Analise Vetorial

Prévia do material em texto

78zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIAL DIFERENCIAÇÃO DE VETORES 7üzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(::r
68. Um corpo é atraído para- um ponto- fixa- O com- uma fôrça F =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ (r) r,
chamadazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA[ôrça central, onde r é o vetor posição do corpo em relação a O. Mostrar
que r X v=h, onde h é um vetor constante. Provar que a quantidade de movi-
mento angular é constante.
61. Achar as equações do (a) plano osculador, (b) plano normal e (c) plano
retificador iI curva x = 3t - t3, y = 3t2, Z = 3t + t3 no ponto em que t = 1.
Resp, (a) y - z + 1 = 0, (b) y + z - 7 = 0, (c) x = 2.
62. (a) Mostrar que (J diferencial do comprimento do arco na superfície
r - r (u, v) é dada por:
69. Provar que o vetor aceleração de uma partícula que se desloca ao longo
de uma curva no espaço fica sempre no plano osculador.
ds2 = E du2 + 2F du dv + G dv2
dr dr =
E - ~. e« (~)2du ' F = E... . drõu dv' dr ês. =G = a;; . ôo
70. (a) Achar a aceleração de uma partícula que se move no plano xy em
função das coordenadas polares (p, 4». (b) Quais são as componentes da aro I"·
ração paralela e perpendicular a p? .
onde
(b) Provar que a condição necessária e suficiente para que o sistema de
coordenadas curvilíneas u, v seja ortogonal é que F = O.
Resp. (a) ; = [(p - p~2) cos 4> - (p;P + 2 p~) scn 4>1 i+
+ [(p - p~2) sen 4> + (p~' + 2p~) coa </lI J
(b) p - p~2, p(/ + 2p~.
63. Achau a equação do plano tangente à superfície z=xy no ponto (2,3,6).
Resp. 3x + 2y - Z = 6.
64. Achar as equações do plano tangente e da normal à superfície 4z =X2_y2
110 ponto (3,1,2).
Resp. 3x - y - 2z = 4i x = 3t + 3, y = 1 - t, z = 2 - 21.
65. Provar que um unitário normal à superfície r = r (tz, v) é
.Ê!..X~
n - ± du dV, onde E, F e G sã.o definidos do mesmo modo que no Pro-
~W-~ .
bloma 62.
Mecânica.
)' - (ta - 4t) i + (t2 + ·H) j + (8 t2 - 3/.3) k .
66. Uma partícula se desloca no 101ljl;O da curva
OJ\d\1 t 6 O to'iYlpo. Achar os mõdulos das componentes tangoncinl e normal ela
a('o!omç"o quando t - 2.
RC8p. Tnngenoial, J ()i normal, 2V73.
~
t17. Hn umn P/l,tL!(IUlli ~o <IoHloOl\ 1\0 lonRo do uma curva com umn voloeldnt'
v 11 \lIlIll /~C'tlll\l'I\IJ/!() R, p,'ov/\" <IIIU (l rulo do eurvnturn d/I LmJ(\t,ól"i,\ Ó d/Ido l\\Im~.
111'11111111\1 Ii lIor' fi II~r,;x;r .
IIItAIIIIC.'I'I'I~, 111\ 1':lIqR~IJIA 11 ItO'I'AlJIIINAI, HIzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
((1.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAü, iJ)é).lizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 + é)1J} -I- é)Z' k . (VI iV·V Vd ·1· I'. h)
••• aVI + aV2 +~Y3 .
õ» ay az
Note-so a analogia com A· B = A1Bl + A213~ + A31ia. I'l
também que V . V ~ V . V.
Rotacional. So V (x, y, z) é um campo votor.ittl dotivl1,vol, (I
rotacional de V, que se escrevo V X V, ou rot V, 6 definido POI':
CAl'iTUL0 4
GRADIENTE, DIVERG~NCIA E ROTACIONAL
o operador diferencial vetorial de L, que se escreve V, 6
c1(lfillido por:
V X V = (!i + :y j + !k) X (VIi + V2j + Vak)
1 j k
a a a
ax ay 7iZ
VI V2 Va
a a a a a a
ay ai i - ax ai j + ax ay Ik
V2 Va VIzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAVa VI V2
'"' a. a.+ak .a+.a+kaV.-l+-} - =1- J- --ax ay õz õ» ay az
(1)!jW votor possui propriedades análogas às dos vetores comuns:
J~ milito \ítil na definição de três grandezas' que aparecem nas apli-
Ml,ln<lHJmWC'as O conhecidas por gradiente, dioerçência e rotacional.
() operador V chama-se também nabla.
Gruclicntc. Soja ep (x, y, z) uma função definida e derivãvei
(111\ t,O(\OH08 pontos (x, V, z) de uma dada região do espaço. (isto é,
tlJ doílno um campo osoalar derivável). O gradiente de ep, que so es-
(lI'(IVO Vc/>, ou grad ep, é dofinido por; .
= ( aVa _ aV2) i + ( aVI _ aVa). + ( aV2 _ ~Vl) k
ay õz õz õ» J ã» ay
v c/>- ( .2.. i +~ . + ~ k ) ep= aepi + aep. + aepk
ô» iJy } az õ» ay J õz
Note-se que no desenvolvimento do determinanto os opol'u,dol'lll1
a a a
~ , !l-" , ~ devem. preceder VI, V2, Va•
uX uy uz '
Fórmulas com V. Se A e B são funções vctoriais dcrívãvot«,
o ep e I/; são funções escalares deriváveis do posição (x, Y, e), tomol:l:NotO-HOque Vep dofino um campo vetorial.
A oompcnontc do Vc/ina direção do um votor unitário a é dada
JlOl' V ti> , u o 6 chamada do derivada dirigida do ep ria direção de a,
Ji"11I (it1'Jr\()t\LO, represente a taxa de variação do ~ no ponto (x, V, z)
III~dIJ'0l>lto a.
1) V (ep+ 1/;) = Vep+Vy; ou grad (ep+ 1/;) - grad c/>+ gl'l~dI/;
2) V· (A+B)=V . A+V . B ou div (A+B)-div A+ dlv B
3) V X (A +B)=V X A+VXB ou rot(A+B) •••rotA+rot,H
1) V" (epA) - (Vep) . A + ep(V .' A)
õ) V X (epA) - (Vep) X A + ep (V X A)
O) V, (A X B) n n . (V X A) - A . (V X U)
.
J)JvorgG110;n. Bojo, a Iunção V (x, Y, z) - V1i + VJ + Vu1\
cMiJlil)'~ () <1ül'i"I1,V()(em tOUOf!08 pentes (Q', V, z) numa dadn ~)
cio ClHJlnQO (iHlo 1'11 V doíino 1l1H C'l\m»o vctorinl dorivãvot). A dircr-
t/~II/''''t elo V, qllO 1-10 .'HCII'OVO V ' V 011 di" VI 6 (Iofillidli )()I':
82zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VE'l'ORIALzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
7) V X '(A X B) = (B· V) A - B (V· A) - (A· V) B + A (V· B)
8) V (A·B) = (B·V) A+ (A· V) B + B X (VXA)+ AX(VXB)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
d2~ d2~ d2~9) V· (\7 ~) == V2~ == - +.__ + __
dx2 dy2 dz2
ondo
d2 d2 d2
V2 == dx2 + dy2 + dz2
o chamado operador laplaciano.
10) V X (V~) = O. O rotacional do gradiente de ~ é zero.
11) V· (\7 X A) = O. A divergência do rotacional de A é zero.
12) V X (V X A) = V (\7 . A) - \72A.
Nas fórmulas 9-12, supõe-se que ~ e A têm derivadas parciais
do 2. a ordem contínuas.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
In variân cia . Tomemos dois sistemas de coordenadas carte-
sianas retangulares xyz e x'y'z' (veja a figura abaixo) de mesma ori-
gem O, mas cujos eixos giram um em relação ao outro.
Um ponto P no espaço tem para coordenadas (x, y, z) ou (x', V', z')
nesses dois sistemas. As equações de transformação de coordenadas
rotangulares são dadas p~" I. ,
x = ll~ + l12Y T l1a<:
(1) y' = l21x = l2ZY + l23Z
z' = lalX + lazY + laaz
z'
-r v'
f----1
~'
GRADIENTE, DIVERGÊ,,"CIA E ROTACIONAL 8:~
onde ljk' i. k = 1,2,3, são os co-senos diretores dos eixos x', y' e z'
em relação aos eixos x, y e z (veja o Problema 38). Quando os dois
sistemas não têm a origem no mesmo ponto as fórmulas de transfor-
mação tomam o seguinte aspecto:
(2)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA{
X' = i.» + l1ZY + l1aZ + aI'
y' = 121x + l22Y + l23Z + az'
z' = lalX + la2Y + la3Y + as'
onde a origem O do sistema xyz está localizado no ponto (aI', G2', aa')
do sistema x', V', Z';
As equações de transformação de coordenadas (1) definem uma
'rotação simples, enquanto as equações (2), uma rotação mais tlma
translação de eixos. Qualquer movimento de um corpo rígido podo
ser decomposto numa translação seguida de uma rotação. Uma trans-
formação de um sistema de coordenadas retangulares em outro diz-lio
ortogonal. Uma transformação linear geral chama-se uma transfor-
mação afim.
Fisicamente uma função de ponto escalar ou um campo escalar
~ (x, y, z) calculada para um dado ponto deve ser independente dali
coordenadas do ponto. Assim, a temperatura num ponto indoponde
do sistema de coordenadas usado. Então se ~ (z, y, z) fôr a tempo-
ratura no ponto P quando usamos o sistema de coordenadas (x, y, e)
e ~' (x', V', Z') fôr a temperatura no mesmo ponto quando usamos o
sistema (x', V', z'), deveremos ter ~ (x, y, z) =~' (x', V', z'). Se tiVOI'-
mos ~ (x, v, z) = ~' (x', V', z'), onde x, y, z C x', V', z' estão 1'0-
lacionados pelas equações de transformação (1) e (2), diromos (JlH
~ (x, y, z) . é um invariante sob essa transformação. Por OX(IUI-plo, x2 + y2 + Z2 é um ínvariants 'sob uma rotação de eixos rotnn-
guIares, pois x2 + y2 + Z2 = X'2 + y'2 + Z'2.
Anàlogamente, uma função vetorial de ponto ou um campo
vetorial A (x, V, z) é um invariante se A (x, y, z) = A' (x', V', z'), N'iHI\
igualdade verificar-se-á se:
AI (x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + Aa (x,y,z) k =
= AI' (x', y', z') i' + A2' (x', V', z') j' + A3' (x', IJ', z') k.
N OA Cnpli. 7 o R 1,l'Id !Ll'(ntlOH do Lmnlif()J'llll~~\rlOIi IlmiH II;fll'ldl-l o fiM
\,Ol\('(\I(,OH /Winlll, H(IJ'/tO/l,llIpli"doH.
Xl ANÁLISE VE'rORIAL
demonstrar quo (veja o problema 41) o gradiente de umzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
('nrnJ}o ol:len!ur invarianto é um campo vetorial invariante sob as trans-
ror'H\ll,çOoS (1) ou (2), E, da mesma forma, a divergência e o rota-
oionnl do um campo vetorial invariante são invariantes sob aquelas
Lr'tmsformaçõcs.
PROBLEMAS RESOLVIDOS
Gradiente.
1. SezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAt/J(x, y, 1,)= 3 x2y - y3z2, achar 'Vr/J (ou grado t/J) no ponto(I, -2, -1).
Vt/J - ( .1.. i + .1.. j + .1.. k) (3x2y _ y31,2)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=õ» ay a3
- i .1.. (3~2y - y31,1)+ j .1.. (3x2y _ y31,2) -í-k .1.. (3 x2y _ y31,2) =õ» ay a1, .
- 6 xy i + (3 x2 - 3y2Z~) j - 2y21, k 7'
- 6 (1) ( - 2) i + {3 (1)2 - 3 (-2)2 (-1)2 li - 2 (_~)3 ( -1) k =
- -12i - 9j - 16k.
2. Provar que (a) 'V (F + G) = 'V F + 'V G, (b) 'V (FG) = F 'V G + G V F
onde }I' O G são funções escalares deriáveis de x, y e 1,.
(a) V (F + G) = Ca: i + a~j ~ :1, k) (F + G) =
- i aO (F + G) + j ad (F + G) +k aa (F + G)=
x y 1,
- is: + i aG +. aF +. aG + k oF + k ~ =
ax ax J ay J ay az az
- i .PJ::.. + . ap + k oF + i dG +. éJG + k oG =
ux J iJy õz iJz J ay dZ
- (1.l.+; ..!. + k..!.) F + (i..!. + j .1.. + k~) G = VP+VG
{)x aJj 01, ô» ay dZ
(/I) v (/"0) - ( -/; i ;y ; + !k ) (FO) _
() • WO)I + .(j • WO»)./ _t (/1'0) J~ _
O.C (Iv u.-
GRADIENTE, DIVERGftNCIA E ROTACIONAL 85 )
= (F.E!i + G aF ) i + (F aG + G aF ) • + (F j!i + G aF ) k =
ax ax ay ay J dZ dz
= F ( dG i + ~ j + oG k) + G ( oF i + aF j + aF k) =
~ ayzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAaz ax dy az
= FVG + GVF.
o Achar Vt/J sendo (a) t/J= ln Irl, (b) t/J= ~ .
(a) r =xi+yj+1,~. Logo Irl=vx2+y2+1,2 e t/J =ln Irl=!ln(x2+y2+z2).
Vt/J = !V In (x2 + y2 + Z2) =
t=1. {i ..i..çt~2 + y2 + Z2) + j.1..ln (x2 + y2 + z2)+ k..i..ln (x2 + y2 + Z2) t =2 õ» ~u ~ ay a'l /
=1. / i 2x + . 2y + k 2z' \ = xi + yj + zk = s. ...1j
2 \ x2+y! +.:2 J X!+y2+Z2 x2 +y2 +Z2 / x2 + y2 + 1,2 r2 .
