Mapas de Karnaugh 3 variaveis

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Eletrônica – Mapas de Karnaugh Prof. Luiz Marcelo Chiesse da Silva 
 
Cefet/PR – Cornélio Procópio 1 
 
MAPAS DE KARNAUGH 
 
 Os Mapas de Karnaugh são uma representação gráfica de uma tabela verdade de modo 
a tornar mais visível a soma dos produtos e o produto das somas obtido. Por se tratar de uma 
representação visual, os Mapas de Karnaugh proporcionam uma simplificação de expressões 
lógicas mais rápida e simples na maioria dos casos, principalmente quando a tabela verdade 
envolve mais de três variáveis. 
 Graficamente, o Mapa de Karnaugh consiste em uma tabela em que as células 
representam uma linha da tabela verdade, sendo preenchida pelo valor da variável lógica 
dependente. Cada coluna e cada linha representam uma variável lógica (no caso do Mapa para 
duas variáveis), ou a combinação do produto lógico entre variáveis. A designação de “Mapa” 
provém do fato de que as células periféricas de um lado do Mapa são adjacentes às células do 
lado oposto. Exemplo: 
 No Mapa abaixo para quatro variáveis A, B, C, D; as células da coluna de .BA são 
vizinhas ás células da coluna AB, e as células da linha CD são vizinhas às células da linha 
DC. . 
 Assim, é possível deslocar para a esquerda ou direita o posicionamento das colunas e 
para cima ou para baixo as linhas, sem alterar o Mapa. Observe que é possível deslocar o 
posicionamento de todas as colunas e linhas, mas não é aconselhável trocar de posição uma 
coluna com outra ou uma linha com outra. 
 É possível trocar o posicionamento entre linhas e colunas, desde que entre colunas e 
linhas adjacentes exista a diferença de somente uma variável. Esta regra deve ser seguida 
para que exista ao menos uma variável comum entre duas linhas ou colunas adjacentes, para 
que os produtos lógicos representados por duplas, quadras, octetos,.... possuam pelo menos 
uma variável comum e outras duas complementares. 
 
 
 
 A.B BA. B.A .BA 
CD
 
 
C D
 
 
C D
 
 
C D
 
 
 
 A.B BA. B.A .BA A.B 
C.D 
 
DC. 
D.C 
.DC 
C.D 
 
 
 A.B BA. B.A .BA 
C.D 
DC. 
D.C 
.DC 
 
 B.A .BA A.B BA. 
DC. 
D.C 
.DC 
C.D 
 
 A.B BA. B.A .BA 
C.D 
DC. 
D.C 
.DC 
 
≡
≡ ≡
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Cefet/PR – Cornélio Procópio 2 
 
 
 
1. Tipos: 
 
 Os tipos dos Mapas de Karnaugh são dados pelo número de variáveis que representa. 
1.1. Duas variáveis: 
 
A B Y 
0 0 
0 1 
1 0 
1 1 
 
 
1.2. Três variáveis: 
 
A B C Y 
0 0 0 
0 0 1 
0 1 0 
0 1 1 
1 0 0 
1 0 1 
1 1 0 
1 1 1 
 
1.3. Quatro variáveis: 
 
 
 
 
 
 A.B BA. B.A .BA 
CD
 
 
C D
 
 
C D
 
 
C D
 
 
 
 Y A
 
A
 
B
 
 
B
 
 
 
B
A
 
1 0 
1 
0 
Y AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C
 
 
C
 
 
 
