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Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Função quadrática Funções Quadráticas Uma função quadrática (ou função polinomial do 2º grau) tem a forma: Onde a, b e c são números reais com 0a . O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola, côncava para cima ou côncava para baixo. Figura 2 – Parábolas Interceptos x (raízes ou os zeros de uma função quadrática) Uma raiz ou um zero de uma função é o valor de x para o qual 0)( xf . As raízes de cbxaxy 2 são dadas pela fórmula: Onde acb 42 . Dependendo dos valores de a e de tem-se as seguintes situações: duas raízes reais distintas A parábola cruza o eixo x uma raiz real dupla A parábola toca o eixo x Sem raízes reais A parábola não toca o eixo x duas raízes reais distintas A parábola cruza o eixo x uma raiz real dupla A parábola toca o eixo x Sem raízes reais A parábola não toca o eixo x Figura 2 – Raízes ou zeros da função quadrática Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Função quadrática Vértice de uma parábola Em uma parábola, o ponto mais alto (se a parábola é côncava para baixo) ou o ponto mais baixo (se a parábola é côncava para cima) é denominado vértice da parábola e suas coordenadas podem ser determinadas como mostrado a seguir. Fórmulas para determinação das coordenadas do vértice da parábola: Figura 3 – Coordenadas do vértice de uma parábola. Estudo do sinal da função quadrática. Figura 4 – Sinal da função quadrática. Exemplo 4 Construir o gráfico da função quadrática 1032 xxy . Cálculo das raízes (interceptos x): 49101434 22 acb ; como 0 a função tem duas raízes reais distintas; 2 73 )1(2 493 2 a b x . Desta forma encontramos as raízes 2x e 5x . + _ _ _ _ _ _ _ _ + + _ + + + + + + Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Função quadrática Cálculo das coordenadas do vértice: 5,1 2 3 2 3 )1(2 3 2 a b xv 25,12 4 49 4 49 )1(4 49 4 a yv Intercepto y (ponto onde o gráfico intercepta o eixo y): Fazendo 0x na função obtemos 10y . Gráfico da função: 1032 xxy . -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Sinal da função: • 0)( xf no intervalo 52 x ; • 0)( xf no intervalo 2x ou 5x ; • 0)( xf para 2x ou 5x ; Exemplo 5 Uma bola é atirada para cima do topo de um edifício com 96 pés de altura, com velocidade inicial de 16 pés por segundo. Sua altura após ser atirada é dada pela função: h = 96 +16t -16t2 Vértice: (-b/24, -a(1/2, 100) Raízes: 0161696 2 tt t = -2 (-2,0) t = 3 (3,0) Gráfico da altura versus tempo h(pés) x t (segundos) Como o domínio da função é de 0 a 3 segundos, o gráfico da função h(t) corresponde à parte azul da curva acima. Vértice (1,5; 12,25) • Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Função quadrática Exemplo 6 Um gráfico, uma fórmula Determine uma possível fórmula para a função quadrática cujo gráfico é: Pelo gráfico, as raízes são x=-1 e x=3 Toda função y = ax2 +bx + c pode ser escrita como um produto de fatores (forma fatorada): onde x1 e x2 são as raízes da equação e a é o coeficiente do termo x2 O gráfico representa a função: y = a(x - (-1))(x-3) y = a(x +1)(x-3) Como a parábola é côncava para baixo, a é negativo. Não há como calcular o valor de a porque não foram dadas as coordenadas de nenhum ponto fora do eixo x. Assim o problema tem muitas respostas. Estimando que o gráfico corte o eixo y no ponto de coordenadas (0, 4), podemos determinar o valor de a, fazendo Y(0) = 4. Então, temos: 4 = a (0+1)(0-3) a Substituindo os valores de a e das raízes em y = a(x +1)(x-3) a fórmula procurada é Aplicações de Funções Quadráticas Na função do primeiro grau vimos que o preço era constante, já na função quadrática o preço da função Receita pode ser modificado( como consequência temos que a demanda também se altera) Tudo que foi visto para função linear continua valendo. Ex: Dada a função de demanda xp 220 e a função custo xxC 5)( : a) Obtenha o valor de x que maximiza a receita. b) Obtenha o valor de x que maximiza o lucro. Resolução: a) xpxR .)