07 - Matriz inversa e cofatores

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Geometria Analítica
Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues
e Álgebra Vetorial
Curso de:
TEMA 7:
Matrizes Inversas
Objetivo geral:
Compreender os processos de se obter a matriz inversa, por 
escalonamento e por cofatores.
Objetivos específicos:
 Compreender o que é uma matriz inversa por meio das características 
que a mesma possui;
 Entender o procedimento adotado para o escalonamento para obtê-la 
(No caso de matrizes de ordem ≥ 3);
 Comparar os procedimentos de se obter a matriz inversa: 
escalonamento e cofatores.
TEMA 7: Matrizes Inversas
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
• Definição: Dada uma matriz inversível A, chama-se inversa de A a matriz 
𝑨−𝟏(única), tal que:
𝐴. 𝐴−1 = 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼𝑛
A matriz inversa 𝑨−𝟏 tem a mesma ordem de A, pois elas comutam.
Exemplo 1:
Qual a inversa da matriz A =
3 7
5 11
?
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𝐴. 𝐴−1 = 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼𝑛
A =
3 7
5 11
, 𝐴−1 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
e 𝐼 =
1 0
0 1
𝐴−1. 𝐴 = 𝐼𝑛
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
. 
3 7
5 11
=
1 0
0 1
3. 𝑎 + 5. 𝑏 7. 𝑎 + 11. 𝑏
3. 𝑐 + 5. 𝑑 7. 𝑐 + 11. 𝑑
=
1 0
0 1
3. 𝑎 + 5. 𝑏 = 1, 7. 𝑎 + 11. 𝑏 = 0
3. 𝑐 + 5. 𝑑 = 0, 7. 𝑐 + 11. 𝑑 = 1
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3. 𝑎 + 5. 𝑏 = 1, 7. 𝑎 + 11. 𝑏 = 0
3. 𝑐 + 5. 𝑑 = 0, 7. 𝑐 + 11. 𝑑 = 1
3. 𝑎 = 1 − 5. 𝑏, 7. 𝑎 = −11. 𝑏 𝑜𝑢 𝒂 = −
𝟏𝟏
𝟕
. 𝒃
Substituindo na equação da esquerda:
3. 𝑎 = 1 − 5. 𝑏
3. −
𝟏𝟏
𝟕
. 𝒃 = 1 − 5. 𝑏
−
33
7
. 𝑏 = 1 − 5. 𝑏
−
33
7
. 𝑏 + 5. 𝑏 = 1
−
33. 𝑏 + 35. 𝑏
7
= 1
2. 𝑏
7
= 1
𝒃 =
𝟕
𝟐
𝒂 = −
𝟏𝟏
𝟕
. 𝒃
𝑎 = −
11
7
.
𝟕
𝟐
𝒂 = −
𝟏𝟏
𝟐
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3. 𝑎 + 5. 𝑏 = 1, 7. 𝑎 + 11. 𝑏 = 0
3. 𝑐 + 5. 𝑑 = 0, 7. 𝑐 + 11. 𝑑 = 1
3. 𝑐 = −5. d ou 𝒄 = −
𝟓
𝟑
. 𝒅 𝑒 7. 𝑐 + 11. 𝑑 = 1
Substituindo na equação da esquerda:
7. 𝑐 + 11. 𝑑 = 1
7. −
𝟓
𝟑
. 𝑑 + 11. 𝑑 = 1
−
35
3
. 𝑑 + 11. 𝑑 = 1
−
35. 𝑑 + 33. 𝑑
3
= 1
𝒄 = −
𝟓
𝟑
. 𝒅
𝑐 = −
5
3
. −
𝟑
𝟐
𝒄 =
𝟓
𝟐
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−
2
3
. d = 1
𝒅 = −
𝟑
𝟐
• Logo a matriz inversa será:
𝐴−1 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
⇒ 𝐴−1 =
−
11
2
7
2
5
2
−
3
2
Que pode ser reescrita como:
⇒ 𝐴−1 =
1
2
−11 7
5 −3
• Pelo teorema: A. 𝐴−1 = 𝐼𝑛
3 7
5 11
.
−
11
2
7
2
5
2
−
3
2
=
−
33+35
2
21−21
2
−
55+55
2
35−33
2
=
2
2
0
0
2
2
=
1 0
0 1
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Teorema:
Se 𝐴𝑛 é inversível e n > 2, então existe uma sequência finita de
operações elementares que torna a matriz A igual a matriz identidade 𝐼𝑛.
Estas mesmas sequências de operações aplicadas ao mesmo tempo em
𝐴𝑛 e em 𝐼𝑛 transformam 𝐼𝑛 em 𝐴
−1.
Encontre a inversa da matriz: 𝐴 =
1 1 0
0 1 1
1 0 2
, caso seja possível.
