Introdução Cálculo Diferencial (Estácio) - Lista de Exercícios

Prévia do material em texto

LISTA 1 DE EXERCÍCIOS - 2015
FUNÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU
1. Um comerciante teve uma despesa de R$230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por R$5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda:
a) Qual a lei dessa função f;
b) Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso?
c) Para que valores de x haverá um lucro de R$315,00?
d) Para que valores de x o lucro será maior que R$280,00?
2. O lucro (em reais) de um estabelecimento comercial pode ser estimado pela lei L(x) = -x2 +75x + q, sendo x o número de unidades vendidas e q uma constante real. Sabendo que o lucro se anula quando são vendidas 15 peças, determine: 
O valor de q.					resp. q = -900
O lucro obtido na venda de 20 peças.	Resp. R$200,00
3. Um fabricante de fogões produz 400 unidades por mês quando o preço de venda é R$500,00 por unidade e são produzidas 300 unidades por mês quando o preço é R$400,00. Admitindo que a função oferta seja uma função afim, determine sua equação.
4. Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 3000,00, e uma parte variável, que corresponde à comissão de 5% sobre o valor total das vendas que ele faz durante o mês. 
Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em função de x (valor total apurado com as suas vendas). 
b) 	Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha vendido 10000 	reais de um determinado produto?
c) Determine o valor total em vendas do representante para um determinado 	produto para ele obtenha R$ 7000,00 de salário no final do mês.
5. Seja f uma função com domínio nos números reais definida pela lei f(x) = -2x3 + ax2 + bx + c, sendo a, b e c constantes reais. Sabendo que f(0) = -1, f(1) = 2 e f(-2) = 29, determine os valores de a, b e c. resp. a = 4, b = 1 e c = -1
6. Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1200,00, e uma parte variável, que corresponde à comissão de 6% sobre o valor total das vendas que ele faz durante o mês. 
Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em função de x (valor total apurado com as suas vendas). 
b) 	Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha vendido 
R$ 20 000,00?
resp.
7. Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por RT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = RT(q) – CT(q). Considerando que as funções RT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 com faturamento e custo. A partir disso analise a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo. Resp. 4
8. Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de estacionamento é R$20. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for R$15, estacionarão 75 automóveis. Admitindo que a equação da demanda é uma função afim, obtenha sua função. Resp. y = - 0,2x + 30.
 Considere o par ordenado (X , Y)
preço
quantidade 
Logo temos os seguintes pares ordenados: (50 , 20) e (75 , 15)
Como a função demanda é dada por uma função afim ( y = ax + b), devemos encontrar o valor de a e o valor de b. Temos então a função demanda.
Como encontrar o valor de a? 
 
Agora precisamos do b. 
Procedimento:
Substitua o a = - 0,2 na função y = ax + b y = - 0,2x + b. Mesmo assim ainda não é possível achar o b, pois temos a presença das variáveis x e y. Nesse caso precisamos substitui um dos pares ordenados (50 , 20) ou (75 , 15). Escolhi o par (50, 20). 
Como x = 50 e y = 20, então teremos (20) = - 0,2 (50) + b (resolvendo essa eq. para encontrar o valor de b).
(20) = - 0,2 (50) + b
20 = - 10 + b
b = 20 + 10
b = 30
Logo a função demanda será y = - 0,2x + 30.
A partir do exemplo 8, desenvolva as questões 9 e 12.
9. Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês, se o preço unitário é R$5. A empresa acredita que, reduzindo o preço em 20%, o número de unidades vendidas será 50% maior. Obter a equação de demanda. (função afim) resp. y = - 0,01x + 7. 
10. Em uma função polinomial do primeiro grau, y + ax + b, sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. Escreva a função e calcule a f(-1/2). Resp. f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7
11. Uma bola lançada para cima, verticalmente, tem sua altura h (medida em metros) dada em função do tempo t decorrido após o lançamento (t medido em segundos) pela função h = 20t – 5t2. Determine:
a) O tempo decorrido até a bola chegar à altura máxima; resp. 2 segundos
b) A altura máxima da bola; resp. 20 metros
c) O tempo decorrido até a bola cair no solo. Resp. 4 minutos
12. O Sr. Carlos é proprietário de um hotel para viajantes solitários com 40 suítes. Ele sabe que, se cobrar R$150 por diária, o hotel permanecerá lotado. Por outro lado, para cada R$5 de aumento na diária, uma suíte permanece vazia.
a) Qual a equação de demanda, admitindo-a função afim. Resp. y = -5x + 350.
b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita? Resp. p = 175 reais.
13. O lucro total de uma empresa em função do número de peças vendidas é dado pela função L = - x2 + 20x – 10, onde L representa o lucro (em milhares de reais) e x o número de peças vendidas (em milhares de unidades). Pede-se:
A quantidade de peças vendidas para que o lucro da empresa seja o máximo possível. Resp. xv = 10.000 unidades.
14. Uma pedra é atirada para cima e sua altura h, em metros, é dada pela função h(t) = at2 + 12t, em que t é medido em segundos. Se a pedra atingiu a altura máxima no instante t = 2 o que você pode afirmar sobre o valor de a? resp. a = -3.
15. A função f(x) = ax2 – 2x + a tem valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições determine a f(-2). Resp. -1
16. (FGV) A receita mensal de vendas de uma empresa (y) relaciona-se com os gastos mensais com propaganda (x) por meio de uma função do 1 grau. Quando a empresa gasta R$10.000,00 por mês de propaganda, sua receita naquele mês é de R$80.000,00; se o gasto mensal com propaganda for o dobro daquele, a receita mensal cresce 50% em relação àquela.
a) Qual a receita mensal se o gasto mensal com propaganda for de R$30.000,00?
b) Obtenha a expressão de y em função de x.
17. Escreva a expressão da função para o gráfico abaixo.
18. (UERJ 2009) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais:
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D.
A equação de uma dessas parábolas é . Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a:
(a) 38 (b) 40 (c) 45 (d) 50 (e) 65
19. (PUC – Campinas – SP) A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por  com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura máxima que o projétil atingiu.
20. (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura. A equação da parábola era do tipo . O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:
(a) na baliza. (b) atrás do gol (c) dentro do gol	(d) antes da linha do gol
21. (U. F. JUIZDE FORA-MG) Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação da população de insetos em função do tempo, em semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por:.
a) Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce.
b) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? Quando?
22. A quantidade vendida de um bem está relacionada a seu preço, segundo a função linear , . Para cada preço p fixado a receita obtida com a venda da quantidade correspondente q do bem é o produto da quantidade pelo preço unitário: R= pq. Descreva a receita em função do preço p. Determine qual a receita máxima e qual o preço que determina esta receita máxima.
23. Em uma plantação, a produção P de feijão depende da quantidade q de fertilizante utilizada e tal dependência pode ser expressa por . Considerando nessa lavoura a produção medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2, determine a quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a produção máxima.