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E.E. E.E. E.E. E.E. MAUÁMAUÁMAUÁMAUÁ CÁLCULOCÁLCULOCÁLCULOCÁLCULO II II II II ———— EFB 103EFB 103EFB 103EFB 103 ----A4A4A4A4 SÉRIES SÉRIES SÉRIES SÉRIES 1. SÉRIES NUMÉRICAS 1. 1. 1. 1. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição Consideremos uma seqüência de números a1 , a2 , a3 , ..., an ,... e as somas parciais:somas parciais:somas parciais:somas parciais: S1 = a1 S2 = a1 + a2 Sn = a1 + a2 + a3 + ...+ an = n n 1 a∑ a.a.a.a. Se nnlim S S→∞ = existir e for um número finito a série é convergente convergente convergente convergente e S S S S é chamado soma da série infinita. b.b.b.b. Se não existir o limite ou for infinito, a série é divergente.divergente.divergente.divergente. 2. 2. 2. 2. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição a, a, a, a, A série 2 1 n 1 4 9 16 ... ∞ = + + + +∑ só tem termos positivostermos positivostermos positivostermos positivos. b. b. b. b. A série n 0 ( 1) 1 1 1 1 ... ∞ − = − + − +∑ é uma série alternadasérie alternadasérie alternadasérie alternada 3. 3. 3. 3. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema a.a.a.a. Se a série n 1 a ∞ ∑ é convergente, então nnlim a 0→∞ = b. b. b. b. Se não existir nnlim a→∞ ou nnlim a 0→∞ ≠ então a série é divergente. Exemplo 1.Exemplo 1.Exemplo 1.Exemplo 1. Considere a série 1 1 n ∞ ∑ observe que nn n 1 lim a lim 0 n→∞ →∞ = = no entanto, não se pode afirmar que a série é convergente pois a condição nnlim a 0→∞ = , dada no teorema, é uma condição necessária, mas não suficiente. Exemplo 2.Exemplo 2.Exemplo 2.Exemplo 2. Considere a série 1 n 4 8n 1 ∞ + + ∑ nn n n 41n 4 1nlim a lim lim 018n 1 88 n →∞ →∞ →∞ ++ = = = ≠ + + desta forma, pela condição b. b. b. b. dada no teorema, pode se afirmar que a série é divergente. 4. 4. 4. 4. Série harmônicaSérie harmônicaSérie harmônicaSérie harmônica 1 1 1 1 1 1 ... n 2 3 4 ∞ = + + + +∑ é divergente.divergente.divergente.divergente. 5. 5. 5. 5. Série GeométricaSérie GeométricaSérie GeométricaSérie Geométrica n 1 2 3 1 aq a aq aq aq ... ∞ − = + + + +∑ (a(a(a(a≠≠≠≠ 0)0)0)0) a.a.a.a. q ≥ 1 → a série diverge b.b.b.b. q < 1 → a série converge e a S 1 q = − Exemplo 3.Exemplo 3.Exemplo 3.Exemplo 3. Considere a série n 0 1 1 1 1 ... 2 2 4 ∞ = + + +∑ esta é uma série geométrica de razão 2 1 ====qqqq sendo, pois, convergente com soma a 1 1 S 21 11 q 1 2 2 = = = = − − 6. 6. 6. 6. Exemplo de somaExemplo de somaExemplo de somaExemplo de soma 1 1 1 1 ! ... n(n 1) 2 6 12 ∞ = + + + + ∑ é convergente e S = 1 este é um exemplo de um tipo de série denominada série telescópica. Exemplo 4.Exemplo 4.Exemplo 4.Exemplo 4. A série 1 1 n(n 1) ∞ + ∑ pode ser escrita como: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 1 1 2 2 3 3 4 ∞ − = − + − + − + = + ∑ … 7. 