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Tábuas de Mortalidade - aula

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Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 1
Tábuas de Mortalidade
Cristiane Silva Corrêa
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 2
Tabelas de Vida
• Partem de uma experiência de mortalidade em um 
dado período
• Representam a mortalidade de uma coorte hipotética
que experimente aquelas mesmas taxas de 
mortalidade
• Descreve o comportamento das funções relacionadas à
mortalidade, por idade, para uma determinada coorte. 
• Para construir uma tabela de vida: 
– Taxas de mortalidade por idade e sexo (nTEMx)
– Tempo médio vivido no intervalo etário pelos que 
morreram (nax)
Funções da Tabela de Vida
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10
10 10
20 10
30 10
40 10
50 10
60
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 3
Funções da Tabela de Vida
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10
10 10
20 10
30 10
40 10
50 10
60
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 4
Nessa população 
todos morrem até
os 60 anos. 
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 5
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10
10 10
20 10
30 10
40 10
50 10
60 ou mais
Duração do intervalo
Idade / Grupo 
etário
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 6
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10 100
10 10 90
20 10 65
30 10 55
40 10 30
50 10 15
60 0
Pessoas com exata idade 
x
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 7
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10 100 10
10 10 90 25
20 10 65 10
30 10 55 25
40 10 30 15
50 10 15 15
60 0
Pessoas que morreram 
entre as idades x e x+n
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 8
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10 100 10 0,10
10 10 90 25 0,28
20 10 65 10 0,15
30 10 55 25 0,45
40 10 30 15 0,50
50 10 15 15 1,00
60 0
Probabilidade de morrer 
entre as idades x e x+n
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 9
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10 100 10 0,10
10 10 90 25 0,28
20 10 65 10 0,15
30 10 55 25 0,45
40 10 30 15 0,50
50 10 15 15 1,00
60 0
Probabilidade de morrer 
entre as idades x e x+n
Todos morrem no último 
grupo etário
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 10
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10 100 10 0,10
10 10 90 25 0,28
20 10 65 10 0,15
30 10 55 25 0,45
40 10 30 15 0,50
50 10 15 15 1,00
60 0
Tempo médio vivido no 
intervalo pelos que 
morreram entre as 
idades x e x+n
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 11
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10 100 10 0,10 5
10 10 90 25 0,28 5
20 10 65 10 0,15 5
30 10 55 25 0,45 5
40 10 30 15 0,50 5
50 10 15 15 1,00 5
60 0
Tempo médio vivido no 
intervalo pelos que 
morreram entre as 
idades x e x+n
Os indivíduos 
vivem, em média, 
metade do 
intervalo, se 
consideramos 
prob. de morrer 
uniforme dentro 
do intervalo 
etário
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 12
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10 100 10 0,10 5
10 10 90 25 0,28 5
20 10 65 10 0,15 5
30 10 55 25 0,45 5
40 10 30 15 0,50 5
50 10 15 15 1,00 5
60 0
Tempo vivido entre as 
idades x e x+n
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 13
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10 100 10 0,10 5 950
10 10 90 25 0,28 5 775
20 10 65 10 0,15 5 600
30 10 55 25 0,45 5 425
40 10 30 15 0,50 5 225
50 10 15 15 1,00 5 75
60 0
Tempo vivido entre as 
idades x e x+n
Tempo vivido 
pelos que 
sobreviveram + 
tempo vivido 
pelos que 
morreram, no 
intervalo
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 14
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10 100 10 0,10 5 950 3050
10 10 90 25 0,28 5 775 2100
20 10 65 10 0,15 5 600 1325
30 10 55 25 0,45 5 425 725
40 10 30 15 0,50 5 225 300
50 10 15 15 1,00 5 75 75
60 0
Tempo vivido a partir da idade 
x – é a soma do tempo vivido 
em cada intervalo a partir da 
idade x
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 15
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10 100 10 0,10 5 950 3050
10 10 90 25 0,28 5 775 2100
20 10 65 10 0,15 5 600 1325
30 10 55 25 0,45 5 425 725
40 10 30 15 0,50 5 225 300
50 10 15 15 1,00 5 75 75
60 0
Esperança de Vida à idade x –
Tempo médio a ser vivido a 
partir da idade x
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 16
x n l
x n
d
x n
q
x n
a
x n
L
x
T
x
e
x
0 10 100 10 0,10 5 950 3050 30,50
10 10 90 25 0,28 5 775 2100 23,33
20 10 65 10 0,15 5 600 1325 20,38
30 10 55 25 0,45 5 425 725 13,18
40 10 30 15 0,50 5 225 300 10,00
50 10 15 15 1,00 5 75 75 5,00
60 0
Esperança de Vida à idade x –
Tempo médio a ser vivido a 
partir da idade x
Razão Tx/lx
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 17
Trabalho
• Construir uma tabela de vida a partir das 
probabilidades de morte da AT 2000 F e AT 
49. 
