Lista de Geometria Analítica

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1 
Assunto: Estudo do ponto 
 
1) Sabendo que P(2m+1;-3m-4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores de 
m. resp: -4/3<m<-1/2 
 
2) Calcule a distância entre os pontos: 
a) A(-2;-5) e B(0;0) resp: 29 u b) M(0;-2) e N( 5 ;-2) resp: 5 u 
c) P(0;-2) e Q(-3;3) resp: 34 u d) C(-4;0) e D(0;3) resp: 5u 
 
3) A distância do ponto A(a;1) ao ponto B(0;2) é igual a 3. Calcule o valor de a 
resp: 22± 
 
4) Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é eqüidistante dos pontos A(-1;2) e B(1;4). 
Quais são as coordenadas do ponto P. resp: P( 3;0) 
 
5) (UFU-MG) São dados os pontos A(2; y), B(6;1) e C(3;-1). Qual deve ser o valor de y 
para que o triângulo ABC seja retângulo em B. resp: 7 
 
6) Considerando os vértices A(-1;-3), B(6;1) e C(2;-5), verifique se o triângulo ABC é 
retângulo. resp: sim 
 
7) Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(-2;2). Sabendo que M(3;-2) é o 
ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B que é a outra extremidade. 
resp: B(8;-6) 
 
8) Os pontos A(5;8), B(2;2) e C(8;2) são vértices de um triângulo ABC. Calcule o 
comprimento da mediana relativa ao vértice A . resp: 6u 
 
9) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC, sabendo que as 
coordenadas dos pontos médios dos lados do triângulo são M(-1;-2), N(-2;3) e P(1;-1). 
resp: (0;4) , (2;-6) e (-4;2) 
 
10) Determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento de extremos A(-3;2) e 
B(9;5) em 3 partes iguais. resp: (1;3) e (5;4) 
 
11) O Triângulo ABC tem vértices A(2;2), B(5;2) e C(2;5). Determine as coordenadas do 
 seu baricentro. Resp: G(3;3) 
 
12) No triângulo ABC, B(2;4) é um dos vértices, G(3;3) o seu baricentro e M(3;4) o ponto 
 médio do lado BC. Calcule as coordenadas dos vértices A e C. Resp: A(3;1) e C(4;4) 
 
13) O triângulo ABC tem vértices A(4;1), B(5;4) e C(3;4). Considerando o triângulo MNP 
 em que M, N e P são pontos médios dos lados do triângulo ABC, determine o baricentro 
 do triângulo MNP. Resp: G(4;3) 
 
 2 
14) (MACK-SP) No triângulo ABC, A(1;1) é um dos vértices, N(5;4) é o ponto médio do 
 lado BC e M(4;2) é o ponto médio do lado AB.Calcule: 
a) as coordenadas do vértice B; Resp: B(7;3) 
b) as coordenadas do vértice C; Resp: C(3;5) 
c) as coordenadas do baricentro G. Resp: G(
3
11
;3) 
 15) Verifique se estão alinhados os pontos: 
 a) A(1;2), B(3;4) e C(4;6) Resp: não 
 b) P(2;-1), Q(-1;2) e R(0;1) Resp: sim 
 
 16) (PUC-SP) Os pontos A(3;5), B(1;-1) e C(x;-16) pertencem a uma mesma reta. Nestas 
 condições determine x. Resp: -4 
 
 17) (MACK-SP) Dados os pontos A(1;4), B(5;2) e C(7;4), sabemos que: 
- M é o ponto médio do lado AB; 
- O ponto N divide o lado AC na razão 2; 
- M, N e P são pontos alinhados, sendo P um ponto do eixo Ox. 
Determine as coordenadas do ponto P. Resp: P(-3;0) 
 
 18) Determine as coordenadas do ponto C que pertence ao eixo Oy e é colinear com os pontos 
 A(3;2) e B(5;4). Resp: C(0;-1) 
 
 19) Num sistema de coordenadas cartesianas a cidade de Taubaté tem coordenadas (-1;2), a de 
Pariquera-Acú (2;
2
1 ) e a de Porto Alegre (3;-3). Um avião que levanta vôo e segue uma 
trajetória retilínea entre as cidades de Taubaté e Pariquera-Açú e mantendo essa trajetória 
passará por Porto Alegre.Justifique a resposta 
Resp: Não,pois os pontos que representam as cidades não estão alinhados 
 
20) Calcule a área do quadrilátero de vértices nos pontos A(2;0), B(3;1), C(1;4) e D(0;2). 
 Resp: 5,5 u.a 
 
21) Sabendo que a área do triângulo de vértices nos pontos nos pontos A(5;3), B(4;2) e C(2;k) 
é igual a 8 unidades de área, calcule o valor de k. Resp: k = -16 ou k =16 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática 
Prof. Carlinhos 
 3 
Assunto: Estudo da reta 
 