(b) Vt/J = V (1-) = V ( 1 ) = V ( (x2 + y2 + 1,2)-1/2/\=
r v' x2 + y2 + 1,2 \.
= i ..i.. (x2 + y2 + 1,2)-1/2+ j .1.. (x2 + y2 + 1,2)-1/2+ k ..i.. (x2 + y2+ Z2)-1/2=-
~ ~ &
= i { - t (x2 + y2 + Z2)-3/2 2x ) + j { - t (x2 + y2 + 1,2)-3/2 2y) +
- xi - yj - 1,k _ _ ~+k (-!(x2+y2+1,2)-3/221,) = (x2 + 112 +1,2)372- r~'
4. Mostrar que Vr" = nrn-2r.
Vr" ",; V (v' x~ + y2 + 1,2)" = V (x2 + y2 + z2)n/2 =
= i..i.. I(x2 + y2 + 1,2)n/2) + j ..i.. {(x2 + y2 + 1,2)n/2\ + k..i.. {(x2+y2+z2)n/2 ) •••
õ» ay az .
= i {; (X2+y2 + 1,2)n/2-12x } + j {; (x2 + y2+z2)n/2-12y } +
+k { ; (x2 + y2+ 1,2)n/2-12z } = .
- n (212 + II~+ z2)nl2-1 (xl + yj + zk) _
n (r2)"'I'lt M tlrn 'r,
86zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIAL
Note-se que se rzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= rrl, onde ri é um vetor unitário da direção r, teremos
Vrn =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAnrzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAn-1 ri'
5. Mostrar que Vcp é um vetor perpendicular à superfície cp (x, y, z) = c
onde c é uma constante.
Seja r = xi + yj + zk o vetor posição de um ponto qualquer P (x, y, z) da
superfície. Logo dr = dxi + dy j + dz k está situado no plano tangente à su-
perfície em P.
Mas
ôcp ôcp ôcp
dcp = - dx + - dy + - dz = Oõ» ôy ôz
ou
( ~:i + ~~ j + ~~ k ) . (dx,i + dy j + dz k) =0
isto é, Vcp . dr = O donde Vcp é perpendicular a dr e, portanto, à superfície.
6. Achar um unitário normal à superfície x2y + 2xz = 4 no ponto (2, - 2,3).
V(x2y + 2xz) = (2xy + 2z) i + x2 j + 2x k = -2i +4j + 4k no ponto (2,-2, 3).
Logo, um unitário normal à superfície é igual a:
l -2i + 4j + 4k 1. 2. 2
Ivl y(_2)2+ (4)2& = - 31 + 3) + "3k.
Outro unitário normal é ~ i - ~j - ~ k de sentido oposto ao do vetor
acima.
7. Achar a equação do plano tangente à superfície 2xz2 - 3xy - 4x = 7
no ponto (1, -1,2).
V (2xz2 _ 3xy - 4x) = (2z2 - 3y - 4) i - 3x j + 4xz k.
Logo, o vetor normal à superfície em (1, -1,2) é 7i - 3j + 8k.
A equação de um plano que passa por um ponto, cujo vetor posição é ro,
e é perpendicular ao vetor normal N é (r - rol . N = O (Veja Capo 2, Prob.Iê).
Logo, a equação plc'dida é: '
[(xi + y i + z k) - (i - j + 2k)] , (7i - 3j + 8k) = O
ou
7 (.r. _ I) - :1 (/I I· 1) -I-- R (~ - 2) - O.
11. HIIJI\ li' (,~, ,,, r) 1I 11. (,I' 1 /\~, 11 1 fI", • 1 /\.) /\M tllll\PM/II.\IJ'n~ 1\11\ dlll~
1',,,tllIll vl~I,,""~ 1,(,,/1,') I' CJ(' 1/\',11 I A/I,' I A,) 011\ 1111'/\ ""d/I IIIK1110, VII. li/I dlll\~II0 dt\MHII VloIol' 11111111, t"
GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 87
(c) Interpretar fisicamente a grandeza
!lcp cp (x + !lx, y + !ly, z + !lz) -~cp (x, y, z)
~= !ls
onde !ls é a distância entre os pontos P e Q,
(b) Calcular lim ~cp = ddCP e interpretâ-lo íísicamente.
~8->O us s
dcp dr
(c) Mostrar que -=VCP·-·
ds ds
(a) Como!lcp é a diferença das temperaturas entre os pontos P e Q e V8,
a distância entre êsses pontos ~~ representa a taxa de variação média da tempe-
ratura na direção PQ e no sentido de P a Q.
(b) Sabemos, do cálculo diferencial, que:
!lcp = ~: !lx+ ~~ !ly + ~~ !lz+ infinitésimos de ordem superior a tlx, !lyo !lI
Logo,
lim !lcp = lim ~ ~ + ôcp !ly + ~ ~
~8->o!ls ~s->O ô» !ls ôy tls ôz!ls
ou
..!!!t = ~ dx + ôcp dll +.2.1!... dz.
ds ôx ds ôy ds ôz ds
dcp d . - d I - à di â '
_ representa a taxa e variaçao a temperatura em re açao ist ncia ao
ds
ponto P sôbre a reta PQ, Essa expressão chama-se também derivada diri·
gida de cp,
•
(c)
~ = ~ !!=.. + ôcp dy +.2.1!... ~ =
ds õx ds ôy ds ôz ds
= ( ôcp i + ôcp • + ôcpzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAk ) , (dX i + dy • + ~ k )
ô» ôy ) ôz ds ds ) ds
dr
- Vcp . da'
t1r
NlltllHllltutl,OOll10, 1( H
d,'
11111 violo" 11,111111111 \I~. ,,~ (. 1\ 110mpOIlII" t ti dll
88zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIAL
9. Mostrar que a maior taxa de variação dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAcp, isto é, a derivada dirigida má-
xima, se verifica na direção do vetor Vcp, e tem grandeza igual ao módulo
dêsse vetor.
Pelo Problema 8zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(c), ~: = V cp. :: é a projeção de Vcp sôbre a direção
dr E . - á áxi d ..,A. dr . 'd' -dS"' sta projeçao ser m xima quan o V'Y e ds- tiverem a mesma ireçao.
Logo, o máximo de ~~ se verifica na direção de Vcp e sua grandeza é IVcpl .
10. Achar a derivada dirigida de cp = x2yz + 4xz2 em (I, - 2, -1) na di-
reção de 2i - j - 2k,
Vcp = V(x2yz + 4xz2) = (2xyz + 4Z2) i + x2z j + (x2y + 8xz) kzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=
= 8i - j - 10k a (1, -2, -1).
o vetor unitário na direção de 2i - j - 2k é:
a = 2i - j - 2·11: ' 2. 1. 2
V (2)2 + (_ 1)2+ ( _ 2)2 = 3" 1 - "3 J - "3 k.
Logo, a derivada dirigida é:
. '.. k) (2. 1 • 2 k) 16 1 20 37Vcp . a = (81- J -10 . -1 - - - J - = - + - + - = -3 3 3 3 3 3 3'
Como é positiva, cp aumenta nrssa direção. .
11. (a) Em que direç~o, a pytir do ponto (2, 1, -1) a derivada dirigi da
de cp = x2yz8 é máxima? (b) Qual é o valor absoluto dêsse máximo?
Vcp = V(x2yz3) = 2xyz3 i + x2Z3 j + 3x2yz2 k =
= -4i - 4j + 12k a (2,1, -1).
Logo, pelo Problema 9,
(a) a derivada dirigida é máxima na direção: Vcp = - 4I - 4j + 12k,
(b) o valor absolutodêsse máximo é: IV cp I = V (-4)2 + (-4)2+ (12)2
= V176 = 4vli.
12. Achar o ângulo entre as superfícies x2 + y2 + 212 .,. 9 e z = x2 + y2 - 3
no ponto (2, -1,2).
O ángulo formado pelns supcrííolo« 1\0 flonto dado 6 o ângulo formado pelas
normniM hll Ruporf{oioR no dito ponto.
,] lU vI,f,or uurmnl " (I om (2, •• 1, 2)
V"'I ••• , I 1 ~/I JzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1> :1 ." - 'lI 1 · tll.
GRADIENTE, DIVERGtNCIA E ROTACIONAL 89
Um normal a z = x2 + y2 - 3 ou x2 + y2 - Z = 3 em (2, -1,2) é:
VCP2= V (x2 + y2 - z) = 2xi + 2yj - k = 4i - 2j - k
(VcpI) . (Vcp2)= IVcpI! IVcp21 cos 8, onde 8 é o ângulo procurado. Logo,
(4i - 2j + 4k) . (4i - 2j - k) = 14i - 2j + 4k I 14i - 2j - k I C08 O
16 + 4 - 4 = V (4)2 + (_2)2 + (4)2 V (4)2 + (-2)2 + (-1)2 C08 O
. 16 8Vii
ecos 8 = --= = --3 - =0,5819; donde o ângulo é 8=arc cos 0,5819 =54025'.
6 V21 6
13. Se R fôr a distância de um ponto fixo A (a, b, c) a um ponto P (x, y, e)
qualquer, mostrar que VR é um vetor unitário na direção AP = R.
Se rA e rp forem os vetores posição ai + bj + ck e xi + yj - zk de A e P.
respectivamente, teremos R = rp - rA = (x - a) i + (y - b) j + (z-c) k, donde
R = ~)2 + (y - W + (z - c)2 . Logo,
VR = V (Vex - a)2 + (y - W + (z - c)2) = (x-a)i+(y-b)j+(z-c)k
V(x-a)2+(y-b)2 +(z-c)2
n.
ii
é um vetor unitário na direção R.
14. Se P fôr um ponto qualquer de uma elipse cujos focos estão nos pontos
A e B, como mostra a figura ao lado,
provar que as retas AP e BP fazem ân-
gulos iguais com a tangente à elipse
no ponto P.
Designemos por RI=AP e R2=BP
os ve tores traçados respectivamente dos
'focos A e B ao ponto P, e seja T um
unitário tangente à elipse no ponto P.
Coino a elipse é o lugar geométrico
dos pontos cuja soma das distâncias a
dois pontos fixos é uma constante P, a
equação da elipse é: RI + R2 = P.
Pelo Problema 5, V (RI + R2) é uma normal à elipsc, donde
[V (RI + R2)] • T= O ou (VR2)· T = - (VRl) . T.
Sendo VR1 e VR2 vetores unitários nas direções de Rl o Jt2, fORJ)()uLlvI\
mente, (Problema 13), o co-seno do ângulo entre VR2 e T 6 igual ao OO'HÜIl()do
ângulo entro VR1 o -Ti dondo, os IInglll08 silo igunis.
A iJ\t.OI'I)J'O(o.~·It() ffHion do pl'obl()ltl'~ ~ 1\ HI\KUIIl((\: OM1'11.10"hllllll\llHOH (011 01111,,"
Monol'IIM)nlllltldoH <!fl f()()o A, por 1i~llIllplo, qUlindo roflolldoll pliilll1l1PMlI, PII"~,\,.Il••
pulo rOflll /I •
90zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIAL
Divergência.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
15. SezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA=x2z i-2y3z2 j +xy2z k, achar V·A ou (div A) no ponto (1,-1,1).
v .A = (~i +~ j +~ k) • (x2z i - 2y3z2 j +xy2z k) =ax ay az
a a a
= - (x2z) + - (_2y3z2) + - (xy2Z) =
ax ay az
= 2xz - 6y2Z2+xy2 = 2 (1) (1) - 6 (-1)2 (1)2+ (1) (-1)2 = -3 em (1, -1,1).
16. Dado cf>= 2x3y2Z4.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(a) Achar V . Vcf> (ou div grad cf».
â2 âZ az(b) Mostrar que V . Vcf>=V2cf>, onde V2= iÚ2 + 7Jy2 + az2
designa o operador laplaceano,
(a) Vcf> = i ~ (2x3y2z4) + j ~ (2x3y2Z4) + k ~ (2x3y2Z4)
ax ay az
= 6x2y2z4 i + 4x3yz4 j + 8X3y2z3 k.
Logo, V . V cf>= ( ô_ i + ~ j + ~ k) . (6x2y2z4 i+4x3yz4 j +8x3y2z3 k =âx ay az
= ~ (6x2y2z4) + ~ (4x3yz4) + ~ (8X3y2Z3) =õ» ay âz
= 12xy2z4 + 4x3z4 + 24x3y2z2
"" (â. + e , â k) (acf>. âcf>. âcf>k)v'vcf>= -I -J+- . -I+-J+- =õx ây i)z õx i)y õe
\
= ~ ( ocf> ) +~ (~) +-L ( i)cf> ) = â2cf>+ i)2cf>+ â2cf>_
OX õ» i)y i)y õz ôe ax2 i)y2 i)z2-
(b)
( 02 â
2 02 )
- - + - + -- A. = V2 A.
ax2 Ol/2 i)z2 'I' '1'.
]7. Provar quo V2 ( + ) .. O.
v~( '.) " ( rJ
I n,. 0
2 Ol) ( , )• -1-- -_
a II~ iI.~ .y~~'1/I~ 'I ,'j
GRADIENTE, DIVERG~NCIA E ROTACIONAL
91
~ ( 1 )zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAâ
iJx V x2 + y2 +Z2 = ôx (x2 + y2 +Z2)-1/2 = -x (x2 + y2 +Z2)-3/2
iJ2 ( 1
iJx2 V x2 -.- y2 +Z2 ) = a: [-x (x2 + y2 +z2)~3/2J=
2X2 _ y2 _ z2
= 3x
2
(x
2
+ y2 +Z2)-6/2 - (x2 + y2 +Z2)~/2 = (x2 +y2 +Z2)6/2
Anàlogamente,
~ ( 1 ) 2y2 _ z2 _ x2 '
ây2 V x2 + y2 + z2 = (x2 + y2 + Z2)6/t e
~ ( 1 ) _ 2z2 _ x2 _ y2
i)z2 V,I;t + y2 + z2 - (x2 + y2 + Z2)6/l .
