.2 Exercícios 1. Verifique o teorema de Green calculando: a. fl C (x− y) dx+ xy dy = ˜ R dA, onde C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 3) b. fl C 3x2 dx+ (x2 − 5y) dy = ˜ R (2x− 3x2) da, onde C é o retângulo com vértices (−1, 0), (1, 0), (1, 1), (−1, 1) c. fl C −y2 dx+x2 dy = ˜ R (2x+2y)dA, onde C é o círculo x = 3cos t, y = 3sen t, 0 ≤ t ≤ 2pi d. fl C −2y2 dx+ 4xy dy = ˜ R 8y dA, onde C é o contorno da região no primeiro quadrante determinado pelos gráficos y = 0, y = √ x, y = −x+ 2 2. Calcule usando o teorema de Green: a. fl C 2y dx+ 5y dy, onde C é o círculo (x− 1)2 + (y + 3)2 = 25 b. fl C (x + y2) dx + (2x2 − y) dy, onde C é o contorno da região determinada pelo gráfico y = x2, y = 4 c. fl C (x4 − 2y3) dx+ (2x3 − y4) dy, onde C é o círculo x2 + y2 = 4 3 d. fl C (x − 3y) dx + (4x + y) dy, onde C é o retângulo com vértices (−2, 0), (3, 0), (3, 2) e (−2, 2) e. fl C 2xy dx+ 3xy2 dy, onde C é o triângulo de vértices (1, 2), (2, 2) e (2, 4) f. fl C e2x sen 2y dx+ e2x cos 2y dy, onde C é a elipse 9(x− 1)2 + 4(y − 3)2 = 36 4
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