Cálculo II - Séries Numéricas (Teoria e Ex)

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E.E. E.E. E.E. E.E. MAUÁMAUÁMAUÁMAUÁ 
CÁLCULOCÁLCULOCÁLCULOCÁLCULO II II II II ———— EFB 103EFB 103EFB 103EFB 103 ----A4A4A4A4 
 
 
 
SÉRIES SÉRIES SÉRIES SÉRIES 
 
 
 
1. SÉRIES NUMÉRICAS 
 
1. 1. 1. 1. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição 
 
 Consideremos uma seqüência de números 
a1 , a2 , a3 , ..., an ,... 
e as somas parciais:somas parciais:somas parciais:somas parciais: 
 S1 = a1 
 S2 = a1 + a2 
 Sn = a1 + a2 + a3 + ...+ an =
n
n
1
a∑ 
a.a.a.a. Se nnlim S S→∞ = existir e for um número finito a série é convergente convergente convergente convergente e S S S S é chamado 
soma da série infinita. 
b.b.b.b. Se não existir o limite ou for infinito, a série é divergente.divergente.divergente.divergente. 
 
2. 2. 2. 2. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição 
 a, a, a, a, A série 2
1
n 1 4 9 16 ...
∞
= + + + +∑ só tem termos positivostermos positivostermos positivostermos positivos. 
 b. b. b. b. A série n
0
( 1) 1 1 1 1 ...
∞
− = − + − +∑ é uma série alternadasérie alternadasérie alternadasérie alternada 
 
3. 3. 3. 3. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema 
a.a.a.a. Se a série n
1
a
∞
∑ é convergente, então nnlim a 0→∞ = 
b. b. b. b. Se não existir nnlim a→∞ ou nnlim a 0→∞ ≠ então a série é divergente. 
 
 
 
 
Exemplo 1.Exemplo 1.Exemplo 1.Exemplo 1. Considere a série 
1
1
n
∞
∑ 
 observe que nn n
1
lim a lim 0
n→∞ →∞
= = 
 no entanto, não se pode afirmar que a série é convergente pois a 
condição nnlim a 0→∞ = , dada no teorema, é uma condição necessária, mas 
não suficiente. 
 
 
Exemplo 2.Exemplo 2.Exemplo 2.Exemplo 2. Considere a série 
1
n 4
8n 1
∞ +
+
∑ 
 nn n n
41n 4 1nlim a lim lim 018n 1 88
n
→∞ →∞ →∞
++
= = = ≠
+ +
 
 desta forma, pela condição b. b. b. b. dada no teorema, pode se afirmar que a 
série é divergente. 
 
 
4. 4. 4. 4. Série harmônicaSérie harmônicaSérie harmônicaSérie harmônica 
1
1 1 1 1
1 ...
n 2 3 4
∞
= + + + +∑ é divergente.divergente.divergente.divergente. 
5. 5. 5. 5. Série GeométricaSérie GeométricaSérie GeométricaSérie Geométrica 
n 1 2 3
1
aq a aq aq aq ...
∞
−
= + + + +∑ (a(a(a(a≠≠≠≠ 0)0)0)0) 
a.a.a.a. q ≥ 1 → a série diverge 
b.b.b.b. q < 1 → a série converge e 
a
S
1 q
=
−
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.Exemplo 3.Exemplo 3.Exemplo 3. Considere a série 
n
0
1 1 1
1 ...
2 2 4
∞
= + + +∑ 
esta é uma série geométrica de razão
2
1
====qqqq sendo, pois, convergente 
com soma 
a 1 1
S 21 11 q 1
2 2
= = = =
−
−
 
 
6. 6. 6. 6. Exemplo de somaExemplo de somaExemplo de somaExemplo de soma 
1
1 1 1 !
...
n(n 1) 2 6 12
∞
= + + +
+
∑ é convergente e S = 1 
 
este é um exemplo de um tipo de série denominada série telescópica. 
 
Exemplo 4.Exemplo 4.Exemplo 4.Exemplo 4. A série 
1
1
n(n 1)
∞
+
∑ pode ser escrita como: 
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
n n 1 1 2 2 3 3 4
∞
 
− = − + − + − + = + 
∑ … 
 
 
7. 7. 7. 7. PropriedadesPropriedadesPropriedadesPropriedades 
a. a. a. a. Sejam na∑ e nb∑ séries convergentes, sendo A e B suas somas e cccc uma constante: 
 nca∑ é convergente e sua soma é cA 
 ( )n na b+∑ é convergente e sua soma é A+B 
 ( )n na b−∑ é convergente e sua soma é A- B 
b.b.b.b. Seja na∑ uma série convergente nb∑ uma série divergente: 
( )n na b+∑ é divergente 
 
 
b – critérios de convergência para séries de termos positivos. 
 