Logo, somando vem,
( a2 a
z
a
Z
) ( 1 ) = O.
fÚ2 + i)y2 + 7Jz2 V x2 + y2 +Z2
A equação V2cf>= O é chamada equação de Laplace. Segue-se que cf>= l/r
§ a solução dessa equação. '
18. Provar: (a) V . (A + B) = V . A + V . B /
(b) V . (cf>A) = (Vcf» . A + cf>(V· A) ./1
(a) Seja A = Ad +Azj +A3k, B = Bd +Bzj +B3k.
Logo V· (A + B) = (-i. i + ~ j + -i.k) .
' ax iJy az
• [(AI + BI) i + (A2 + B2)j + (A3 + B3k)J=
a iJ â
= ax (AI + BI) + ay (A2 + B2) + a; (A3 + B3) =
_ aA1 + a.12 + aAa + ~!]I
ax ali âz a,c
(JRg
(JI/
en,
'0;- -
( /)I 1 r?(I,n' ·'11/ r? )o. li • (.1 I I I~II) 1
92zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIAL GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 93
+ ( a: i + ~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAj + !k) . (B1i +zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAB2j + Bak) =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA21 . Um fluido escoa de modo que sua velocidade num ponto qualquer sejazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V (z, y, z). Mostrar que o ganho de fluido por unidade de volume por unidade
de tempo ao atravessar um paralelepípedo de centro em P (x, y, z) e arestas para-
lelas aos eixos coordenados e de comprimentos Dox, Doy, Do" respectivamente, é
dado por: div v = V' • v, aproximadamente.
=V'·A+V'·B
(b) V'. (r/>A)= V' . (r/>A1i+ r/>.'bj + r/>Aak)·=
a a a,
= a.c (r/>Al) + ay (r/>A2) + 7ii (r/>Aa)=
6y c
-!+ ;'~---v;.---;{ v_ /
;' , P(X.Y.l)/ ~
~ / 1--"- ~:v .c, H _
)L __:' ---) F" r
.,1---::-,--/---- _/
/ 6x ~6,/
B
= ~.~_ :til +' r/>aAI + at A2 ~ r/>aA2 + _ar/> Aa + r/> aA.3 ••.a <õ» jiy ay õs az
. /
= _até.AI + a;P A2 + ~ Aa + r/>( aAI + a.4.2 + aAa )ax ay az ax ay az
=. ( ~: i + ~: j' + ~: k ) . (Ali + A2j + Aak)' +
x
+ r/>( ;x i + ;y j + :z k) . (.4.Ii + A2j +Aak) . Da figura acima tiramos,
componente do vetor velocidade v na' direção x em P = VI;
= (V'r/» . A + r/>(V' . A).
componente de v na direção x, no centro de face AFED = VI - ~ ~~ 1:1 x
aproximadamente;
componente de v na direção x no centro de face GH CB = VI +! ~~1:1x
aproximadamente.
Logo, (1) volume do fluido que atravessa. AFED na unidade de tempo
19. Provar que: V'. ( 1~ ) = O.
.Façamos r/>= r-3 e A = r na solução do Problema 18 (b).
Então V'. (r-3 r) = (V'r-3) • r + (r-a) V' . r =
= -3r-5r . r + 3r-3 = 0, utilizando o Problema 4.
1 aVI
= (VI + - --1:1 x) l:1yI:1z2 õ »
,20. Provar que V' • (UV'V - V V'U) = U V2V - V V'2U.
Ternos, do Problema 18 (b), com r/>= U e A = V'V,
V' . (U V'V) = (V'U) . (V'V) + U (V' • V'V) = (V'U) . (V'V) + U V'2V
Trocando U e Ventre si, temos:
1/ ('111 /\,' /\/1 fi(1/1
(2) volume do fluido que atravessa GHCB na unidade de tempo =
. 1 aVI . A
= (VI +"2 ar: I:1x)l:1yu.z.
---- Ganho em volume na unidade de tempo na direção x = (2) - (1) =
allI A
= ~ Dox Doy L.lZ.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
uX
V' • (V V'U) = (V'V) . (V'U) + V V'2U.
11: subtraindo membro a membro:
V· (UVV) - V· (VV'U) - V· (UV'V - VV'
_ (V'U)' (VV) -I- UV~V - [(VV)' (VU) + VViU)_
IJ V~V ' , V V3(/.
Anàlogn.mento, ganho em volume na unld,\(\(l deI tClltlJlCl l1li cll'f\tJ/lC)
94zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIAL
GRADIENTE, - DIVERGtNCIA E ROTACIONAL 9(;
ganho em volume na unidade de tempo na direçãozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
ab3zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
z =TÂxÂYÂz.
24. Se A = x2y i - 2xz j + 2yz k, achar rot rot A.
rot rot A = V X (V X A)
Logo, o ganho total em volume na unidade de tempo por unidade de volume
é igual
( avi +. aV2 + aV3 ) Âx Ây Âz
ax ay az =divv = V .v.
= ÂXÂyÂzzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
j k
=VX ,~ a
~ I = V X [(2x + 2z) i - (x2 + 2z) k) _ax ay
x2y
-2xz 2yz
Essa expressão dá resultado exato somente no limite quando o paralelepí-
pedo se reduz ao ponto P, isto é, quando Âx, 6y e Âz tendem para zero. Se gão
há ganho de fluido em parte alguma, então V . v = O. Esta equação é chamada
de equação de continuidade de um fluido incorupressível. Como não se gera nem
se destrói fluido em ponto algum, diz-se que não há fontes ou poços. Um vetor
tal como v cuja divergência é zero é, às vêzes, chamado de solenoidal,
~' /.
i j k
a a aa; 7iY 's: I = (2x+2) j.
2x+2z o
- x2 - 2z
(:... , :lJJ~V)l-I- a.t.~J 1"/1'. :I; Idlll hlll (I,' ,I, I).
25. Provar que: (a) V X (A +B) = V X A + V X B 3
22. Déterminar a constante a para que o vetor
seja solenoidal,
v = (x + 3y),i + (y - 2z) j + (z + ax) (b) V X ~A) = (VcjJ) X A + cjJ (V XA) • 5
(a) Seja A = Ali + A2i + Aak, B = B1i + B2j + Bak. Então:
Um vetor V é solenoidal se sua divergência é zero (Problema 21).
a a a
V . V = 7h (x + 3y) + 7fY (y - 2z) +7h (z + ax) = 1 + 1 + a. V X (A + B) = ( -}; i + a~j + ~ k ) X
Logo, V . V = a + 2 = O quando a = - 2. X [(AI + Bl)i + (A2 + B2)j + (Aa + Ba) k)
Rotacional. i j k
a a aa; 7iY a;
AI +BJ A2 +B2 Aa +Ba
23. Se A = xzai-2x2yzj+2yz4k, achar VXA (ou rot A) no ponto (1, -1,1)'
V X A = ( a: i + a~ j + ~ k ) X (xza i - 2x2yzj + 2yz4 k) =
= [ a~ (Aa + B3) - ~ (A2 + Ii2) ] i+ [ ~ (AI + BI) - a: (Aa + Ba) ] J +
i j k
a a !j I + E a: (A2 + B2) - a~ (AI + BI) ] kéJ.c éJy = :~\ I 1
xza - 2x2yz 2yz4
------------
= [..Ê-. (2yz4) - ...i. ( - 2X2 yz) ] i + [ ...i. (xz3) - ..Ê-.(2yz4) ] j +
ay õz éJz õx
••• [aAa _ éJA2 ] i + [ aA1 _ aAa ] • -I- [jA2 _ aAI ] k +
~ ~ ~ ~) ~ ~
-I- [ ..Ê-. ( - 2x2yz) - ..Ê-. (xzS) J}, ...
ax &/1 + [-')TJ!. _ .lI&, ] i'l [,0."1O/I O. I), 011/1 ' IJ t'.," (/II~ _.OIlI,J k,I, - • 1I.~ Ov
v X A ,. V x 11.
\zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
96 ANÁLISE VETORIAL
GRADIENTE, DIVERGtNCIA E ROTACIONAL 97
ezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
ô ô . ôzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V . (A X r) = ôx (ZA2 - yAs) +zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA7iY(Axs - zA1) + Tz (yAl - XA2) =(b) V X (cf>A)= V X (cf>A1i+ cf>A2j + cf>Ask) =
j k
ô ô ô
ôx 7iY Tz
cf>A1 cf>A2 cf>As
= [:u (cf>As) - !(cf>A2) } + [ ;Z (cf>A1) - ;X (cf>As) ] j + = X ( ôAs _ ôA2 ) + y (~1 _ ô.1s ) + z ( ôA2 _ ôA1 ) =ôy az az ax õ» ay.
= [x i + y; + z k] X
ôA2 ôAs ôAs dAI aih dA2
..•z-- -y --+x ---z -- 'l-y---x-- =ôx dX dy dy õz dZ
. [ô ô ]+ ax (cf>A2) - ay (cf>A1) k =
X [ ( ôAs _ dA2 ) i + ( ~ - ~ ) . + ( ~ - ~) k] =
~ ~ ~ ~} ~ ~
= [cf> dA.s + dcf>As -cf> õA2 _ dcf>A2] i +
dy dy d~ õz
= r . (V X A) = r . rot A Se V X A = O a expressão achada se anula
também.+ [cf> õA1 + ôcf>AI - cf> õAs - õcf>As] j +
dZ ÕZ ÕX õx
27. Provar que (a) V X (Vcf» = O rot (grad cf>= O), (b) V· (V X A) = O
(div rot A = O).+ [cf> ÔA2 + õcf> A2 - cf> ÕA.1 - ôcf> AI] k =ÔX dX ay ay
. = cf>[ ( õAs _ dA2 ) i + (~_ ÕAs) • + (~- ÔAl ) kJ+
~ ~ k ~ J ~ ~
[ (
õ cf> Õcf». (Õcf> Õcf» •+ -As - -A2 1+ -AI - - A3 J +
ay dZ dZ ÔX
( dcf> dcf»]+ -A2 --AI kõ» dy
= cf>(V X A) +
(a) V X (Vcf» = V X (dcf> i + dcf> j + icf>_ k) =
õ» dy õz
j k
d a d
---rh ay "s:
dcf> acf> dcf>
'dx ay Tz
+ [ ..Ê... ( dcf> ) - ...Ê... (~) ] k =
dX dy dy dX
= [ ~ ( ~) _ ...Ê... ( dcf> ) ] i + [ ...Ê... ,( ~) - ..Ê... ( ôcf> ) ] j +
ôy ôz õz dy dZ õ» ôx az
i ; k
ôcf> dcf> dcf>
-ax- ay 7h
AI A2 As
- cf>(V X A) + (Vcf» X A.
(
d2cf> ô2cf» • (d2cf> d2cf» •
= ôy dZ - dZ dy 1+ ÕZ dX - ÕX ÕZ J +26. Calcular V • (A X r) sendo V X A = O.
Fllçamos: A - Ali + A2; + Aak, r - xi + yj + zk.
11:1\ t,/Io: A X r -
(,A.
----
j k
A) A2 A3
11 •
+(~-~)k-OÕX dy dY ÕX .
-
()onVIJl~() (\110 úOI\RidorOJ'l'lOBcf>como tendo (\ol'lv/\(hl. pIIII'I/lI/i (11\ ~\RlInda ordem
IIHIII,II\\IIIH IUlri\ (11111H(\lll III(}irlll'(lIIt,o ,\ 01'(\0111 d(l d.,dvllcn",
/I In) I I (IDA n - "I,) J I (/I A I A.) 4 ,r
98zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIALzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
j k
V·(V X A) = V .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe d d'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(b) I dX dy dZ
Ai A2 A3
.,. V' [ ( dA3 _ dA2 ) i + (_ÔAI _ ~) j + (i!& - ~)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAk J =dy dZ dZ dX dX dy
= ~ ( dA3 _ d A2 ) + ~ ( dAI _ dA3 ) + ~ ( dA2 _ dAI )
õ» dy dZ dy dZ dX dZ dX dy
= d2A3 _ d2A2 + d2Al _ d2Aa + o2A2 _ d2Al = O
ÔX dy dX oz dy õz oy ox dZ dX az oy
considerando que A tenha as segundas derivadas parciais contínuas.
Note-se a semelhança entre as relações acima e as seguintes: (C X em) =
_ (e X e) m = O, onde m é um escalar e e . (e x A) = (e x e) . A= O.
o •
28. Achar rot (r j (r) ) onde j (r) é derivável.
rot (r j (r» = V X (ri (r» =
= V X (xj(r) i +yj(r); +zj(r)k) =
j k
o azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd
dX ay 7h
xj(r) yj(r) zj(r)
..• (z jL - y .Ê.L) i + (x.Ê.L - z jL ) j + (y jL - x .Ê.L) k.
dy dZ dZ õe õ» dy
Mas lL ...(jL) (~) = lL ~ (...;x2 + y2 + Z2) ==
õ» ar ôx õr ilx
l' (r) x t' x
ai~+ y2 + z;;: - -;:- . Anàlogamente,
ai _Ü e
ay - r
dj _ 1'z~
7h - r .
