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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Aula 2: LIMITES
1
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Conteúdo desta Aula
AULA 2: LIMITES
Limites de Funções; 
Continuidade de uma Função;
Análise Gráfica de Limites; 
Como Calcular Limites;
Limites Envolvendo Infinito.
2
AULA 2: LIMITES
Na matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, isto é, 
tende para infinito.
Seja uma sequência de números reais. A expressão: 
 
significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência. 
Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.
Limite de Funções
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
3
Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão:
significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x suficientemente próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de c, 
é L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira mesmo quando               ou quando a função sequer está definida em c. 
Consideremos à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:
AULA 2: LIMITES
Limite de Funções
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
4
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
f(1.9)
f(1.99)
f(1.999)
f(2)
f(2.001)
f(2.01)
f(2.1)
0.4121
0.4012
0.4001
0.4
0.3998
0.3988
0.3882
À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente
temos a igualdade                       
Sempre que se verifique a igualdade                        , diz-se que f é contínua em x = c. 
A igualdade não é válida para todas as funções. Vejamos uma função onde tal não acontece:
AULA 2: LIMITES
Continuidade de uma função
5
O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas                         
e consequentemente g não é contínua em x = 2.
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Continuidade de uma função
AULA 2: LIMITES
6
Assim, o conceito de continuidade de uma função em um ponto de seu domínio pode ser colocado na forma de uma definição precisa:
Definição: f é contínua em um ponto a de seu domínio quando                       . Quando f é contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua.
Observamos que para questionarmos se uma dada função é contínua em determinado ponto, precisamos tomar o cuidado de verificar se esse ponto pertence ao domínio da função. Se tal ponto não está no domínio, a função não é contínua nesse ponto.
Assim,    é uma função contínua em todos os pontos de seu domínio                   , porém não é contínua no conjunto R, pois não é contínua em x=0, uma vez que não está definida nesse ponto.
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Continuidade de uma função
7
Graficamente falando, uma função é contínua em um ponto se o gráfico não apresenta falha 
(do tipo “quebra”, “pulo”....) naquele ponto. Exemplos:
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Análise Gráfica de limites
8
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Análise Gráfica de limites
9
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Análise Gráfica de limites
10
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Análise Gráfica de limites
11
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Análise Gráfica de limites
12
Determinar o limite da função f(x) = x² – 5x + 3, quando x tende a 4.
Nesse caso, devemos aplicar a seguinte regra: o limite das somas é a soma dos limites. 
Portanto, devemos determinar o limite de cada monômio e depois realizar a soma entre eles.
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Como calcular limites
13
Exemplo 2: 
Calcular o limite da função, quando x tende a –2.
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Como calcular limites
14
Se f(x) é uma função real, então o limite de f em x aproximando-se do infinito é L, denotado  
 
se e somente se para todo         existe S > 0 tal que                       sempre x > S
Similarmente, o limite de f em x aproximando-se do infinito negativo é L, 
denotado                         
se e somente se para todo         existe S < 0 tal que                       sempre x < S.
Por exemplo               
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Limites envolvendo infinito
15
Outro exemplo: Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamento numérico desta função pelas tabelas a seguir.
Quando x -> 0, por valores maiores que zero (x -> 0+) os valores da função crescem sem limite.
Comportamentode fàesquerdade x=0
x
-1
-0,1
-0,01
-0,001
-0,0001
f(x)
-1
-10
-100
-1000
-10000
Comportamentode fàdireitade x=0
x
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
f(x)
1
10
100
1000
10000
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Limites envolvendo infinito
16
Quando x -> 0, por valores menores que zero (x-> 0_) os valores da função decrescem sem limite.
Observamos que próximo de x=0, o comportamento da função é estranho.
 
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Limites envolvendo infinito
17
Analisaremos agora o comportamento de h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente (x ) ou 
quando x decresce arbitrariamente (x   - ).
Comportamento de h para x pequenos
x
-1
-10
-100
-1000
-10000
-100000
h(x)
-1
-0,1
-0,01
-0,001
-0,0001
-0,00001
Comportamento de h de h para x grandes
x
1
10
100
1000
10000
100000
h(x)
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Limites envolvendo infinito
18
Pelas tabelas observamos que:  
 
Limx
+
h(x) = 0
Limx
-   
h(x) = 0
e quando construimos o gráfico de h, observamos que existe uma reta (assíntota) horizontal que é a reta y=0, que nunca toca a função, mas se aproxima dela em +    e em -    .
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Limites envolvendo infinito
19
AULA 2: LIMITES
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Limites envolvendo infinito
20
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS?
 
Introdução à Derivada;
O Coeficiente Angular;
Interpretação Gráfica da Derivada.
21

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