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Apostila Matemática   Teoria e Exercícios de Matemática Com 1

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é sempre constante. 
Exemplo: 
Sejam as grandezas X e Y, tais que cada uma delas assume os seguintes valores: 
X – 1, 2, 3. 
Y – 30, 15, 10. 
Portanto as grandezas X e Y são inversamente proporcionais, pois o produto entre os 
valores que elas assumem é sempre igual a 30. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
91) Dividir o número 150 em duas partes diretamente proporcionais a 3 e 7. 
a) 25 e 125 
b) 30 e 120 
c) 35 e 115 
d) 40 e 110 
e) 45 e 105 
Resposta: E 
 
92) Dividir o número 180 em três partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 4. 
a) 40, 60 e 80. 
b) 40,50 e 80. 
c) 60, 70 e 70. 
d) 80, 40 e 40. 
e) 80, 40 e 50. 
Resposta: A 
 
93) Dividir o número 150 em três partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 8. 
a) 20, 50 e 80 
b) 30, 40 e 80 
c) 20, 60 e 70 
d) 30, 50 e 70 
e) 30, 60 e 70 
Resposta: A 
94) Dividir o número 380 em três partes inversamente proporcionais a 2 , 5 e 4 . 
a) 80, 125 e 175 
b) 100, 80 e 200 
c) 200, 80 e 100 
d) 80, 130 e 170 
e) 130, 150 e 170 
Resposta: C 
 
95) Dividir o número 160 em duas partes inversamente proporcionais a 3 e 5 . 
a) 100 e 60 
b) 60 e 100 
c) 50 e 30 
d) 30 e 50 
32
e) 150 e 90 
Resposta: A 
 
96) Dividir o número 26 em três partes inversamente proporcionais a 2 , 3 e 4 , 
respectivamente. 
a) 12 , 8 e 6 
b) 10 , 10 e 6 
c) 8 , 12 e 6 
d) 6 , 8 e 12 
e) 6 , 10 e 12 
Resposta: A 
 
97) (Vunesp)O setor de limpeza de uma empresa prepara um produto utilizando 
detergente e água, nessa ordem, em quantidades diretamente proporcionais a 2 e 7. 
Se, no preparo desse produto, são usados 72 litros de detergente, então a diferença 
positiva entre as quantidades de água e de detergente, em litros, é igual a: 
a) 154 
b) 160 
c) 168 
d) 175 
e) 180 
Resposta: E 
 
Instruções: Para resolver as questões de números 98 e 99, considere o enunciado 
abaixo: 
Um lote de 390 documentos deve ser arquivado por dois técnicos que trabalham num 
mesmo setor. Na tabela abaixo têm-se as idades e os tempos de serviço desses técnicos. 
 Idade(anos) Tempo de serviço(meses) 
Rodrigo 24 8 
Rogério 28 5 
 
98) (Vunesp) Se os dois técnicos arquivarem todos os documentos, dividindo essa 
quantidade em partes diretamente proporcionais aos respectivos números de meses 
que cada um trabalha no setor, então o número de documentos arquivados por um 
deles será: 
a) 250 
b) 240 
c) 220 
d) 200 
e) 180 
Resposta: B 
 
99) (Vunesp) Se a divisão do total de documentos fosse feita em partes inversamente 
proporcionais às suas respectivas idades, o número que caberia ao mais velho seria: 
a) 210 
b) 192 
33
c) 180 
d) 175 
e) 164 
Resposta: C 
 
2.5- REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
2.5.1- REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Os problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais são 
chamados de problemas de regra de três simples. 
Torcemos para que o leitor tenha conhecimento deste assunto iniciaremos esta seção com 
um exemplo simples: 
Exemplo: 
12 operários fizeram 30 metros de um muro. Quantos operários, nas mesmas condições, 
farão 45 metros do mesmo muro? 
Solução: 
Para obter a solução do problema devemos primeiramente descobrir quais são as variáveis 
envolvidas no contexto. É fácil observar que as variáveis são operários e metros do muro. 
Temos então que: quanto mais (menos) metros de muro tiverem que ser construídos, mais 
(menos) operários serão necessários. Isto é quanto mais cresce (ou demente) a variável 
metros do muro mais cresce (ou demente) a variável operários. Portanto quanto maior for 
o muro mais operários serão necessários. Sendo assim vemos que as duas variáveis tem o 
mesmo sentido. Neste caso, já que possuem o mesmo sentido, fixamos um sentido para a 
variável que possui a incógnita (veja a figura), e como possuem o mesmo sentido repetimos 
o sinal da figura. 
Operários Metros de Muro 
12 30 
x 45 
Como as variáveis possuem o mesmo sentido mantemos a razão: 
12 30
45x
= 
Agora é só resolver 
30x = 12x45 
x = 18 operários 
 
