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___________________________________________ Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 2: Funções 2.1- Definições Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f de A em B é uma lei, regra ou correspondência que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B. O conjunto A é o domínio de f ou o conjunto onde a função é definida, e é indicado por D(f). O conjunto B é o contradomínio de f ou campo de valores de f. O único elemento y de B associado ao elemento x de A é indicado por f(x) (leia: f de x); diremos que f(x) é o valor que f assume em x ou é a imagem de x pela função f. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f, que é o conjunto de todos os valores assumidos pela função f, e indicado por Im(f) ou f(A). Simbolicamente, temos: { }AxxfAff ∈== );()()Im( . Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por BAf →: (leia: f de A em B). Duas funções BAf →: e DCg →: são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) = g(x), ∀x ∈ A. Ou seja, duas funções são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a mesma regra de correspondência. Uma função de uma variável real a valores reais ou função real de uma variável real é uma função BAf →: , onde A e B são subconjuntos de R. Até menção em contrário, só trataremos com funções reais de uma variável real. - Observações: 1. Usa-se a notação )(xfx para indicar que f faz corresponder a x o valor f(x). 2. Não se deve confundir f com f(x): f é a função, enquanto que f(x) é o valor que a função assume num ponto x do domínio, ou seja, f(x) é a imagem de x por f. 3. Quando uma função é dada pela regra y = f(x) é comum referir-se à variável y como variável dependente e à variável x como variável independente. É usual dizer que y é função de x. 4. A natureza da regra que ensina como obter o valor de f(x) ∈ B quando é dado x ∈ A é inteiramente arbitrária, sendo sujeita apenas a duas condições: 1ª) A fim de que f tenha o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) a todo x ∈ A; 2ª) A cada x ∈ A, a regra deve fazer corresponder um único f(x) em B, ou seja, se x = x’ em A então f(x) = f(x’) em B. 5. Deve-se ainda observar que uma função consta de três ingredientes: domínio, contradomínio e a lei de correspondência )(xfx . Mesmo quando dizemos simplesmente “a função f”, ficam subentendidos 12 seu domínio A e seu contradomínio B. Sem que eles sejam especificados, não existe função. Assim sendo, uma pergunta do tipo “Qual é o domínio da função f(x) = 1/x ?”, estritamente falando, não faz sentido. A pergunta correta seria: “Qual é o maior subconjunto A ⊂ R tal que a fórmula f(x) = 1/x define uma função RAf →: ?” Porém, muitas vezes uma função é dada pela regra )(xfx ou, simplesmente, f(x) sem explicitarmos seu domínio e contradomínio; quando isso ocorrer, fica implícito que o contradomínio é R e que o domínio é o “maior” subconjunto de R para o qual faz sentido a regra em questão, ou seja, f(x) é um número real. - Notações: [ ) ( ) ( ] ( )0 , 0 , ,0 ,0 ** ∞−=∞−=∞+=∞+= −−++ RRRR - Exemplos e Contra-exemplos: 1. A correspondência que associa a cada número natural n seu sucessor n + 1 define uma função NNf →: , sendo f(n) = n + 1. D(f) = N e Im(f) = N – {1}. 2. A regra que associa a cada [ ]2,1∈x o seu dobro define uma função [ ] Rf →2,1: , com f(x) = 2x. D(f) = [1, 2] e Im(f) = [2, 4]. 