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Slides - Geometria analitica

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Geometria Analítica
Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues
e Álgebra Vetorial
Curso de:
TEMA 5:
Produto Escalar
Objetivo geral
Compreender as relações algébricas do produto entre vetores.
Objetivos específicos:
a. Aplicar as operações do produto escalar;
b. Interpretar as relações angulares entre vetores;
c. Resolver problemas aplicando as propriedades compreendidas em aula.
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
O produto escalar, representado por (.) entre dois vetores 𝑢 =
(𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) e 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛) é definido como a soma dos 
produtos das suas respectivas coordenadas, isto é:
𝑢 . 𝑣 = 𝑢1. 𝑣1 + 𝑢2. 𝑣2 + ⋯+ 𝑢𝑛. 𝑣𝑛
• No plano:
Dados dois vetores 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) e 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2), o produto escalar:
𝑢 . 𝑣 = 𝑢1. 𝑣1 + 𝑢2. 𝑣2
• No espaço:
Dados dois vetores 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) e 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3), o produto 
escalar:
𝑢 . 𝑣 = 𝑢1. 𝑣1 + 𝑢2. 𝑣2 + 𝑢3. 𝑣3
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Exemplo numérico: 
Dados dois vetores 𝑢 = (3,−1) e 𝑣 = (2,5), o produto escalar:
𝑢 . 𝑣 = 𝑢1. 𝑣1 + 𝑢2. 𝑣2
𝑢 . 𝑣 = 3.2 + (−1). 5
𝑢 . 𝑣 = 6 − 5
𝑢 . 𝑣 = 1
• No espaço:
Dados dois vetores 𝑢 = (0,2,−4) e 𝑣 = (3,−2,1), o produto 
escalar:
𝑢 . 𝑣 = 𝑢1. 𝑣1 + 𝑢2. 𝑣2 + 𝑢3. 𝑣3
𝑢 . 𝑣 = 0.3 + 2. (−2) + (−4). 1
𝑢 . 𝑣 = 0 − 4 − 4 = −8
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Propriedades:
i) 𝑢 . 𝑣 = 𝑣 . 𝑢
ii) 𝑢 . 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑢 .𝑤
iii) 𝛼. (𝑢 . 𝑣 ) = 𝛼. 𝑢 . 𝑣 = 𝑢 . α. 𝑣
iv) 𝑢 . 𝑢 > 0, se 𝑢 ≠ 0
v) 𝑢 . 𝑢 = 0, se 𝑢 = 0
vi) 𝑢 . 𝑢 = 𝑢 2
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Como consequência: 
𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 2 + 2. 𝑢. 𝑣 + 𝑣 2
𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 + 𝑣 . 𝑢 + 𝑣
𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢. 𝑢 + 𝑣 + 𝑣 . 𝑢 + 𝑣
𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢. 𝑢 + 𝑢. 𝑣 + 𝑣 . 𝑢 + 𝑣 . 𝑣
𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 2 + 𝑢. 𝑣 + 𝑢. 𝑣 + 𝑣 2
𝒖 + 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝟐. 𝒖. 𝒗 + 𝒗 𝟐
𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢 2 − 2. 𝑢. 𝑣 + 𝑣 2
𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢 − 𝑣 . 𝑢 − 𝑣
?
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulo entre os vetores:
Consideremos um ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣 da seguinte forma:
Pela lei dos cossenos: 𝒖 + 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 +𝟐. 𝒖 . 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽
Mas vimos que: 𝒖 + 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝟐. 𝒖. 𝒗 + 𝒗 𝟐
𝑢
𝑢
𝑣
𝑣
𝜃
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulo entre os vetores:
Pela lei dos cossenos: 𝒖 + 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 +𝟐. 𝒖 . 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽
Mas vimos que: 𝒖 + 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝟐. 𝒖. 𝒗 + 𝒗 𝟐 , então:
𝒖 𝟐 + 𝟐. 𝒖. 𝒗 + 𝒗 𝟐= 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 +𝟐. 𝒖 . 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽
𝒖. 𝒗 = 𝒖 . 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽
O que nos leva à relação:
𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝒖. 𝒗
𝒖 . 𝒗
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulo entre os vetores:
Importante!!!!