Antes é preciso conhecer as três operações elementares:
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Operações elementares:
• Permutação das i-ésima e j-ésima linha (𝐿𝑖 ⇒ 𝐿𝑗);
𝐿1
𝐿2
1 −1
4 2
⇒
𝐿2
𝐿1
4 2
1 −1
• Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k. (𝐿𝑖 ⇒ 𝑘. 𝐿𝑖);
𝐿1
𝐿2
𝐿3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
⇒ 𝐿2 ⇒
1
2
. 𝐿2 ⇒
1 2 3
2 5/2 3
7 8 9
• Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha somada a k vezes a j-ésima linha 
(𝐿𝑖 ⇒ 𝐿𝑖 + 𝑘. 𝐿𝑗)
𝐿1
𝐿2
𝐿3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
⇒ 𝐿2 ⇒ 𝐿2 + 3. 𝐿1 ⇒
1 2 3
7 11 15
7 8 9
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Encontre a inversa da matriz: 𝐴 =
1 1 0
0 1 1
1 0 2
, caso seja possível.
1 1 0
0 1 1
1 0 2
|
|
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⇒ 𝐿3 ⇒ 𝐿3 − 𝐿1 ⇒
1 1 0
0 1 1
0 −1 2
|
|
|
1 0 0
0 1 0
−1 0 1
1 1 0
0 1 1
0 −1 2
|
|
|
1 0 0
0 1 0
−1 0 1
⇒ 𝐿1 ⇒ 𝐿1 − 𝐿2
⇒
1 0 −1
0 1 1
0 −1 2
|
|
|
1 −1 0
0 1 0
−1 0 1
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1 0 −1
0 1 1
0 −1 2
|
|
|
1 −1 0
0 1 0
−1 0 1
⇒ 𝐿3 ⇒ 𝐿3 + 𝐿2 ⇒
1 0 −1
0 1 1
0 0 3
|
|
|
1 −1 0
0 1 0
−1 1 1
1 0 −1
0 1 1
0 0 3
|
|
|
1 −1 0
0 1 0
−1 1 1
⇒ 𝐿3 ⇒
1
3
𝐿3 ⇒
1 0 −1
0 1 1
0 0 1
|
|
|
1 −1 0
0 1 0
−
1
3
1
3
1
3
1 0 −1
0 1 1
0 0 1
|
|
|
1 −1 0
0 1 0
−
1
3
1
3
1
3
⇒ 𝐿1 ⇒ 𝐿1 + 𝐿3 ⇒
1 0 0
0 1 1
0 0 1
|
|
|
2
3
−
2
3
1
3
0 1 0
−
1
3
1
3
1
3
1 0 0
0 1 1
0 0 1
|
|
|
2
3
−
2
3
1
3
0 1 0
−
1
3
1
3
1
3
⇒ 𝐿2 ⇒ 𝐿2 − 𝐿3 ⇒
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
|
|
2
3
−
2
3
1
3
1
3
2
3
−
1
3
−
1
3
1
3
1
3
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Logo a matriz 𝐴 =
1 1 0
0 1 1
1 0 2
é inversível e tem inversa igual a: 
𝐴−1 =
2
3
−
2
3
1
3
1
3
2
3
−
1
3
−
1
3
1
3
1
3
⇒ 𝐴−1 =
1
3
.
2 −2 1
1 2 −1
−1 1 1
Encontre inversa da matriz 𝐴 =
1 2 6
0 1 5
2 3 7
, se possível. 
1 2 6
0 1 5
2 3 7
|
|
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⇒ 𝐿3 ⇒ 𝐿3 − 2. 𝐿1 ⇒
1 2 6
0 1 5
0 −1 −5
|
|
|
1 0 0
0 1 0
−2 0 1
É fácil ver que na tentativa de zerar o elemento 𝑎32, toda a linha é zerada. Logo a 
matriz não possui inversa, ou seja é singular.
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Verificar se uma matriz é inversível é o mesmo que verificar se a matriz
pode ser reescrita (através de operações elementares) como uma matriz
identidade de mesma ordem:
A =
4 8
2 9
4 8
2 9
⇒ 𝐿1 ⇒
1
4
. 𝐿1 ⇒
1 2
2 9
⇒ 𝐿2 ⇒ 𝐿2 − 2. 𝐿1 ⇒
1 2
0 5
1 2
0 5
⇒ 𝐿2 ⇒
1
5
. 𝐿2 ⇒
1 2
0 1
⇒ 𝐿1 ⇒ 𝐿1 − 2. 𝐿2 ⇒
1 0
0 1
Neste caso a matriz é inversível. Mas, se a matriz fosse:
A =
1 2
4 8
1 2
4 8
⇒ 𝐿2 ⇒ 𝐿2 − 2. 𝐿1 ⇒
1 2
0 0
Neste caso a matriz é singular.
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