1) A reta r passa pelo ponto P(4;1) e tem inclinação igual a 45º. Determine: 
a) A sua equação reduzida; Resp: y = x-3 
b) A sua equação geral; Resp: x-y-3=0 
c) Os coeficientes angular e linear da reta. Resp: mr=1 e ms= -3 
 
2) Verifique se os pontos A(1;2), B(0;4) e C(3;-1) pertencem à reta r: 3x+2y-8=0. 
 Resp: A∉ r , C∉ r e B∈r 
 
3) Sabendo que o ponto M(a;a2+3) pertence à reta r: x+y-5=0, determine a. Resp: -2 e 1 
Os pontos A(1;1), B(5;2), C(6;5) e D(2;4) são vértices de um paralelogramo, determine 
as equações das retas suportes das diagonais. Resp: AC: 4x-5y+1=0 e BD: 2x+3y-16=0 
 
4) Determine a equação geral, a equação reduzida e os coeficientes angular e linear da reta 
que passa pelos pontos A(-1;-2) e B(5;2) 
resp: 2x-3y - 4 = 0, y = 2/3x - 4/3, m = 2/3 e n = -4/3 
 
5) Determine a posição relativa entre as retas abaixo: 
 a)



=+−
=+−
0648:
0124:
yxs
yxr
resp: paralelas b) 



=−+
=+−
01046:
0323:
yxs
yxr
resp: concorrentes 
 c) 



=−+
=−+
010412
0526
yx
yx
resp: coincidentes d) 



=−+
=+−
03104
0125
yx
yx
resp: perpendiculares 
 
6) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto P(3;5) e é paralela reta s de equação 
6x-y+12=0. resp: 6x-y-13=0 
 
7) Determine k de modo que as retas r e s de equações 2x+5y-3=0 e kx-3y+1=0, 
respectivamente , sejam paralelas. resp: k=-6/5 
 
8) Determine m de modo que as retas t e v de equações (m-3)x+4y-3=0 e 6x-y+2=0 sejam 
concorrentes. resp: m≠-21 
 
9) Determine o ponto de intersecção das retas r e s de equações 2x+5y-3=0 e x-y+2=0. 
 resp: (-1;1) 
 
10) Quais são os vértices do triângulo cujas as retas suportes dos lados têm equações 
x+y-3=0 , 2x-3y+7=0 e y+1=0. resp: (-5;-1) , (4;-1) e (2/5;13/5) 
 
11) Determine a equação geral da reta r que passa pelo ponto P(4;2) e pela intersecção das 
retas t e v de equações 2x+3y-5=0 e 3x+y-4=0, respectivamente. resp: x-3y-2=0. 
 
12) Determine a equação da reta t que passa pelo ponto P(3;4) e é perpendicular á reta s de 
equação 5x+4y-2=0. resp: 4x-5y+8=0 
 4 
13) Determine a equação da reta mediatriz do segmento de extremos nos pontos A(-2:2) e 
B(4;-4). resp: x-y+2=0 
 
14) Os pontos A(1;1), B(5;2), C(6;5) e D(2;4) são os vértices de um paralelogramo. 
Determine o ponto de intersecção das diagonais. resp: (7/2;3) 
 
15) Determine a equação da reta r que passa pela origem e pela intersecção das retas 
2x+y-6=0 e x-3y+11=0. resp: 4x-y = 0. 
 
16) Determine o ângulo formado pelas retas r e s de equações 2x + y -5 = 0 e 
6x – 2y + 1 =0, respectivamente. Resp: 45° 
 
17) Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto P(2;3) e que forma um ângulo de 
45º com a reta s de equação 3x - 2y + 1 = 0. resp: x - 5y + 13 = 0 ou 5x + y + 13 = 0 
 
18) determine a distância entre o ponto A(2;1) e a reta r, de equação x + 2y - 24 = 0. 
resp: 2 5 u 
 
19) Determine a distância entre as retas paralelas r e s, de equações 2x + 3y - 6 = 0 e 
2x + 3y - 10 = 0. resp: 
13
134
u 
 
20) Determine a altura de um trapézio cujos vértices são os pontos A(1;1), B(1;3), C(7;5) e 
D(2;4). resp: 
13
267
u 
 
 
Assunto: Circunferência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática 
Prof. Carlinhos 
 5 
Assuntos: Circunferência 
 
