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Geometria Analítica Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues e Álgebra Vetorial Curso de: TEMA 5: Produto Escalar Objetivo geral Compreender as relações algébricas do produto entre vetores. Objetivos específicos: a. Aplicar as operações do produto escalar; b. Interpretar as relações angulares entre vetores; c. Resolver problemas aplicando as propriedades compreendidas em aula. TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues O produto escalar, representado por (.) entre dois vetores 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛) e 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛) é definido como a soma dos produtos das suas respectivas coordenadas, isto é: 𝑢 . 𝑣 = 𝑢1. 𝑣1 + 𝑢2. 𝑣2 + ⋯+ 𝑢𝑛. 𝑣𝑛 • No plano: Dados dois vetores 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) e 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2), o produto escalar: 𝑢 . 𝑣 = 𝑢1. 𝑣1 + 𝑢2. 𝑣2 • No espaço: Dados dois vetores 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) e 𝑣 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3), o produto escalar: 𝑢 . 𝑣 = 𝑢1. 𝑣1 + 𝑢2. 𝑣2 + 𝑢3. 𝑣3 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Exemplo numérico: Dados dois vetores 𝑢 = (3,−1) e 𝑣 = (2,5), o produto escalar: 𝑢 . 𝑣 = 𝑢1. 𝑣1 + 𝑢2. 𝑣2 𝑢 . 𝑣 = 3.2 + (−1). 5 𝑢 . 𝑣 = 6 − 5 𝑢 . 𝑣 = 1 • No espaço: Dados dois vetores 𝑢 = (0,2,−4) e 𝑣 = (3,−2,1), o produto escalar: 𝑢 . 𝑣 = 𝑢1. 𝑣1 + 𝑢2. 𝑣2 + 𝑢3. 𝑣3 𝑢 . 𝑣 = 0.3 + 2. (−2) + (−4). 1 𝑢 . 𝑣 = 0 − 4 − 4 = −8 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Propriedades: i) 𝑢 . 𝑣 = 𝑣 . 𝑢 ii) 𝑢 . 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 . 𝑣 + 𝑢 .𝑤 iii) 𝛼. (𝑢 . 𝑣 ) = 𝛼. 𝑢 . 𝑣 = 𝑢 . α. 𝑣 iv) 𝑢 . 𝑢 > 0, se 𝑢 ≠ 0 v) 𝑢 . 𝑢 = 0, se 𝑢 = 0 vi) 𝑢 . 𝑢 = 𝑢 2 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Como consequência: 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 2 + 2. 𝑢. 𝑣 + 𝑣 2 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 + 𝑣 . 𝑢 + 𝑣 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢. 𝑢 + 𝑣 + 𝑣 . 𝑢 + 𝑣 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢. 𝑢 + 𝑢. 𝑣 + 𝑣 . 𝑢 + 𝑣 . 𝑣 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 2 + 𝑢. 𝑣 + 𝑢. 𝑣 + 𝑣 2 𝒖 + 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝟐. 𝒖. 𝒗 + 𝒗 𝟐 𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢 2 − 2. 𝑢. 𝑣 + 𝑣 2 𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢 − 𝑣 . 𝑢 − 𝑣 ? TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulo entre os vetores: Consideremos um ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣 da seguinte forma: Pela lei dos cossenos: 𝒖 + 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 +𝟐. 𝒖 . 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽 Mas vimos que: 𝒖 + 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝟐. 𝒖. 𝒗 + 𝒗 𝟐 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝜃 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulo entre os vetores: Pela lei dos cossenos: 𝒖 + 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 +𝟐. 𝒖 . 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽 Mas vimos que: 𝒖 + 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝟐. 𝒖. 𝒗 + 𝒗 𝟐 , então: 𝒖 𝟐 + 𝟐. 𝒖. 𝒗 + 𝒗 𝟐= 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 +𝟐. 𝒖 . 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒖. 𝒗 = 𝒖 . 𝒗 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽 O que nos leva à relação: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒖. 