7. 7. 7. PropriedadesPropriedadesPropriedadesPropriedades a. a. a. a. Sejam na∑ e nb∑ séries convergentes, sendo A e B suas somas e cccc uma constante: nca∑ é convergente e sua soma é cA ( )n na b+∑ é convergente e sua soma é A+B ( )n na b−∑ é convergente e sua soma é A- B b.b.b.b. Seja na∑ uma série convergente nb∑ uma série divergente: ( )n na b+∑ é divergente b – critérios de convergência para séries de termos positivos. 1. 1. 1. 1. ComparaçãoComparaçãoComparaçãoComparação Sejam dadas as séries∑∑∑∑ nnnnaaaa e ∑∑∑∑ nnnnbbbb tais que 0 0 0 0 ≤≤≤≤ aaaannnn ≤≤≤≤ bbbbnnnn para todo n, então: a.a.a.a. Se ∑∑∑∑ nnnnbbbb converge, ∑∑∑∑ nnnnaaaa também converge. b.b.b.b. Se ∑∑∑∑ nnnnaaaa diverge, ∑∑∑∑ nnnnbbbb também diverge. Exemplo 5.Exemplo 5.Exemplo 5.Exemplo 5. Considere a série 2 n 1 cos n 2 ∞ ∑ podemos afirmar que: 2 n n cos n 1 0 2 2 ≤ ≤ vimos, no exemplo 3 que a série n 0 1 2 ∞ ∑ converge, desta forma, a série 2 n 1 cos n 2 ∞ ∑ também converge. Exemplo 6.Exemplo 6.Exemplo 6.Exemplo 6. Considere a série 2 1 ln n ∞ ∑ podemos afirmar que: lnn1 0 (n 3) n n < < ≥ a série harmônica 1 1 n ∞ ∑ é divergente, assim, a série 2 1 ln n ∞ ∑ também é divergente 2. 2. 2. 2. IntegralIntegralIntegralIntegral Dada a série n a a ∞ ∑ seja an = f(n), onde f(x) é uma função contínua, positiva e decrescente para x > 0. aaaa. Se n n a lim f(x) →∞ ∫ existe a série na∑ converge bbbb. Se n n a lim f(x) →∞ ∫ não existe a série na∑ diverge Exemplo 7.Exemplo 7.Exemplo 7.Exemplo 7. Considere a série harmônica 1 1 n ∞ ∑ vamos considerar a integral n n 1 1 1 dx ln x ln n x = =∫ Como ( ) n n n n n 1 1 1 lim f(x) lim dx lim ln n x→∞ →∞ →∞ = =∫ ∫ não existe, a série 1 1 n ∞ ∑ é divergente. Exemplo 8.Exemplo 8.Exemplo 8.Exemplo 8. Considere a série 2 1 1 n ∞ ∑ vamos considerar a integral nn 2 11 1 1 1 dx 1 x x n = − = −∫ Como n n 2n n n 1 1 1 1 lim f(x) lim dx lim 1 1 x n→∞ →∞ →∞ = = − = ∫ ∫ existe, a série é convergente. Do mesmo modo, podemos mostrar que a série harmônica generalizada p 1 1 n ∞ ∑ é convergente para p> 1. 3. 3. 3. 3. Razão ou D´Alembert:Razão ou D´Alembert:Razão ou D´Alembert:Razão ou D´Alembert: Dada a série tal na∑ que: n 1n n a lim q a + →∞ = a. a. a. a. 0 q 1≤ < a série converge b. b. b. b. q 1> a série diverge c. c. c. c. q 1= nada se pode afirmar usando este critério Exemplo 9Exemplo 9Exemplo 9Exemplo 9 Considere a série ( ) 2 1 (n!) 2n ! ∞ ∑ ( ) [ ] [ ] 2 n 2 n 1 (n!) a 2n ! (n 1)! a 2(n 1) !+ + = + = + [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 2 2 n 1 2 2 n 2 2 2 2 (n 1) ! 2(n 1) ! (n 1) ! 2n !a a 2(n 1) !n ! n ! 