aposti matetica

Prévia do material em texto

Representação de conjuntos 
 
REPRESENTAÇÂO DOS CONJUNTOS 
Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos do 
mesmo são representados entre chaves. 
Assim, teríamos: 
 
O conjunto das letras do nosso alfabeto; L= {a, b, c, d,..., z}. 
O conjunto dos dias da semana: S= {segunda, terça,... domingo}. 
 
A representação de conjuntos pode ser feita de três maneiras: 
 
1º - Por extensão 
 
Um conjunto pode ser descrito por extensão: quando o número dos seus 
elementos for finito e suficientemente pequeno enumerando explicitamente 
todos os seus elementos colocados entre chaves e separados por vírgulas. 
 
Exemplos: 
 
A = {Janeiro, Fevereiro, Março, Abril,..., Novembro, Dezembro} - Conjunto dos 
meses do ano. 
V = {a, e, i, o, u} - Conjunto das vogais. 
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…} Conjunto dos números pares positivos. 
 
2º - Por compreensão: 
 
Um conjunto é representado por compreensão quando: é enunciada uma 
propriedade característica dos seus elementos. Isto é, uma propriedade que os 
seus e só os seus elementos possuam. 
 
Exemplos: 
 
B(meses do ano) 
C= {letras do alfabeto} 
D= {os meus CDs de música} 
P = {p ∊ N: p = 2q para algum q ∊ N} 
Q = {x ∊ N: x é primo} 
R = {x: x é um número natural par e positivo} 
 
3º - Por diagramas 
 
Conjunto unitário 
 
É o conjunto que possui um único elemento. Assim, teríamos: 
A= {fevereiro}, B = {Número primo que é par}. 
 
Conjunto vazio 
 
É o conjunto que não possui elementos. 
É representado por: {} ou Ø 
Assim teríamos: A= {} ou A = Ø 
 
RELAÇÃO DE INCLUSÃO – SUBCONJUNTOS 
 
Seja por exemplo, o conjunto das letras do nosso alfabeto: 
B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j,..., z} 
 
Vemos que B é formado por um conjunto de vogais (V) e um conjunto de 
consoantes (C). Logo poderíamos dizer que o conjunto das vogais faz parte do 
conjunto das letras do nosso alfabeto, e indica-se por: 
 
V ⊂ B ou B ⊃ V 
Assim se lê cada um dos dois símbolos: 
⊂ ..... “Está contido em” 
⊃ ..... “Contém” 
 
Em caso contrário indicaríamos por: 
⊄ ..... “Não está contido em” 
⊅ ..... “Não contém” 
 
 
 
 
A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∊ A⇒ X ∊ B) 
Observação importante: O conjunto vazio é o único conjunto que é 
subconjunto de qualquer conjunto 
 
 
 
RELAÇÃO DE IGUALDADE 
 
Dois conjuntos, M e N, dizem-se iguais quando todo elemento de M pertence a 
N, e todo elemento de N pertence a M, ou seja, M é subconjunto de N e N é 
subconjunto de M. 
Logo: Se M ⊂ N e M ⊃ N → M=N 
 
Exemplificando teríamos: 
 
M = {Márcia, Maria, Fábio} 
N = {Fábio, Maria, Márcia} 
 
Podemos ver que os elementos de M estão em N e que o mesmo acontece 
com os elementos de N, então podemos dizer que M=N. 
 
CONJUNTO UNIVERSO – REPRESENTAÇÃO DE VENN 
 
Seja por exemplo, o conjunto dos dias da semana que começam com S. 
Logo: 
 
S={ segunda-feira, sexta-feira, sábado} 
 
Podemos verificar que esse conjunto é um subconjunto do conjunto D dos dias 
da semana. 
D={Terça-feira, quarta-feira, Quinta-feira, Domingo} 
 
Um modo prático e fácil de ilustrar este conjunto é representando-o através 
de REPRESENTAÇÃO DE VENN. 
 
Consiste em representar os elementos de um conjunto internamente a um 
retângulo (geralmente) e os elementos dos subconjuntos, limitados por uma 
linha fechada e não entrelaçada. 
Assim teríamos: 
 
 
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 
 
1) INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS: ∩ 
É a operação que permite determinar conjunto dos elementos comuns a dois 
ou mais conjuntos. 
Indicação: ∩ 
Sejam dados: A={ 1, 2, 3, 4} e B={0, 1, 3 , 5} 
Temos: A ∩ B = { 1, 2, 3, 4} ∩ {0, 1, 3 , 5} = {1, 3 } 
 
 
A ∩ B = {x/ x ∊ A e x ∊ B} 
 
2) UNIÃO DE CONJUNTOS: U 
É a operação que permite determinar o conjunto de todos os elementos 
pertencentes a dois ou mais conjuntos. 
 
