Lista 3 - derivada - Calculo 1 - UERJ

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Cálculo I: lista 3 (2013/2)
1. Diferencie:
(a) h(x) = x2ex
(b) f(x) =
√
xex
(c) y = ex/x2
(d) p =
ex
1 + x
(e) g(x) =
x+ 2
x− 1
(f) l(u) =
1− u2
1 + u2
(g) G(s) = (s2 + s+ 1)(s2 + 2)
(h) f(x) = (1 +
√
x)(x− x3)
(i) f(x) = (x3 − x+ 1)(x−2 + 2x−3)
(j) H(t) = et(1 + 3t2 + 5t4)
(l) y =
√
x− 1√
x+ 1
(m) f(x) =
ex
x+ ex
(n) f(x) = tan x
(o) f(x) = sec x
(p) f(x) = csc x
(q) f(x) = cotg x
(r) f(x) =
sinx
x3 + ex
(s) f(x) =
x
cosx
(t) f(x) = ex secx
2. Encontre a equação da reta tangente no ponto pedido.
(a) y =
2x
x+ 1
(1, 1)
(b) y =
√
x
x+ 1
(4, 0.4)
(c) y = 2xex (0, 0)
(d) y =
ex
x
(1, e)
3. Utilizando duas vezes a regra do produto, demonstre que:
(fgh)′ = f ′gh+ fg′h+ fgh′
1
4. Diferencie:
(a) h(x) = (x3 + 4x)7
(b) f(x) =
√
x2 − 7x
(c) y =
1
(t2 − 2t− 5)4
(d) p =
(
t− 1
t
)3/2
(e) g(x) = e−mx
(f) g(t) = (6t2 + 5)3(t3 − 7)4
(g) G(s) = se−s
2
(h) f(x) = 5−1/x
(i) l(x) =
√
x+
√
x
(j) f(x) = sin(cos(tan))
(l) f(x) = cos(e−x)
(m) f(x) = (tan x)3
(n) f(x) =
√
secx
5. Encontre dy/dx fazendo a diferenciação implícita:
(a) x2 + y2 = 1
(b) x2 − y2 = 1
(c) x3 + x2y + 4y2 = 6
(d)
y
x− y = x
2 + 1
(e)
√
1 + x2y2 = 2xy
(f) sin(x+ y) = y2 cosx
(g) xy = cotgxy
(h) y = tan−1(ex)
(i) y = x2cotg−1(3x)
6. Encontre as derivadas primeira e segunda das seguintes funções:
(a) f(x) = x5 + 6x2 − 7x
(b) f(t) = t8 − 7t6 + 2t4
(c) h(x) =
√
x2 + 1
(d) G(r) =
√
r + 3
√
r
(e) F (s) = (3s+ 5)8
(f) g(u) =
1√
1− u
(g) y = xecx
(h) G(r) = r3e5r
2
7. Determine a vigésima sétima derivada da função cosseno, isto é,
d(27) cosx
dx(27)
.
8. Diferencie a função:
(a) f(x) = ln(2− x)
(b) f(x) = log10(x
2 − 4)
(c) h(x) = log10
(
x
x− 1
)
(d) F (x) = ln
√
x
(e) F (x) =
3
√
lnx
(f) g(x) = ex lnx
(g) y = ln(e−x + xe−x)
(h) y = ln |x3 − x|
(i) y = ln(secx+ tanx)
(j) y = [ln(tanx)]2
9. Utilize a diferenciação logarítmica para achar a derivada das seguintes funções:
(a) y = (2x+ 1)5(x4 − 3)6
(b) y =
√
xex
2
(x2 + 1)10
(c) y = xx
−1
(d) y = (lnx)x
(e) y = (sinx)x
(f) y = (lnx)cosx
3
10. Utilize a regra de L'Hôpital, se possível, para diferenciar as funções abaixo. Caso não seja, explique
o porquê.