3. A fórmula A = pir2 da área A de um círculo de raio r associa a cada real positivo r um único valor de A, determinando assim, uma função RRf →+ *: tal que f(r) = pir2. ** )Im( e )( ++ == RfRfD . 4. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}. As regras estabelecidas nos diagramas abaixo não definem funções de A em B. 5. Seja dada a regra 24)( xxf −= . Neste caso, o maior subconjunto de R para o qual f(x) ∈ R é 4 – x2 ≥ 0, ou seja, - 2 ≤ x ≤ 2. Logo D(f) = [-2, 2] e Im(f) = [0, 2]. 2.2- Gráfico de uma função Seja BAf →: uma função, onde A e B são subconjuntos não vazios de R. O conjunto ( ){ } AxBAxxfxfG ⊂∈= ; )(, )( denomina-se gráfico de f. Assim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f. Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe outro meio de determinar o gráfico a não ser este método rudimentar. Mais adiante desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de gráficos. 13 - Observação: Podemos nos perguntar se, dada uma curva C no plano cartesiano, ela sempre representa o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim a curva C só representa o gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um ponto. A curva C1 representa o gráfico de uma função, enquanto a curva C2 não representa. - Exemplos: 1. Considere a função f(x) = x2. Temos: D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e a figura abaixo esboça o gráfico de f. 2. Considere a função f(x) = x. Temos: D(f) = R, Im(f) = R e a figura abaixo mostra o seu gráfico. 3. Seja 2 se ,4 22 se ,2 2 se ,2 )(por definida : > ≤<− −≤− =→ x x x xfRRf . Temos: D(f) = R, Im(f) = {– 2, 2, 4} e o gráfico de f é mostrado pela figura a seguir. 14 4. Seja xxf =)( . Então D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e o gráfico de f pode ser visto na figura abaixo. 5. Seja x xf 1)( = . Então D(f) = R – {0} e Im(f) = R – {0}. A figura abaixo mostra o gráfico de f. 6. Seja [ ]xxf =)( = maior inteiro ≤ x. Temos que D(f) = R e Im(f) = Z. O gráfico de f é dado por: 2.3- Operações Operações aritméticas sobre funções Sejam f e g duas funções, sendo D(f) = A e D(g) = B. Se A ∩ B ≠ ∅, podemos definir: a) Função Soma de f e g: (f + g) (x) = f(x) + g(x), sendo D(f + g) = A ∩ B. b) Função Diferença de f e g: (f – g) (x) = f(x) – g(x), sendo D(f – g) = A ∩ B. c) Função Produto de f e g: (f . g) (x) = f(x) . g(x), sendo D(f . g) = A ∩ B. d) Função Quociente de f por g: ( ) ( )( ) ( ){ } φ≠≠∩∈= = 0 ; sendo , xgBAx g fD xg xfx g f . - Observação: Se f for uma função constante, digamos f(x) = k, k ∈ R, então o produto de f e g será kg. Desta forma, multiplicar uma função por uma constante é um caso particular de multiplicação de duas funções. 15 - Exemplo: Sejam as funções 1)( e 4)( 2 −=−= xxgxxf . Então { } { }1ou 1 ;)( e 4 ;)( ≥−≤∈==≤∈== xxRxBgDxRxAfD . Temos: ( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ; ; 14 2 ≤≤−≤∈=∩=+−+−=+ xxRxBAgfDxxxgf ( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ; ; 14 2 ≤≤−≤∈=∩=−−−−=− xxRxBAgfDxxxgf ( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ;. ; 1.4. 2 ≤≤−≤∈=∩=−−= xxRxBAgfDxxxgf ( ) { } { }41ou 1 ;0)( ; ; 1 4 2 ≤<−<∈=≠∩∈= − − = xxRxxgBAx g fD x xx g f ( ) ( ) { }4 ;5 ; 4 5 )5( ≤∈==∩=−−−=− xRxAARfDxxf Composição de Funções Sejam RBgRAf →→ : e : duas funções tais que Im(f) ⊂ B, ou seja,para todo x ∈ A temos que o valor f(x) ∈ B. A função RAgof →: definida por (gof)(x) = g(f(x)) é denominada função composta de g e f. - Exemplos: 1. Sejam f e g funções dadas por f(x) = 3x – 2 e g(x) = x2 + 4x. Determinar as funções gof e fog. Temos: D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = R; Im(g) = [-4, ∞). Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g(3x – 2) = (3x – 2)2 + 4 (3x – 2) = 9x2 – 4 e D(gof) = D(f) = R. Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2 + 4x) = 3(x2 + 4x) – 2 = 3x2 + 12x – 2 e D(fog) = D(g) = R. Logo: 2123)(por dada : e 49)(por definida : 22 −+=→−=→ xxxfogRRfogxxgofRRgof . 2. Sejam f e g funções dadas por 2)( e )( xxgxxf == . Determinar as funções gof e fog. Temos: D(f) = R+; Im(f) = R+; D(g) = R; Im(g) = R+. Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g( x ) = ( x )2 = x = x, pois D(gof) = D(f) = R+. Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2) = xx =2 , pois D(fog) = D(g) = R. Logo: xxfogRRfogxxgofRRgof =→=→+ )(por dada : e )(por definida : . - Observações: 1. A função h: R → R definida por h(x) = (x2 – 1)10 pode ser considerada como a composta gof das funções f: R → R dada por f(x) = x2 – 1 e g: R → R definida por g(x) = x10 . 2. O livro texto contempla a possibilidade de definir a composta gof, sendo Im(f) ⊄ D(g). Neste caso, { })()();()( gDxffDxgofD ∈∈= . Por exemplo: xxgxxf =−= )( e 32)( . Temos: 16 D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = [0, +∞); Im(g) = [0, +∞). Im(f) ⊄ D(g) ⇒ { } { } + ∞=≥−∈=∈∈=−= , 2 3032;)()();()( e 32)( xRxgDxffDxgofDxxgof . Im(g) ⊂ D(f) ⇒ [ )+ ∞==−= ,0)()( e 32)( gDfogDxxfog . 2.4- Exercícios Páginas 20, 21, 22, 23 e 24 do livro texto. 2.5- Funções Especiais Função Constante fixo real número um sendo ,)(por definida : kkxfRRf =→ D(f) = R e Im(f) = {k} Exemplo: 3)( ;: −=→ xfRRf Função Identidade )(por definida : xxfRRf =→ (Notação: f = idR) D(f) = R e Im(f) = R Função do 1º Grau 0 a e reais números b e a sendo ,)(por definida : ≠+=→ baxxfRRf D(f) = R e Im(f) = R Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e de coeficiente linear. Quando a > 0, a função f(x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) também cresce. Quando a < 0, a função f(x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) decresce. O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. Exemplos: a) f(x) = 2x + 3 é uma função do 1º grau crescente pois a = 2 > 0. b) f(x) = – 3x + 1 é uma função do 1º grau decrescente pois a = – 3 < 0. 17 Função Módulo )(por definida : xxfRRf =→ D(f) = R e Im(f) = [0, +∞) Função Quadrática ou Função do 2º Grau 0 a e reais números c e b a, sendo ,)(por definida : 2 ≠++=→ cbxaxxfRRf D(f) = R O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo vertical (y). Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. A interseção da parábola com o eixo horizontal (x) define os zeros da função. , então )( quadrática função da zeros os são e Se 21 2 21 a bxxScbxaxxfxx −=+=++= ).)(()( )( e . 21 2 21 xxxxaPSxxaxfa cxxP −−=+−=== A interseção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice, de coordenadas ∆−− aa b 4 , 2 , sendo acb 42 −=∆ . Dada uma função quadrática )( 2 cbxaxxf ++= , usando a técnica de completar os quadrados, podemos escrevê-la na forma ( ) vv yxxaxf +−= 2)( , sendo ( )vv yx , o vértice da parábola. Neste caso, o eixo de simetria é dado por x = xv. 18 Função Polinomial função. dagrau o determina que negativo não inteiro um e 0, es,coeficient chamados reais números , , ... , , , sendo , x ... )(por definida : 121001 2 2 1 1 na aaaaaaxaaxaxaxfRRf n nn n n n n ≠ +++++=→ − − − D(f) = R Exemplos: a) A função constante f(x) = k é uma função polinomial de grau zero. b) A função f(x) = ax + b, a ≠ 0, é uma função polinomial do 1º grau (grau 1). c) A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é uma função polinomial do 2º grau (grau 2). d) A função f(x) = x3 é uma função polinomial de grau 3 chamada função cúbica. e) A função f(x) = x4 – 1 é uma função polinomial de grau 4. Função Racional Uma função racional f é uma função dada por )( )()( xq xpxf = , onde p e q são funções polinomiais. 19 { }0)( ;)( ≠∈= xqRxfD Exemplos: a) A função 1 1)( + − = x xxf é racional de domínio { }1)( −−= RfD . b) A função ( ) ( ) ( ) ( )3.12 9.43)( 2 22 +−+ −−+ = xxx xxxxf é racional de domínio { }3,3,4)( −−−= RfD . 2.6- Função Par e Função Ímpar Uma função RAf →: diz-se par quando para todo Ax ∈ tem-se Ax ∈− e )()( xfxf =− . O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Exemplo: 2)( ;: xxfRRf =→ Uma função RAf →: diz-se ímpar quando para todo Ax ∈ tem-se Ax ∈− e )()( xfxf −=− . O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Exemplo: 53)( ;: xxxfRRf +=→ 2.7- Funções Periódicas Uma função RAf →: é dita periódica quando existe um número real p > 0 tal que para todo Ax ∈ tem-se Apx ∈± e )()( xfpxf =+ . O menor número p com esta propriedade é chamado o período de f. O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento p. Exemplos: xxgsenxxf cos)( e )( == são periódicas de período 2pi. 20 2.8- Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras Dizemos que uma função BAf →: é injetora quando, para quaisquer )()( se- tem, com , 212121 xfxfxxAxx ≠≠∈ . Em outras palavras, dizemos que BAf →: é injetora se 212121 então , em e com , )()( xxAxxxfxf == . Exemplo: injetora. é )(por definida : xxfRRf =→+ Dizemos que uma função BAf →: é sobrejetora quando, para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que y = f(x). Em outros termos, BAf →: é sobrejetora quando Im(f) = B. Exemplo: a.sobrejetor é )(por definida : 2xxfRRf =→ + Dizemos que uma função BAf →: é bijetora quando é injetora e sobrejetora. Exemplo: bijetora. é )(por definida : 3xxfRRf =→ 2.9- Função Inversa de uma Função Bijetora Seja BAf →: uma função bijetora. Sendo f sobrejetora, Im(f) = B, o que significa dizer que para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y, e esse x é único porque f é injetora. Podemos, então, definir uma função ABg →: que a y ∈ B associa o único x ∈ A tal que f(x) = y, ou seja, yxfxyg =⇔= )( )( . Se BAf →: é uma função bijetora, a função ABg →: definida por yxfxyg =⇔= )( )( denomina-se função inversa da função f e denotada por 1−f . AxidxyfxffAAidoff AA ∈∀===→= −−− (x),)())(( pois ,: 111 ByyidyxfyffBBidfof BB ∈∀===→= −− ),()())(( pois ,: 11 Graficamente podemos determinar se uma função f admite inversa passando retas paralelas ao eixo x por pontos do contradomínio de f; cada uma dessas retas deve cortar o gráfico de f em apenas um ponto. Os gráficos da função bijetora BAf →: e de sua inversa ABf →− :1 são simétricosem relação à bissetriz y = x do 1º e 3º quadrantes, pois )(),()()()(),( 11 −− ∈⇔=⇔=⇔∈ fGxyyfxxfyfGyx Tendo o gráfico da função bijetora f, para fazermos o gráfico da função inversa de f basta traçarmos a reta y = x e observamos a simetria. 21 Exemplos: a) A função 13)(por dada : +=→ xxfRRf é bijetora. Logo, admite inversa RRf →− :1 . Vamos apresentar dois modos para se obter uma fórmula para 1−f . 