𝒗 𝒖 . 𝒗 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulo entre os vetores: Importante!!!! i) Se 𝑢 . 𝑣 > 0 ⇒ cos 𝜃 > 0 ⇒ 0𝑜 ≤ 𝜃 < 90𝑜 ii) Se 𝑢 . 𝑣 < 0 ⇒ cos 𝜃 < 0 ⇒ 90𝑜 ≤ 𝜃 < 180𝑜 iii) Se 𝑢 . 𝑣 = 0 ⇒ cos 𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 90𝑜 𝑢 𝑣 𝜃 𝑢 𝑣 𝜃 0𝑜 ≤ 𝜃 < 90𝑜 𝑢 𝑣 𝜃 90𝑜 ≤ 𝜃 < 180𝑜 𝜃 = 90𝑜 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulo entre os vetores: Exemplos: a) Calcular o ângulo ente os vetores: 𝑢 = 1,1,4 𝑒 𝑣 = (−1,2,2) 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒖. 𝒗 𝒖 . 𝒗 Das propriedades podemos escrever que: 𝒖. 𝒗 = 𝟏. −𝟏 + 𝟏. 𝟐 + 𝟒. 𝟐 = 𝟗 𝑢 . 𝑢 = 𝑢 2 ⇒ 𝑢 2 = 𝑢 . 𝑢 ⇒ 𝒖 = 𝒖 . 𝒖 e 𝒗 = 𝒗 . 𝒗 𝒖 = 𝒖 . 𝒖 = 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟏𝟖 = 𝟑 𝟐 𝒗 = 𝒗 . 𝒗 = (−𝟏)𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟗 = 𝟑 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulo entre os vetores: 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒖. 𝒗 𝒖 . 𝒗 ⇒ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟗 𝟑 𝟐. (𝟑) ⇒ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟗 𝟗 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟏 𝟐 ⇒ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟏 𝟐 . 𝟐 𝟐 ⇒ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟐 𝟐 ⇒ 𝜽 = 𝟒𝟓𝒐 Como assim? TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulo entre os vetores: 𝟑𝟎𝒐 𝟒𝟓𝒐 𝟔𝟎𝒐 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝟏 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulo entre os vetores: Desafio: Sabendo que o vetor 𝑢 = (2,1,−1) forma um ângulo de 60𝑜com o vetor 𝐴𝐵, determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, 0, m) calcule o valor de m. TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor Ângulos diretores de um vetor 𝑣 qualquer, são os ângulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 que este vetor forma com os vetores 𝑖 , 𝑗 e 𝑘, respectivamente. Seja o vetor: 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝒗. 𝒊 𝒗 . 𝒊 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 . (𝟏, 𝟎, 𝟎) 𝒗 . 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝒙 𝒗 z x y 𝑖 𝑗 𝑘 𝜶 𝜷 𝜸 𝒄𝒐𝒔 𝜷 = 𝒗. 𝒋 𝒗 . 𝒋 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 . (𝟎, 𝟏, 𝟎) 𝒗 . 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜷 = 𝒚 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜸 = 𝒗. 𝒌 𝒗 . 𝒌 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 . (𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝒗 . 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜸 = 𝒛 𝒗 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor Definição de versor: Sabe-se que: 𝑣 . 𝑣 = 𝑣 2 𝑣 . 𝑣 = 𝑣 . 𝑣 𝑣 = 𝑣 E ainda: 𝑣 = 1. 𝑣 Mas se considerássemos igual a 1, outro vetor unitário de mesma direção e sentido de 𝑣 ? TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor Neste caso: 𝑢 = 1, logo: 𝑣 = 1. 𝑣 𝑣 = 𝑢 . 𝑣 Se quiséssemos estimar o valor de 𝑢 : 𝑢 = 𝑣 𝑣 Lembrando que: 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 e por isso: 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), temos: 𝑢 = 𝑣 𝑣 ⇒ 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑣 ⇒ 𝑢 = 𝑥 𝑣 , 𝑦 𝑣 , 𝑧 𝑣 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor 𝑢 = 𝑣 𝑣 ⇒ 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑣 ⇒ 𝑢 = 𝑥 𝑣 , 𝑦 𝑣 , 𝑧 𝑣 Como vimos: cos 𝛼 = 𝑥 𝑣 , cos β = 𝑦 𝑣 , cos 𝛾 = 𝑧 𝑣 , substituindo teremos: 𝑢 = cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾 Ou seja: 𝑢 = cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor 𝑢 = cos𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾 Mas: 𝑢 = 𝑢 . 