( xxxR )220()( 2220)( xxxR O x que maximiza a receita é o x do vértice 5 22 20 2 a b xv Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Função quadrática b) )()()( xCxRxL )5()220()( 2 xxxxL 5192)( 2 xxxL O valor do x que maximiza o lucro será: 75,4 4 19 )2(2 19 2 a b xv Exercícios 1) 2) 3) Uma loja de CD’s adquire cada unidade por R$20,00 e revende por R$30,00. Nessas condições , a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que , reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês. a) Obtenha a função demanda admitindo que seu gráfico seja linear. b) Qual o preço que dever ser cobrado para maximizar o lucro mensal? 4) O Sr. Ângelo é proprietário de um hotel para viajantes solitários com 40 suítes. Ele sabe que, se cobrar R$150,00 por diária, o hotel permanece lotado. Por outro lado, para cada R$5,00 de aumento na diária, uma suíte permanece vazia. a) Obtenha a função demanda admitindo-a como função do 1o grau. b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita? 5) A função Custo de um monopolista (único produtor de um produto) é xxC 2200)( , e a função demanda pelo produto é xp 2100 . a) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro? b) Se o governo tabelar o preço do produto de modo que o preço máximo seja R$60,00, qual preço deve ser cobrado para maximizar o lucro? c) Resolva o item anterior considerando um preço máximo R$40,00. 6) Para um certo produto comercializado, a receita e o custo são dados respectivamente, por qqqR 10002)( 2 e 35000200)( qqC . a) Faça num mesmo eixo cartesiano as funções de receita e custo, marcando os principais pontos. b) Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento da função receita, a quantidade que maximiza a receita e a receita máxima correspondente. Centro Universitário UNA – Instituto Ciencias Sociais Aplicadas Cálculo – Profa. Sheyla Sant’ Anna Amorim Função quadrática c) Os break-even points e seu significado. d) As regiões em que o lucro é positivo e em que o lucro é negativo. Indique tais regiões graficamente. e) A função lucro e seu gráfico. f) A quantidade que maximiza o lucro e o lucro máximocorrespondente. 7) Para a comercialização de relógios, um lojista nota que a receita é dada por qqqR 1203)( 2 e o custo é dado por 375202)( 2 qqqC . a) Esboce os gráficos da receita e custo sobre um mesmo sistema de eixos,determinando os break-even points. b) Indique no gráfico anterior as quantidade para as quais o lucro é positivo. c) Obtenha a função de lucro e esboce o gráfico, indicando os principais pontos. d) Qual a quantidade de relógios que deve ser comercializada para que o lucro seja máximo? Qual o lucro máximo? e) Para quais quantidades comercializadas o lucro é positivo? Compare com os resultados no item (b). 8) O preço p de um produto depende da quantidade q que os fornecedores estão dispostos a oferecer e, para certo produto, pela lei de oferta, tal dependência é dada pela função 9102 qqp . Para o mesmo produto, o preço também depende da quantidade q que os compradores estão dispostos a adquirir e, pela lei da demanda, tal dependência é dada por 812 qp . a) Em um mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos da oferta e demanda. b) Obtenha a quantidade e o preço de equilíbrio de mercado. Indique também no gráfico do item anterior. 9) O custo de se produzir x unidades por dia de um produto é 1520 2 )( 2 x x xC e a equação de demanda é xp 35 . a) Obtenha a função lucro. b) Obtenha a quantidade que deve ser produzida e vendida para maximizar o lucro. 10) O custo de fabricação de uma indústria é dado por 83)( 2 xxxC e a sua função receita por 45252)( 2 xxxR . Tendo em vista uma crise financeira, a empresa fez algumas demissões. Com isso o custo de fabricação caiu 7%. Nessas condições, a função lucro pode ser expressa por: a) 29,4904,2679,2)( 2 xxxL b) 29,4904,2679,2)( 2 xxxL c) 37196,121,0)( 2 xxxL d) 37196,121,0)( 2 xxxL
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