i) Se 𝑢 . 𝑣 > 0 ⇒ cos 𝜃 > 0 ⇒ 0𝑜 ≤ 𝜃 < 90𝑜
ii) Se 𝑢 . 𝑣 < 0 ⇒ cos 𝜃 < 0 ⇒ 90𝑜 ≤ 𝜃 < 180𝑜
iii) Se 𝑢 . 𝑣 = 0 ⇒ cos 𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 90𝑜
𝑢
𝑣
𝜃
𝑢
𝑣
𝜃
0𝑜 ≤ 𝜃 < 90𝑜
𝑢
𝑣
𝜃
90𝑜 ≤ 𝜃 < 180𝑜 𝜃 = 90𝑜
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulo entre os vetores:
Exemplos:
a) Calcular o ângulo ente os vetores: 𝑢 = 1,1,4 𝑒 𝑣 = (−1,2,2)
𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝒖. 𝒗
𝒖 . 𝒗
Das propriedades podemos escrever que:
𝒖. 𝒗 = 𝟏. −𝟏 + 𝟏. 𝟐 + 𝟒. 𝟐 = 𝟗
𝑢 . 𝑢 = 𝑢 2 ⇒ 𝑢 2 = 𝑢 . 𝑢 ⇒ 𝒖 = 𝒖 . 𝒖 e 𝒗 = 𝒗 . 𝒗
𝒖 = 𝒖 . 𝒖 = 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟏𝟖 = 𝟑 𝟐
𝒗 = 𝒗 . 𝒗 = (−𝟏)𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟗 = 𝟑
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulo entre os vetores:
𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝒖. 𝒗
𝒖 . 𝒗
⇒ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝟗
𝟑 𝟐. (𝟑)
⇒ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝟗
𝟗 𝟐
𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝟏
𝟐
⇒ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝟏
𝟐
.
𝟐
𝟐
⇒ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 =
𝟐
𝟐
⇒ 𝜽 = 𝟒𝟓𝒐
Como assim?
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulo entre os vetores:
𝟑𝟎𝒐 𝟒𝟓𝒐 𝟔𝟎𝒐
𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulo entre os vetores:
Desafio: 
Sabendo que o vetor 𝑢 = (2,1,−1) forma um ângulo de 60𝑜com o 
vetor 𝐴𝐵, determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, 0, m) calcule 
o valor de m.
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor
Ângulos diretores de um vetor 𝑣 qualquer, são os ângulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 que este 
vetor forma com os vetores 𝑖 , 𝑗 e 𝑘, respectivamente.
Seja o vetor: 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
𝒗. 𝒊
𝒗 . 𝒊
=
𝒙, 𝒚, 𝒛 . (𝟏, 𝟎, 𝟎)
𝒗 . 𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
𝒙
𝒗
z
x
y
𝑖
𝑗
𝑘
𝜶
𝜷
𝜸
𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝒗. 𝒋
𝒗 . 𝒋
=
𝒙, 𝒚, 𝒛 . (𝟎, 𝟏, 𝟎)
𝒗 . 𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
𝒚
𝒗
𝒄𝒐𝒔 𝜸 =
𝒗. 𝒌
𝒗 . 𝒌
=
𝒙, 𝒚, 𝒛 . (𝟎, 𝟎, 𝟏)
𝒗 . 𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝜸 =
𝒛
𝒗
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor
Definição de versor:
Sabe-se que:
𝑣 . 𝑣 = 𝑣 2
𝑣 . 𝑣 = 𝑣 . 𝑣
𝑣 = 𝑣
E ainda:
𝑣 = 1. 𝑣
Mas se considerássemos igual a 1, outro vetor unitário de mesma direção e 
sentido de 𝑣 ?
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor
Neste caso: 𝑢 = 1, logo:
𝑣 = 1. 𝑣
𝑣 = 𝑢 . 𝑣
Se quiséssemos estimar o valor de 𝑢 :
𝑢 =
𝑣
𝑣
Lembrando que: 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 e por isso: 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), temos:
𝑢 =
𝑣
𝑣
⇒ 𝑢 =
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑣
⇒ 𝑢 =
𝑥
𝑣
,
𝑦
𝑣
,
𝑧
𝑣
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor
𝑢 =
𝑣
𝑣
⇒ 𝑢 =
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑣
⇒ 𝑢 =
𝑥
𝑣
,
𝑦
𝑣
,
𝑧
𝑣
Como vimos: cos 𝛼 =
𝑥
𝑣
, cos β =
𝑦
𝑣
, cos 𝛾 =
𝑧
𝑣
, substituindo 
teremos:
𝑢 = cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾
Ou seja:
𝑢 = cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor
𝑢 = cos𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾
Mas:
𝑢 = 𝑢 . 𝑢
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾
Lembrando que 𝒖 = 𝟏, pois é unitário:
1 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾
1 2 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾
2
𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜸
ou
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜸 = 𝟏
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor
Exemplo:
Os ângulos diretores de um vetor são: 𝛼, 45° 𝑒 60°. Determine 𝛼.
