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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Aula 2: LIMITES 1 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Conteúdo desta Aula AULA 2: LIMITES Limites de Funções; Continuidade de uma Função; Análise Gráfica de Limites; Como Calcular Limites; Limites Envolvendo Infinito. 2 AULA 2: LIMITES Na matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, isto é, tende para infinito. Seja uma sequência de números reais. A expressão: significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência. Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L. Limite de Funções MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 3 Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão: significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x suficientemente próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de c, é L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira mesmo quando ou quando a função sequer está definida em c. Consideremos à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos: AULA 2: LIMITES Limite de Funções MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 4 MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1) 0.4121 0.4012 0.4001 0.4 0.3998 0.3988 0.3882 À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente temos a igualdade Sempre que se verifique a igualdade , diz-se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções. Vejamos uma função onde tal não acontece: AULA 2: LIMITES Continuidade de uma função 5 O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas e consequentemente g não é contínua em x = 2. MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Continuidade de uma função AULA 2: LIMITES 6 Assim, o conceito de continuidade de uma função em um ponto de seu domínio pode ser colocado na forma de uma definição precisa: Definição: f é contínua em um ponto a de seu domínio quando . Quando f é contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é contínua. Observamos que para questionarmos se uma dada função é contínua em determinado ponto, precisamos tomar o cuidado de verificar se esse ponto pertence ao domínio da função. Se tal ponto não está no domínio, a função não é contínua nesse ponto. Assim, é uma função contínua em todos os pontos de seu domínio , porém não é contínua no conjunto R, pois não é contínua em x=0, uma vez que não está definida nesse ponto. AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Continuidade de uma função 7 Graficamente falando, uma função é contínua em um ponto se o gráfico não apresenta falha (do tipo “quebra”, “pulo”....) naquele ponto. Exemplos: AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Análise Gráfica de limites 8 AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Análise Gráfica de limites 9 AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Análise Gráfica de limites 10 AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Análise Gráfica de limites 11 AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Análise Gráfica de limites 12 Determinar o limite da função f(x) = x² – 5x + 3, quando x tende a 4. Nesse caso, devemos aplicar a seguinte regra: o limite das somas é a soma dos limites. Portanto, devemos determinar o limite de cada monômio e depois realizar a soma entre eles. AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Como calcular limites 13 Exemplo 2: Calcular o limite da função, quando x tende a –2. AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Como calcular limites 14 Se f(x) é uma função real, então o limite de f em x aproximando-se do infinito é L, denotado se e somente se para todo existe S > 0 tal que sempre x > S Similarmente, o limite de f em x aproximando-se do infinito negativo é L, denotado se e somente se para todo existe S < 0 tal que sempre x < S. Por exemplo AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Limites envolvendo infinito 15 Outro exemplo: Seja f a função definida por f(x)=1/x. Iremos analisar o comportamento numérico desta função pelas tabelas a seguir. Quando x -> 0, por valores maiores que zero (x -> 0+) os valores da função crescem sem limite. Comportamentode fàesquerdade x=0 x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 f(x) -1 -10 -100 -1000 -10000 Comportamentode fàdireitade x=0 x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 f(x) 1 10 100 1000 10000 AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Limites envolvendo infinito 16 Quando x -> 0, por valores menores que zero (x-> 0_) os valores da função decrescem sem limite. Observamos que próximo de x=0, o comportamento da função é estranho. AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Limites envolvendo infinito 17 Analisaremos agora o comportamento de h(x)=1/x, quando x cresce arbitrariamente (x ) ou quando x decresce arbitrariamente (x - ). Comportamento de h para x pequenos x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 h(x) -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 Comportamento de h de h para x grandes x 1 10 100 1000 10000 100000 h(x) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Limites envolvendo infinito 18 Pelas tabelas observamos que: Limx + h(x) = 0 Limx - h(x) = 0 e quando construimos o gráfico de h, observamos que existe uma reta (assíntota) horizontal que é a reta y=0, que nunca toca a função, mas se aproxima dela em + e em - . AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Limites envolvendo infinito 19 AULA 2: LIMITES MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS Limites envolvendo infinito 20 VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? Introdução à Derivada; O Coeficiente Angular; Interpretação Gráfica da Derivada. 21
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