 
1. 1. 1. 1. ComparaçãoComparaçãoComparaçãoComparação 
 
 Sejam dadas as séries∑∑∑∑ nnnnaaaa e ∑∑∑∑ nnnnbbbb tais que 0 0 0 0 ≤≤≤≤ aaaannnn ≤≤≤≤ bbbbnnnn para todo n, então: 
a.a.a.a. Se ∑∑∑∑ nnnnbbbb converge, ∑∑∑∑ nnnnaaaa também converge. 
b.b.b.b. Se ∑∑∑∑ nnnnaaaa diverge, ∑∑∑∑ nnnnbbbb também diverge. 
 
Exemplo 5.Exemplo 5.Exemplo 5.Exemplo 5. Considere a série 
2
n
1
cos n
2
∞
∑ 
 podemos afirmar que: 
2
n n
cos n 1
0
2 2
≤ ≤ 
vimos, no exemplo 3 que a série n
0
1
2
∞
∑ converge, desta forma, a série 
2
n
1
cos n
2
∞
∑ também converge. 
 
 
Exemplo 6.Exemplo 6.Exemplo 6.Exemplo 6. Considere a série 
2
1
ln n
∞
∑ 
 podemos afirmar que: 
lnn1
0 (n 3)
n n
< < ≥ 
a série harmônica 
1
1
n
∞
∑ é divergente, assim, a série 
2
1
ln n
∞
∑ também é divergente 
 
 
 
 
 
 
2. 2. 2. 2. IntegralIntegralIntegralIntegral 
 
Dada a série n
a
a
∞
∑ seja an = f(n), onde f(x) é uma função contínua, positiva e decrescente 
para x > 0. 
 aaaa. Se 
n
n
a
lim f(x)
→∞ ∫ existe a série na∑ converge 
 bbbb. Se 
n
n
a
lim f(x)
→∞ ∫ não existe a série na∑ diverge 
 
 
Exemplo 7.Exemplo 7.Exemplo 7.Exemplo 7. Considere a série harmônica 
1
1
n
∞
∑ 
vamos considerar a integral 
n
n
1
1
1
dx ln x ln n
x
= =∫ 
Como ( )
n n
n n n
1 1
1
lim f(x) lim dx lim ln n
x→∞ →∞ →∞
= =∫ ∫ não existe, a série 
1
1
n
∞
∑ é 
divergente. 
 
 
Exemplo 8.Exemplo 8.Exemplo 8.Exemplo 8. Considere a série 
2
1
1
n
∞
∑ 
vamos considerar a integral 
nn
2
11
1 1 1
dx 1
x x n
= − = −∫ 
Como 
n n
2n n n
1 1
1 1
lim f(x) lim dx lim 1 1
x n→∞ →∞ →∞
 
= = − = 
 ∫ ∫
 existe, a série é convergente. 
Do mesmo modo, podemos mostrar que a série harmônica generalizada 
p
1
1
n
∞
∑ 
é convergente para p> 1. 
 
 
 
3. 3. 3. 3. Razão ou D´Alembert:Razão ou D´Alembert:Razão ou D´Alembert:Razão ou D´Alembert: 
 
 Dada a série tal na∑ que: n 1n
n
a
lim q
a
+
→∞
= 
 a. a. a. a. 0 q 1≤ < a série converge 
 b. b. b. b. q 1> a série diverge 
 c. c. c. c. q 1= nada se pode afirmar usando este critério 
 
Exemplo 9Exemplo 9Exemplo 9Exemplo 9 Considere a série 
( )
2
1
(n!)
2n !
∞
∑ 
 
( )
[ ]
[ ]
2
n
2
n 1
(n!)
a
2n !
(n 1)!
a
2(n 1) !+ +
=
+
=
+
 
[ ]
[ ]
( )
( )
[ ]
[ ]
( )
( )
( )
2
2
n 1
2 2
n
2 2 2
2
(n 1) !
2(n 1) ! (n 1) ! 2n !a
a 2(n 1) !n ! n !
2n !
(n 1) (n !) (2n !) (n 1)
(2n 2)(2n 1)(2n !) (2n 2)(2n 1)n !
+ +
+
+ +
= = =
+
+ +
= =
+ + + +
 