Logo, rot (r i (r) -
( I~' '. )71 'r· I 1 (~I:.!.-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA.12 .. ) J l- (7'12.. - aiDL) )(- O.r ,. r r
/
J , AIII~) ,
GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 99
29. Provar que: V X (V X A) = - V2A + V(V . A).
j k
a d Ô
V X (V X A) = V X I dX dy 7h
AI A2 A3
= V X [ ( dA 3 _ aA2 ) i + (~_ OA3 ) • + ( ÔA2 - o ÔAl ) kJ
o ~ ~ ~ & J & ~
j k
d Ô Ô
dX 7iY dZ o
ÔA3 dA2 ôA1 ôAa dA3 ÔAl
7iY - 7h' 7h' - a;- o ôx - ay
= [ s. (~ _~) _s. ( dAI _ ôAa ) ] i+
õu ôx dy dZ ÔZ õx
+ [ s. (~ _j.A2 ) _ ». ( dA2 _ dAI) ] • +
ôz dy oz ã» dX ôy J
+ [ ~ ( ~~ _ ~) _ ~ ( dAa _ dA2 ) ] k +
ôx dz dX ôy ôy dZ
= (_ ô2Al _ d2Al) i + (_ ô2A2 _ d2A2) • + ( _ ô2Aa _ Ô2Aa) k +
ôy2 dZ2 dz2 dX2 J ôx2 ôy2
+ ( ô2A2 + ô2A.a ) i + (d2Aa + d2Al ) • + ( Ô2Al + Ô2A2) k=
dy ÔX o dZ õ» ôz dy õ» oy J dX ÔZ dy dZ
_ ( _ iJ2AI _ d2Al _ d2Al) i + (_ Ô2~ _ o2A2 _ ô2A2 ) • +
- ÔX2 oy2 dz2. dX2 ôy2 dZ2 J
+ (_ d2Aa _ ô2Aa _ ,?2Aa) k + ( d2Al + o2A2 + d2Aa ) i +
dX2 dy2 dz2 dX2 oy õ» õz ô»
t ( d2Al + ô2A2 + o2Aa ). + ( d2AI + d2A2 + d2Aa) k _
ôx ôy ôy2 dtJ ôy J ox ÔZ ôy oz dZ2
( ()~ IP ()~ ){).ll~' ,- oi I- {I.i (11 li -l
100zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIALzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
+ i..i.. (zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAéJA1 + éJA2 + aA3 ) + .s: ( éJA1 + aA2 + éJ.~) +
éJx éJx éJy éJz J éJy .éJx éJ.lI éJz
+ k..i.. (}A1 + éJA2 + éJA3 ) =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
õz õz éJy éJz
= _ V2A + V ( éJA1 + éJA2 + aA3 )
õ» éJy ôe
= - V2A + V (V . A).
Caso se queira, pode-se simplificar esta e outras operações de derivação escre-
vendo-se sõmente as componentes de i, já que as outras podem ser obtidas por
simetria.
Essa relação pode também ser estabclecida formalmente como segue:
Do Problema 47 (a), Capítulo 2,
(1) A X (B X C) = B (A . C) - (A . B) C
Fazendo A = B = V e C= F, vem:
V X (V X F) = V (V . Fi - (V . V) F = V (V . F) - V2F
Note-se que a fórmula (1) deve ser escrita de modo que os operadores A e B
precedam o operando C, do contrário não se pode aplicar o método convencional.
30. Se v = '" X r, provar que 6)= ! rot v onde 6) é um vetor constante.
j k
rot v = V X v = V X (6) X r) = V X W1 W2 W3
x y z
= V X [(W2Z - W3Y) i + (wax - W1Z)j + (W1Y - W2X) k]
i j k
éJ éJ éJ
éJx éJy a;;
W2Z - W3Y wax - W1Z W1Y - W2X
= 2 (W1i + W2j + wak) = 2W.
Donde", =! V X v = !rot v.
II
~
]'bste problem:a indica que o rotacional de um campovetorial tem algo a ver
com as propriedades rotacionais do campo. Isto se confirma no capítulo 6. Se
o campo F é o devido a um fluido em movimento, por exemplo, uma roda de pás
colocada em diferentes pontos do campo tenderia n. girar om roglOea ondo U"'ÓA-
semoa rot F "" O, no pn.AAO que, onde rot F - 00111. não l(iJ'I\l'lI\, o o Iltl.lllpO F ó ,Jlto
irrotaci07lal, Um Ol\ffiJ)O /11t~ h·!·o tllnloJl 1\1 fi, i\H vll:ll(\H, Ilh'LJlI'II!O d" "(1111710 t/lr/I/'
llwllltdo,
u,
UJ
C,,)
«
r
<CzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
oZ
<!
<tn=
c..J U.
I.J.J
I-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
0J
....J
CQ
-CC
GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL IOl
éJH aE
31. Sendo V· E = 0, V . H = 0, V X E = - Te' V X H = -aí '
azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2u
mostrar que E e H satisfazem V2 u = iiiF'
( éJH ) éJ a ( aE )V X (V X E) = V X - 7it = - 7ii (V X H.l = - at 7it O~I~
- - - Ot~
Pelo Problema 29,
éJ2E
V X (V X E) = - V~ + V (V . E) = - V2E. Logo V2E = éJt2 •
Anàlogamente,
( aE ) a a ( éJH ) a~nV X (V X H) = V X - = - (V X E) = - - - - - - ,
at at éJt éJt at~
, 0'11
Mas V X (V X H) = - V"H + V (V-H) = - V2.H. Donde V2H_ - ü,~ ,
As equações dadas relacionam-se com as equações de M axwell da teoria ~lall'll
magnética.
éJ2u éJ2u éJ2u éJ2u
A equação -éJ2 + -éJ 2 + -éJ 2 = -éJ 2 chama-se equação de onda.
x Y z t
PROBLEMAS DIVERSOS
32. (a) Diz-se que um vetor V é irrotacional quando rot V - O (Vtlj,\ 1'1'11
blema 30). Achar as constantes a, b, c, de modo que:
V = (x + 2y + az) i + (bx - 3y - z) j + (4x + cy + 21) k
seja irrotacional.
(b) Mostrar que V pode ser expresso como o gradiente do uma fUllllltllll"mdM',
j )(
(a) rot V = V X V = I a éJ oéJx éJy Õ~
x+2y+az bx-31,rl-z 4»+1'11 12.
- (0+1) i + (a-4) j -I- (b-2) 1,
1~6S~ expro88lto Ó null\ qunndo a • 11., I1 - 2, o - •• 1 li
VII (.n I'~l/ 1./1,) l I· (' :I" .- .); 1 (d. 1/ 1 ~.) I,
{lll' I 1 {I/I,
ti, {lu
iltl· I.
{1M(h) 1,1,'~1\1I10~ V·, V'I>
3y2
j (y,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAz)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= - 2 +zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZ2, x2 • 2g (X z) - - + Z2 h ( ) x- 3y
, - 2 ' x, Y = - - -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2 2
GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 103102 ANÁLISE VETORIAL
a~ a~
Logo, (1) 7ft = x + 2y + 4z, (2) 7iY = 2x - 3 y - z,
(3) ~=4x-y+2Z.
az
V'B = ( !i + :y j + :z k ) (Bl i + B2 j + Bak) =
aBl •. + aB2 •• + aBa ik +
= ax 11 -----a;- I} ax 1
Integrando parcialmente (1) em relação a x, mantendo y e z constantes, vem + aBl 'i + aB2 .•• + aBa 'k +s:: ay}} ay}
(4) x
2
~ =2 + 2xy + 4xz +J (y, z) + aBl ki +YJ!.~k' + aBa kk. +
ay az} õe
onde j (y, z) é uma função arbitrária de ye z. Anàlogamente de (2) e (3) obtemos As grandezas ii, ij, etc., chamam-se diadas unitárias. (Note-se que ij, por
exemplo, não é a mesma coisa que ji). Uma grandeza da forma:
(5) 3y2
~ = 2xy - 2 - yz + g (x, z) anii + a12ij + a13ik + a2âi + a22jj + a23jk + a3lki + a32kj + a33kk
(6)
chama-se diádica e .os coeficientes an, a12, .,. são suas componentes. DI~p(lU-
do-se essas noves componentes da seguinte maneira:
~ = 4xz - yz + Z2 + h (x, y).
an a12 a13 )Comparando as equações (4), (5) e (6), verificamos que haverá uma expressãocomum para ~ se escolhermos. ( a2l a22 a23
a3l a32 csa
x2 3y2
~ =2 -2 + Z2 + 2xy + 4xz - yz.
temos uma matriz 3 por 3. Uma diática é uma generalização do um velLor.
Uma generalização ainda mais ampla nos conduz às triádicas que são grluHIClrIlI"
com 27 têrmos da forma alll iii + a211jii + ... , O estudo da tranMfOl'nl,\<)/lo
das componentes de uma diádica ou triádica de um sistema de coordenndus P'I"II
outro é assunto da análise tensorial de que trataremos no Capítulo 8.
35. Sejam um vetor A, definido por: A = Ali + A2i + Aak, O UI11I\ dltt
dica <1>, por:
e assim
Note-se que podemos também somar uma constante qualquer a ~. Em
geral, se V' X V = O, podemos achar ~ de modo que tenhamos V = V'rjJ. Um
campo vetorial V, que pode ser deduzido de um campo escalar ~ de modo a se
ter V - V'rjJ é chamado de campo vetorial conseroatioo e diz-se que ~ é o poten-
ial. e8calar. Note-se que, reciprocamente, se tivermos V = V'~, teremos
V' X V - O (veja o Problema 27 (a).
33. Mostrar que so rjJ (z, 1/, z) 6 uma solução da equação de Laplace, V'rjJ.
6 Um votor que 6 11.0moamo tempo solonoidal e irrotacional, ~
POr hlpótoAO, rjJ Al1.tiRf,\z 11.cqunção do Laplaco V'2 rjJ- O, isto 6, V' . (V'rjJ)-O.
l.OI(l V'<p <1 6010Mld,\1 (veJn OMProblemas 21 o 22).
D(I ProJ.lnm,\ 27 (I') t()mOR: V' X (V'~)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA-O uonda V'~ 6 uunbõm irrol.noi()JlI1.I.
:t4. Ilm' 11111,\ dllflulC/lo pl1MMfv(\1(1(1 1(I'/\(1 11,
1"/1,,'/1,111," 1\ ri n, I I If~ J I 11,1J" <!OIlVIIUlllo/lIIIIIIClllttl JlOilll'""~ .h'{llIlr
1/\/1 1\ 111111 10:
<I> ~ allii + a12ij + a13ik + a2ôi + a22jj + a2ajk + a31ki + 1l32kj -I- 1~3:I)d\ ,
Dar uma definição possível p~ra A . <1>.
Pelo mó todo convencional, fazendo a hipótese de que n lei diAtl'ihuLivl\ ~ vl1.
lida, temos:
A • <I> - (Ali + A2j + A ak) • <1> '- A li ' <I> -I- A 2) . <Il + A ol( • \lI.
(l1l'IO exemplo, ccnslderemoa i .111. WOtUI1.-MO OA(,OJ}l"ouuto r/~~()lldo,~u (I
produLoH CROl1.Iflr08 do i com tOclOA08 tOl"rn08do ÇIJO IiOIY1'lIl(lo-HÜ OH l'II"\lI('Hlo~.
Hno IlxoffiploA L!ploos: i ' (l,nil, i ' (11~jJ,i ' (l,~ljl, i ' anQl\), (11". l'iH(\,'uWllcI" fI"~".
1I1'llIhd,OMtio UI,\lIo!t'n m,IIMIlollv{)lIlon(,tI, VOl'ifl(lILlll"~ qu/):
I . 1",11 •..• ('1' (I . 1)1 •.• (,,,I "olH I· I
I '1II'llJ H "'~ (I • IlJ H (IIV pol" I ,I
I • "u,1I •• /I'll (I • 1)1 H li II"I~ I· I •••I)
• /I~.ll) •• /llI (I • fi li ••li PIO'" I· li - li
I(HzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIAL
UhUlrlil'OrnOIl 1I conolusõca análogas para os têrmos de j . cf> e kcf>, logo:
A . (li -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAAI (aui +al2j +a13k) + A2 (a21i+a22j +a23k) + Aa (a3li+aa2j +uaak) =
- (Alau + A2a21 + Aau3l)i + (Ala12+ A2a22 + Aaaa2)j+
+ (Awla + A2a2a + Aaaaa)k
11110 <1 UrH votor,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
36. (a) Intorpretar o símbolo A . \7. (b) Dar uma significação possível
du (A . \7) 8. (c).l!; possível escrever-se a expressão anterior assim A . \7B sem
IHIHM ambigUidado?
(a) Sejo. A ••• Ali + A2j + A3k. Então podemos, seguindo a marcha eon-
venclonnl, escrever:
A . \7 = (Aâ + Ad + A3k)· (;x i + ;y j + !k)
d d à
= AI - + A2 - + Aa-àx ày àz
1(110 <1 um operador. Assim, por exemplo:
(a. à à ) àfjJ àfjJ àfjJ(A·\7)fjJ- Ill-+A2-+A3- fjJ=A1-+A2-+Aa-à.c ,. ày àz ' àx ày õz
N oto-ao quo osso. expressão é a mesma que A . \7 fjJ.
(I) Da mesma forma, empregando o resultado de (a), substituindo-se fjJ
O - lJ(i + B2j + Bak, temos.PI)I'
(à à à ) an àB àB(A· \7)B - Al!\ +A2-à +A3-à B = AI-à +A2-à
+Aa-
à
=
' V.C Y z x y z
- (0'\1 ~~l + A 2~:1.+ A3 ~~l ) i + (AI ~!2+ A2 '~~2+ Aa~~2 ) j +
+ (AI àBa +A2 àBa +A3 àBa..)k.
dX àu àz
(r') Tornando o. interprotação do \7B dado no Problema 34, ternos, de acôrdo
111111\ o ~lrl\hull~mo cstnbclecido no Problema 35.
A· Vn - (Ali +/J~j + Aa)t) . \78 - Ali· \7B +A2j· \7B +Aak. \7B=
I (0111 i I- ()/J~. ,• .8IJ:L)() +11 (d~i + ee«. +~k)~
I O,/, 0.0) a.c 2 âlJ dlJ) âlJ
,\ ( (II!J.., % ()II~ ) , O,lIu IC)
a O, 1), ü.
