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aula 3 Funcao quadratica

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Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas 
Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Função quadrática 
 
 
 
Funções Quadráticas 
Uma função quadrática (ou função 
polinomial do 2º grau) tem a forma: 
 
 
 
Onde a, b e c são números reais com 
0a
. 
 
O gráfico de uma função quadrática é 
sempre uma parábola, côncava para cima 
ou côncava para baixo. 
 
 
Figura 2 – Parábolas 
 
Interceptos x (raízes ou os zeros de uma função quadrática) 
Uma raiz ou um zero de uma função é o valor de x para o qual 
0)( xf
. As raízes de 
cbxaxy  2
 são dadas pela fórmula: 
 
Onde 
 acb 42
. Dependendo dos valores de a e de 

 tem-se as seguintes situações: 
 
 
 
 
 
duas raízes reais 
distintas 
A parábola cruza 
 o eixo x 
uma raiz 
real dupla 
A parábola toca 
 o eixo x 
Sem raízes reais 
 
A parábola não toca 
 o eixo x 
 
 
 
 
 
duas raízes reais 
distintas 
A parábola cruza 
 o eixo x 
uma raiz 
real dupla 
A parábola toca 
 o eixo x 
Sem raízes reais 
 
A parábola não toca 
 o eixo x 
 
Figura 2 – Raízes ou zeros da função quadrática 
 
Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas 
Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Função quadrática 
 
 
 
Vértice de uma parábola 
 
Em uma parábola, o ponto mais alto (se a parábola é côncava para baixo) ou o ponto 
mais baixo (se a parábola é côncava para cima) é denominado vértice da parábola e suas 
coordenadas podem ser determinadas como mostrado a seguir. 
 
 
Fórmulas para 
determinação das 
coordenadas do vértice 
da parábola: 
 
Figura 3 – Coordenadas do vértice de uma parábola. 
 
 
Estudo do sinal da função quadrática. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Sinal da função quadrática. 
 
 
 
Exemplo 4 
Construir o gráfico da função quadrática 
1032  xxy
. 
 
Cálculo das raízes (interceptos x): 
 
   49101434 22  acb
; como 
0
a função tem duas raízes reais distintas; 
 
2
73
)1(2
493
2 







a
b
x
. Desta forma encontramos as raízes 
2x
 e 
5x
. 
 
+ 
_ _ _ _ _ _ _ _ 
+ + 
_ 
+ 
+ 
+ + 
+ 
+ 
 
Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas 
Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Função quadrática 
 
 
 
Cálculo das coordenadas do vértice: 
5,1
2
3
2
3
)1(2
3
2









a
b
xv
 
25,12
4
49
4
49
)1(4
49
4









a
yv
 
Intercepto y (ponto onde o gráfico intercepta o eixo y): 
Fazendo 
0x
 na função obtemos 
10y
. 
Gráfico da função: 
1032  xxy
. 
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
 
Sinal da função: 
•
0)( xf
 no intervalo 
52  x
; 
•
0)( xf
 no intervalo 
2x
 ou 
5x
; 
•
0)( xf
 para 
2x
 ou 
5x
; 
 
Exemplo 5 
Uma bola é atirada para cima do topo 
de um edifício com 96 pés de altura, 
com velocidade inicial de 16 pés por 
segundo. Sua altura após ser atirada é 
dada pela função: 
h = 96 +16t -16t2 
 
 
Vértice: 
(-b/24, -a(1/2, 100) 
Raízes: 
0161696 2  tt
 
t = -2 (-2,0) t = 3 (3,0) 
 Gráfico da altura versus tempo 
h(pés) x t (segundos) 
 
Como o domínio da função é de 0 a 3 segundos, o gráfico 
da função h(t) corresponde à parte azul da curva acima. 
 
 
 
Vértice 
(1,5; 12,25) 
• 
 
Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas 
Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Função quadrática 
 
 
 
Exemplo 6 
Um gráfico, uma fórmula 
Determine uma possível fórmula para a 
função quadrática cujo gráfico é: 
 
 
 
Pelo gráfico, 
as raízes são x=-1 e x=3 
 
Toda função y = ax2 +bx + c pode ser escrita 
como um produto de fatores (forma fatorada): 
 
 
 
onde x1 e x2 são as raízes da equação e a é o 
coeficiente do termo x2 
 
O gráfico representa a função: y = a(x - (-1))(x-3) 
 
y = a(x +1)(x-3) 
 
Como a parábola é côncava para baixo, a é negativo. 
Não há como calcular o valor de a porque não foram 
dadas as coordenadas de nenhum ponto fora do eixo 
x. Assim o problema tem muitas respostas. 
 
