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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Aula 1: PLANO DE ENSINO / REVISÃO DE FUNÇÕES E GRÁFICOS
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Matmática para Negócios
Conteúdo desta Aula
AULA 1: PLANO DE ENSINO / REVISÃO DE FUNÇÕES E GRÁFICOS
Estrutura do conteúdo; 
Procedimentos de Avaliação;
Bibliografia Básica; 
Bibliografia Complementar;
Indicação e Apresentação do Material Didático;
Domínio, Contradomínio e Imagem;
Funções Afim ou do 1º Grau; 
Funções do 2º Grau;
Funções Polinomiais; 
Funções Exponenciais;
Funções Logarítmicas.
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AULA 1: PLANO DE ENSINO / REVISÃO DE FUNÇÕES E GRÁFICOS
UNIDADE 1 Revisão de Funções e Gráficos
1.1         Conceito 
1.2         Domínio
1.3         Funções lineares e não lineares
1.4         Funções crescentes e decrescentes 
1.5         Pontos de máximo e mínimo 
1.6         Estudo do sinal de funções elementares e suas aplicações
UNIDADE 2 Limites 
2.1         Introdução ao Limite
2.2         Análise gráfica de Limite
2.3         Como calcular Limites
UNIDADE 3 Derivada de uma função
3.1         Introdução à Derivada
3.2         O coeficiente angular
3.3         Interpretação gráfica da derivada
Estrutura do Conteúdo
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AULA 1: PLANO DE ENSINO / REVISÃO DE FUNÇÕES E GRÁFICOS
Estrutura do Conteúdo
UNIDADE 4  Regras de Derivação
4.1         Introdução
4.2         Derivada de função 
4.3         Derivada de uma soma (ou subtração) de funções
4.4         Derivada do produto de duas funções: a regra do produto
4.5         Derivada da divisão de duas funções: a regra do quociente
4.6         Aplicação de Derivada para Determinação de Máximos e Mínimos. 
	 Problema de Otimização
 
UNIDADE 5  Aplicações Matemáticas em Economia
5.1         Maximização do lucro de uma empresa
5.2         Receita, Custo e Lucro Marginais
5.3         Ponto de Equilíbrio
5.4         Elasticidade – preço da demanda
 
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UNIDADE 6 Aplicações Matemáticas em Marketing
6.1         Previsão e mensuração de demanda
6.2         Pesquisa de marketing
6.3         Mensuração do valor da marca
6.4         Gerenciamento de preços
6.5         Promoção de vendas/ Descontos
6.6         Propaganda/ Dispêndio de marketing
6.7         Orçamento de marketing
UNIDADE 7 Aplicações Matemáticas em Produção
7.1         Medida da Produtividade
7.2         Projeto e Medida do Trabalho
7.3         Medida da Capacidade
7.4         Avaliação de alternativas de localização
 
 
Estrutura do Conteúdo
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Estrutura do Conteúdo
UNIDADE 8 Aplicações Matemáticas em Logística
8.1         Operações de Armazenagem
8.2         Controle de Estoque
8.3         Operações de Transporte 
8.4         Operações de Movimentação e Embalagem
8.5         Otimização de Sistemas de Transporte
UNIDADE 9 Aplicações Matemáticas em Finanças
9.1         Risco Sistemático e Beta de carteiras de Investimentos
9.2         CAPM (Modelo de Precificação de Ativos Financeiros)
9.3         WACC (Custo de Capital Médio Ponderado) / Obtenção de capital
9.4         Modelo de Dividendos
9.5         Análise de Investimentos
9.6         Alavancagem Financeira
9.7         Medidas de liquidez, rentabilidade, estrutura de capital e de giro
UNIDADE 10 Aplicações Matemáticas em Negócios 
10.1      Planos de Negócios
  
 
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O processo de avaliação oficial será composto de três etapas, Avaliação 1 (AV1), Avaliação 2 (AV2) e Avaliação 3 (AV3), sendo AV2 e AV3 unificadas, a partir de um banco de questões propostas pelos professores da Estácio de todo o Brasil.
As avaliações poderão ser realizadas por meio de provas teóricas, provas práticas, e realização de projetos ou outros trabalhos, representando atividades acadêmicas de ensino, de acordo com as especificidades de cada disciplina. A soma de todas as atividades que possam vir a compor o grau final de cada avaliação não poderá ultrapassar o grau máximo de 10, sendo permitido atribuir valor decimal às avaliações. Caso a disciplina, atendendo ao projeto pedagógico de cada curso, além de provas teóricas e/ou práticas contemple outras atividades acadêmicas de ensino, estas não poderão ultrapassar 20% da composição do grau final.
 