ORAD1KN'I'J~, DlVERoftNorA 11: ROTACIONAL J()f)
cujo resultado é o mesmo do item (b). Por conseguinte (A· \7) B - A . vn
sem ambigüidade contanto que se introduzam os conceitos de diádioas udequn-
damente, conforme indicado.
57. Sendo A = 2yzi - x2yj + xz2k, B •••x2i + yzj - xyk e fjJ - 2.c21Jt.3,
achar (a) (A . V) fjJ, (b) A . V fjJ, (c) (B . V) A, (d) (A X V) fjJ, (e) A X VfjJ.
(a) (A · 'V)fjJ = [ (2yzi _x2yj + xz2k)· ( :x i + :y j + :z k ) ] fjJ -
= (2yz..i. - x2y ~ + xz2 ~)(2x2yza) =
àx dy àz
= 2yz ~ (2x2yz8) - x2y ~ (2x2yz3) + xz2 ~ (2x2yza) -àx ày õz
= (2yz) (4xyz3) - (x2y) (2x2z8) + (xz2) (6x2yz2) =
= 8xy2z4 - 2x4yz3 + 6x3yz4 •
(b) A·VfjJ = (2yzi _x2yj +xz2k)· (~: i + ~tj + ~: k)
~ (2yz i - x2y j + xz2 k) . (4xyz3 i + 2X2Z3 j + 6x2yz2 k)
= 8xy2z4 - 2x4yz3 + 6x3yz4.
Comparando com (a) verificamos a relação (A . V)fjJ = A . VfjJ.
(c) (B· V) A = [ (x2 i + yz j + xy k) . (~i + ~ j + ~ k) ] A -OX ày àz
(
à, o à ) • àA àA oA
- x2- +yz-' - xlJ- A = X" - +yz- - xy--àx oy OZ àx ày <Jz
_ x2 (-2xlJ j + z2k) + y" (21, i + x2j) - xy (2y i + 2.~zk) -
_ (21/,2 - 2xy2) i - (2x3/J + x211Z)j + (x2z2 - 2x2yz) k.
1nmpnrO"60 ÔHLo resultado com B . VA, <to Problema 30 (e).
(ti) (A X V)t/J - [ (2yz i - ~~IJ j .~ k) X (~ i +~ j + J!... k) ] t/Jõ» 011 (Jz
q:
1(
tr.'11
)
I/li
11
'/zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1/,
)
'/
108zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETOHIAL
() ~ímhol(lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAOmn é chamado de símbolo de Kronecker.
41. t3e cf>zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(x, 1/, c) é uma invariante escalar sob uma rotação de eixos, provar
q\l(' !(r:td cf> é um vetor invariante sob a dita transformação.
Por hlpótese temos cf>(x, y, z) = cf>' (x', u', z'). Para demonstrar o que foi
pedido devemos provar que
acf> i + acf> • + ~ k = acf>'i' + acf>'., + acf>'k'
õ» ay ) az ê x' ay' ) az' .
Empregando as regras das derivadas parciais e as equações de transfOl'lna-
<;:10 (:{) (\0 Problema ~8, t~mo~:
acf> acf>' ax' acf>' a!J' acf>' az' acf>' acf>' acf>'
-a- = -a r -a + -a' -a + -a' -a = -a ' 111 + -a ' 121+ -a ' 131
l; x x !J x Z :c z Y z
acf> acf>' ax' acf>' ay' acf>' õe' acf>' acf>' acf>'
___ = __ + __ + __ =_h2+-120+-ls2
ali al;' a!J ay' ay az' a!J ax' ay' - õz'
acf> acf>' ax' acf>' ay' acf>' õz' acf>' (W acf>'
'a = -a' -a + ~ ,,- + -a' -a = !>I 113+ -a ' 123+ -a ' 13~ .
Z x z uy oz z z. oz Y .- z .
Multiplicando ambos os membros dessas equações por i, j, k respectiva-
ffiC'lIlp, Romando membro a membro e utilizando o resultado do Problema :W,
('\I\{I/;"rt'mo~à igualdade acima.
PROBLEMAS PROPOSTOSzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
. ~ U ~
.,. 42. Se cf>= 2:cz~ - x2y, achar Vcf> e \Vcf>\ no ponto (2, -2, -1).
Iiesp, _10i - clj - 16k, 2 ...; \):3,
43. Se A = 2x2 i-3!Jzj + xz2 k e cf>=21, - x3!J, achar A· Vcf> (' A X Vcf>
IIn 11(11110 (I, -1,1). Resp. 5, 7i - j - 1lk.
44. Se P = x2z + eV/x e a = 2Z2!J- xy2, achar (a) V (li' + a) c
(I) V (/"0) 110 pon to (J, O, -2).
45. AchA\': V\r\3.
Resp. (a) - 4i + 9j + k, (/I):-:-f;'
Resp. 3rr.
"li.
Provür (\U<1: "í/J(I'). }'(r) r •
r
17. UIIIII\lI,II' "í/ (a,,' (\ )
1 .;" I .11 ".' 'I/~' ~" 7/n) r.
V \:.ll"I/I'H /', (I
"li. H,. '1/11 i",1 r, 'lI'hlli' (', /,"'H/' I n/:\ I 111111\ '\IIII~IIlIIII"
GRADIEN'rE, DlYERGÊKCIA E ROTACIONAL ]09
~ Achar cf>(r)de modo que Vcf> = -7i- c cf>(ll = o.
Resp "/"11'\; = 1- (1 - .~) .
- • '1-', :3 _ 1'0
~ Achar \7t/; onde t/; = (x2 + 1/ + Z2)e - v~ .
Resp, (2 - r) e-r r.
51. Se "í/cf>= 2.tyz~i+ X2Z3 j + :~x2yz2k, achar cf>(x,1/, z) se cf>(l, -2,2) =4.
Resp, cf>= X2yz3 + 20.
r;
52. Se Vt/; = (!J2- 2X!!Z3)i + (:3+ 2.ty - X2z3) j + (liz3 - :3x2yz2)k, achar t/;.
Resp, t/; = Xl-X21/Z3+~!!+(:{!2)Z4 + uma constante.
53. Se U é uma função diferenciável de x, y, z, provar que \'U . dr=dU.
'54. Se li é uma função diferenciável de x, 1/,z, t onde x, y, z são Iunções
diícrenciâveis de t provar que
, dr
riP - ~ + \7.F . di .di - at
55. Se A 6 um vetor eonstante provar que \7 (r . A) = A.
56. Se A (z , y, z) = Ai i + A2 j + A3 k, mostrar '1U(~
dA = ("í/ Ai' dr) i + VA 2 • dr) j + ("í/ A 3 . rir) k.
(
P) 0\7F - li"í/o
57. Provar que "í/ -O = 02 se a ;;<' o.
5;;:' Achar um vetor unitário perpendicular à supcrffcie da paraho!úidc de
revolução z = x2 + y2 no ponto (l , 2, 5).
Resp.
2i + -lj - k
± "';21
\
59. Achar o unitário normal exterior à superfíeie (:r - 1)2 + y2 + (z +2)2 = !)
no ponto (3,1, -4),
I Ree». (2i + j - 2k)/:3.
60. Achar a equação do plano tangente à RupPI'f(pi(' :cz2 + Xt!l ~ z - J no
ponLo (I, - :3,2).
Res p, 2.e - 11 - :Iz + \ - Q.
61. A(IIII\I' AA (\(lUItÇ!\(lA do plllllll 111111/;(',1\(' (' ti" 1'('\11 lIol'nl,d ,\ ~\lp{\),rr('i('
:t~'1'112 no punl,o (2,· 1,1i).
1\
I
11 I I 1111
/(I'HI', Ir
""
~/ I '~, /I "I I,. 111 ••
x..zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
106
ANÁLISE VETORIAL
GRADIENTE, DIYERGÊNCIA E ROTAOIONALzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA10
= [i(_zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx2y ~ - xz2 ~) + j (XZ2 ~ - 2yz ~) +iJz iJy ô» õz
+ k (2YzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZ ~ + x2y ~) ] ej> =iJy iJx
(
2 iJej> o iJej» • (O iJej> 'iJej» •
_ X Y - + xz- - 1 + XZ- - - 2yz - } +iJz iJy ô» iJz
(
. iJej> iJej»
+ 2yz-- +X2y - k =iJy õ»
_ (6X4y2z2 + ~x3Z6) i + (4x2yz6 _ 12x2y2z3) j + (4x2yz4 + 4x3y2Z3) k
(e) A X Vej> = (2yzi _x2yj +xz2k) X ( ~: +i ~~ j + ~~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAk )
j k
2yz _ x2y , xz2
iJej> iJej> iJej>
Tx Tu a;.
Logo, fazendo A = i, j, k, sucessivamente, temos:
t
i =(i . i') i' + (i.j')j'+(i.k')k' = 111i' +L2Ii' + 1:11k'
(2) j = (j . i') i' + (j . j') j' + (j . k') k' = 112 i' + l22 i' + i:J~k'
k = (k . i') i' + (k . j') j' + (k . k') k' = 113 i' + l2a j' + l!l~I~'.
Levando os valores de i, j, k das equações (2) na equação (1), O IKultlJllld
os coeficientes de i' j' e k' encontramos:
(:1) x' = lux + h2X + 113Z, y' = bx + 122!J + l2sz z', - 1:II.t + I!I~I/ I 101
que são as equações de transformação pedidas':
39. Provar que: i' = lu i + 112 j + 113 k
j' =12Ii+bj+123k
k' = 131i + 1:32j + la3k.
Para um vetor qualquer A temos: A = (A . i) j + (A . j) J + (A . k) k.
Logo, fazendo A = i', j', k', sucessivamente, temos:
i' = (i' . i) i + (i' . j )j + (i'· k) k = lu i + Ild + lia k
j' = (j' . i) i + (j' . j) j + (j' . k) k = 12tÍ + 12d + 123 k
k' = (k' . i)i + (k' . j) j + (k' . k) k = 13d + 13d + 13:1k
3
40. "Provar que ~ Ipmlpn = 1 se m = n, e O se m ré n, onde li! (' n Plllh'il1
p=l
1,~8umir quaisquer dos valores 1, 2, 3.
])[18 equações (2) do Problema 38, temos:
i .i = 1 = (/u i' + 12d' + 131k') . (/11i' + 121 ;' + 1':11k') -
= lil+ l~l+ I~l
i .j = O = (lu i' + 121j' + 1:11k') . (/12 i' + 12~J' + 132k') -
= lllh2 + 121122+ 1311a2,
i .k _ O - (lu i' + 121j' + 131 k') . (/1:3j' + 123)' + 133 k') -
- lllha + 121123 + lal1as
Hornl1ndo membro 11 membro ()ho~aromoA JI" 1'<lHultlldndOR('jado p/\m 111- 1..
F,\~ondO 11 lMHm/\ OI1UAI1para j . i, j . ;, ; . li. k . i, k . ), o k . le, dOnl(HlHLrll-
l'(\InOR tI 1~\ll1ld/\do ptll'll. 111 - 2 o 1/1 - :1.
1,'"r,4111110 n"/,,
\
IMOm_n
li MlI /lI I'" 11
II IKIIJlIiIi\dn))Odll ~M l\HlII'It4~d/I
11
rlllll"I ~ ~ 11"" 11'" H bnw
1".\
i\KUlllt
(
o iJej> 2 iJej> ) .- + ( o iJej> 2 .iJej> ) • +
_ X"y - - xz - 1 XZ- - - yz -- }
iJz iJy ,iJx iJz
(
iJej> 'iJej> )
+ 2yz- +X2y- k =iJy iJx
__ (Ox4y2z2 + 2x3zó) i + (4x2yz6 - 12x2y2z3) j + (4x2yz4 + 4x3y2Z3) k.
Comparando com (d) verificamos que: (A X V) ej>= A X Vej>,
ln variân cia .
38. Doia sistemas de coordenadas retangulares x, y, z e x', y', z' tendo a
1rI(IHJ)I/~ ol'ÍK\lU'l girllffi um em relação ao outro, Deduzir I1Sequações de trans-
l()rJl\I~QJt() du8 ooordenadl1s de um ponto nos dois sisteml1s.
AI'ljl\ffi r O 1:' os vctorea posição do um ponto qualquer P nos dois 8istemaa
(Vi,J\~ Il. flp;url\ dl\ pt\glnlt 82. Logo, como r - 1",
(I) I i' + V' j' + z' k' - !li i + V; + % k.
1':111110, plll'li 11111 v(lLor q\lI\lllllllr A, LOJMH (Prohh\lr\11 20, GI~p(t.ulo 2),
A •.• (A·I')I' I (i\·J')J"1 (A· \t') \.'.
110 AN •.\.LISE VETORIAL
GRADIENTE, DIVERGÊXCIA E RO'l'ACIONALzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA11162. Achar a derivada dirigida dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAepzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 4xz3 - 3x2y2z em (2, -1,2) na di-
roção 2i - aj + 6k.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Resp. 376/7.
6:). Achar a derivada dirigida de P = 4e2x-y+z no ponto (1,1,-1) e na
direção dêste para o ponto (-3; 5, 6).
Resp. -20/1}.
64. Em que direção a partir do ponto (1,2, 3) a derivada dirigida de
ep = 2.1'z - y2 é máxima? Qual é o valor absoluto dêsse máximo?
Resp. Na direção do ve tor 4i - 6j + 2k, 2V4.
65. Achar os valores das constantes a, b e c de modo que a derivada' diri-
gida de ep = ax1l' + byz + CZ2X3 em (1,2, -1) tenha um máximo de módulo
igual a 64 na direção paralela ao eixo dos z:
Resp. a = 6, b = 24 e c = -8.
\"o
'\ . . I-- :t:.-'j
7~ Se A = 3xyz2 i + 2xY3j - x2yz k e' ep = 3x2 - yz, achar (a) V· A,
(b) A· Vep, (c) V· (epA), (d) V· (Vep), no ponto (1, -I, n,
Resp. (a)~(b) -15,~, (d) 6,' .