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Projeção de um vetor sobre o outro:
Sejam u e v dois vetores não nulos e Ɵ um ângulo (qualquer) entre eles, de 
acordo com a figura abaixo:
O vetor v1é chamado de projeção de 𝒗 sobre 𝑢 e é indicado por:
𝑣 1 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣
TEMA 5: Produto Escalar
GeometriaAnalítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
𝑣 1
𝑣 2
𝑢
𝑣
Nesse caso:
𝑣 2 ⊥ 𝑢
𝑣 1 ∕∕ 𝑢
E ainda:
𝑣 = 𝑣 1 + 𝑣 2
Ɵ 
Demonstração:
1 - Como 𝑣 1 ∕∕ 𝑢 , podemos escrever que: 𝑣 1 = 𝑘. 𝑢
2 - Se 𝑣 = 𝑣 1 + 𝑣 2, então: 𝑣 2= 𝑣 − 𝑣 1
3 – Se 𝑣 2 ⊥ 𝑢 , então 𝑣 2 . 𝑢 = 0
Então:
𝑣 2 . 𝑢 = 0
(𝑣 − 𝑣 1). 𝑢 = 0
(𝑣 − 𝑘. 𝑢 ). 𝑢 = 0
Distributiva:
𝑣 . 𝑢 − 𝑘. 𝑢 . 𝑢 = 0
E assim:
𝑘 =
𝑣 . 𝑢
𝑢 . 𝑢
Escrevemos então que:
𝑣 1 = 𝑘. 𝑢
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 =
𝑣 . 𝑢
𝑢 . 𝑢
. 𝑢
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Interpretação geométrica do módulo do produto escalar:
Se 𝑢 é um vetor unitário ( 𝑢 = 1), teremos:
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 . 𝑢 . 𝑢
Pois:
𝑢 . 𝑢 = |𝑢 |2 = 1
Ao considerarmos o módulo da projeção:
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 . 𝑢 . 𝑢
|𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 | = |𝑣 . 𝑢 |. |𝑢 |
|𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 | = |𝑣 . 𝑢 |
Ou seja, o módulo da projeção de 𝑣 sobre 𝑢 é igual ao módulo do produto escalar 
de 𝑣 por 𝑢 e portanto seu comprimento.
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Aplicação:
Determinar o vetor projeção de 𝑣 = 2,3,4 sobre 𝑢 = 1,−1,0 .
𝑣 . 𝑢 = 2.1 + 3. −1 + 4.0 = −1
𝑢 . 𝑢 = |𝑢 |2 = 12 + −1 2 + 02 = 2
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 =
𝑣 . 𝑢
𝑢 . 𝑢
. 𝑢 ⇒ 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = −
1
2
. 1, −1,0
𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = −
1
2
,
1
2
, 0
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Aplicação:
Sejam os pontos A(-1,-1,2), B(2,1,1) e C(m,-5,3), questionamos:
a) Para que o valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
A questão sugere que o desenho seja:
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
A
B CH
Aplicação:
Do desenho podemos escrever:
TEMA 5: Produto Escalar
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
A
B CH
A(-1,-1,2), B(2,1,1) e C(m,-5,3), 
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 ⇒ (3,2, −1)
𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 ⇒ (𝑚 + 1,−4,1)
a) 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 = 0
(3,2, −1). (𝑚 + 1, −4,1) = 0
3 𝑚 + 1 + 2 −4 + (−1). (1) = 0
3𝑚 + 3 − 8 − 1 = 0
3𝑚 − 6 = 0
𝑚 = 2
b) 𝐵𝐻 = 𝐻 − 𝐵 ⇒ 𝐻 = 𝐵 + 𝐵𝐻
sendo ∶
𝐵𝐻 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝐵𝐶 𝐵𝐴 =
𝐵𝐴 . 𝐵𝐶
𝐵𝐶 . 𝐵𝐶
. 𝐵𝐶
𝐵𝐴 . 𝐵𝐶 = −3,−2,1 . 0, −6,2 = 0 + 12 + 2 = 14
𝐵𝐶 . 𝐵𝐶 = 0,−6,2 . 0, −6,2 = 0 + 36 + 4 = 40
𝐵𝐻 =
14
40
. 0, −6,2 ⇒ 0,−
21
10
,
7
10
𝑯 = 𝑩 + 𝑩𝑯 ⇒ 2,1,1 + 0,−
21
10
,
7
10
⇒ 𝟐,
𝟏𝟏
𝟏𝟎
,
𝟏𝟕
𝟏𝟎

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