OK - 03 - Plano cartesiano, Vetores no R-2

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Geometria Analítica
Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues
e Álgebra Vetorial
Curso de:
TEMA 3:
Vetores no R²
Objetivo geral
Compreender as relações algébricas dos vetores no plano cartesiano.
Objetivos específicos:
I. Visualizar as posições dos pontos no plano cartesiano;
II. Aplicar as operações com base nas propriedades de vetores;
III. Resolver problemas aplicando as propriedades compreendidas em aula.
TEMA 3: Vetores no R²
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Pontos num plano:
Vamos considerar um plano formado por duas retas
perpendiculares, com as seguintes características:
Eixos perpendiculares
Origem “O”
quadrantes
y
xE
ix
o
 d
a
s 
o
rd
en
a
d
a
s
Eixo das abscissas
I quadranteII quadrante
III quadrante IV quadrante
O
TEMA 3: Vetores no R²
Geometria Analítica com Álgebra Vetorial - Profº.Me. Fábio Matos Rodrigues 
Pontos num plano:
No plano cartesiano, os pontos são representados por coordenadas (x,y)
ou pares ordenados, o que revela a sua posição em relação aos eixos.
Demonstremos os pontos:
y
x
O
A (3,4)
B (-1,2)
C (-3,-2)
D (4,-1)
E (0,0)
F(0,5)
G(-1,0)
H(0,-2)
TEMA 3: Vetores no R²
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Pontos num plano:
y
x
A (3,4)
B (-1,2)
C (-3,-2)
D (4,-1)
E (0,0)
F(0,5)
G(-1,0)
H(0,-2)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
A
B
C
D
E
F
G
H
TEMA 3: Vetores no R²
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Distância entre os pontos:
Se considerarmos dois pontos colineares e paralelos aos
eixos (abscissa ou ordenada), a distância entre os pontos é dada
pela diferença entre a extremidade e a origem dos segmentos de
reta formado em relação ao eixo orientado.
Horizontal: 𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1
Vertical: 𝐶𝐷 = 𝑦2 − 𝑦1
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Distância entre os pontos:
Na prática, considerando o eixo das abscissas (x):
𝐴(1,3) B(4,3)
B(1,2) A(5,2)
A(−2,0) B(3,0)
𝐴𝐵 = |1 − 5| = −4 = 4𝐴𝐵 = 4 − 1 = 3 = 3
𝐴𝐵 = 3 − −2 = 5 = 5
1 4
x
y
3
x
y
2
1 5
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Distância entre os pontos:
Agora, considerando o eixo das ordenadas (y):
𝐵(1,3)
A(1,1)
𝐴𝐵 = 3 − 1 = 2 = 2
1
x
y
3
x
y
𝐵(2,3)
𝐴(2, −2)
𝐴𝐵 = 3 − −2 = 5 = 5
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Distância entre os pontos:
Mas, o que aconteceria se variássemos x e y simultaneamente?
∎
𝑃1(𝑥1, 𝑦1)
𝑃2(𝑥2, 𝑦2)
𝑄(𝑥2, 𝑦1) Lembrando da relação de Pitágoras:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
𝑃1𝑃2
2 = |𝑃1𝑄
2| + |𝑄𝑃2
2
|
𝑷𝟏𝑷𝟐
𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝟐
(𝑦2 − 𝑦1)
(𝑥2 − 𝑥1)
𝑃1𝑄 = 𝑥2 − 𝑥1
𝑄𝑃2 = 𝑦2 − 𝑦1
x
y
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Distância entre os pontos:
Na prática: A (2,5) e B(6,8)
∎
𝐴(2,5)
𝐵(6,8)
𝑨𝑩 𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝟐
𝑨𝑩 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 𝟐 + 𝟖 − 𝟓 𝟐
𝑨𝑩 𝟐 = 𝟒 𝟐 + 𝟑 𝟐
𝑨𝑩 𝟐 = 𝟏𝟔 + 𝟗
𝑨𝑩 𝟐 = 𝟐𝟓
𝑨𝑩 = ± 𝟐𝟓
𝑨𝑩 = ±𝟓
Mas qual valor é o correto, +5 ou -5 ?x
y
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Ponto médio:
Dado dois pontos quaisquer, o ponto médio M é definido com
coordenadas que são metades das somas das coordenadas dos
respectivos pontos.