'.:-. 71. Calcular div (2x2z i - xy2z j + 3yz2 k).
Resp. 4xz - 2xyz + 6yz.
" 72. Se ep = 3x2z - y2z3 + 4x3y,+ 2x - 3y - 5, aehar V2 ep.
Resp. 6z + 24xy - 2Z3 - 6y2Z.
73. Calcular V2 (ln r).
Resp. 1/1'2.
74. Provar que V2 rn = n (n + 1) rn-2 onde n é uma constante.
_. 75. Se F = (3x2y - z) i + (xz3 + y4) j - 2x3Z2 k, achar V(V,' ~) 110 )10111"
(2, -1, O).
Resp. -6i +2~j - 32k.
66. Achar o
3.r2 - y2 + 2z = 1
ângulo agudo formado pelas superfícies x!iz = 3r + z2 e
no ponto (l, -2,1).
- - V6
are eos:l Iv 14· V21 = are cos 14 = 7\)°55'.
76. Se CIO é um vetor constante e v = CIO X r, provar que div v = O.
77. Provar que V2 (ep"') = epV2 '" + 2Vep . V'" + "'V2ep.
78. Se U = 3x2y; V = xz2 - 2y calcular grad [(grad U) . (grad 1')J .
Resp. (6yz2- 12x) i + 6xz2 j + 12xyz k.
79. Calcular V . (r3r).
Resp. 61'3.
80. Calcular V . [I·V (1/1'3)].
Resp. 31'-4.
81. Calcular V2 [V . (r/r2)] •
Resp. 21'-4.
Resp.
67. Achar as constantes a e b de' tal modo que a superfície ax2 - byz =
= (a + 2) x, seja a superfície 4x2y + Z3 = 4 no ponto (1, -1,2).
Resp, a = 5/2, b = I:
68. (a) Se 1t e v forem funções deriváve is de x, y, e z, mostrar que a con-
uir,iio necessária e suficiente para que u e v sejam ligados funcionalmente pela
l'qull<;lio P («, v) = O é que Vu X Vv = O.
(b) Determinar se 1/ = are tg r + are tg y e v = IX + 11 estão ligados
- xy
ali aJ/.
a.~ aI/
. f)V f)v
N/'H/I. (11) I "8,;:- ã,i
n/I' n/li
11,1 .1/1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
au
a;
f)v
()c
86. Achar 1\ função diforcnciãvel mais 11;(';'111J ('I') do modo ql1<l J (,.) r
solenoidal.
'11'
Iuneionnlmentc,
liesp, (b) f'im (v = tg 11) •.
69. (a) Mostrar que 11 condição nccessãriu e suficiente para que 1~ (x, y, z),
• v (,r, 11, z) e 10 (x, y, z) pstejam. ligados funcionalmente pela equação F (u, v, w) = O
6 qut- '\lu . Vv X Vw = O.
(11) Jo::,pl'imir Vu . VI' X Vw em forma de um determinante. Êsse deter-
minnut« é dito () j:t('ohiallo de 11, v, w em relação a·x, y, z c se designa por
f) fl/,V, 1/1) l(lI,V.'lI')
_.l: - ou. --- .
a (.t, 1/, z) .r, 11, z
«(.) Det ermiruu' H(' '/I = .r + li + z, v = x~ + y2 + z~ e 1(' = xy + yz + ZX
('~II'o lill;lIdoHfUIl('iolllllm('nf,'.
82. Se A = r/r, achar grad div A.
Resp. -21'-3 r.
. . d2j 2
83. (a) Provar que V2 j (r) = -d. +-r" r
V2 j (r) = O.
.!!L
dr .
(b) Aehlll' J (r) \,111 11''''
\~ I
Resp. j (r) = A + Blr ondeyí e B são con~\tLlIll'lj Ill'bnl'l\"'II".
(c) I-lim (,,2 - V - 2/(' - O)
4. Provar que o vetor A = 3y4z2 i + 4x3z2 j - ~X21/2 k é H(lloIlO\(11I1.
85. Mostrar que A = (2x2 + 8x1/2z) i + (~X31/ - :3:r.'J) j - (11/12,2 I- 2.1111,)k
não é solcnoidal, mas B = X1JZ2A o é.
Hcsp. f (r) - ct» onde 1 6 Umll (\OIlHLIIIlIIlI\I'\)III'Mln.
v.'
li) ~ 11111 /11'1111111111111 r'UI
1/81. MOHII'lil' qu(\ e ('IIIIIJlO voti)l'I,d V
-~;
íh,l
"
1,11". 11'1I~llI' 11 II;I'MII'iI H 11/11' li Inl,I\I'PI'llllli,lno rM('II,
liH. H" 1/ 11 I ,.1\0 1'11"'II"~ 1'111'111"li'" dlr'IlI'"I,llI.v,d~1 \11'11VII I' 11
'
11' \" /I • V V
fI II"111II,,ldlll
.,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
IIzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA:lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA N .\ L I S E V E T O R I A LzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
89. ~'A-2J;Z2i-:tIzj+3xZ3k e ep=x2yz, acharzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(a) V.XA, (b) rot (,pA) ,
(o) V X (V X A), (d) V[A . rot A], (e) rot grad (epA) no ponto (I, I, I).
U~p. (a) i + j, (b) 5i - 3j - 4k, (c) ,5i + 3k, (d) - 2i + j + 8~, (e) O.
90. So]i' = x2yz, G = xy - 3z2, achar (a) V[(V:F) . (VG)],
(11) V· [(VII') X (VG), (c) V X [(VF) X (VG)].
Re8p. (a) (2y2z + 3x2z - 12xyz) i + (4xyz - 6x2z) j + (2xy2 + x3 _ 6x2y) k
(b) O
(ci (x2z - 24xyz) i - (12x2z + 2xyz) j + (2xy2 + 12yz2 + :c3)k.
91, Calcular V X (r/r2).
Il~p. O.
92. Achar o valor da constante a para a qual o vetor. A = (axy _ Z3) i +
(" - 2) x2 j + (I - a) xz2 k tem rotacional idênticamente igual a zero.
Ree», a = 4.
93. ]lrovar que rot (epgrad ep) = O.
94. Fazer o gráfico dos campos vetoriais A = x i + y j e B = y i_x j.
C/llculnr a divergência e o rotacional de cada campo vetorial e explicar o signifí-
ondo {fl:!icodos resultados.
96. Se A=x2zi +yz3j - 3xyk, B =y2i-yzj+2xk e ep=2x2+yz, achato
(a) A . (Vep), (b) (A . V) ep, (c) (A . V)B, (d) B(A . V), (e) (V . A) B.
Ilf8p. (a) 4x3z + yz4 - 3xy2, (b) 4x3z + yz4 - 3xy2 (o mesmo que (a»,
(c) 2y2z3 i + (3xy2 - yz4) j + 2x2z k,
(/(),° operador (x2y2z i -x2yz2 j + 2x3z k) JL +(y3z3 i_y2z4 j +2xyz3 k) .s. +õx a ay
+ (-3xy3 i + 3xy2z j - 6x2y k) 7h '
(e) (2xy2z + y2z3) i - (2xyz2 + yz4) j + (4x2z + 2xz3) k.
GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 113
I); ~.02. :\Jostrar que A = (6xy + z3) i + (3x2 - z) j + (3xz2 - y) k é irrota-
eional, Achar ep tal que A = Vep.
Reep, ep'= 3x2y + xz. - yz + uma constante.
103. Mostrar que E = r/r2 é irrotacional. Achar ep tal que E = _ Vep
e que ep (a) = O onde a > O.
Reep, ep = ln (a/r).
104. Se A e B são irrotacionais, provar que A X B é solenoidal.)
105. Se J (r) é diferenciável provar que j (r) r é irrotaeional.
106. Há alguma função vetorial diferenciável V tal que (a) rot V = r.
(b) rot V = 2i + j + 3k? Se houver, achar V.
Resp, (a) Não, (b) V = 3x j + (2y - x) k + Vep, onde ep é uma funçiio
.arbitrária duas vêzes diferenciável.
107. Mostrar que as soluções das equações de Maxwell
V X H = 1:. aE
c 7it'
1 snV X E = ...:- - V· H = O V. E = 47f"p
c at' ,
onde p é uma função de x, y, z e c é a velocidade da luz, considerada constanjr-,
MO dadas por; "
. I aA
E = - Vep - - - H = V X A
c at'
onde A e ep, chamados respectivamente de potenciais oetoriol e escalar, sati~fllr,('m
às equações
(1) V.A+1:. ~ =0 (2) V2.1._1:. a2ep = -4 ('3) V2A= 1:. {)2A
c at' 'I' c2 at2. 7f"p.. c2 iJt2
..
108. (a) Dada a diática (I = ii+ jj + kk , calcular r . (•. r) C (r')"" r .
(I,) Haverá alguma ambigüidade'em se escrever r· (I. r? (c) Que rcp/'coouLn
geomHricamen te r .•. r = 1.
Resp, (a) r . (4) . r) = (r . ~) . r =,x2 + y2 + z2, (b) Não, (c) Esforn du
raio unitário e centro na origem.
96. Se A = yz2i - 3xz2 j +2xyz k, B = 3x i + 4z j -xv k e ep=xyz, racha
(/I) A X (Vep), (b) (A-X V) ep, (c) (V X A) X B, (d) B . V X A.
U"H/I. (a) -5x2yz2 j + xy2z2 j + 4Xyz3 k,
(11) -5x2yz2 i + xy2z2 j + 4Xyz3 k (o mesmo que (a»,
(c) Hiz3 i + (8x21/z - 12xz2) j + 32xz2 k, (d) 24x2z + 4.xyz2.
971 Aohllr A X (V X B) e (A X V) X B no ponto (1, -1,2), se
A - :ll'~i + 21/ j - :Ixz k e B - ilxz i + 2yz j _ z2k.
/l,·II". A X (V X 8) - J8 i - J2'j + 16k, (A X V) X i= 4j + 76k.
~
109.. (a) Se A = xz i - y2 j + yz2 k e B = 2212i - xy j + 1/~k, dar 11 ai/>ÇIII-
ficação possível de (A X V) B no ponto (I, -1, 1). (b) 11; possível C8C/'OvOI'-~O
o produto assim A X (VB) utilizando-sc as diáticlls?
~
I Rf8p. (rt)-4ii - ij + :3ik - jj - 4ji + :lkk,
(b) Sim, RO 1\8 OpenlçÕ08 Iorem ofOllla~\M adoqw\dll.1110nl
) 10. PI'()V/U' quo </> (.0, V, .11) - X2 -I- 1/2 -1-.112 (o UIlI (lHol\llIl' illVI\I'illlll,(I MO"
1111'1'1 I'llfl\()lTo 111\ (,iXOH.
911. l'l'o\l,u' '1110 (v . V) v - }V'v2 - V X (V X v).
99.
"I'OV/i!' qUê) V' . (A X 8) - 8 . (V X A) - A . (V X 8).
JO(l. 1'1'0\1/11' <lUII V' X (A X 11) •• (11 . V)A Il (V.A)-(A· V) 01 A (V' . Il).
leI!. I"'IIVI\I' <llItI V (A o II) •• (II·V) A I (A,V) JlIIIX(VXA) I A I (VXIII, 111. HIl A (.r, 11,') 1\ 11111MIlIJlO VIII,OI'I/II 11I1"\I'II/lI.lrtVI\1 111\1/11'1/111111~oh 1111111lUll\~,nCl dtl 111%11", ,"'OVIII' !fUI' (1/) IlIv A 1\ (11) 101, A M/1u 1\IIlIl,"I~ 1'"111\11\1'li VIII 011111
11\',"1111\1"". "\.!HIJdlvI\UlI\lrllI, ""1, dllll tll\lIHrllllll'l~'I1I1,
VzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA.a+.azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAkzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa
=1'- J_+ _
a;C ay aZ '1 a +'1 a 'kl a VI
1 -a' ) -a ,T -a' = .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x li z
114
A N ,\ L I S E Y E '1'o R I A L
112.
x', v', z', Resolver as equações (:3) do Problema 38 pura x, y, z em função de
Resp. x = lu te' + 121 y' + I31 z', Y = I12 x' + 122 y' + l32 z' , Z = h:; x' +
+ I23 y' + I33 z',
lI:>. Se A e B são invariantes sob uma rotação mostrar que A . B e A X B
são também invariantps.
114. Mostrar que sob uma rotação CAPÍTULO 5
INTEGRAÇÃO DE VETORE8
ns.
l\fost.rar que o Operador laplaciano é uma invH/'iante sob uma rotação.
Integrais ordinárias de vetores. Seja R (u) = RI (u) i'-1
+ R, (u) j + Ra (u) k um vetor que depende de uma única varíãvo!
escalar u, onde RI (u), R2 (u) e R, (u) são supostas continuas num
dado intervalo. Então:
f R (u) du = if RI (u) du + j f R2 (u) du + kf R, (~) du
é a integral indefinida de R (u). Se .existir um vetor 8 (u) tal quo
d
R (u) = d; (8 (u», teremos:
J R (u) du = f d~ (8 (u» du = 8 (u) + c
onde c é um vetor constante arbitrário independente de u. Em ttd
caso pode-se escrever a integral definida entre os limites u = a e
u = b da seguinte maneira-
L jb dR(u)du = " du (S(u»du = /S(u) + c/ao = S(b) - S(a).
Esta integral pode também ser definida como o limite do umn
somn, do modo análogo ao visto no cálculo integral elementar.
rlltegrais de linha. Beiam a OUl'VI. C definidt~ POf r (u)
(1') i+ 1/ (u) j + ~(t,) k, onde r (u) ó o voLor pOHiQlto do \lUI
pOllto (:v, 'V, *) d/L ourvn, u doi/f ponLOH I', Cl I'. (11l/lMlL curva )lJlrl~ ()Jí
I/lIl\ilt li ., 1II 1\ 11 I II~, 1'1\ItPC\('tlYlllllmlt~\
Em tal raso A é chamado dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAcampo vetorial conseroatico e cp é
o seu potencial escalar.
