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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Aula 7: REGRESSÃO LINEAR E MARK UP
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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Conteúdo desta Aula
AULA 7: REGRESSÃO LINERAR E MARK-UP
Regressão Linear; 
Mark Up.
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Regressão linear é uma equação para se estimar a 
condicional (valor esperado) de uma variável y, dados 
os valores de algumas outras variáveis x.
 
A regressão, em geral, trata da questão de se estimar 
um valor condicional não esperado.
O caso mais simples de regressão é quando temos 
duas variáveis e a relação entre elas pode ser 
representada por uma linha reta -> Regressão Linear 
Simples.
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Regressão Linear
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Regressão Linear
Para se estimar o valor esperado, usa-se de uma equação, que determina a relação entre 
ambas as variáveis.
Em que: - Variável explicada (dependente); é o valor que se quer atingir;
 - É uma constante, que representa a interceptação da reta com o eixo vertical;
 - É outra constante, que representa o declive (coeficiente angular) da reta;
 - Variável explicativa (independente), representa o fator explicativo na equação;
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 - Variável que inclui todos os fatores residuais mais os possíveis erros de medição. 
O seu comportamento é aleatório, devido à natureza dos fatores que encerra. 
Para que essa fórmula possa ser aplicada, os erros devem satisfazer determinadas hipóteses, que são: serem variáveis normais, com a mesma variância (desconhecida), independentes e independentes da variável explicativa X. 
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Regressão Linear
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Cálculo dos fatores e 
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Definindo                  e                , temos que    e    se relacionam por: 
Regressão Linear
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Exemplo 1: Suponha que uma empresa anota semanalmente a quantidade vendida de um produto.
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Semana
X
1
2
3
4
5
Quantidade Vendida
Y
20
24
30
32
40
Regressão Linear
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Os pontos do gráfico anterior não pertencem à mesma reta, porém, podemos passar uma reta entre 
os pontos para observar o crescimento das vendas e prever o que deverá ocorrer na próxima semana, 
isto é, fazer uma estimativa das vendas para a próxima semana.
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Regressão Linear
X
Y
X . Y
X2
1
20
20
1
2
24
48
4
3
30
90
9
4
32
128
16
5
40
200
25
Σx = 15
Σy = 146
Σx.y = 486
Σx2= 55
n = é o número de observações
= é a média aritmética dos valores X
= é a média aritmética dos valores Y
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 = 486 – (5) . (3) . (29,20) = 24 / 5 
 55 – 5(3)2
 = 
 - 
= 29,20 – (4,8) (3)
 = 14,80
Y = 4,8X + 14,80
A projeção para próxima semana será obtida fazendo X = 6. 
Obtém-se:
Y = 4,80 (6) + 14,80 = 43,60
Regressão Linear
n = 5
= Σ X / n = 15 / 5 = 3
= Σ Y / n = 146 / 5 = 29,20
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Markup ou Mark Up é um termo usado em 
economia para indicar quanto do preço do 
produto está acima do seu custo de produção e 
distribuição. Significa diferença entre o custo de 
um bem ou serviço e seu preço de venda. Pode 
ser expresso como uma quantia fixada ou como 
percentual. O valor representa a quantia 
efetivamente cobrada sobre o produto a fim de 
obter o preço de venda.
Um Markup é adicionado ao custo total 
incorrido pelo produtor de um bem ou serviço 
com propósito de gerar um lucro.
 
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Mark Up
A contabilidade define o Markup de maneira semelhante. Mas, para entendê-lo corretamente, é 
preciso considerar alguns fatores que o influenciam. Como custos fixos e variáveis, despesas fixas e 
variáveis. O Markup terá percentuais diferentes, de acordo com os custos e despesas.
São três tipos de Markup:
Total: todos os custos de fabricação de um produto mais as despesas de vendas e administrativas 
são incluídas no custo total. A composição do custo total é obtida somando os custos e despesas 
fixas mais os custo e despesas variáveis. O Markup iguala-se ao lucro desejado. 
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Produto: somente custos de fabricação de um produto são incluídas no custo. As despesas de vendas 
e administrativas mais os lucros. 
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Variável: somente custos fixos e despesas fixas mais o lucros são incluídas no markup. Os custos variáveis e despesas variáveis, estão incluídas no montante do custo. 
Mark Up
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Exemplo: 1 um produto ou serviço foi vendido por R$500,00. Com impostos sobre a venda 
representando 18%, comissão 10%, encargos financeiros 4,5% e o lucro 12%. A soma desses 
percentuais representa o valor do Markup de venda. Aqui, o Markup de venda é equivalente a 44,5% do preço de venda.
Como o produto ou serviço foi vendido por R$500,00, então R$222,50 serão destinados para 
pagamento das contas do Markup de venda (R$90,00 para Impostos sobre a Venda, R$50,00 para Comissão, R$22,50 para encargos financeiros e R$60,00 para o lucro).
Os outros 55,5% que são iguais a R$277,50 (serão destinados para o pagamento do Custo de 
Produção).
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Exemplo 2: Vamos assumir que sua empresa se enquadra no Simples Nacional; compra um produto 
por R$100,00; e que seu histórico de faturamento indica um percentual de impostos de 10% sobre o 
preço de venda. Além disso, você paga comissão para cada produto vendido no percentual de 2%. 
E que as despesas fixas, de acordo com o seu histórico, representam 6% do faturamento. Imaginemos, 
por fim, que você pretende ter de retorno uma margem de lucro de 15% sobre o preço de venda. 
 MarkUp= 100/[100-(DV+DF+LP)], Onde:
100 Representa o preço unitário total de venda em percentual;
DV Para despesas variáveis;
DF Para despesas fixas; 
LP Para margem de lucro pretendida. 
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Mark Up
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Então, teremos:
MarkUp = 100/{100-[(10+2)+6+15]}
MarkUp = 100/[100-(12+6+15)] MarkUp = 100/(100-33)
MarkUp = 100/67=1,4925
Preço de Venda = 100 x 1,4925 = 149,26
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Mark Up
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS?
 
Promoção;
Desconto;
Propaganda.
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Gráf2
	20
	24
	30
	32
	40
Semanas
Quantidade
Vendas Semanais
Plan1
	
	
	
	
	Demanda	Preço
	200	120
	150	140
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		Semana	X	1	2	3	4	5
		Quantidade Vendida	Y	20	24	30	32	40
Plan1
	
Demanda
Preço (R$)
Quantidade (Unid)
Função Demanda
Plan2
	
Semanas
Quantidade
Vendas Semanais
Plan3