Exemplo: 
12 operários fazem um serviço em 40 dias. Em quantos dias 15 operários farão o mesmo 
serviço? 
Solução: 
Temos que as variáveis são Operários e dias. Quanto mais operários trabalham menos dias 
serão necessários para terminá-lo. Temos então que o sentido das variáveis é oposto.Logo 
escolha um sentido para cada variável. 
 Operários Dias 
 12 40 
 15 x 
34
Como o sentido das variáveis é oposto invertemos uma das razões 
40 15
12x
= 
logo: 15x = 40 x 12 
x = 32 dias 
 
2.5.1- REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Os problemas de regra de três que possuem mais de duas variáveis serão chamados de 
problemas de regra d três simples. Iniciaremos então resolvendo um exercício. 
Exemplo: 
Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas por dia, o 
restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia, em quantos 
dias? 
Solução: 
Evidente que teremos 
 
Observe que: 
• Quanto maior for a obra mais dias serão necessários. 
• Quanto mais operários estão trabalhando menos dias serão necessários. 
• Quanto mais horas por dia trabalharem menos dias serão necessários. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
100) 12 operários fazem um serviço em 20 dias. Em quantos dias 15 operários farão o 
mesmo serviço? 
a) 9 
b) 10 
c) 12 
d) 15 
e) 16 
Resposta: E 
 
35
101) Para proceder auditoria, 6 técnicos previram sua conclusão em 30 
dias. Tendo sido observado a ausência de um dos componentes da equipe, o trabalho 
agora poderá ser executado em: 
a) 36 dias 
b) 40 dias 
c) 35 dias 
d) 45 dias 
e) 25 dias 
Resposta: A 
 
102) Um automóvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40 minutos 
seguidos. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos, quantos litros de gasolina 
consumiria? 
a) 40 
b) 60 
c) 38 
d) 55 
e) 72 
Resposta: A 
 
103) 24 operários fazem 2/5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas 
por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 
4 operários e o regime de trabalho diminuído em uma hora por dia? 
a) 8 
b) 11 
c) 12 
d) 21 
e) 18 
Resposta: D 
 
104) Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas 
por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas 
por dia em: 
a) 7 dias 
b) 6 dias 
c) 2 dias 
d) 4 dias 
e) 3 dias 
Resposta: C 
 
105) Trabalhando 8 horas por dia, os 2 500 operários de uma indústria 
automobilística produzem 500 veículos em 30 dias. Quantos dias serão necessários 
para que 1200 operários produzam 450 veículos, trabalhando 10 horas por dia? 
a) 45 
b) 50 
c) 55 
d) 60 
36
e) 65 
Resposta: A 
 
106) Um alfaiate pode fazer uma roupa em 3 dias, e a sua esposa pode faze-la em 6 
dias. Trabalhando juntos, em quantos dias farão a mesma roupa? 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 1 
e) 5 
Resposta: A 
 
107) Um depósito de água tem capacidade de 360 litros, e tem duas torneiras, onde 
uma delas o enche em 15 horas e a outra o esvazia em 20 horas. Abrindo-se as duas 
torneiras simultaneamente, em quantas horas o depósito ficará cheio? 
a) 60 
b) 40 
c) 30 
d) 25 
e) 20 
Resposta: A 
 
108) Uma caixa d’água tem capacidade de 900 litros. Uma torneira a enche em 9 
horas, e a outra a esvazia em 18 horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, 
a caixa d’água ficará cheia em: 
a) 18 horas 
b) 12 horas 
c) 6 horas 
d) 3 horas 
e) 8 horas 
Resposta: A 
 
109) Uma caixa d’água com capacidade de 960 litros possui uma tubulação que a 
enche em 7 horas. Possui um “ladrão” que a esvazia em 12 horas. Com a água 
jorrando, enchendo a caixa, e o “ladrão” funcionando simultaneamente, em quanto 
tempo a caixa ficará cheia?: 
a) 16h e 8min 
b) 14h e 8min 
c) 16h e 28min 
d) 16h e 48min 
e) 14h e 48min 
Resposta: D 
 
VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM GERAL DO CAPÍTULO II 
(PROBLEMAS