 
Deste modo, 
2
n 1
2n n
n
a n 2n 1 1
lim lim
a 4n 6n 2 4
+
→∞ →∞
+ +
= =
+ +
 
 
Como n 1
n
n
a 1
lim q 1
a 4
+
→∞
= = < , a série converge 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 4. 4. 4. Raiz ou CauchyRaiz ou CauchyRaiz ou CauchyRaiz ou Cauchy 
 
 Dada a série na∑ tal que: n nnlim a q→∞ = 
a. a. a. a. 0 q 1≤ < a série converge 
 b. b. b. b. q 1> a série diverge 
 c. c. c. c. q 1= nada se pode afirmar usando este critério. 
 
 
Exemplo 10.Exemplo 10.Exemplo 10.Exemplo 10. Considere a série 
n
1
a
n
∞
∑ 
 vamos calcular 
n
n n
n nn n n
a a
lim a lim lim a
n n→∞ →∞ →∞
= = = 
 deste modo, a série convergese a<1 e diverge se a>1. . . . Se a = 1 o critério 
não se aplica, mas, se a = 1 a série é harmônica sendo,pois, divergente. 
 
 
c –séries alternadas 
 
1. Definição1. Definição1. Definição1. Definição 
A série n n 0 1 2
n 0
( 1) a a a a ...
∞
=
− = − + +∑ com an > 0 é uma série alternada. 
 
2. Critério de Leibniz2. Critério de Leibniz2. Critério de Leibniz2. Critério de Leibniz 
 Dada a série alternada n n( 1) a−∑ tal que: 
a.a.a.a. a0 > a1 > a2 > ...> an > ... 
b. b. b. b. nnlim a 0→∞ = 
então a série converge. 
Exemplo 11.Exemplo 11.Exemplo 11.Exemplo 11. Considere a série 
n 1
1
( 1) 1 1 1
1 ...
n 2 3 4
+∞
−
= − + − +∑ 
 a. a. a. a. 
1 1
1 ...
2 3
> > > 
 b, b, b, b, 
n
1
lim 0
n→∞
= 
assim a série converge. 
 
 
3. 3. 3. 3. Convergência condicional e absoluta.Convergência condicional e absoluta.Convergência condicional e absoluta.Convergência condicional e absoluta. 
 
 aaaa. Se n n( 1) a−∑ converge e na∑ converge → converge absolutamenteconverge absolutamenteconverge absolutamenteconverge absolutamente 
bbbb. Se n n( 1) a−∑ converge e na∑ diverge → converge condicionalmeteconverge condicionalmeteconverge condicionalmeteconverge condicionalmete 
 
Exemplo 12.Exemplo 12.Exemplo 12.Exemplo 12. Considere a série 
n
2
1
( 1)
n
∞
−
∑ 
 a, a, a, a, 2n
1
lim 0
n→∞
= 
 b.b.b.b. A série 
n
2 2
1 1
( 1) 1
n n
∞ ∞
−
=∑ ∑ converge 
assim a série 
n
2
1
( 1)
n
∞
−
∑ é absolutamente convergente. 
 
 
Exemplo 13.Exemplo 13.Exemplo 13.Exemplo 13. Considere a série 
n
p
1
( 1)
n
∞
−
∑ com com com com 0< p < 10< p < 10< p < 10< p < 1 
 a, a, a, a, pn
1
lim 0
n→∞
= 
b.b.b.b. A série 
n
p p
1 1
( 1) 1
n n
∞ ∞
−
=∑ ∑ é a série harmônica generalizada 
que diverge para 0< p < 1 (exemplo 8) 
 
assim a série 
n
p
1
( 1)
n
∞
−
∑ é condicionalmente convergente. 
 
 
4. 4. 4. 4. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema 
 Se a série na∑ converge então a série n n( 1) a−∑ também converge. 
 
 
 
 
 
2. SÉRIES DE FUNÇÕES 
 
1. 1. 1. 1. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição 
A série n 2n 0 1 2
n 0
a x a a x a x ...
∞
=
= + + +∑ onde x é uma variável e an constantes, 
denominadas coeficientes da série é uma série de potências.série de potências.série de potências.série de potências. 
 