C
A.B
 11 10 00 01 
1 
0 
 
ou 
ou 
Simplifica as 
variáveis B e B 
(resta somente A) 
Simplifica as 
variáveis B e B 
(resta somente A ) 
Simplifica as variáveis D e 
D (resta somente C) 
Simplifica as variáveis D e 
D (resta somente C ) 
Simplifica as variáveis C 
e C (resta somente D ) 
Simplifica as variáveis C e 
C (resta somente D) 
Elimina as 
variáveis A e 
A (resta 
somente B ) 
Elimina as variáveis 
A e A (resta 
somente B) 
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A B C D Y 
0 0 0 0 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 0 1 
0 1 1 0 
0 1 1 1 
1 0 0 0 
1 0 0 1 
1 0 1 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 0 1 
1 1 1 0 
1 1 1 1 
 
 
 A construção e a simplificação de Mapas de Karnaugh de cinco, seis, .... ou mais 
variáveis é análoga aos de três e quatro variáveis. 
 
Exemplos: 
1) 
A B Y 
0 0 0 
0 1 1 ← .BA 
1 0 1 ← BA. 
1 1 1 ← A.B 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
Y AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
CD
 
 
C D
 
 
C D
 
 
C D
 
 
 
CD
AB
 11 10 00 01 
11 
10 
00 
01 
 
Mapa de Karnaugh 
Y A
 
A
 
B
 
1 1 
B
 
1 0 
 
B A Y += 
Método da soma dos produtos: 
 A.B B A. .BAY ++= 
B) B A.( .BAY ++= 
 A.(1) .BAY += 
B A Y += 
ou 
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A B Y 
0 0 0 
0 1 1 ← .BA 
1 0 0 
1 1 1 ← A.B 
 
 
 
 
 
 
3) 
A B Y 
0 0 1 ← B.A 
0 1 1 ← .BA 
1 0 1 ← BA. 
1 1 1 ← A.B 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
A B Y 
0 0 0 
0 1 1 ← .BA 
1 0 1 ← BA. 
1 1 0 
 
 
 
Mapa de Karnaugh 
Y A
 
A
 
B
 
1 1 
B
 
0 0 
 
BY = 
Método da soma dos produtos: 
 A.B .BAY += 
 A) AB.(Y += 
(1) B.Y = 
BY = 
Mapa de Karnaugh 
Y A
 
A
 
B
 
1 1 
B
 
1 1 
 
Y=1 
Método da soma dos produtos: 
A.BB A. .BA B.AY +++= 
B) B A.( B) B.(A Y +++= 
A.(1).(1)AY += 
AAY += 
1Y = 
Mapa de Karnaugh: 
Y A
 
A
 
B
 
0 1 
B
 
1 0 
 
 
Método da soma dos produtos: 
B A. .BAY += 
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5) 
A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 ← CA.B. 
1 1 1 1 ← A.B.C 
 
 
 
6) 
A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 0 
1 1 1 1 ← A.B.C 
 
7) 
A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 1 1 ← .B.CA 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 1 ← A.B.C 
 
 
 
 
 
 
Mapa de Karnaugh: 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 0 0 0 
C 1 0 0 0 
 
 
A.BY = 
Método da soma dos produtos: 
 A.B.C CA.B.Y += 
C) CA.B.(Y += 
 A.B.(1)Y = 
A.BY = 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 1 0 0 
C 0 0 0 0 
 
 
Y=A.C 
Método da soma dos produtos: 
 A.B.C .CBA.Y += 
B) BA.C.(Y += 
 A.C.(1)Y = 
A.CY = 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 0 0 1 
C 0 0 0 0 
 
C.BY = 
Método da soma dos produtos: 
 A.B.C .B.CAY += 
 A.B)B A.C.(Y += 
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8) 
A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 1 ← C.BA. 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 1 ← A.B.C 
 
9) 
A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 1 ← .B.CA 
1 0 0 1 ← C.BA. 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 0 
1 1 1 0 
 
10) 
A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 ← C.B.A 
0 1 1 1 ← .B.CA 
1 0 0 0 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 1 ← CA.B. 
1 1 1 0 
 
 
11) 
A B C Y 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 0 0 0 
C 0 1 0 0 
 