1º modo: Sendo y = 3x + 1, basta tirar x em função de y, isto é, 3 1− = yx . Logo, RxxxfRyyyf ∈∀−=∈∀−= −− , 3 1)( seja,ou , , 3 1)( 11 . 2º modo: Sendo seja,ou ,1)(3 que segue , ,))(( 11 yyfRyyyff =+∈∀= −− Ryyyf ∈∀−=− , 3 1)(1 . b) A função x xfRRf 1)(por dada : ** =→ é bijetora. Logo, admite inversa **1 : RRf →− dada por x xf 1)(1 =− . Excepcionalmente temos 1−= ff . c) O gráfico abaixo ilustra a função 2)(por dada : xxfRRf =→ que não possui inversa. Fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. Por exemplo, a função [ ) [ ) 2)(por definida ,0 ,0: xxff =∞+→∞+ tem como inversa a função [ ) [ ) xxff =∞+→∞+ −− )(por dada ,0 ,0: 11 . 22 2.10- Algumas Funções Elementares Função Exponencial de base a A função ,10 real, número um sendo ,)(por definida : ≠<=→ aaaxfRRf x é denominada função exponencial de base a. D(f) = R e Im(f) = *R + = (0, + ∞) O gráfico de xaxf =)( está todo acima do eixo das abscissas (x), pois 0>= xay para todo x ∈ R. O gráfico de xaxf =)( corta o eixo das ordenadas (y) no ponto (0, 1), pois a0 = 1. Quando a > 1, xaxf =)( é crescente. Quando 0 < a < 1, xaxf =)( é decrescente. Um caso particular importante é a função exponencial xexf =)( , onde e é o número irracional conhecido por constante de Euler (e ... 597182818284,2≅ ). Propriedades: Se a, x, y são números reais e a > 0, então: ( ) ( ) x x xxx y x yxyxyx x xxyyx aa bbaba a aaaaa a aaa 11 0 para , .. particular em , . 1 particular em , = >= == == −+ − Função Logarítmica de base a A função ,10 real, número um sendo ,log)(por definida : * ≠<=→+ aaxxfRRf a é denominada função logarítmica de base a. D(f) = *R + e Im(f) = R 23 O gráfico de xxf alog)( = está todo à direita do eixo y. O gráfico de xxf alog)( = corta o eixo das abscissas (x) no ponto (1, 0), pois loga1 =0. Quando a > 1, xxf alog)( = é crescente. Quando 0 < a < 1, xxf alog)( = é decrescente. As funções xxfRRf alog)(por definida : * =→+ e xaxgRRg =→ + )(por definida : * , sendo a um número real, 0 < a ≠ 1, são inversas uma da outra, pois ya axxy =⇔= log . Assim, o gráfico de f é simétrico ao gráfico de g em relação à reta y = x. Um caso particular importante é a função logarítmica de base e, chamada função logarítmica natural, que denotamos por xxf ln)( = . Propriedades: Se 0 < a ≠ 1 e x e y números reais positivos, então: ( ) yx y x yxyx dxdx aaa aaa a d a logloglog loglog.log real númeroqualquer para , loglog −= += = Funções Trigonométricas • Medida de ângulo em radiano (rad) É fato que a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o raio do círculo é um número real que só depende do ângulo, isto é, não depende do raio do círculo. Esta propriedade nos permite definir o seguinte: A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado pelo ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o comprimento do raio do círculo. 24 Rs R s R sÔBA R sAÔB ÔBAAÔB . radianos ' ''' radianos '' αα α =⇒= = = == A medida de um ângulo de “uma volta”, ou seja, 360o, em radianos é 2pi rad, pois rad 2 2 piααpiα =⇒=⇒= RRRs . Um ângulo mede 1 radiano quando o comprimento do arco determinado por ele em um círculo, cujo centro é o seu vértice, é igual ao raio do círculo. ≅ = o o rad 57 2 3601 pi . Quando o raio R do círculo é igual a 1, a medida do ângulo em radianos coincide com o comprimento do arco determinado pelo ângulo; isto nos permite fazer uma identificação entre ângulos e números reais. • Círculo Trigonométrico • Relações Fundamentais xgx x x