𝐴(𝑥1, 𝑦1)
𝐵(𝑥2, 𝑦2)
𝑀(𝑥𝑚, 𝑦𝑚)
x
y Em “x” temos:
𝐴𝑀 = 𝑀𝐵
𝑥𝑚 − 𝑥1 = 𝑥2 − 𝑥𝑚
𝑥𝑚 + 𝑥𝑚 = 𝑥2 + 𝑥1
2. 𝑥𝑚 = 𝑥2 + 𝑥1
𝒙𝒎 =
𝒙𝟐 + 𝒙𝟏
𝟐
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Ponto médio:
Dado dois pontos quaisquer, o ponto médio M é definido com coordenadas que
são metades das somas das coordenadas dos respectivos pontos.
𝐴(𝑥1, 𝑦1)
𝐵(𝑥2, 𝑦2)
𝑀(𝑥𝑚, 𝑦𝑚)
x
y Em “y” temos:
𝐴𝑀 = 𝑀𝐵
𝑦𝑚 − 𝑦1 = 𝑦2 − 𝑦𝑚
𝑦𝑚 + 𝑦𝑚 = 𝑦2 + 𝑦1
2. 𝑦𝑚 = 𝑦2 + 𝑦1
𝒚𝒎 =
𝒚𝟐 + 𝒚𝟏
𝟐
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Ponto médio:
Na prática e considerando o exercício anterior: A (2,5) e B(6,8)
∎
𝐴(2,5)
𝐵(6,8)
𝒙𝒎 =
𝒙𝟐 + 𝒙𝟏
𝟐
= 𝒙𝒎 =
𝟔 + 𝟐
𝟐
= 𝒙𝒎 = 𝟒
𝒚𝒎 =
𝒚𝟐 + 𝒚𝟏
𝟐
= 𝒚𝒎=
𝟖 + 𝟓
𝟐
= 𝒚𝒎 = 𝟔, 𝟓
Que no gráfico ficaria....
x
y
2 6
8
6,5
5
M(4; 6,5)
4
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Construindo vetores no plano
• Existem infinitas bases ortonormais no plano xOy.
• Vamos destacar uma muito importante: a Base Canônica!! 
• Base canônica no ℝ2 :
I. Segmentos de reta orientados
de origem em O;
II. Extremidades em (1,0) e
(0,1);
x
y
1
1𝑖
𝑗
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Vamos construir um vetor : 𝑣 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 , da seguinte forma:
x
y
𝑖
𝑗
𝑦𝑗
𝑥𝑖
i) x e y são as componentes de 𝑣 , em 
relação à base {𝑖 , 𝑗 }.
ii) O vetor 𝑥𝑖 é a projeção de 𝑣 sobre 
𝑖 .
iii) O vetor y𝑗 é a projeção de 𝑣 sobre 
𝑗 .
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Expressão Analítica de um Vetor
Fixada uma base {𝑖 , 𝑗 }, associamos um vetor 𝑣 do plano a um par ordenado 
(x,y), sendo estes componentes da base.
𝑣 = (𝑥, 𝑦)
Se temos um vetor 𝑣 = 3𝑖 − 5𝑗 , podemos simplesmente escrever:
𝑣 = (3,−5)
Expressão analítica
ordenada
abscissa
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Quais os pares ordenados de:
𝑣 = 𝑖 − 5𝑗 ? 𝑣 = −2𝑗 ? 𝑣 = 4𝑖 ? 𝑣 = −𝑗 + 2𝑖
Importante!!!
i) Se 𝑣 = 𝑖 , significa que pode ser representado pelo par:
𝑣 = (1,0).
i) Se 𝑣 = 𝑗 , significa que pode ser representado pelo par:
𝑣 = (0,1).
i) Se 𝑣 = 0 , significa que pode ser representado pelo par:
𝑣 = (0,0).
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Para exemplificar:
Um ponto P(x,y) pode ser escrito como um vetor 𝑣 , tal que:
𝑣 = 𝑂𝑃 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
x
y
O
P(x,y)
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Igualdade e Operações
Igualdade:
Sejam dois vetores: 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2), estes serão iguais 
se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2. Então 𝑢 = 𝑣
Exemplos:
1) Os vetores 𝑢 = (2,4) e 𝑣 = 2,4 são iguais;
2) Consideremos dois vetores 𝑢 = (𝑥 + 1, 4) e 𝑣 = 5, 2𝑦 − 6
serão iguais se suas coordenadas forem iguais. Quais os valores de 
x e y?