• Encontrar esperanças de vida às idades 0, 20, 
40, 60, e 80. Comparar as duas tabelas. 
• Interpretar as funções das tábuas de vida.
• Representar em gráficos as funções lx e qx. 
Descrever o comportamento dessas funções. 
• Obs.: Considerar que os indivíduos morrem, 
em média, no meio do intervalo etário.
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 18
Tabela de Vida
• A tabela de vida segue uma coorte até sua 
extinção. Portanto, representa uma 
experiência de mortalidade de coorte. 
• Demora muito até uma coorte se extinguir. 
• Construímos tabelas de vida a partir de dados 
de período. Mas em um período há diversas 
coortes. 
• A que se referem, então, as funções 
calculadas? À coorte ou ao período? 
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 19
Resposta: 
• A tabela se refere a uma coorte hipotética. Ou 
seja, a uma coorte imaginária que tenha 
experimentado aquelas mesmas funções de 
mortalidade experimentadas naquele 
período. 
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 20
Para pensar...
Encontramos uma esperança de vida ao 
nascer de 75 anos. A quem se refere essa 
esperança de vida?
• a) A quem nasceu naquele ano.
• b) A quem nasceu a 75 anos atrás.
• c) A quem tem 75/2 anos.
• d) Nenhuma das anteriores.
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 21
Para pensar...
• A mortalidade está em queda. Encontramos 
uma esperança de vida aos 60 anos para 2010 
de 17 anos. Provavelmente uma pessoa que 
tem 60 anos hoje viverá:
• A) 17 anos, 
• B) Mais que 17 anos
• C) Menos que 17 anos
• D) Não é possível saber só com esses dados
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 22
Diagrama de Lexis
• Representa a experiência de mortalidade de uma 
população. 
• Relação entre tempo e idade: 
– Eixo horizontal: tempo. 
– Eixo vertical: idade. 
• Tempo e idade são medidas em anos, portanto devem 
ser representados proporcionalmente (na mesma 
escala). Ou seja, a cada 1 ano que passa as pessoas 
envelhecem 1 ano. Em 5 anos as pessoas envelhecem 
5 anos. 
• Torna evidente as relações entre seguimentos de 
exposição de período e de coorte. 
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 23
6
5
4
3
2
1
0
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 24
6
5
4
3
2
1
0
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 25
|
6
5
4
3
2
1
0
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 26
|
6
5 A
C
4
3
B
2
D
E
1
0
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 27
6 0
5 15
4 303 55
2 65
1 90
0 100
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 28
6 0
5 15 15
4 30 30 30
3 55 55 55 55
2 65 65 65 65 65
1 90 90 90 90 90 90
0 100 100 100 100 100 100 100
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 29
• Se no Diagrama de Lexis a experiência de 
todas as coortes são iguais, temos uma 
população estacionária. 
• Tanto faz olharmos para o período ou para a 
coorte, porque os dois têm a mesma 
experiência
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 30
Interpretação das funções da Tabela 
de Vida
População estacionária
• lx: indivíduos à exata idade x a 
cada ano 
• ndx: Óbitos a cada ano entre as 
idades x e x+n
• nax: tempo médio vivido a cada 
ano pelos que morrem entre x e 
x+n
• nLx: nº de pessoas entre x e x+n
• Tx: nº de pessoas com x anos ou 
mais
• ex: média de anos a serem vividos 
a partir da idade exata x 
Coorte Hipotética
• lx: sobreviventes à exata idade x
• ndx:óbitos de x a x+n, dos 
provenientes de uma coorte de lo
nascidos vivos.