tgx senx xgx tgx gx x senxtgx senx xxxsen 22 22 22 cot1seccos cos 1sec x 1sec coscot 1cot cos 1seccos 1cos +== +== == ==+ • Ângulos Notáveis 0 6 pi 4 pi 3 pi 2 pi pi 2 3pi 2pi 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o Seno 0 2 1 2 2 2 3 1 0 -1 0 Cosseno 1 2 3 2 2 2 1 0 -1 0 1 Tangente 0 3 3 1 3 Não existe 0 Não existe 0 25 . eixo u: eixo dos cossenos . eixo v: eixo dos senos . eixo t: eixo das tangentes . eixo c: eixo das cotangentes xOD xOS gxBC tgxAT xOP senxOP OA seccos sec cot cos 1 2 1 = = = = = = = • Fórmulas de Transformação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tgbtga tgbtgabatg tgbtga tgbtgabatg senbsenababa senbsenababa asenbbsenabasen asenbbsenabasen .1 .1 .cos.coscos .cos.coscos cos.cos. cos.cos. + − =− − + =+ +=− −=+ −=− +=+ ( ) ( ) ba basentgbtga ba basentgbtga babasensenbsena babasensenbsena basenbasenba bababa cos.cos cos.cos 2 cos. 2 2 2 cos. 2 2 2 . 2 2coscos 2 cos. 2 cos2coscos − =− + =+ +− =− −+ =+ −+ −=− −+ =+ • Função Seno senxOPxfRRf ==→ 1)(por definida : D(f) = R e Im(f) = [-1, 1] A função senxxf =)( é ímpar, pois ( ) senxxsen −=− . A função senxxf =)( é periódica de período 2pi, pois ( ) senxxsen =+ pi2 . A função senxxf =)( é crescente nos intervalos [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] e decrescente no intervalo [pi/2, 3pi/2]. O gráfico da função senxxf =)( é denominado senóide. • Função Cosseno xOPxfRRf cos)(por definida : 2 ==→ D(f) = R e Im(f) = [-1, 1] A função xxf cos)( = é par, pois ( ) xx coscos =− . A função xxf cos)( = é periódica de período 2pi, pois ( ) xx cos2cos =+ pi . A função xxf cos)( = é decrescente no intervalo [0, pi] e crescente no intervalo [pi, 2pi]. O gráfico da função xxf cos)( = é denominado cossenóide. 26 a aatg aa aasen atg tgaatg asenaasenaa asenaasen 2cos1 2cos1 2 2cos1cos 2 2cos1 1 22 211cos2cos2cos cos.22 2 2 2 2 2222 + − = + = − = − = −=−=−= = • Função Tangente x senxtgxATxfRZkkxRxf cos )(por definida , 2 ;: ===→ ∈+≠∈ pi pi ∈+≠∈= ZkkxRxfD , 2 ;)( pipi e Rf =)Im( A função tgxxf =)( é ímpar, pois ( ) tgxxtg −=− . A função tgxxf =)( é periódica de período pi, pois ( ) tgxxtg =+ pi . A função tgxxf =)( é crescente nos intervalos [0, pi/2), (pi/2, 3pi/2) e (3pi/2, 2pi]. O gráfico da função tgxxf =)( é denominado tangentóide. • Função Cotangente { } tgxsenx xgxBCxfRZkkxRxf 1coscot)(pordefinida , ;: ====→∈≠∈ pi { }ZkkxRxfD ∈≠∈= , ;)( pi e Rf =)Im( A função gxxf cot)( = é ímpar, pois ( ) gxxg cotcot −=− . A função gxxf cot)( = é periódica de período pi, pois ( ) gxxg cotcot =+ pi . A função gxxf cot)( = é decrescente nos intervalos (0, pi) e (pi, 2pi). • Função Secante x xOSxfRZkkxRxf cos 1sec)(por definida , 2 ;: ===→ ∈+≠∈ pi pi ∈+≠∈= ZkkxRxfD , 2 ;)( pipi e ( )1,1)Im( −−= Rf A função xxf sec)( = é par, pois ( ) xx secsec =− . A função xxf sec)( = é periódica de período 2pi, pois ( ) xx sec2sec =+ pi . A função xxf sec)( = é crescente nos intervalos [0, pi/2) e (pi/2, pi] e decrescente nos intervalos [pi, 3pi/2) e (3pi/2, 2pi]. 