𝑢 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 Lembrando que 𝒖 = 𝟏, pois é unitário: 1 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 1 2 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 2 𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜸 ou 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜸 = 𝟏 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Ângulos Diretores e Cossenos diretores de um vetor Exemplo: Os ângulos diretores de um vetor são: 𝛼, 45° 𝑒 60°. Determine 𝛼. TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Projeção de um vetor sobre o outro: Sejam u e v dois vetores não nulos e Ɵ um ângulo (qualquer) entre eles, de acordo com a figura abaixo: O vetor v1é chamado de projeção de 𝒗 sobre 𝑢 e é indicado por: 𝑣 1 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 TEMA 5: Produto Escalar GeometriaAnalítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 𝑣 1 𝑣 2 𝑢 𝑣 Nesse caso: 𝑣 2 ⊥ 𝑢 𝑣 1 ∕∕ 𝑢 E ainda: 𝑣 = 𝑣 1 + 𝑣 2 Ɵ Demonstração: 1 - Como 𝑣 1 ∕∕ 𝑢 , podemos escrever que: 𝑣 1 = 𝑘. 𝑢 2 - Se 𝑣 = 𝑣 1 + 𝑣 2, então: 𝑣 2= 𝑣 − 𝑣 1 3 – Se 𝑣 2 ⊥ 𝑢 , então 𝑣 2 . 𝑢 = 0 Então: 𝑣 2 . 𝑢 = 0 (𝑣 − 𝑣 1). 𝑢 = 0 (𝑣 − 𝑘. 𝑢 ). 𝑢 = 0 Distributiva: 𝑣 . 𝑢 − 𝑘. 𝑢 . 𝑢 = 0 E assim: 𝑘 = 𝑣 . 𝑢 𝑢 . 𝑢 Escrevemos então que: 𝑣 1 = 𝑘. 𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 . 𝑢 𝑢 . 𝑢 . 𝑢 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Interpretação geométrica do módulo do produto escalar: Se 𝑢 é um vetor unitário ( 𝑢 = 1), teremos: 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 . 𝑢 . 𝑢 Pois: 𝑢 . 𝑢 = |𝑢 |2 = 1 Ao considerarmos o módulo da projeção: 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 . 𝑢 . 𝑢 |𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 | = |𝑣 . 𝑢 |. |𝑢 | |𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 | = |𝑣 . 𝑢 | Ou seja, o módulo da projeção de 𝑣 sobre 𝑢 é igual ao módulo do produto escalar de 𝑣 por 𝑢 e portanto seu comprimento. TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Aplicação: Determinar o vetor projeção de 𝑣 = 2,3,4 sobre 𝑢 = 1,−1,0 . 𝑣 . 𝑢 = 2.1 + 3. −1 + 4.0 = −1 𝑢 . 𝑢 = |𝑢 |2 = 12 + −1 2 + 02 = 2 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = 𝑣 . 𝑢 𝑢 . 𝑢 . 𝑢 ⇒ 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = − 1 2 . 1, −1,0 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢 𝑣 = − 1 2 , 1 2 , 0 TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues Aplicação: Sejam os pontos A(-1,-1,2), B(2,1,1) e C(m,-5,3), questionamos: a) Para que o valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A. A questão sugere que o desenho seja: TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues A B CH Aplicação: Do desenho podemos escrever: TEMA 5: Produto Escalar Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues A B CH A(-1,-1,2), B(2,1,1) e C(m,-5,3), 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 ⇒ (3,2, −1) 𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 ⇒ (𝑚 + 1,−4,1) a) 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 = 0 (3,2, −1). (𝑚 + 1, −4,1) = 0 3 𝑚 + 1 + 2 −4 + (−1). (1) = 0 3𝑚 + 3 − 8 − 1 = 0 3𝑚 − 6 = 0 𝑚 = 2 b) 𝐵𝐻 = 𝐻 − 𝐵 ⇒ 𝐻 = 𝐵 + 𝐵𝐻 sendo ∶ 𝐵𝐻 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝐵𝐶 𝐵𝐴 = 𝐵𝐴 . 𝐵𝐶 𝐵𝐶 . 𝐵𝐶 . 𝐵𝐶 𝐵𝐴 . 𝐵𝐶 = −3,−2,1 . 0, −6,2 = 0 + 12 + 2 = 14 𝐵𝐶 . 𝐵𝐶 = 0,−6,2 . 0, −6,2 = 0 + 36 + 4 = 40 𝐵𝐻 = 14 40 . 0, −6,2 ⇒ 0,− 21 10 , 7 10 𝑯 = 𝑩 + 𝑩𝑯 ⇒ 2,1,1 + 0,− 21 10 , 7 10 ⇒ 𝟐, 𝟏𝟏 𝟏𝟎 , 𝟏𝟕 𝟏𝟎
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