• nax:tempo médio vivido pelos 
originários da coorte que 
morreram entre x e x+n
• nLx: pessoas anos vividos pela 
coorte entre x e x+n
• Tx:pessoas anos vividos pela 
coorte a partir da idade x
• ex: média de anos vividos pelos 
que sobreviveram à idade exata 
x. 
Diagrama de Lexis
Represente, em um diagrama de Lexis, as 
seguintes funções da Tabela de Vida: 
• l2: indivíduos à exata idade 2 a cada ano 
• 2L2: nº de pessoas entre 2 e 4
• T1: nº de pessoas com 1 ano ou mais
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 31 Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 32
6
5
4
3
2
1
0
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
l2
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 33
6
5
4
3
2
1
0
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
2L2
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 34
6
5
4
3
2
1
0
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
T1
Encontre, para a População Estacionária, a TBN 
e a TBM: 
• TBM = nº óbitos / Pessoas anos vividos
• TBM= Σ ndx / To = lo / To
• TBN = nº nascimentos / Pessoas anos vividos
• TBN= lo / To
Note que, na população Estacionária, TBM=TBN. 
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 35 Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 36
Outras funções importantes: 
• nqx: Probabilidade de morrer entre as idades 
exatas x e x+n. 
nqx= ndx/lx
• npx: Probabilidade de sobreviver entre as 
idades exatas x e x+n. 
npx= lx+n/lx
npx + nqx = 1
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN
37
Outras funções importantes: 
• nqx: Probabilidade de morrer entre as idades 
exatas x e x+n. 
nqx= ndx/lx
• npx: Probabilidade de sobreviver entre as 
idades exatas x e x+n. 
npx= lx+n/lx
• Razão de Sobrevivência: probabilidade de 
sobreviver entre as idades completas . 
yPx,x+n= nLx+y/nLx
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 38
Expresse usando funções da Tabela de Vida:
1. O número de sobreviventes à idade exata de 20 anos.
2. Dentre as sobreviventes à idade exata de 15 anos quantas virão 
a morrer antes de completar 20 anos.
3. A probabilidade de um indivíduo de idade exata 15 anos vir a 
falecer antes de completar 20 anos.
4. A esperança de vida ao nascer para um indivíduo dessa 
população.
5. Quantos anos espera viver, em média, um indivíduo de 60 anos.
6. A probabilidade de um indivíduo morrer entre 2 e 3 anos exatos;
7. A probabilidade de um indivíduo sobreviver aos 5 anos;
8. A probabilidade de um indivíduo que está vivo aos 3 anos, 
morrer até os 5;
9. A probabilidade de um indivíduo sobreviver aos 2 anos e morrer 
no ano seguinte
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 39
Construção da tabela de Vida
• Precisamos de 2 coisas: 
– TEM 
– Tempo médio vivido pelos que morreram
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 40
Construção da tabela de Vida
• Precisamos de 2 coisas: 
– TEM - já encontramos
– Tempo médio vivido pelos que morreram – falta 
encontrar
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 41
Tempo médio vivido no intervalo pelos 
que morreram - nax
• Para os grupos etários intermediários (de 5 a 
79 anos, por exemplo) é razoável assumir qua
as mortes são uniformemente distribuídas. 
Portanto, assume-se que as mortes ocorrem 
em média no meio do intervalo etário.
nax= n/2
• Último grupo etário: Tempo vivido é
inversamente proporcional à mortalidade
nax= 1/TEM
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 42
Tempo médio vivido no intervalo pelos 
que morreram - nax
• Abaixo de 5 anos, morre-se mais no início do 
intervalo. 
• Alguns autores, empiricamente, encontraram que
Homens Mulheres
Valor de 1a0
Se 1m0 > 0,107 0,330 0,350
Se 1m0 < 0,107 0,45+2,684 1m0 0,053+2,800 1m0
Valor de 4a0
Se 1m0 > 0,107 1,352 1,361
Se 1m0 < 0,107 1,651-2,816 1m0 1,522-1,518 1m0
Cristiane Corrêa/Dep Estatística UFRN 43
Construindo a Tabela de Vida
• nqx = (n*nmx)/(1+(n-nax)*nmx)
• ndx=lx*nqx
• lx+1=lx-ndx
• nLx=n*lx+n + nax*ndx
• nTx=soma(nLa), com a variando de x a infinito 
• ex=Tx/lx

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