2. 2. 2. 2. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema 
 Dada a série nn
n 0
a x
∞
=
∑ existem três possibilidades: 
a.a.a.a. A série converge somente para x = 0. 
b.b.b.b. A série converge para todo x. 
c.c.c.c. A série converge somente se x < R e diverge se x > R 
 
3. 3. 3. 3. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição 
 O número R é chamado raio de convergência raio de convergência raio de convergência raio de convergência da série. 
 Em x = ± R a série pode convergir ou divergir, devendo ser estudado cada extremo. 
 
Exemplo 14.Exemplo 14.Exemplo 14.Exemplo 14. Consideremos a série 
n
n
1
(n 2)x
3
∞ +
∑ 
 
n
n n
n 1
n 1 n 1
n 1
n 1
n 1
n
n
n
n 1
n 8
n
(n 2)x
a
3
(n 3)x
a
3
(n 3)x
a n 3 13 x
(n 2)xa n 2 3
3
xa
lim
a 3
+
+ +
+
+
+
+
→
+
=
+
=
+
+
= =
+ +
=
 
Se 
x
1 x 3
3
< → < , a série é absolutamente convergente. 
Se x = 3: 
n n
n n n
(n 2)x (n 2)3
a n 2
3 3
+ +
= = = + então a série diverge. 
Portanto a série diverge para 3≥≥≥≥xxxx e converge para 33 <<<<<<<<−−−− xxxx 
 
 
 
 
 
O raio de convergência é R =R =R =R =3333 
 
-3 3 
Divergente Divergente Absolutamente Convergente 
Divergente Divergente 
4. 4. 4. 4. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema 
 
Se a série de potências nn
n 0
a x
∞
=
∑ tiver raio de convergência R ≠ 0 a função f(x) definida por: 
f(x) = n 2n 0 1 2
n 0
a x a a x a x ...
∞
=
= + + +∑ 
é diferenciável no intervalo (-R, R) e: 
 a. a. a. a. n 1nf (x) na x
−
′ =∑ 
 b. b. b. b. n 1n
a
f(x)dx x
n 1
+
=
+
∑∫ 
ambas as séries obtidas têm o mesmo raio de convergência R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E.E. MAUÁE.E. MAUÁE.E. MAUÁE.E. MAUÁ 
CÁLCULOCÁLCULOCÁLCULOCÁLCULO II II II II ———— EFB 103 EFB 103 EFB 103 EFB 103 ----A7A7A7A7 
 
 
EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOS 
 
Mostre que: 
 
1.1.1.1. 
n n
n
1
2 3 3
6 2
∞ +
=∑ 
 
2.2.2.2. 
n
n
1
( 1) 3
3 4
∞
−
=∑ 
 
3.3.3.3. 
n
2n
1
1 2 10
2 3
∞ +
=∑ 
 
4.4.4.4. 2
1
1
1
n n
∞
=
+
∑ 
 
Estude a convergência das séries: 
 
5.5.5.5. 
2
n
1
sen n
2
∞
∑ R: C 
 
6.6.6.6. 
2
1
ln n
∞
∑ R: D 
 
7.7.7.7. n
1
1
n.2
∞
∑ R: C 
 
8.8.8.8. 
1
ln n
n
∞
∑ R: D 
 
9.9.9.9. 
1
n 1
2n 1
∞ +
+
∑ R: D 
 
10.10.10.10. 
1
1
2n
∞
∑ R: D 
 
11.11.11.11. 
2n
1
1
e
n
∞
− + 
 
∑ R: D 
 
12.12.12.12. 
1
1
n
∞
∑ R: D 
 
13.13.13.13. n
1
2n 1
2
∞
−
∑ R: C 
 
14.14.14.14. 1
2
n
1
(n!)
2
∞
∑ R: C 
 
15.15.15.15. 
2n
1
a
n!
∞
∑ R: C 
 
16.16.16.16. 
n
1
1 2
n 5
∞
 
 
 
∑ R: C 
 
17.17.17.17. 
( )n
1
lna
n
∞
∑ R: D 
 
18.18.18.18. 
n
n
1
1 1
1
2 n
∞
 + 
 
∑ R: D 
 
19.19.19.19. 
2
2
1
cos n
n
∞
∑ R: C 
 
20.20.20.20. 2
1
1
n a lnn
∞
+
∑ a > 0 R: C 
 
 
Ache o raio de convergência r das séries de potência e pesquise o caráter nos 
pontos x = -r e x = r, indicando, no caso de convergência, se ela é absoluta ou 
condicional: 
 