A AV1 contemplará o conteúdo da disciplina até a sua realização, incluindo o das atividades estruturadas.
As AV2 e AV3 abrangerão todo o conteúdo da disciplina, incluindo o das atividades estruturadas.
Procedimentos de Avaliação
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Procedimentos de Avaliação
Para aprovação na disciplina, o aluno deverá:
 1.   Atingir resultado igual ou superior a 6,0, calculado a partir da média aritmética entre os graus das avaliações, sendo consideradas apenas as duas maiores notas obtidas dentre as três etapas de avaliação 
(AV1, AV2 e AV3). A média aritmética obtida será o grau final do aluno na disciplina;
2.   Obter grau igual ou superior a 4,0 em, pelo menos, duas das três avaliações;
3.   Frequentar, no mínimo, 75% das aulas ministradas.
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Bibliografia Básica
LAPA, Nilton. Matemática Aplicada. Uma abordagem Introdutória. Rio de Janeiro: Editora Saraiva, 2012.  
LEITE, Angela. Aplicações da Matemática. Administração, Economia e Ciências Contábeis. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
MULLER, Franz August; GARCIA, Adriana Martins. Matemática Aplicada a Negócios. Uma ferramenta para comunicação e decisão. Rio de Janeiro: Editora Saraiva, 2012. 
  
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GOLDSTEIN, Larry Joel; LAY, David C.; SCHNEIDER, David I. Matemática aplicada: economia, administração e contabilidade. São Paulo: Bookman, 2006.
GUIDORIZZI, Hamilton L. Matemática para Administração. Rio de Janeiro: LTC, 2002.  
HARIKI, S. Matemática Aplicada: Administração, Economia e Contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999.
MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton O. Introdução ao Cálculo para Administração, Economia e Contabilidade. Rio de Janeiro: Editora Saraiva, 2011.
SILVA, Luiza Maria Oliveira da.;  MACHADO, Maria Augusta Soares. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade – Funções de uma e mais variáveis. São Paulo: Cengage, 2011.
Bibliografia Complementar
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Material didático customizado da instituição para a disciplina, quadro branco, data show, retroprojetor, TV, DVD, é proveitoso fazer uso do Laboratório de informática, com o intuito, por exemplo, de se utilizar os softwares de traçado de gráficos.
 
Pode-se fazer uso de indicações de sites confiáveis de conteúdo matemático, como por exemplo, www.somatematica.com.br , no qual se encontram, entre outros conteúdos relevantes, diversos softwares livres para a construção de gráficos e melhor visualização dos conceitos. Sinalizamos também o site www.wolframalpha.com como um excelente recurso.
 
Recomenda-se a leitura do material didático e acesso a Biblioteca Virtual da Estácio.  
Indicação e apresentação do material didático
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Função
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Seja f uma função (Matemática) 
é uma lei que associa elementos de um conjunto
a elementos de um outro conjunto 
 Costuma-se denotar por 
o elemento que a função 
associa ao elemento 
: 
chamado o domínio da função,
chamado o contradomínio da função. 
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Domínio, Contradomínio e imagem
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O domínio é o conjunto que contém todos os elementos 
x para os quais a função deve ser definida. 
Já o contradomínio é: o conjunto que contém os elementos quepodem ser relacionados a elementos do domínio. Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. 
O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.
Note-se que a função se caracteriza pelo domínio, o contra-domínio, e a lei de associação.
Exemplo: Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} cria-se a função f: A —> B definida por f(x) = x + 5 que também pode ser representada por y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:
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No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e:
a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6;
a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9;
a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado por f(7) = 12.
Domínio, Contradomínio e imagem
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Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f
de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números
 reais dados e a 0.
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número 
b é chamado termo constante.
 