1) Determine a equação geral da circunferência de raio 4 e centro no ponto C(3;5).
Resp: x2 + y2 – 6x – 10y + 18 = 0 
2) Determine a equação geral da circunferência que passa pelo ponto P(-2;4) e tem centro no ponto 
0(6;-2). Resp: x2 + y 2 –12x + 4y – 60 = 0 
3) Determine a equação reduzida da circunferência que tem um diâmetro com extremidades em 
A(-2; 6) e B(8;4). Resp: ( x – 3)2 + ( y – 5)2 = 26 
4) Determine o centro e o raio das circunferências de equações: 
a) ( x – 9)2 + ( y + 3)2 = 7 Resp: C(9;-3) e r = 7 
b) x2 + y2 – x + 2y – 1 = 0 Resp: C( ½;-1) e r = 3/2 
c) 4x2 + 4y2 – 8x + 16y – 16 = 0 Resp: C(1;-2) e r = 3 
5) Determine para quais valores de a a equação abaixo é uma circunferência: 
a) x2 + y2 – 6x + 8y – a = 0 Resp: a > -25 
b) ax2 + 3y2 + 9x – 6y + 12 = 0 Resp: não existe a 
6) Dada a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0, determine a posição relativa dos 
pontos: 
a) A(1;2) resp: A pertence à circunferência b) B(3;3) resp: interior c) C(6;3) resp: exterior 
7) Determina o valor de a de modo que o ponto P(a;1) pertença à circunferência de equação 
x
2
 + y2 + 3y – 4 = 0. resp: a = 0 
8) Dada a circunferência de equação x2 + y2 +4x – 6y + 8 = 0, determine a posição relativa das 
retas: 
a) 2x – y + 9 = 0 b) x + 2y – 9 = 0 c) x + 2y – 1 = 0 d) 2x – y + 1 = 0 
resp: a) secante b) tangente c) secante d) exterior 
9) Determine os pontos de intersecção da circunferência de equação x2 + y2 –2x –2y – 8 = 0 com as 
retas de equação: 
a) 3x – y +4 = 0 resp: (0 ; 4) e (-8/5 ; -4/5) b) x – 3y + 2 = 0 resp: (4 ; 2) e (-2 ; 0 ) 
10) Determine as posições relativas entre as circunferências de equações: 
 
a) x2 + y2 – 8x – 8y + 12 = 0 e x2 + y2 –4x + 8y + 16 = 0 resp: exteriores 
 
b) x2 + y2 = 4 e x2 + y2 – 6x -12y + 20 = 0 resp: secantes 
 
c) x2 + y2 = 8 e x2 + y2 – 8x - 8y + 24 = 0 resp: tangente exteriormente 
 
d) x2 + y2 – 8x – 8y + 12 = 0 e x2 + y2 –4x - 6y + 12 = 0 resp: interiores 
 
11) Determine os pontos de intersecção das circunferências de equações: 
 
a) x2 + y2 = 4 e x2 + y2 –8x + 8y + 12 = 0 resp: (0;-2) e (2; 0) 
 
b) x2 + y2 + 8x - 4 = 0 e x2 + y2 – 8x - 8y + 12 = 0 resp: (0;2) 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática 
Prof. Carlinhos 
 6 
Assunto: Elipse 
 
 
1) Determinar a equação reduzida da elipse de centro na origem, cujo o eixo maior mede 10 
unidades e está sobre o eixo x, e o eixo menor 6 unidades. Resp: 1
925
22
=+
yx
 
 
2) Determinar a equação reduzida da elipse de centro na origem, cujo o eixo maior mede 14 
unidades e está sobre o eixo y, e o eixo menor 4 unidades. Resp: 1
494
22
=+
yx
 
 
3) Escrever a equação da elipse de focos F1(-4 ; 0) e F2(4 ; 0) e cujo o comprimento do eixo 
maior é 10 unidades. 
 
4) Uma elipse tem por equação 9x2 + 16y2 = 144. Determine: 
a) As coordenadas dos focos. Resp: F1(- 7 ; 0) e F2( 7 ; 0) 
b) O comprimento de cada eixo. Resp: Eixo maior = 8 u Eixo menor = 6 u 
c) A sua excentricidade> Resp: e = 
4
7
u 
 
5) Uma elipse passa pelo ponto L(0; - 3). Sabendo-se que seus focos são os pontos 
 F1(0; - 5 ) e F2(0; 5 ). Determine a sua equação reduzida. Resp: 194
22
=+
yx
 
 
6) Dada a elipse de equação 1
16
)3(
25
)4( 22
=
+
+
− yx
, determine : 
a) As coordenadas do centro. Resp: O(4, -3) 
b) As coordenadas dos focos. Resp: F1(7, -3) e F2(1, -3) 
c) Os comprimentos dos eixos. Resp: eixo maior = 10 e eixo menor = 8 
 