27 • Função Cossecante { } senx xODxfRZkkxRxf 1seccos)(por definida , ;: ===→∈≠∈ pi { }ZkkxRxfD ∈≠∈= , ;)( pi e ( )1 ,1)Im( −−= Rf A função xxf seccos)( = é ímpar, pois ( ) xx seccosseccos −=− . A função xxf seccos)( = é periódica de período 2pi, pois ( ) xx seccos2seccos =+ pi . A função xxf seccos)( = é crescente nos intervalos [pi/2, pi) e (pi, 3pi/2] e decrescente nos intervalos (0, pi/2] e [3pi/2, 2pi). Funções Trigonométricas Inversas • Função Arco Seno É impossível definir uma função inversa para a função senxxfRRf =→ )(por dada : , pois a função seno não é injetora e não é sobrejetora. Para definirmos a função inversa de senxxf =)( necessitamos restringir o domínio. Este fato ocorre com todas as funções trigonométricas. Seja [ ] senxxff =−→ − )(por definida função a 1 ,1 2 , 2 : pipi . Esta função é bijetora e, portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco seno e denotada por [ ] xsenarcxff )( onde 2 , 2 1 ,1: 11 = −→− −− pipi . Simbolicamente, para : temos, 22 pipi ≤≤− y xsenyxsenarcy =⇔= . senxxf =)( xsenarcxf )(1 =− 28 Observação: Na definição da função arco seno poderíamos ter restringido o domínio de senxxf =)( a qualquer dos seguintes intervalos: [pi/2, 3pi/2], [3pi/2, 5pi/2], [5pi/2, 7pi/2], ... ou [-3pi/2, -pi/2], [-5pi/2, -3pi/2], [-7pi/2, -5pi/2], ... . • Função Arco Cosseno Seja [ ] [ ] xxff cos)(por definida função a 1 ,1 ,0: =−→pi . Esta função é bijetora e, portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco cosseno e denotada por [ ] [ ] xarcxff cos )( onde ,01 ,1: 11 =→− −− pi . Simbolicamente, para : temos,0 pi≤≤ y xyxarcy =⇔= cos cos . xxf cos)( = xarcxf cos )(1 =− Observação: A função xarcy cos = pode ser definida também pela equação xsenarcxarc 2 cos −= pi . • Função Arco Tangente Seja tgxxfRf =→ − )(por definida função a 2 , 2 : pipi . Esta função é bijetora e, portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco tangente e denotada por xtgarcxfRf )( onde 2 , 2 : 11 = −→ −− pipi . Simbolicamente, para : temos, 22 pipi <<− y xtgyxtgarcy =⇔= . tgxxf =)( xtgarcxf )(1 =− 29 • Função Arco Cotangente, Arco Secante e Arco Cossecante ( ) bijetora é cot)( ; ,0: gxxfRf =→pi . ( ) tgxarcgxarcxfRf 2 cot )( ; ,0: 11 −==→ −− pipi . ( ] [ ) bijetora é sec)( ; ,1 1 , , 2 2 ,0: xxff =∞+−∞−→ pi pipi . ( ] [ ) == →∞+−∞− −− x arcxarcxff 1cos sec )( ; , 2 2 ,0 ,1 1 ,: 11 pipipi . ( ] [ ) bijetora é seccos)( ; ,1 1 , 2 ,0 0 , 2 : xxff =∞+−∞−→ − pipi . ( ] [ ) == −→∞+−∞− −− x senarcxarcxff 1 seccos )( ; 2 ,0 0 , 2 ,1 1 ,: 11 pipi . Funções Hiperbólicas • Função Seno Hiperbólico 2 )(por definida : xx eesenhxxfRRf − − ==→ D(f) = R e Im(f) = R • Função Cosseno Hiperbólico 2 cosh)(por definida : xx eexxfRRf −+ ==→ D(f) = R e Im(f) = [1, +∞) 30 Observação: A figura abaixo representa um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola; no entanto, é possível mostrar que a equação correspondente é = a xy cosh , onde a ∈ R e a ≠ 0. Esta curva recebe a denominação de catenária. • Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas As funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas, denotadas respectivamente por tgh, cotgh, sech e cossech, são definidas por: ( ) ( ) ( )1 ,1Im e ; cosh −== + − == − − tghRtghD ee ee x senhxtghx xx xx ( ) { } ( ) ( ) ( )∞+−∞−=−= − + == − − ,11 ,cotIm e 0cot ; coshcot ghRghD ee ee senhx xghx xx xx ( ) ( ) ( ]1 ,0secIm e sec ; 2 cosh 1sec == + == − hRhD eex hx xx ( ) { } ( ) { }0seccosIm e 0seccos ; 21seccos −=−= − == − RhRhD eesenhx hx xx • Identidades Hiperbólicas xghxh xtghxh ghx tghx xsenhx 22 22 22 cot1seccos 1sec cot 1 1cosh −=− −= = =− 31 Funções Hiperbólicas Inversas • Função Inversa do Seno Hiperbólico Analisando o gráfico da função senhxxf =)( vemos que ela é bijetora; logo admite inversa. A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e denotada por arg senh, é definida por: senhxxfRRf arg)( ; : 11 =→ −− . RfRfD == −− )Im( e )( 11 senhyxsenhxy =⇔= arg • Função Inversa do Cosseno Hiperbólico Seja [ ) [ )∞+→∞+ ,1 ,0:f a função dada por xxf cosh)( = . Esta função é bijetora. A sua inversa, chamada argumento do cosseno hiperbólico e denotada por arg cosh, é definida por: [ ) [ ) xxff cosharg)( ; ,0 ,1: 11 =∞+→∞+ −− . [ ) [ )∞+=∞+= −− ,0)Im( e ,1)( 11 ffD 0 , cosh cosharg ≥=⇔= yyxxy • Funções Inversas da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas ( ) bijetora é )( ; 1 ,1: tghxxfRf =−→ . ( ) tghxxff arg)( ; R1 ,1: 11 =→− −− . { } ( ) ( ) bijetora é cot)( ; 1, 1,0: ghxxfRf =+ ∞−∞−→− . ( ) ( ) { } ghxxfRf cotarg)( ; 01, 1,: 11 =−→+ ∞−∞− −− . [ ) ( ] bijetora é sec)( ; 1 ,0,0: hxxff =→+ ∞ . ( ] [ ) hxxff secarg)( ; ,01 ,0: 11 =+ ∞→ −− . { } { } bijetora é seccos)( ; 00: hxxfRRf =−→− . { } { } hxxfRRf seccosarg)( ; 00: 11 =−→− −− . 32 • Expressões das Funções Hiperbólicas Inversas ( ) ( ) 0 , 11lnseccosarg 10 , 11lnsecarg 1 , 1 1ln 2 1cotarg 11 , 1 1ln 2 1arg 1 , 1lncosharg , 1lnarg 2 2 2 2 ≠ + += ≤< −+ = > − + = <<− −+ = ≥−+= ∈++= x x x x hx x x xhx x x xghx x x xtghx xxxx Rxxxsenhx 33 2.11- Aplicações 1. Ao chegar a um aeroporto, um turista informou-se sobre a locação de automóveis e condensou as informações recebidas na tabela seguinte: Opções Diária Preço por km rodado Locadora 1 R$ 50,00 R$ 0,20 Locadora 2 R$ 30,00 R$ 0,40 Locadora 3 R$ 65,00 km livre a) Obtenha uma equação que defina o preço y da locação por dia, em função do número de km rodados, em cada uma das situações apresentadas na tabela. b) Represente, no mesmo plano cartesiano, os gráficos dessas equações. c) A partir de quantos quilômetros o turista deve preferir a Locadora 1 ao invés da Locadora 2? d) A partir de quantos quilômetros o turista deve optar pela Locadora 3? 2. Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o número de passageiros que torna máxima a receita da companhia? 3. A massa de materiais radioativos, como o rádio, o urânio ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa é utilizando o conceito de meia-vida desses materiais. A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário para que sua massa seja reduzida à metade. Denotando por M0 a massa inicial (corresponde ao instante t = 0) e por M a massa presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela função exponencial dada por kteMM −= 0 , sendo k > 0 uma constante. Essa equação é conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante k depende do material radioativo considerado e está relacionada com a meia-vida dele. Sabendo que a meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5730 anos, determinar: a) a constante K, do modelo de decaimento exponencial, para esse material; b) a quantidade de massa presente após dois períodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era M0; c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-14 neste é 80% da quantidade original. 4. Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo total em mil reais, dada por 47520)( 2 ++= qqqCT , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A função receita total em mil reais é dada por qqR 120)( = . a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades. b) Em que valor de q acontecerá lucro máximo? 5. Veja outros exemplos no livro texto, páginas 43 a 53. 2.12- Exercícios Páginas 53, 54, 55, 56, 57, 58 e 59 do livro texto. 34
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