Um campo vetorial A é conservativo se e somente se V X A = O,
ou, o que é equivalente, AzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= Vep. Em tal caso A . dr = AI dxzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+
+ A2 dy + Aa dz = dcp é uma diferencial exata. Veja os Proble-
mas 10 a 14.
Integrais de superfície. Seja S uma superfície, tal como
a da figura abaixo, de duas fases. Consideremos uma das fases de
8, arbitràriamente escolhida, como sendo a face positiva (se S Iôr
lima superfície fechada esta será a face externa). Um unitário nor-
mal, ri, em qualquer ponto da face positiva de 8 é dito unitário nor-
mal posiiioo, ou exterior.
Associemos agora a diferencial de área dS da superfície Um vetor
dS de módulo dS e de direção dI' n. Logo, riS = n dS.
A integra I
é um r-xomplo do uma integra] de' supcrfí-ic chamada de fl/l.l'o de A
n t ruvés de 8.
Outras int('gnti~ c!P supcrf'icic são
116 ANÁLISE VETORIAL
Vamos fazer li hipótese de que C i seja composta de um número
finito de curvas para cada uma das quais r (u) tem uma derivada
contínua. Seja A (z, y, z) = AI i+ Ad + A3k uma função ve-
torial de posição definida e contínua ao longo de C. Então, a inte-
gral da componente tangeneial de A ao longo da curva C do ponto
P, até P2, e que se escreve
( P2 A . d r = {A· d r = r A I dx + A 2 dy + A a dzi; lc i:
é um exemplo de uma integral de linha. Se A fôr a fôrça F que age
sôbre uma partícula que se desloca ao longo de C, a integral de linha
representa o trabalho feito pela Iôrça. Se C é uma curva fechada
(e que vamos supor seja uma curva fechada simples isto é, uma curva
que não tem pontos duplos, ou que não corta a si mesma) a integral
ao longo de C é geralmente representada por:
f s .« r = f Aldx+A2dy+Aadz.
...
Em aerodinâmica e em mecânica dos fluidos essa integral é cha-
mada de circulação de A em tôrno 'de C, onde A representa a veloci-
dade de um fluido.
Em geral, qualquer integral que deve ser efetuada ao longo de
uma curva é chamada de integral de linha. Tais integrais podem ser
definidas como o limite de uma soma como o são as integrais do cál-
culo integral elementar.
Nos Problemas Resolvidos apresentamos' os métodos de cál-
culo das integrais de linha.
() teorema seguinte é muito importante.
Teorema. Se A = Vep em todos os pontos de uma região R
do espaço, definida por al ~ x ~ a2, bl ~ Y ~ b;, CI ~ Z ~ C2, onde
cp (~', 1/, z) 6 uma função unívoca e tem derivadas continuas em R, então
11'2I) A . d J' é independente da trajetória C de 1r,QueI
IIp;n IJ I (' ?2.
I}) ",. A'!lr r () fIO 10111(1) dO qunlquor onrvn Ioehadn C em UzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
,T "
011.11' tI} ~ 111111\ I'IIII~'I! ti ('/lI'lIla!',
IXTEGRA~'ÃO DE VETORES 117
I
I
I ~
I I: 'II 1111
I
1,11
1111
I /111,
I
11 I
1111
I ' I 11 I
I '1:1
o ~lt~'--+,----J)Y
~ I
l~rA .: -L! A ·nd$
(J cp tis" rJ cp n tiS I (r A x li SzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}s zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJs J8.
-:\/1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAk + o.
118 ANÁLISE VETORIAL
INTE(iRA~~ÃO DE VETORES 119
Tais integrais podem ser definidas como o limite de uma soma
como no cálculo elementar (veja o Problema 17). 1')zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA- lI2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA/(3 u ·1 •.•zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(o) ])" (ai, R(a)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAda = ( 2'" - :f) i + 2- j - :ll/ k + c :~ =
A notação k+. é, às vêzes, usada para indicar uma integração
, 'J-f's [ ( 2~ 23 ) 24 ]= ---- i+-)'-:{(2Ik+c -2 ~ '2 ' ,
sôbre uma superfície fechada S. Onde não puder haver confusão
poder-se-à usar tam bém a notação
[(]~ 13). ]4. ]- 2'" -;f 1 + 2'") - :l (I) k +c
s
Para se calcular uma integral de superfície é conveniente ex-
pressá-la como uma integral dupla efetuado sôbrc a área da super-
fície S projetada sôbre um dos planos coordenados. Isto é possível
H' uma reta qualquer perpendicular ao plano coordenado escolhido
não fura a superfície em mais de um ponto. Entretanto, isto não
apresenta nenhum embaraço para qualquer problema real, uma vez
que podemos geralmente subdividir S em superfícies que satisfaçam
essa restrição.
_ ,') . , 15.
(i 1 , 2') - xk.
O"tI'O M dor/o,
1~ 1') 1" J"1 R(u)dv=i 1 (II-I/~Jdl/+j 1 211'ldl/+k 1 -:ld"
. (I/~ ,,3) 2 . ( /1,1 )1 '2 , 2
= 1 - -.-:- 1 + )--- + k «)II)! =
2 ,1 1 2: 1 I 1
In tegrais de voltrme, Consideremos uma superfície fechada
encerrando um volume V. Então
5. lõ ,
-61+2') -3k,
J1 / Adr ('zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ1/4>dl'
2. A :H'plpraçiío de uma part í-uln num tempo t ~ 0, qualquer, é dada ])1)1'
dv . • k
a = - = 12 cos 2 t 1 - il scn 21 J + WIdt
são oxemplos de integrais de volume. Nos Problemas Resolvidos
apresentaremos os métodos de cálculo dessas integrais.
PROBLEMAS RESOLVIDOS
.
Se ti velocidade v ri o dp,II)(':lllH'njo r "io nulos pam t = 0, fichar v r r 11\1111
tempo qualquer,
Lntegrnndo, v = i/12 em; 21di + jf -8 sen 21.u + kf 161di =
= fiSPII 2! i +1 ('OS 21j + 81"k + c,
l. S,>ndo R lU) = (u - ,,2) i + 2//:1 j - :{k, ur-ha r
f 'J2ia) R(u)rlu (' (b) 1 R(u)du,
(a) / R(u) du = / [(11 - II~) i + 2//3 j - :{kj ri" =
= i/ (U - 1/2) du + j /21/3 du + k/ -:1 du =
FII~"Il(.I0 v = O quando t = 0, encontramos O = Oi + .tj + Ok + CI (' CI = _ ~j,
Logo v = fi sen 2t i + (4 cos 2t - 4) j + 812k
I rir • , • ? kd011( (' -,- = 6 scn 2/ 1 + (~('OR 2t - 4) J + 8t- .
C t
(
U2 '113) U,I ~
'2 -;f i + 2'" j - 311k + 1'1i + l'2 j + C3 k -
11I1~)~I'Il,lIdo, r = i/n A'~1l 21 di + j / (4 ('OS 21 - 4) di -I- kf 812 di _
- -:l ('O, 2/ i + (2Hl'n 21_. ·11) j + ~ t3 k + C2,
IIdH c I' •• (:I. ;In()H 2t) I I-(~M"" ." 11) !'{ I" k,
a
( u~ 11
3 ) ( '114 )
= i 2'" - ~- + ri + j 2- + ':2 + k (- :1// + 1':1) =
(
tJ,2 lln ) • 1t~.
- T -T zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1+2 ')
() V(111Ir (I()IHlI,I\nt(\ r,1 1 r~j -I·r~k.
11',I~I\lldo ,. • O (IUlll1UU t - 0, LI'ITIOH O - :lj -l Oi + Ok + C~ (' 02 _ 3/,
I"IIIII~ rhll\l11 UlII1,(1
120 AN.~LISE VE'l'ORIAL INTEGRAÇÃO DE VETORESzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI'
3. CalcularzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAf d2AA X -1-'" ,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAdtorI- Logo, a área varrida pelo raio vetor na unidade de tempo é t r X ~: ; por oo
seguinte, a taxa de variação instantânea da área é:
~~ ( A ~ ) _ A d2A riA ,dA _ A á'A
lit X dt - X dtZ + dt X di - X dt2 '
f á'A f d ( dA ) dALogo, A X7 . dt = di A X 'di' dt = A X di + c,
Temos que
Jim t r X ~r = t r X dr/dt = t r XV.
~HO LJot
4, A equação
onde v é o vetor velocidade instantânea da partícula.
A grandeza H = tr X ~: = tr X v é dita velocidade de área. Do item «(I)
tiramos:
do movimento de uma partícula P de massa m é dada por
dzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2r
m -d- =1(1')r.
t-
onde r é o vetor posição de P em relação a uma origem O, rI é o vetor unitário
da direção de r e 1(r) é uma função da distância de P a O.
Velocidade de área = H = tr X ~: = constante.
(a) Mostrar que r X dr/dt = c onde c é um vetor constante.
(b) Interpretar fisicamente os casos em que j (r) < O e 1(r) > O.
(cl Interpretar, geometricamente, o resultado do item (a).
(d) Descrever como se aplicam os resultados obtidos ao movimento dos
plunêtas de nosso sistema solar.
(a) Multipliquemos ambos os membros da equação dada por rX. Logo,
Como r • H = O, o movimento se realiza num plano, que tomamos COIUI
sendo o plano :ey na figura da página anterior.
(d) Um planêta é atraído pelo sol de acôrdo com a lei da gravitação 11111
versa] de Newton, que estabelece que dois corpos quaisquer de massas m o /li,
respectivamente, se atraem com uIl1a fôrça cuja grandeza é F = GM m/1'\ 011110
r é a distância entre êles e G é uma constante universal. Sejam m e M as '1111
sas de um planêta e do sol, respectivamente, e tomemos um sistema de eixos COUl'-
denados com a origem O no sol, Portanto, a equação do movimento do planÔt" (\
teremos
m r X d2r/dt2 = 1(1') r X r i = O ' m d2rldt2 = - GM2rrt rI 'ou d2rldt2 = - G1tf rI.r r
porquanto r e rI são colineares, e portanto, r X rI = O. Então
r X d2r/dt2 = O ou d/dt (r X dr/dt) = O.
= área de velocidade
= constante
Uma fôrça dirigi da sempre para um
ponto fixo O, no sentido dêle ou dêle
se afastando, e tendo um valor absolu-
to que depende somente da distância l'
de O chama-se uma [õrça central.
(c) Num tempo ~râPartrcula so
move de M a N (veja a figura i10 lado).
A áreu vnrridu pelo vetor pOHiQitolICAHO
tempo 6, a!lroxlmndnIl1\lllt(l, '\ liIotl\(lo
(I,t 1\1'(1(\ dll um J),II"lIlIloK"'IIlHI (1lIjoH 10\-
do~ "/10 I' (' t\", 11\' ~" V t\",
considerando desprezível a influência dos outros planêtas ,
De acôrdo como item (c), um planêta move-se em tôrno do sol de tal mo. h,
que seu vetor posição varra áreas iguais em tempos iguais. Esta afirmação o .,
do Problema 5 são duas das três famosas leis de Kepler que êle deduziu omplri-
camente aproveitando os dados compilados pelo astrônomo Tycho Brahc, }l;HHII.
leia possibilitaram a Newton a formulação das suas leis da 'gravitação, Vojll IL
3." lei de Kepler no Problema 36.
5. Mostrar que a trajetória de um planêta em tôrno do sol é uma oliJlHc,.
ocupando o sol um dos focos.
Dos Problemas 4 (c) e 4 (d), temos
Integrando temos r X drldt = c, onde c é um vetor const.ante (Compare com
o Problema 3).
(b) Se 1(1')<O; a aceleração d2r/dt2 tem sentido oposto a rI; por conseguinte
a fôrça é dirigida para O e a partícula está sempre sendo atraida para O.
Se f (1') > O a fôrça se afasta de O e a partícula está sob a influência de uma
fôrça repulsiva em O.
a' y
(1)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAdv GMdt = - Trl'
(2) r X v - 2I1 - h,
..Ir drt (Ir
1.0100,M/1M, .•• • r ri, 7ii • r Iii:' + ~·It·ri.
(:1) li ,( ",',
" Xv ••• " "I" ,
, til
122zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIALzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
=11 9t2 dt - 28t6 dtzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ 60t9 dt =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
l-O
INTEGRAÇÃO DE VETORES
De (1), dv Gilf
- X h = - -2- rI X h = - GM rI Xdt T 1A· dr =1[(3x2 +6y)i -14yzj +20xz2kJ. (dxi +dyj +dzk)
=1(3x2 + 6y) dz - 14yz dy + 20xz2 dz.
( drl )rI X dt =
[ ( drl ) drI ] drI= - GM ri . - rI - (rI • rI) - = GM -dt dt di '
empregando a equação (3) e o fato de rI' d:eI = O (Problema 9, Capítulo 3).