2n ! (n 1) (n !) (2n !) (n 1) (2n 2)(2n 1)(2n !) (2n 2)(2n 1)n ! + + + + + = = = + + + = = + + + + Deste modo, 2 n 1 2n n n a n 2n 1 1 lim lim a 4n 6n 2 4 + →∞ →∞ + + = = + + Como n 1 n n a 1 lim q 1 a 4 + →∞ = = < , a série converge 4. 4. 4. 4. Raiz ou CauchyRaiz ou CauchyRaiz ou CauchyRaiz ou Cauchy Dada a série na∑ tal que: n nnlim a q→∞ = a. a. a. a. 0 q 1≤ < a série converge b. b. b. b. q 1> a série diverge c. c. c. c. q 1= nada se pode afirmar usando este critério. Exemplo 10.Exemplo 10.Exemplo 10.Exemplo 10. Considere a série n 1 a n ∞ ∑ vamos calcular n n n n nn n n a a lim a lim lim a n n→∞ →∞ →∞ = = = deste modo, a série convergese a<1 e diverge se a>1. . . . Se a = 1 o critério não se aplica, mas, se a = 1 a série é harmônica sendo,pois, divergente. c –séries alternadas 1. Definição1. Definição1. Definição1. Definição A série n n 0 1 2 n 0 ( 1) a a a a ... ∞ = − = − + +∑ com an > 0 é uma série alternada. 2. Critério de Leibniz2. Critério de Leibniz2. Critério de Leibniz2. Critério de Leibniz Dada a série alternada n n( 1) a−∑ tal que: a.a.a.a. a0 > a1 > a2 > ...> an > ... b. b. b. b. nnlim a 0→∞ = então a série converge. Exemplo 11.Exemplo 11.Exemplo 11.Exemplo 11. Considere a série n 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ... n 2 3 4 +∞ − = − + − +∑ a. a. a. a. 1 1 1 ... 2 3 > > > b, b, b, b, n 1 lim 0 n→∞ = assim a série converge. 3. 3. 3. 3. Convergência condicional e absoluta.Convergência condicional e absoluta.Convergência condicional e absoluta.Convergência condicional e absoluta. aaaa. Se n n( 1) a−∑ converge e na∑ converge → converge absolutamenteconverge absolutamenteconverge absolutamenteconverge absolutamente bbbb. Se n n( 1) a−∑ converge e na∑ diverge → converge condicionalmeteconverge condicionalmeteconverge condicionalmeteconverge condicionalmete Exemplo 12.Exemplo 12.Exemplo 12.Exemplo 12. Considere a série n 2 1 ( 1) n ∞ − ∑ a, a, a, a, 2n 1 lim 0 n→∞ = b.b.b.b. A série n 2 2 1 1 ( 1) 1 n n ∞ ∞ − =∑ ∑ converge assim a série n 2 1 ( 1) n ∞ − ∑ é absolutamente convergente. Exemplo 13.Exemplo 13.Exemplo 13.Exemplo 13. Considere a série n p 1 ( 1) n ∞ − ∑ com com com com 0< p < 10< p < 10< p < 10< p < 1 a, a, a, a, pn 1 lim 0 n→∞ = b.b.b.b. A série n p p 1 1 ( 1) 1 n n ∞ ∞ − =∑ ∑ é a série harmônica generalizada que diverge para 0< p < 1 (exemplo 8) assim a série n p 1 ( 1) n ∞ − ∑ é condicionalmente convergente. 4. 4. 4. 4. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema Se a série na∑ converge então a série n n( 1) a−∑ também converge. 2. SÉRIES DE FUNÇÕES 1. 1. 1. 1. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição A série n 2n 0 1 2 n 0 a x a a x a x ... ∞ = = + + +∑ onde x é uma variável e an constantes, denominadas coeficientes da série é uma série de potências.série de potências.série de potências.série de potências. 