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Operações
Sejam dois vetores: 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 e a ∈ ℝ. Define-se:
a) Soma: 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2
b) Multiplicação por um número real: 𝑎𝑢 = (𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1)
Ex.:
Dados os vetores: 𝑢 = (4,1) e 𝑣 = 2,6 , encontre: 𝑢 + 𝑣 e 2𝑢 .
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x
y
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
𝑢
𝑣
𝑢 + 𝑣
2𝑢
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Importante!!!
Para quaisquer vetores 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 e os números reais a e b, valem as 
operações:
Adição:
𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
( 𝑢 + 𝑣 ) + 𝑤 = 𝑢 + ( 𝑣 + 𝑤 )
𝑣 + 0 = 0 + 𝑣 = 𝑣
𝑣 + −𝑣 = 𝑣 − 𝑣 = 0
Multiplicação por um número real:
𝑎 𝑏. 𝑣 = 𝑎. 𝑏 . 𝑣
𝑎 + 𝑏 . 𝑣 = 𝑎. 𝑣 + 𝑏. 𝑣
𝑎 𝑢 + 𝑣 = 𝑎. 𝑢 + 𝑎. 𝑣
1 𝑣 = 𝑣
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Aplicações:
1) Determine as coordenadas do vetor w , sendo que: u =
(3,−1) e v = −2, 4 , segundo a expressão:
3𝑤 + 2𝑢 =
1
2
𝑣 + 𝑤
2) Encontrar os números 𝑎1 e 𝑎2, tais que: 𝑤 = 𝑎1𝑢 + 𝑎2𝑣
sendo u = (1,2) , v = −4, 2 e w = −1, 8
Tentem fazer essa!!!!
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Vetor Definido por dois pontos
Consideremos o vetor 𝐴𝐵 de origem no ponto A(𝑥1, 𝑦1) e extremidade em 
B 𝑥2, 𝑦2 . Podemos expressar os vetores: 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 analiticamente:
𝑂𝐴 = (𝑥1, 𝑦1)
𝑂𝐵 = 𝑥2, 𝑦2
A(𝑥1, 𝑦1)
B 𝑥2, 𝑦2 .
𝑦1
𝑦2
𝑥1 𝑥2
y
x
𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵
𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴
𝐴𝐵 = 𝑥2, 𝑦2 − 𝑥1, 𝑦1
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1
O
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𝐴𝐵 = 𝑥2, 𝑦2 − 𝑥1, 𝑦1
𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1
As componentes são obtidas pela diferença entre as
coordenadas da extremidade B pelas coordenadas da origem em A.
Assim podemos escrever:
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴
Aplicação:
Dados os pontos: A −1, 2 , B(3,−1) e C(−2, 4), determine 
D(x, y) de modo que:
𝐶𝐷 =
1
2
𝐴𝐵
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Condição de Paralelismo de Dois Vetores
Dados dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2 colineares e 
paralelos. Existe um número k tal que:
𝑢 = 𝑘𝑣
𝑥1, 𝑦1 = 𝑘. 𝑥2, 𝑦2
𝑥1, 𝑦1 = 𝑘𝑥2, 𝑘𝑦2
Por definição:
𝑥1 = 𝑘𝑥2
𝑦1 = 𝑘𝑦2
Ou seja: 
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
= 𝑘 , então dizemos que: 𝑢 // 𝑣
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Exemplo:
Os vetores 𝑢 = −2, 3 e 𝑣 = −4, 6 são paralelos, pois:
−2
−4
=
3
6
= 𝑘 =
1
2
ou seja:
𝑢 =
1
2
𝑣
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Exemplo:
Podemos ainda estimar valores da seguinte maneira:
Sendo k=1/3 , qual o valor de x e y para que os vetores 𝑢 = 𝑥 − 3, 3 e 𝑣 =
−4, 2. 𝑦 + 1 sejam paralelos, pois:
𝑥 − 3
−4
=
3
2. 𝑦 + 1
=
1
3
𝑥 − 3
−4
=
1
3
3. 𝑥 − 3 = −4.1
3𝑥 − 9 = −4
3𝑥 = −4 + 9
3𝑥 = 5
𝑥 =
5
3
3
2. 𝑦 + 1
=
1
3
3.3 = 2. 𝑦 + 1 . 1
9 = 2𝑦 + 1
9 − 1 = 2𝑦
8 = 2𝑦
2𝑦 = 8
𝑦 =
8
2
= 4
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