Estimando que o gráfico corte o eixo y no ponto de 
coordenadas (0, 4), podemos determinar o valor de a, 
fazendo Y(0) = 4. Então, temos: 
 
4 = a (0+1)(0-3) a  
 
Substituindo os valores de a e das raízes em y = a(x 
+1)(x-3) a fórmula procurada é 
 
 
 
Aplicações de Funções Quadráticas 
 
Na função do primeiro grau vimos que o preço era constante, já na função quadrática o preço da 
função Receita pode ser modificado( como consequência temos que a demanda também se altera) 
Tudo que foi visto para função linear continua valendo. 
Ex: Dada a função de demanda 
xp 220
 e a função custo 
xxC  5)(
: 
a) Obtenha o valor de x que maximiza a receita. 
b) Obtenha o valor de x que maximiza o lucro. 
 
Resolução: 
a) 
xpxR .)( 
 
xxxR )220()( 
 
2220)( xxxR 
 
O x que maximiza a receita é o x do vértice 
 
5
22
20
2






a
b
xv
 
 
Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas 
Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Função quadrática 
 
 
 
b) 
)()()( xCxRxL 
 
 
)5()220()( 2 xxxxL 
 
 
5192)( 2  xxxL
 
O valor do x que maximiza o lucro será: 
75,4
4
19
)2(2
19
2






a
b
xv
 
 
Exercícios 
1) 
 
2) 
 
 
3) Uma loja de CD’s adquire cada unidade por R$20,00 e revende por R$30,00. Nessas condições , 
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que , reduzindo 
o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês. 
a) Obtenha a função demanda admitindo que seu gráfico seja linear. 
b) Qual o preço que dever ser cobrado para maximizar o lucro mensal? 
 
 
4) O Sr. Ângelo é proprietário de um hotel para viajantes solitários com 40 suítes. Ele sabe que, 
se cobrar R$150,00 por diária, o hotel permanece lotado. Por outro lado, para cada R$5,00 de 
aumento na diária, uma suíte permanece vazia. 
a) Obtenha a função demanda admitindo-a como função do 1o grau. 
b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita? 
 
5) A função Custo de um monopolista (único produtor de um produto) é 
xxC 2200)( 
, e a 
função demanda pelo produto é 
xp 2100
. 
a) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro? 
b) Se o governo tabelar o preço do produto de modo que o preço máximo seja R$60,00, qual 
preço deve ser cobrado para maximizar o lucro? 
c) Resolva o item anterior considerando um preço máximo R$40,00. 
6) Para um certo produto comercializado, a receita e o custo são dados respectivamente, por 
qqqR 10002)( 2 
 e 
35000200)(  qqC
. 
a) Faça num mesmo eixo cartesiano as funções de receita e custo, marcando os principais 
pontos. 
b) Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento da função receita, a quantidade 
que maximiza a receita e a receita máxima correspondente. 
 
Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas 
Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim 
Função quadrática 
 
 
 
c) Os break-even points e seu significado. 
d) As regiões em que o lucro é positivo e em que o lucro é negativo. Indique tais regiões 
graficamente. 
e) A função lucro e seu gráfico. 
f) A quantidade que maximiza o lucro e o lucro máximocorrespondente. 
 
7) Para a comercialização de relógios, um lojista nota que a receita é dada por 
qqqR 1203)( 2 
 e o custo é dado por 
375202)( 2  qqqC
. 
a) Esboce os gráficos da receita e custo sobre um mesmo sistema de eixos,determinando os 
break-even points. 
b) Indique no gráfico anterior as quantidade para as quais o lucro é positivo. 
c) Obtenha a função de lucro e esboce o gráfico, indicando os principais pontos. 
d) Qual a quantidade de relógios que deve ser comercializada para que o lucro seja máximo? Qual 
o lucro máximo? 
e) Para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo? Compare com os resultados no item 
(b). 
8) O preço p de um produto depende da quantidade q que os fornecedores estão dispostos a 
oferecer e, para certo produto, pela lei de oferta, tal dependência é dada pela função 
9102  qqp
. Para o mesmo produto, o preço também depende da quantidade q que os 
compradores estão dispostos a adquirir e, pela lei da demanda, tal dependência é dada por 
812  qp
. 
a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos da oferta e demanda. 
b) Obtenha a quantidade e o preço de equilíbrio de mercado. Indique também no gráfico do item 
anterior. 
9) O custo de se produzir x unidades por dia de um produto é 
1520
2
)(
2
 x
x
xC
 e a 
equação de demanda é 
xp  35
. 
a) Obtenha a função lucro. 
b) Obtenha a quantidade que deve ser produzida e vendida para maximizar o lucro. 
 
10) O custo de fabricação de uma indústria é dado por 
83)( 2  xxxC
 e a sua função 
receita por 
45252)( 2  xxxR
 . Tendo em vista uma crise financeira, a empresa fez 
algumas demissões. Com isso o custo de fabricação caiu 7%. Nessas condições, a função lucro 
pode ser expressa por: 
a) 
29,4904,2679,2)( 2  xxxL
 
b) 
29,4904,2679,2)( 2  xxxL
 
c) 
37196,121,0)( 2  xxxL
 
d) 37196,121,0)( 2  xxxL

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