 A.B.C C.BA.Y += 
B.C) C.BA.(Y += 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 0 1 0 1 
C 0 1 0 0 
 
 
B A. .B.CA Y += 
Método da soma dos produtos: 
.CBA.C.BA..B.CAY ++= 
C)C.(BA..B.CAY ++= 
.(1)BA..B.CAY += 
B A. .B.CAY += 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 0 1 0 1 
C 1 0 0 1 
 
 
 
.BA.CBA.CA.B.Y ++= 
Método da soma dos produtos: 
C A.B. .CB A. .B.CA C.B.AY +++=C A.B. .CB A. C) C.B.(AY +++= 
CA.B..CBA..BAY ++= 
.CBA.)C A. AB.(Y ++= 
.CBA.)C AB.(Y ++= 
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0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 1 ← .B.CA 
1 0 0 0 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 0 
1 1 1 1 ←A.B.C 
 
 
12) 
A B C Y 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 ← .B.CA 
1 0 0 0 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 1 ← CA.B. 
1 1 1 1 ←A.B.C 
 
 
 
 
 
 
 
12) 
A B C Y 
0 0 0 1 ← C.B.A 
0 0 1 0 
0 1 0 1 ← C.B.A 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 0 
1 1 1 1 ← A.B.C 
 
 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 1 0 1 
C 0 0 0 0 
 
.B.CA A.CY += 
Método da soma dos produtos: 
 A.B.C .CB A. .B.CAY ++= 
.B]A B) BC.[A.(Y ++= 
.B)A C.(A Y += 
B)C.(AY += 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 1 0 1 
C 1 0 0 0 
 
 
 
.B.CA A.C A.BY ++= 
Método da soma dos produtos: 
.B.CA .CBA.C A.B. A.B.CY +++= 
.B.CA .CBA.C A.B.(CY +++= ) 
.B.CA .CBA.A.BY ++= 
.B.CA .C)B A.(BY ++= 
.B.CA C) A.(BY ++= 
.B.CA A.C A.BY ++= 
.B)A C.(A A.BY ++= 
B)C.(A A.BY ++= 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 1 0 0 
C 0 0 1 1 
 
 
 A.C C.AY += 
Método da soma dos produtos: 
C.B.A C.B.A .CB A. A.B.CY +++= 
)B .(BC.A )B A.C.(BY +++= 
).(C.A )A.C.(Y 11 += 
C.A A.CY += 
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13) 
A B C Y 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 1 0 0 ← C.B.A 
0 1 1 0 
1 0 0 0 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 1 ← CA.B. 
1 1 1 1 ← A.B.C 
 
 
 
 
 
 
14) 
A B C Y 
0 0 0 1 
0 0 1 0 ← .CB.A 
0 1 0 0 ← C.B.A 
0 1 1 1 
1 0 0 1 ← C.BA. 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 1 ← A.B.C 
 
 
 
15) 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 1 0 0 
C 1 0 0 1 
 
 
CB. A.C A.BY ++= 
Método da soma dos produtos: 
C.B.A .CB A. C A.B. A.B.CY +++= 
C.B.A .CB A. )C A.B.(CY +++= 
C.B.A .CB A. A.BY ++= 
C.B.A .C)B A.(BY ++= 
C.B.A C) A.(BY ++= 
C.B.A A.C A.BY ++= 
 A.C )C.A B.(A Y ++= 
 A.C )C B.(A Y ++= 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 0 1 0 
C 0 1 0 1 
 
 
 
.CB.A C.B.A C.B A. A.B.CY +++= 
Método da soma dos produtos: 
.CB.A C.B.A C.B A. A.B.CY +++= 
)CB. .CB.(A C).B A.(B.CY +++= 
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A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 1 ← C.BA. 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 1 ← CA.B. 
1 1 1 1 ← A.B.C 
 