2. 2. 2. 2. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema Dada a série nn n 0 a x ∞ = ∑ existem três possibilidades: a.a.a.a. A série converge somente para x = 0. b.b.b.b. A série converge para todo x. c.c.c.c. A série converge somente se x < R e diverge se x > R 3. 3. 3. 3. DefiniçãoDefiniçãoDefiniçãoDefinição O número R é chamado raio de convergência raio de convergência raio de convergência raio de convergência da série. Em x = ± R a série pode convergir ou divergir, devendo ser estudado cada extremo. Exemplo 14.Exemplo 14.Exemplo 14.Exemplo 14. Consideremos a série n n 1 (n 2)x 3 ∞ + ∑ n n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n n n n 1 n 8 n (n 2)x a 3 (n 3)x a 3 (n 3)x a n 3 13 x (n 2)xa n 2 3 3 xa lim a 3 + + + + + + + → + = + = + + = = + + = Se x 1 x 3 3 < → < , a série é absolutamente convergente. Se x = 3: n n n n n (n 2)x (n 2)3 a n 2 3 3 + + = = = + então a série diverge. Portanto a série diverge para 3≥≥≥≥xxxx e converge para 33 <<<<<<<<−−−− xxxx O raio de convergência é R =R =R =R =3333 -3 3 Divergente Divergente Absolutamente Convergente Divergente Divergente 4. 4. 4. 4. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema Se a série de potências nn n 0 a x ∞ = ∑ tiver raio de convergência R ≠ 0 a função f(x) definida por: f(x) = n 2n 0 1 2 n 0 a x a a x a x ... ∞ = = + + +∑ é diferenciável no intervalo (-R, R) e: a. a. a. a. n 1nf (x) na x − ′ =∑ b. b. b. b. n 1n a f(x)dx x n 1 + = + ∑∫ ambas as séries obtidas têm o mesmo raio de convergência R. E.E. MAUÁE.E. MAUÁE.E. MAUÁE.E. MAUÁ CÁLCULOCÁLCULOCÁLCULOCÁLCULO II II II II ———— EFB 103 EFB 103 EFB 103 EFB 103 ----A7A7A7A7 EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOSEXERCÍCIOS Mostre que: 1.1.1.1. n n n 1 2 3 3 6 2 ∞ + =∑ 2.2.2.2. n n 1 ( 1) 3 3 4 ∞ − =∑ 3.3.3.3. n 2n 1 1 2 10 2 3 ∞ + =∑ 4.4.4.4. 2 1 1 1 n n ∞ = + ∑ Estude a convergência das séries: 5.5.5.5. 2 n 1 sen n 2 ∞ ∑ R: C 6.6.6.6. 2 1 ln n ∞ ∑ R: D 7.7.7.7. n 1 1 n.2 ∞ ∑ R: C 8.8.8.8. 1 ln n n ∞ ∑ R: D 9.9.9.9. 1 n 1 2n 1 ∞ + + ∑ R: D 10.10.10.10. 1 1 2n ∞ ∑ R: D 11.11.11.11. 2n 1 1 e n ∞ − + ∑ R: D 12.12.12.12. 1 1 n ∞ ∑ R: D 13.13.13.13. n 1 2n 1 2 ∞ − ∑ R: C 14.14.14.14. 1 2 n 1 (n!) 2 ∞ ∑ R: C 15.15.15.15. 2n 1 a n! ∞ ∑ R: C 16.16.16.16. n 1 1 2 n 5 ∞ ∑ R: C 17.17.17.17. ( )n 1 lna n ∞ ∑ R: D 18.18.18.18. n n 1 1 1 1 2 n ∞ + ∑ R: D 19.19.19.19. 2 2 1 cos n n ∞ ∑ R: C 20.20.20.20. 