(a) Sendo z = t, Y = t2, Z = t3, os pontos (O, O, O) e (l, 1, 1) correspondem
a t = O e t = 1 respectivamente. Logo,
Mas, como h é um vetor constante, ~: X h = !(v X h) donde
r A· dr =11 (3t2 + 6t2) dt - 14 (t2) (t3) d (t2) + 20 (t) (t3)2 d (t3)Ja l-Oddi: (v X h) = GM drI
dt •
E integrando temos
donde
v X h = GMrI + P
Ao longo de C temos A = 9t2 i - 14t5 j + 20t7 k e r = xi + yj + zk =
= ti + t2j + t3k e dr = (i + 2tj + 3t2k) dto
Logo, rA·dr =11 (9t2 i - 14t5 j + 20t7 k) . (i + 2t j + 3t2 k) dtJo l-O
r • (v X h) = GM r • rI + r • P =
= GM r + r rI • P = GM r + r p cos O
=Jl (9t2 - 28t6 + 60(9) dt = 3t3 - 417 + 6tl0 15 = 5.
l~O
Outro Método.
onde p é um vetor constante arbitrário de modulo p, e 8 é o ângulo entre p e r r ,
Como r' (v X h) = (r X v)·h = h·h = h2, temos h2= GMr +rpc08 O e
h2 h2fGM
r= GM + p cos 0=1 + (p/UM) cos 7J •
=11(9t2 - 28t6 + 60t9) dt = 5.Da geometria analítica sabemos( ,Yr: \~ I x que a equação polar de uma cônica
de foco na origem e excentricidade E
(b) Ao longo da reta ligando (O,O,O) a (1, O,O) y = O, z = O, dy = O, de •• ()
quando x varia de O a 1. Logo a integral ao longo desta porção da trajetórj,~
a
é r = 1+ Q onde a é urna cons-
ECOS 11
tante. Comparando esta equação com
a deduzida acima verificamos que a
órbita em questão é uma cônica cuja
excentricidade é E = P/GM. A órbita é uma elipse, uma parábola ou urna hipér-
bolo conforme E Reja menor, igualou maior que um. Como Ifs órbitas dos pla-
nôtae aão curvas fechadas, devem ser elipses.
a 11(3x2+6(0»dx -14(0)(0)(0) +20x, (0)2 (O) =11 3x2dx =;v31zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAã- J
11>-0 ",-o
Ellpse r : 1+ € cos e
Ao longo da reta ligando (1, O, O) a (1, I, O) x = 1, z = O, dx = O, dz _ O
qunndo V varia de O a 1. Logo a integral ao longo dessa outra porção da tmje.tó,'lu 6
Integrais de linha.
I. SO A •• (3x2 + (Iv) i - 14yzj +20 xz2 k, calcular1A • drde
'ItA (I, I, I) t1.O longo (\/18 soguintca trnjotóril\B G:
11(3 (1)2 + 6y) O - 14y (O) dy + 20 (1) (0)2 O = O.11-0
(O, O, O) 1"lnn)montCl, para o último trecho, reta de (I, 1, O) a (1, 1, 1) x = 1, Y •• J,
0, dV - O quando z varia de O a 1. Temos a integral, cujo resultado 6
, 1.1 (:J (1)2
'o (I ro O - li' (I). (O) 'I- 20 (1),2 fiz_ fI 20.12 ti. _
•••0
(lI) /11" I, I/ •• t3, •• t'.
(li) 11M IlIlml dl\ (O, O, O) II (I, O, O), <1opol/l /I (1,1, ()), fi (10)10111IL (I, I, I).
(,.) 1\ 11\111 111111 111/,1\ (O, O, O) 1\ (I, I, I) "O," 1'
:I 1/
"11
.1 •
]23
124zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIAL
INTEGRAÇÃO DE VETORES 125
Logo,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
r F. dr = 113 (t) (2t2) dt - (2t2)2 d (2tzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2) = 11 (6/.3 - 16t5) dt = ., ~ .Jc t-O t-O
Segundo Método. Substituamos diretamente y por 2x2, x variando de O a '1.
Logo,
Donde, somando, temos
r 20 23icA•dr=I+0+3"=3"'
(c) A reta que liga os pontos (O,O,O) e (1, 1, 1) tem as seguintes equações
pnramétricas, x = t, y = tez = t.
Logo,
r A. dr =11 (3t2 + 6t) dt - 14 (t) (t) dt + 20 (t) (t)2 dt =ic t=O
r F. dr =11 3x (2x2) dx - (2X2)2d (2x2) = 11 (6x3- 16x5) dx = - ~ .JczyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAz~O z-O
=11 (3t2 + 6t _ 14t2 + 20/3) dt = rI (6t-] lt2 + 20t3) dt = 1:.
t-O it~O
Note-se que se a curva fôsse percorrida em sentido contrário, isto é, de
(1,2) para (O, O) o valor da integral seria 7/6 em vez de - 7/6.
9. Achar o trabalho feito para se deslocar uma partícula uma vez ao longo
de urna circunferência C no plano xv, sabendo-se que a circunferência tem o cen-
tro na origem e raio igual a 3 e que o campo de fôrça é dado por:7. Achar o trabalho total feito no deslocamento de uma partícula num
campo de fôrça dado por F = 3xy i - 5z j + 10x k ao longo da curva x = t2+ 1,
11 - 2t2, z = t3 de t = 1 até t = 2. ' '
Trabalho total =
F = (2x - y + z) i + (x + y - Z2) j + (3x - 2y + 4z) k •
No plano z = O, F = (2x - y) i + (z + y) j + (3x - 2y) k e dr = dx i +
+ dy j donde o trabalho feito é :
1F· dr =1[(2.c - y) i + (x + y) j + (3x- 2y) kl . [dx i + dy Jl =
=1(2x - y)dx + (x + y)dy.
Escolhamos para equações paramétricas da circunferência x = 3 eos I.
y =3 sen t, onde t varia de O a 271"(veja a figura :abaixo). Logo a integral de li-
nha é igual a
_1F . dr' =1(3xy i - 5z j + 10x k; • (dx i + dy j + dz k) =
=13XYdx - 5z dy + 10x dz =
=1.1 3 (t2+1) (2t2) d (t2 + 1) - 5 (t3) d (2t2)+10 (tS + 1) d (t3) '"
t-l
12'= (12t6 + 10t4 + 12t3 + 30t2) dt = 303.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 2'11"[2 (3 cos t) - 3 sen tl [- 3 sen tl dt + [3 cos t + 3 sen t 1 [3 cos tl dt -
-o
8. So F _ 3xy i - y2 j, calcular1F • dr onde C é a curva no plano ,x 1/, r 2,,- 9 12"-
- io (9-9sentcost)dt = 9t - "2sen2t O =1871".
1/ - 2.c2, do (O,O) até (1,2).
'orno a intogcaçüo 6 feita no plano xy (z = O), podemos tomar r=xi + y j.
Tomamos o sentido contrário ao dos
pcnteíroa do relógio para percorrer a
urva C. Dizemos que êsse sentido é
(I p08itivo ou que a curva C foi percor-
rldn no sentido positivo. Se C fôsse per-
IlClJ-rhl,\ uo ecntido dos ponteiros do re-
M"lo (1l()I(IIUVO) o valor da integral
~illt\ IH 71".
I,OKO, 1F . dr -1(:3xu i - y2 j) • (dx i+ dy j) =
- 10 3JJu dx - 1/2 dl/ •
('''1111,(,'11 AI Mmllli HIIJ 1\ m •.• t flUI 1/ - 2.D~. LORCI, 1\" flqllllQtlOII pl\rnm6~rloIl8
1111 (J "~It ~ •• t, fi •.• :4t~, (lI! J)OIlLIIII (O, Il) li (1,2) (lCU'I'!I"IIIIIldmll 1\ , •• O ti t H 1
.
10. «(~) "O Jr •• vcp, onde cp 6 UIl!-
\1/11"\ II (./.111 (\(I,'I"I\(.I,\~ P'i"(II,\IH OOIlUIII"\~'
1I111~1,,,~r q\lll 11 1"'II,hl11110 flll t I) 1"1"'\ 1111
I "~III'tlt IVII" I'." \4,.
y
~ ~~...I.._...L..~ '.,
:\ (.UM /i I :\'"'11 /;
126zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIALzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
cp (X+ ÀX, y, z) -cp (x, y, z)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= _1_l(Z+Ax'tI'Z)
Àx Àx Fldx.
(r,tI")
INTEGRAÇÃO DE VETORES 127
Logo,deslocar uma partícula de um ponto Pl == (Xl, 1/1, ZI) a outro P2 == (X2, Y2, Z2),
nesse campo, é independente do caminho que liga êsses dois pontos.
(b) Inversamente, se1F·dr é independente do caminho C que liga 'dois
pontos quaisquer, mostrar que existe uma função cp tal que F = Vcp.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
lp2' lp2(a) Trabalho feito = F • dr = Vcp . dr =Pl Pl
Tomando o limite de ambos os membros quando Àx --> O, temos ~==FI•
acp acp
Anàlogamente podemos mostrar que 7ii = F2 e az = Es;
Logo, F = F1i + F2j + F~k = ~: i + ~~j + ~~k = Vcp.=1:2( ~~ i + ~~j + ~: k ) . (dx i + dy j + dz k)
lp2 acp acp acp= - d» + - dy + - dz =1 õ» ay az
1(r,tI,.) 1(r,tI,.) drcp (z, Y, z) = F . dr = F • -r as .(ZI,tll"I) (ZI,tllo'l) S
lp2= dcp = CP(P2) - cp(P1) = CP(X2,Y2, 1.2) - CP(Xl, YI, 1.1) •1
lp2Se F·dr independe do trajeto C que liga Pl e P2, F é dito um cam-Pl
po conservatioo, Por conseguinte se F = Vcp então F é conservativo, e recipro-
camente.
Demonstração empregando veiores, Se a integral de linha independe do tra-
jeto, então
Logo, a integral depende apenas dos pontos Pl e P2 e não do caminho que
08 liga. Naturalmente, isto só é verdadeiro' se cp (z, y, 1.) é unívoca em todos os
pontos P1 e P2•
(b)' Seja F = FI i + F2 j + Fa k. Por hipótese,1F . dr índepende do
amlnho C que liga dois pontos quaisquer, que tomamos como (Xl, Yl, 1.1) e (X, y, z)
rospcctivumente. Logo, .
• dcp dr 'dcp dr
Derivando, temos d8 = F • d8' Mas d8 = Vcp • d8 donde
dr(Vcp - F)· - = o.as
1<r,1I,') 1<r,v,')cp (x, y, z) = F . dr = FI dx + F2diJ + Fadz(rl,1I1o'1) (Xl,Vl,'I) Como essa igualdade se verifica para qualquer drlds, temos F = Vcp.
Indo pondo do trajeto que liga (Xl, V!, Zl) e (x, y, z). Assim
lI. (a) Se F é um campo conservatívo, provar que rot F=VXF .••O
(isto é, F é irrotacional).
(b) Reciprocamente, se V X F = O (isto é, F é irrotaoional), provar <&uo
F é conservativo. '1(r+L\x,1I,') 1(""ti,·)cp (.~ -I-Àx, y, e) - cp (z, y, z) = ' F· dI' - F • dr =("'l,tIl"I) ("'I,Vl,'!) (a) Se F é um campo conservativo, temos pelo Problema 10, F = Vcp.
1("'l,tlJ,'!) 1(z+L\""v,.)- F· dr + F· dr(""ti••) (ZI.tlh'll Donde rot F = V X Vcp = O (veja o Problema 27 (a), Capítulo 4).j k
(1/) Se V X F = O, temos I a a a I = O donde,Jx ay a;
F! F2 F3
8Pa a//'~ er, er, fJF2 8FI
-o"'i- -o. ' ti,' - 0,0- , 7i.õ - 7iV
1,(",+L\"',I/,') 1.(,,+L\",II,')
- F . dr - FJ dx + F~ dy + F3 dz.
(Rl,II,') (:r,1} •• )
lOtn() 1\ dlUnll\ Intol(l'i\\ dovo e<lr Indopendente do trnjoto do (x, 1/, li) 9
'!'I., 1/, .), PI.ullllt\!l" oHnolhor I~ rOWI fino 1I1(i\ ~8"08 J}onLo~ pl1rl\ o LrIlJnL(), deI
11111,10 qlll' tI/I ti ti. "")'i/l\ lIull1",
128zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAANÁLISE VETORIAL
Devemos provar quc F = Vcf> é uma conseqüência dessas relações.
O trabalho realizado no deslocamento da partícula dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(Xl,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAVI, Zl) até (:/',V, e)
no campo de fôrça F é
l FI (z, y, z) d.czyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ F2 (z, y, z) dy + Fa (z, y, z) dz
onde C é o trajeto de (Xl, YI, Zl) até (z, y, z). Escolhamos como um caminho par-
ticular os segmentos de reta que ligam os pontos (XI> YI, Zl) a ,(x, Y1, Zl) depois a '
(x, y, 2J) e depois (x, y, a) e chamemos de cf>(x, y, z) o trabalho feito ao longo dêsse
trajeto particular. Logo,
4> (z, u, z) = i'" FI (x, YI, 21) dx + /,11 F2 (z, v, ZI) dy + (' F3 (X,u, z) dz
~ n lq
Segue-se que
.2.!l!.. = F3 (x, y, z)
iJz
iJcf> l' iJF •T = F2 (z, y, Zl) + T (x, y, z) dz =.
li 'I Y
l' iJF2"" F2 (z, y, ZI) + -a;- (x, y, z) dz =
'I
- F2 (z, v. Zl) + F2 (z, y, Z) 1:1 = F2 (z, y, ZI) + F2 (x, v, z) - F2 (z, y, ZI) =
- F2 (z, y, z),
iJcf> /,11 iJF2 1.' iJF3ã; - FI (x, VI, 2J) + a;- (z, y, ZI) dy + & (z, y, z) dz
111 'I
- /"1 (x, YI> 21) + /,11 a:;1 (x, y, Zl)di; +l' iJ~l (x, v, z) dz
111 Y . 'I
- FI (x, YI, %1) + FI (z, v, %1) 1:1 + FI (z, y,z) I~=
- l''! (x, VI, zJH-F1 (z, y, %1) - F (x, YI> Zl) + FI (x, y, z)-F (x, y, 21) ••
- FJ (x, 1/, s),
11;IlL110
f1t/l, I
(1,0
()t/l )
91/
()t/l 11.
cJJ~ •• /1'1 I I ft'M) I /I'n l~ v«
INTEGRAÇÁO DE VETORl!T. 129
Assim, a condição necessária e suficiente para