Limites Laterais

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Cálculo	
  1	
  
Prof.:	
  Thales	
  Vieira	
  
	
  
	
  
	
  
Material	
  online:	
  
	
  
h$p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2011_2.html	
  
Moodle	
  
	
  
	
  
Limites	
  Laterais	
  
Quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f 
se aproxima de 3: 
lim
x→2x
2 − x+ 2 = 4
TIC	
  
f(x) =
x2 + 2x, x ≤ 1
2− x, x > 1{
lim
x→1−
f(x) = 3
lim
x→1+
f(x) = 1
Quando x se aproxima de 1 pela direita, f se 
aproxima de 1: 
Limites	
  Laterais	
  
Escrevemos	
  
lim
x→a−
f(x) = L
e dizemos que o limite à esquerda de f(x) quando x tende 
a a é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) 
arbitrariamente próximos de L , para x suficientemente 
próximo de a e x menor que a.	
  
Escrevemos	
  
e dizemos que o limite à direita de f(x) quando x tende a 
a é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) 
arbitrariamente próximos de L , para x suficientemente 
próximo de a e x maior que a.	
  
lim
x→a+
f(x) = L
Limites	
  Laterais	
  
lim
x→a f(x) = L se e somente se limx→a−
f(x) = L e lim
x→a+
f(x) = L
TIC	
  
Limites	
  Laterais	
  
Calcule: 
Limites	
  Laterais	
  
Calcule: 
Limites	
  Infinitos	
  
Calcule 
TIC	
  
Limites	
  Laterais	
  
Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Então	
  
significa que os valores de f(x) podem se tornar arbitrariamente grandes, tomando-se x 
suficientemente próximo de a, mas não igual a a.	
  
lim
x→a f(x) =∞
Analogamente:	
  
lim
x→a f(x) = −∞
significa que os valores de f(x) podem se tornar arbitrariamente grandes e negativos, 
tomando-se x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.	
  
Limites	
  Laterais	
  
As seguintes definições também são válidas: 
Assíntotas	
  ver@cais	
  
A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das 
seguintes condições estiver satisfeita: 
Exemplo:	
   TIC	
  
Assíntotas	
  ver@cais	
  
Calcule e TIC	
  
Quando x se aproxima de 3 mas é maior que 3: 	
  
x-3 é um número pequeno sempre positivo;	
  
2x se aproxima de 6.	
  
Logo, 2x / (x-3) se torna um número grande sempre positivo.	
  
Quando x se aproxima de 3 mas é menor que 3: 	
  
x-3 é um número pequeno sempre negativo;	
  
2x se aproxima de 6.	
  
Logo, 2x / (x-3) se torna um número grande sempre negativo.	
  
Assíntotas	
  ver@cais	
  
Encontre as assíntotas verticais de f(x) = tg x TIC	
  
Um quociente pode ficar arbitrariamente grande quando seu denominador se aproxima 
de zero e seu numerador não.	
  
Candidatos a assíntotas verticais: x = a, tal que cos a = 0	
  
Quando , 	
  
e sen x é positivo próximo de 1. 	
  
e sen x é positivo próximo de 1. 	
  
Quando , 	
  
Logo:	
  
Assíntotas	
  ver@cais	
  
Encontre as assíntotas verticais de f(x) = tg x TIC	
  
Daí concluímos que x = π / 2 é assíntota vertical. 
Este comportamento se repete sempre que x se aproxima de (2n + 1) π/2, para n inteiro. 
 
Logo, , n inteiro, representa as assíntotas verticais de tg(x).