ATPS DE CALCULO III

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ATPS DE CALCULO III
ETAPA 1 
Introdução.
 Integrais e seu Surgimento :
A ideia básica de cálculos integrais surgia a muito tempo com a necessidade de ser medir a área de figuras planas e irregulares que foi inserida juntamente com o método de exaustão desenvolvido e melhorado por Arquimedes em 287-212 a.C.
O método da exaustão e sua evolução 
É um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Se a sequência for corretamente construída, a diferença entre o n-ésimo polígono e a figura que os contém se tornará arbitrariamente pequena a medida que “n” se tornar grande. A medida que essa diferença se torna arbitrariamente pequena, os valores possíveis para a área da figura são sistematicamente "exauridos" pela limitação inferior imposta pelos polígonos cada vez maiores. A ideia teve origem com Antífon, apesar de que não está inteiramente claro quão bem ele a entendeu. A teoria foi colocada em termos rigorosos por Eudoxo de Cnido, que formalizou os teoremas apresentados pela primeira vez por Demócrito, e isso só foi possível depois que Eudoxo elaborou sua teoria das proporções, para se desvencilhar da manipulação dos irracionais. O primeiro uso da expressão foi feito por Gregorie de Saint-Vincent na obra Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, de 1647.
O método da exaustão tipicamente requeria uma forma de prova por contradição, conhecida por reductio ad absurdum. Isso se resume a encontrar a área de uma região primeiro comparando-a à área de uma segunda região (que podia ser "exaurida" de forma que se aproximasse da verdadeira área). A prova requer que se assuma que a área verdadeira seja maior que a segunda área e então provar que aquele suposição é falsa então assumindo que a verdadeira área é menor que a segunda em seguida provando que essa asserção também é falsa. Esse tipo de prova é não-construtiva de forma que a resposta deve ser conhecida de antemão.
O método da exaustão é visto como precursor dos métodos do cálculo. O desenvolvimento da geometria analítica e do cálculo integral rigorosos nos séculos XVII-XIX (em particular uma definição rigorosa de limite) incorporou o método da exaustão, de forma que ele não é mais usado explicitamente para resolver problemas.
Arquimedes usou o método para calcular uma aproximação de π, preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. O quociente formado pela área desses polígonos dividido pelo quadrado do raio do círculo pode ser feito arbitrariamente próximo do real valor de π a medida que se aumenta o número de lados do polígono.
Conclusão:
Observamos que o conceito de integral pode ser introduzido de várias formas, todas elas tendo em comum a mesma ideia geométrica, mas que se diferenciam pelo rigor matemático utilizado. Neste caso ocorre um problema usual em Matemática: quanto menos rigorosa ou formal é a conceituação de um objeto matemático, mais simples é a sua compreensão.
Etapa 2
Passo 2 
A solução encontrada nos cálculos executados para este passo , foi a alternativa C. Para executar este calculo foram necessários conhecimentos de integral indefinida e derivada . Abaixo calculo realizado para comprovar a resposta .
I - 
 
II - 
 dt 
 = 1 
 du= 1 dt
 
 
 
 
Desafio A:
A resposta encontrada nos cálculos feitos para este desafio , foi a opção B . Para executar este calculo foram necessários conhecimentos de integral indefinida e derivada .
Abaixo , calculo executado para representar a resposta correta 
Desafio B:
A resposta encontrada no cálculos feitos para este desafio, foi a alternativa “A” .
Para a resolução deste calculo foram necessários conhecimentos de integral indefinida e derivada .
Abaixo , esta o calculo executados para representar a solução correta.
Custo fixo de U$ 10.000
Custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q 
C(0) = 10.000
C(q) = ?
C’ = 1000 + 50q dq
1000 q + 50
1000 q + 
Logo o custo total para perfurar (q) “pés”, será o custo fixo + custo marginal .
Custo Fixo + Custo marginal 
C(q) = 10.000 + 1.000q + 25q²
Desafio C:
A Solução encontrada nos cálculos executados para este desafio foi a alternativa “E” , que esta associado ao numero “0” , pois o problema pede a solução correta em relação a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994 , e os cálculos executados apresentam apenas respostas aproximadas , logo nenhuma das alternativas apresentadas estão corretas .
Abaixo esta o calculo executado para tal conclusão:
 u=0,07t 
 
Desafio D: 
A solução obtida nos cálculos feitos para este desafio foi a alternativa “A” . Para a execução deste calculo foram necessários conhecimentos de áreas da curva , integral indefinida e derivada , também foi necessário a utilização da regra da substituição para integração . 
Abaixo calculo executado para justificar a resposta .
2 . 
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