2 1 1 n a lnn ∞ + ∑ a > 0 R: C Ache o raio de convergência r das séries de potência e pesquise o caráter nos pontos x = -r e x = r, indicando, no caso de convergência, se ela é absoluta ou condicional: 21.21.21.21. n 2 1 x n ∞ ∑ R: C. A. se -1 ≤ x ≤ 1, D se x>1, r = 1 22.22.22.22. n n 2 1 1 2 x n! n ∞ + ∑ R: C.A. ∀ x ∈ ℜ, r = ∞ 23.23.23.23. n 1 n! x n 1 ∞ + ∑ R: C. A. se x = 0, D se x ≠ 0, r = 0 24.24.24.24. 2n n 1 a x ∞ ∑ R: C.A. ∀ x ∈ ℜ, r = ∞ 25.25.25.25. n 2 1 (1 x) n ∞ − ∑ R: C.A. se 0 ≤ x ≤ 2 26.26.26.26. n n 1 (n 2)x 3 ∞ + ∑ R: C.A. ∀ x ∈ ℜ, r = ∞ 27.27.27.27. n 1 (x 2) n! ∞ − ∑ R: C.A. ∀ x ∈ ℜ, r = ∞ 28.28.28.28. ( )nn n 1 ( 1) x 2 (n 1) 3 ∞ − + + ∑ R: C.A.se -5 < x <1 ; C. C. se x = 1 e D x = -5 29.29.29.29. ( )n 2 2x 3 n lnn ∞ − ∑ R: C.A. se 1 < x < 2; C.C. se x = 1; D se x = 2 30.30.30.30. n n 1 1.3.5...(2n 1) x 2.4.6...(2n) ∞ − ∑ R: C.A. se -1 < x < 1, D se x≥ 1 31.31.31.31. 1 n 1 1 n! ∞ − =∑ 32.32.32.32. 1 n 1 2e 1 n! ∞ + = −∑ 33.33.33.33. 2 1 n 1 e 1 n! ∞ − = +∑ 34.34.34.34. ( )n 1 0 1 e n! ∞ − − =∑ 35.35.35.35. Seja f(x) = ( )n n 1 1 x ∞ −∑ com x pertencente ao raio de convergência da série. Obtenha o raio de convergência da série e, em seguida, mostre que t 0 f(x)dx ln(1 t)= +∫ Obtenha a série de Taylor de ex e mostre que: 36.36.36.36. Usando o resultado obtido, mostre que: 1 1 1 1 ... ln 2 2 3 4 − + − + = 37.37.37.37. Seja f(x) = ( )n 2n 1 1 x ∞ −∑ com x pertencente ao raio de convergência da série. Obtenha o raio de convergência da série e, em seguida, mostre que t 0 f(x)dx arctg t=∫ 38.38.38.38. Usando a expansão em série de potências de ex, cos x e sen x, demonstre a identidade de Euler: eix = cos x + i sen x 39.39.39.39. Considere uma distribuição linear de cargas elétricas puntiformes +q e —q separadas pela distância a e dispostas alternadamente pelos seus sinais. Sabe-se que a energia potencial elétrica entre duas cargas é dada por: 1 2 0 12 q q1 U 4 r = piε onde r12 é a distância entre as cargas. a. Determine a energia potencial elétrica de uma das cargas, obtendo uma série infinita. b. Mostre que a essa energia é finita, isto é, a série converge. c. Mostre que a energia potencial de uma das cargas é 2 0 2 ln 2 q U 4 a = − piε 40.40.40.40. O módulo da força entre duas cargas puntiformes é dado pela Lei de Coulomb por 1 2 12 2 0 12 q q1 F 4 r = piε . Considere distribuição infinita de cargas separadas pela distância a como mostra a figura: a. Determine a força resultante sobre a carga negativa, obtendo uma série infinita, b. Mostre que a essa energia é finita, isto é, a série converge. c. Usando o resultado (que será mostrado no próximo capítulo): 2 2 1 1 n 6 ∞ pi =∑ , mostre que o módulo da força resultante de é 12 2 0 1 F 24 a pi = ε d. Pelo cálculo da soma parcial da série obtida, calcule a força usando 3 e 5 termos da série e avalie o erro obtido. -q +q +q +q
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