 
16) 
A B C Y 
0 0 0 1 ← C.B.A 
0 0 1 1 ← .CB.A 
0 1 0 0 
0 1 1 0 
1 0 0 1 ← C.BA. 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 0 
1 1 1 0 
 
 
 
17) 
A B C Y 
0 0 0 1 ← C.B.A 
0 0 1 1 ← .CB.A 
0 1 0 1 ← C.B.A 
0 1 1 1 ← .B.CA 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 0 
1 1 1 0 
 
 
18) 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 1 0 0 
C 1 1 0 0 
 
 
 AY = 
Método da soma dos produtos: 
C.B A. .CB A. C A.B. A.B.CY +++= 
)C .(CB A. C) A.B.(CY +++= 
.(1)B A. )A.B.(Y += 1 
)B A.(BY += 
AY = 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 0 1 1 0 
C 0 1 1 0 
 
 
B Y = 
Método da soma dos produtos: 
C.B.A .CB.A C.B A. .CBA.Y +++= 
)C .(CB.A )C .(CBA.Y +++= 
.(1)B.A .(1)BA.Y += 
 A) A.(BY += 
BY = 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 0 0 1 1 
C 0 0 1 1 
 
AY = 
Método da soma dos produtos: 
CBACBACB.A C.B.AY ..... +++= 
).(.) CCBAC C.(B.AY +++= 
BAB.AY .+= 
)B B.(AY += 
AY = 
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A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 1 ← .CB.A 
0 1 0 0 
0 1 1 1 ← .B.CA 
1 0 0 0 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 0 
1 1 1 1 ← A.B.C 
 
 
19) 
A B C Y 
0 0 0 0 
0 0 1 0 
0 1 0 1 ← C.B.A 
0 1 1 1 ← .B.CA 
1 0 0 0 
1 0 1 0 
1 1 0 1 ← CA.B. 
1 1 1 1 ← A.B.C 
 
 
 
 
20) 
A B C Y 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 1 0 0 ← C.B.A 
0 1 1 0 
1 0 0 1 ← C.BA. 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 1 ← CA.B. 
1 1 1 1 ← A.B.C 
 
 
 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 1 1 1 
C 0 0 0 0 
 
CY = 
Método da soma dos produtos: 
CBACBAC.BA .CB.AY ..... +++= 
).( BBC A. B) B.C.(AY +++= 
C A .CAY .+= 
).( AACY += 
CY = 
 AB
 
AB A B
 
A B
 
C 1 0 0 1 
C 1 0 0 1 
 
BY = 
Método da soma dos produtos: 
CBACBAC.BA C.B.AY ..... +++= 
).( CC A.B C) C.B.(AY +++= 
BA.BAY .+= 
).( AABY += 
BY = 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 1 1 0 0 
C 1 1 0 1 
 
CB. A Y += 
Método da soma dos produtos: 
CBACBACBACBA. C.B.AY ....... ++++= 
).(.).( CCBACCBA. C.B.AY ++++= 
BABA. C.B.AY .++= 
)BBA.( C.B.AY ++= 
A C.B.AY += 
A CB.Y += 
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Cefet/PR – Cornélio Procópio 11 
 
 
21) 
A B C Y 
0 0 0 1 ← C.B.A 
0 0 1 1 ← .CB.A 
0 1 0 1 ← C.B.A 
0 1 1 0 
1 0 0 1 ← C.BA. 
1 0 1 1 ← .CBA. 
1 1 0 1 ← CA.B. 
1 1 1 0 
 
 
 
 AB
 
A B
 
A B
 
A B
 
C 0 1 1 0 
C 1 1 1 1 
 
BCY += 
Método da soma dos produtos: 
CBACBACBA. C.B.ACBACBAY ......... +++++= 
).().(. CCBA. A) A.(CB.CCBAY +++++= 
).().(. 1BA. .(1)CB.1BAY ++= 
BA. CB.BAY ++= . 
CB.AABY ++= ).( 
CB.BY += 
CBY +=