(a) lim
x→−2
x+ 2
x2 + 3x+ 2
(b) lim
x→1
x9 − 1
x5 − 1
(c) lim
x→∞
ln lnx
x
(d) lim
t→0
5t − 3t
t
(e) lim
t→16
4
√
t− 2
t− 16
(f) lim
x→0
ex − 1− x− (x2/2)
x3
(g) lim
x→∞
(lnx)3
x2
(h) lim
x→∞
x
ln(1 + 2ex)
(i) lim
x→0+
√
x lnx
(j) lim
x→−∞
x2ex
(l) lim
x→∞
e−x lnx
(m) lim
x→∞
x3e−x
2
(n) lim
x→0
sinx
x
(o) lim
x→3pi/2
cosx
x− (3pi/2)
(p) lim
x→pi
(x− pi)cotg x
(q) lim
x→0
(cossec x− cotg x)
(r) lim
x→0+
(sinx)tanx
(s) lim
x→∞
e
x
xn
onde n é um número inteiro positivo
(t) lim
x→∞
lnx
xp
∀ p > 0
11. Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 1 mi, a 500 mi/h, e passa diretamente sobre uma
estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando
ele está a 2 mi além da estação.
(a) Quais são as grandezas dadas no problema?
(b) Qual a grandeza pedida?
(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t.
(d) Escreva uma equação que relacione as grandezas.
(e) Termine resolvendo o problema.
4
12. Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 15 pés. Um homem com 6 pés de altura anda
afastando-se do poste com uma velocidade de 5 pés/s seguindo uma trajetória reta. Com que velocidade
se move o topo de sua sombra quando ele está a 40 pés do poste?
(a) Quais são as grandezas dadas no problema?
(b) Qual a grandeza pedida?
(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t.
(d) Escreva uma equação que relacione as grandezas.
(e) Termine resolvendo o problema.
13. Um homem começa a andar para o norte a 4 pés/s a partir de um ponto P. Cinco minutos depois
uma mulher começa a andar para o sul a 5 pés/s de um ponto a 500 pés à leste de P. A que taxa as
pessoas estão se separando 15 minutos depois de a mulher começar a andar?
14. A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo cresce a uma
taxa de 2 cm2/min. A que taxa está variando a base do triângulo quando a altura é 10 cm e a área é 100
cm2?
15. Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min. Ao mesmo tempo
está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e o
diâmetro do topo é 4 m. Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura
da água for 2 m, encontra a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada dentro do tanque.
16. Uma tina de água tem 10 mm de comprimento e uma secção transversal com a forma de um
trapezóide isósceles com 30 cm de comprimento na base, 80 cm de extensão no topo e 50 cm de altura. Se
a tina for preenchida com água a uma taxa de 0,2 m3/min, quão rápido estará subindo o nível da água
quando ela estiver a 30 cm de profundidade.
17. Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30 pes
3/min, formando uma
pilha na forma de cone com diâmetro da base e altura sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura
da pilha quando está a 10 pés de altura?
18. Dois lados de um triângulo são 4 m e 5 m, e o ângulo entre eles esttá crescendo a uma taxa
de 0,06 rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a área está crescendo quando o ângulo entre os lados do
comprimento fixo é pi/3.
19. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás está comprimida a uma temperatura
constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV = C, onde C é uma constante. Suponha
que num certo instante o volume é 600cm3, a pressão é 150kPa e a pressão cresce a uma taxa de
20kPa/min. A que taxa está decrescendo o volume nesse instante?
20. Se dois resistores com resistência R1 e R2 estão conectados em paralelo, então a resistência
total R, medida em ohms (Ω), é dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
. (1)
Se R1 e R2 estão crescendo a taxas de 0, 3 Ω/s e 0, 2 Ω/s, respectivamente, quão rápido está variando R
quando R1 = 80 Ω e R2 = 100 Ω?
5
21. Usando o roteiro discutido em sala, esboce o gráfico das funções abaixo.
(a) y =
1 + x2
1− x2
(b) y =
1
x2(x+ 3)
(c) y = x
√
5− x
(d) y =
√
x
x− 5
(e) y = x+
√
|x|
(f) y =
1
1 + e−x
(g) y = ex/x
(h) y = ln(x2 − x)
(i) y = x(lnx)2
(j) y = cosx− sinx
(l) y = ln(cosx)
(m) y = sin 2x− 2 sinx
(n) y = x tanx
(o) y =
cosx
2 + sin x
6