7) Determine a equação da elipse de eixo maior na vertical igual 16u, eixo menor igual 2 e 
centro no ponto O(2, -7). 
Resp: 1
64
)7(
1
)2( 22
=
+
+
− yx
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática 
Prof. Carlinhos 
 7 
 
Assunto: Hipérbole 
 
1) Determinar a equação reduzida da hipérbole cujo o eixo imaginário mede 4 unidades e 
seus focos são os pontos F1(0;-6) e F2(0;6). Resp: 1432
22
=−
xy
 
 
2) A equação de uma hipérbole é 9x2 – 25y2 = 225. Determinar: 
 
a) As coordenadas dos focos. Resp: F1(- 34 ; 0) e F2( 34 ; 0) 
 
b) O comprimento de cada eixo. Resp: Eixo real = 10 u Eixo imaginário = 6 u 
c) A sua excentricidade. Resp: e = u
5
34
 
 
3) Determine as equações das hipérboles cujos gráficos são: 
a) b) 
 
 
4) Achar a equação da hipérbole de centro (4; - 2) , cujo o eixo real é paralelo ao eixo x e 
mede 10 u, e a distancia focal igual a 2 29 u. Resp: 1
4
)2(
25
)4( 22
=
+
−
− yx
 
 
5) Seja a hipérbole de equação 4y2 – x2 = 16. Determine a equação da circunferência cujo o 
centro coincide com o centro da hipérbole e que passa pelos pontos focos da hipérbole. 
Resp: x2 + y2 = 20 
 
 
 
 
 
 
Resp: 
 
a) 1
124
22
=−
xy
 
 
b) 1
169
22
=−
yx
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD 
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática Prof. Carlinhos 
 8 
Assunto: Parábola 
 
1) Determine as coordenadas do vértice, do foco e equação da reta diretriz da parábola de 
equação: 
 
a) x2=4y resp: V(0;0), F(0;1) e d: y = -1 
b) y2=4x resp: V(0;0), F(1;0) e d: x = -1 
c) x2=-4y resp: V(0;0), F(0;-1) e d: y = 1 
d) y2=-4x resp: V(0;0), F(-1;0) e d: x = 1 
e) (x-1)2 = 8(y-1) resp: V(1;1), F(1;3) e d: y = -1 
f) (y-2)2 = 16(x-3) resp: V(3;2), F(7;2) e d: x = -1 
g) (x-2)2 = -8(y+1) resp: V(2;-1), F(2;-3) e d: y = 1 
h) y2 –10y + 2x + 27 = 0 resp: V(-1; 5), F(-3/2;5) e d: x = -1/2 
i) x2 – 6x – y + 5 = 0 resp: V(3;1), F(3;5/4) e d: y = 3/4 
 
2) Determine as equações reduzidas das parábolas dados os vértices e os focos: 
 
a) V(2;1) e F(4;1) resp: (y-1)2 = 8(x-2) 
b) V(1;-1) e F(1;3) resp: (x-1)2 = 16(y+1) 
c) V(1;0) e F(1;-2) resp: (x-1)2 = -8y 
d) V(-1;-4) e F(-1;0) resp: resp: (x+1)2 = 16(y+4) 
 
3) Determine as equações reduzidas das parábolas dados as diretrizes e os focos: 
 
a) d: x = -2 e F(0;2) resp: (y-2)2 = 4(x+1) 
b) d: y = -2 e F(2;0) resp: (x-2)2 = 4(y+1) 
c) d: y = 1 e F(2;-3) resp: (x-2)2 = -8(y+1) 
d) d: x = 1 e F(-3;2) resp: (y-2)2 = -8(x+1) 
 
4) Determine a equação da parábola representada abaixo: 
 
 
resp: a) y2 =12x b) x2 = 8y c) x2 = -12y 
 
 
 
 
 9 
5) Determine a equação da parábola representada abaixo: 
 
 
resp: a) (x-7)2 = 8(y-5) b) (x-2)2 = -12(y-3) c) (y-4)2 = 4(x-4) 
 
6) A secção transversal de um túnel tem a forma de um arco de parábola, com 10m de 
largura na base e altura máxima de 6m, que ocorre acima do ponto médio da base. De cada 
lado, é reservado 1,5m para passagem de pedestres; e o restante é dividido em duas pistas 
para veículos. 
 As autoridades só permitem que um veículo passe por esse túnel caso tenha uma altura 
de, no máximo, 30cm a menos que a altura mínima do túnel sobre as pistas para veículos. 
 Calcule a altura máxima que um veículo pode ter para que sua passagem seja 
permitida. 
resp: 2,76m 
 
Bibliografia: 
Curso de Matemática – Volume Único 
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna 
Matemática Fundamental - Volume Único 
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único 
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática 
Prof. Carlinhos