 
21.21.21.21. 
n
2
1
x
n
∞
∑ R: C. A. se -1 ≤ x ≤ 1, D 
se x>1, r = 1 
22.22.22.22. 
n
n
2
1
1 2
x
n! n
∞
 + 
 
∑ R: C.A. 
∀ x ∈ ℜ, r = ∞ 
 
23.23.23.23. 
n
1
n! x
n 1
∞
+
∑ R: C. A. se x = 0, D 
se x ≠ 0, r = 0 
 
24.24.24.24. 
2n n
1
a x
∞
∑ R: C.A. ∀ x ∈ ℜ, r = ∞ 
 
25.25.25.25. 
n
2
1
(1 x)
n
∞
−
∑ R: C.A. se 0 ≤ x ≤ 2 
 
26.26.26.26. 
n
n
1
(n 2)x
3
∞ +
∑ R: C.A. ∀ x ∈ ℜ, r = ∞ 
 
27.27.27.27. 
n
1
(x 2)
n!
∞
−
∑ R: C.A. ∀ x ∈ ℜ, r = ∞ 
 
28.28.28.28. 
( )nn
n
1
( 1) x 2
(n 1) 3
∞
− +
+
∑ R: C.A.se -5 < x <1 ; C. C. se x = 1 e D x = -5 
 
29.29.29.29. 
( )n
2
2x 3
n lnn
∞
−
∑ R: C.A. se 1 < x < 2; C.C. se x = 1; D se x = 2 
 
30.30.30.30. 
n
n
1
1.3.5...(2n 1)
x
2.4.6...(2n)
∞  −
 
 
∑ R: C.A. se -1 < x < 1, D se x≥ 1 
 
 
 
 
31.31.31.31. 
1
n 1
1
n!
∞
−
=∑ 
 
32.32.32.32. 
1
n 1
2e 1
n!
∞ +
= −∑ 
 
33.33.33.33. 
2
1
n 1
e 1
n!
∞
−
= +∑ 
 
34.34.34.34. 
( )n 1
0
1
e
n!
∞
−
−
=∑ 
 
35.35.35.35. Seja f(x) = ( )n n
1
1 x
∞
−∑ com x pertencente ao raio de convergência da série. Obtenha o 
raio de convergência da série e, em seguida, mostre que 
t
0
f(x)dx ln(1 t)= +∫ 
 
Obtenha a série de Taylor de ex e mostre que: 
 
36.36.36.36. Usando o resultado obtido, mostre que: 
1 1 1
1 ... ln 2
2 3 4
− + − + = 
 
37.37.37.37. Seja f(x) = ( )n 2n
1
1 x
∞
−∑ com x pertencente ao raio de convergência da série. Obtenha 
o raio de convergência da série e, em seguida, mostre que 
t
0
f(x)dx arctg t=∫ 
 
38.38.38.38. Usando a expansão em série de potências de ex, cos x e sen x, demonstre a identidade 
de Euler: 
eix = cos x + i sen x 
 
39.39.39.39. Considere uma distribuição linear de cargas elétricas puntiformes +q e —q separadas 
pela distância a e dispostas alternadamente pelos seus sinais. Sabe-se que a energia 
potencial elétrica entre duas cargas é dada por: 1 2
0 12
q q1
U
4 r
=
piε
 onde r12 é a distância 
entre as cargas. 
a. Determine a energia potencial elétrica de uma das cargas, obtendo uma série 
infinita. 
b. Mostre que a essa energia é finita, isto é, a série converge. 
c. Mostre que a energia potencial de uma das cargas é 
2
0
2 ln 2 q
U
4 a
= −
piε
 
40.40.40.40. O módulo da força entre duas cargas puntiformes é dado pela Lei de Coulomb por 
1 2
12 2
0 12
q q1
F
4 r
=
piε
. Considere distribuição infinita de cargas separadas pela distância a 
como mostra a figura: 
 
 
 
 
a. Determine a força resultante sobre a carga negativa, obtendo uma série 
infinita, 
b. Mostre que a essa energia é finita, isto é, a série converge. 
c. Usando o resultado (que será mostrado no próximo capítulo): 
2
2
1
1
n 6
∞ pi
=∑ , 
mostre que o módulo da força resultante de é 12 2
0
1
F
24 a
pi
=
ε
 
d. Pelo cálculo da soma parcial da série obtida, calcule a força usando 3 e 5 
termos da série e avalie o erro obtido. 
 
 
 
 
 
-q +q +q +q