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Funções afim ou do 1º Grau
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O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
   
 Exemplo:
    o gráfico da função y = 3x - 1:
    Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los:
    a)    Para   x = 0, tem-se   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
    b)    Para   y = 0, tem-se   0 = 3x - 1; portanto, x=1/3, é outro ponto (1/3,0) .
    Marca-se os pontos (0, -1) e (1/3,0) no plano cartesiano e liga-se os dois com uma reta. 
Gráfico de uma função do 1º Grau
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Função y = 3x - 1:
x
y
0
-1
1/3
0
Gráfico de uma função do 1º Grau
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Já verificou-se que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
    
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como será verificado adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
   
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, tem-se y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
 Função Linear Crescente: a > 0 (Ex: y = 3x – 1)
 Função Linear Decrescente: a < 0 (Ex: y = -2x + 5)
 
Funções lineares crescentes e decrescentes
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Quando se tem uma função, pode ocorrer que, aumentando os valores de x, os valores das imagens também aumentem. Nesse caso, diz-se que a função cresce. Ao contrário do que ocorre nas funções crescentes, uma função é decrescente quando os valores de x aumentam e os valores de y diminuem. 
Exemplos de gráficos: funções lineares, crescentes e decrescentes
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a) y= x² + 3x + 2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y= x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y= x² - 4 ( a=1; b=0; c=-4 )
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de
acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e 
a ≠ 0, é denominada função polinomial do 2º grau ou quadrática. Generalizando, tem-se: 
Funções Polinomiais do 2º Grau
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O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:
Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo. 
Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.
PONTO MÍNIMO
PONTO MÁXIMO
Ponto Máximo e ponto mínimo das funções do 2º Grau
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Para se determinar o ponto máximo e o ponto mínimo de uma função do 2º grau basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:  
O valor de x na determinação do vértice de uma parábola é dado por             e o valor de y é 
calculado por          
Ponto Máximo e ponto mínimo das funções do 2º Grau
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As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtém-se uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ∆ (delta), pode-se ter as seguintes situações:
 
∆ > 0 (a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos);
∆ = 0 (a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto);
∆ < 0 (a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x). 
Raízes das funções do 2º Grau
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 Assume-se que o discriminante, seja: 
E as duas raízes da função quadrática                                     onde             são:
                                                                             
Raízes das funções do 2º Grau
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Ex: y = x² – 3x + 2
x² – 3x + 2 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆ = 9 – 8
∆ = 1
A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e duas raízes reais e distintas.
                                                                  
Análise do gráfico:
 x < 1 ou x > 2, y > 0
 Valores entre 1 e 2, y < 0
 x = 1 e x = 2, y = 0
Exemplos de Gráficos Funções Quadráticas
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Ex: y = – 2x² – 5x + 3
– 2x² – 5x + 3 = 0
Aplicando Bháskara:
∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3
∆ = 25 + 24= 49        
A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 
e duas raízes reais e distintas.
                                                                  
Análise do gráfico:
 x < –3 ou x > 1/2, y < 0
 Valores entre – 3 e 1/2, y > 0
 x = –3 e x = 1/2, y = 0
Exemplos de Gráficos Funções Quadráticas
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Para a sucessão de termos 
ou 
com 
um polinômio de grau n (ou também função racional inteira) é uma função que possui a forma:
Os números 
são denominados de coeficientes do polinômio e o termo a0 de coeficiente constante, ou termo independente. 
Cada elemento somado avxv do polinômio é denomidado por termo. Um polinômio com um, dois 
ou três termos é chamado de monômio, binômio ou trinômio, respectivamente.
Funções Polinomiais
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AULA 1: PLANO DE ENSINO / REVISÃO DE FUNÇÕES E GRÁFICOS
Exemplo:
A função f(x)= 1/3x³ - 7x + 2/3 expressa por um polinômio de grau 3, é uma função 
polinomial de grau 3º.
Gráfico de um polinômio de grau 5. 
Funções Polinomiais
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AULA 1: PLANO DE ENSINO / REVISÃO DE FUNÇÕESE GRÁFICOS
Sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe os exemplos:
a) y = 2x
b) y = 3x + 4
c) y = 0,5x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
                                   f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Funções Exponenciais
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AULA 1: PLANO DE ENSINO / REVISÃO DE FUNÇÕES E GRÁFICOS
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais. Exemplos de funções logarítmicas:
f(x) = log2x
f(x) = log3x
f(x) = log1/2x
f(x) = log10x
Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função crescente
Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função decrescente
Funções Logarítmicas
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS?
 
Introdução ao Limite;
Análise Gráfica de Limite;
Como Calcular Limites.
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