Sejam dados: A = { 1, 2, 3, 4} e B = { 0, 1, 3, 5} temos: 
A U B = { 1, 2, 3, 4} U { 0, 1, 3, 5} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} 
 
Esquemáticamente teríamos: 
 
 
 
A U B = {x/ x ∊ A ou x ∊ B} 
 
 
Tipos de conjunto 
Existem diferentes tipos de conjuntos, seus nomes estão de acordo com a quantidade 
de elementos que eles agrupam. 
O agrupamento de termos com características semelhantes é uma definição para a 
palavra conjunto. Os conjuntos recebem nomes de acordo com a quantidade de 
elementos que podem vir a ser agrupados. 
 
 
Conjunto finito 
 
Esse tipo de conjunto representa uma quantidade limitada de elementos. Por 
exemplo, o conjunto dos números compreendidos entre 1 e 10 será representado 
da seguinte maneira: {x / 1 < x < 10} ou {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
 
 
Conjunto infinito 
 
Apresenta uma quantidade infinita (ilimitada de termos). Por exemplo: 
 
? O conjunto dos reais é considerado um conjunto infinito, pois não possui fim. 
? O conjunto dos números inteiros também é considerado infinito. 
 
 
Conjunto unitário 
 
Esse conjunto é caracterizado por possuir apenas um único elemento. Por 
exemplo: 
 
? O conjunto dos números naturais compreendidos entre 0 e 2. Nesse caso existe 
somente um elemento, o 1. Representamos por {1}. 
? O conjunto dos números inteiros compreendidos entre –3 e –1. Entre os números 
–3 e –1 existe apenas o número inteiro –2. Portanto, a representação deste 
conjunto unitário é {–2}. 
 
 
Conjunto Vazio 
 
O conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sua representação pode ser feita 
utilizando duas simbologias: { } ou Ø. Por exemplo: 
 
? O conjunto dos números naturais antecessores ao 0 (zero) é considerado vazio, 
pois nos números naturais não existe antecessor de zero. 
? O conjunto dos números fracionários existentes no conjunto dos números inteiros 
é considerado um conjunto vazio, pois não existem frações dentre os números 
inteiros. 
 
 
Conjunto Universo 
 
É o conjunto representativo de todos os elementos da conjuntura na qual estamos 
trabalhando, e também de todos os conjuntos relacionados. Na representação do 
conjunto universo utilizamos a letra maiúscula U. 
 
 
Conjuntos Numéricos 
Conjunto dos Números Naturais 
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É 
representado pela letra maiúscula N. 
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos 
(excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: 
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} 
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...} 
Conjunto dos Números Inteiros 
São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais 
os seus respectivos opostos (negativos). 
São representados pela letra Z: 
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} 
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: 
- Inteiros não negativos 
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo 
percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números 
naturais. 
É representado por Z+: 
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...} 
- Inteiros não positivos 
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado 
por Z-: 
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
- Inteiros não negativos e não-nulos 
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto 
por Z*+: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} 
Z*+ = N* 
- Inteiros não positivos e não nulos 
São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se 
por Z*-. 
Z*- = {... -4, -3, -2, -1} 
Conjunto dos Números Racionais 
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros 
(Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números 
decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de 
algarismos da parte decimal infinitamente),como "12,050505...", são 
também conhecidas como dízimas periódicas. 
Os racionais são representados pela letra Q. 
Conjunto dos Números Irracionais 
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom 
exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão 
do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 
3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram 
calcular bilhões de casas decimais para o PI. 
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz 
quadrada de 2 (1,4142135 ...) 
Conjunto dos Números Reais 
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do 
conjunto dos racionais com os irracionais). 
Representado pela letra R. 
 
Subconjuntos Numéricos 
O conjunto dos números reais é formado pela união dos seguintes conjuntos de 
números: naturais, inteiros, racionais e os irracionais. Com ausência dos números 
irracionais, podemos estabelecer subconjuntos dos outros conjuntos. 
 
Subconjuntos de N 
 
N* = {x Є R / x ≠ 0} – conjunto dos números naturais com ausência do zero. 
 
Subconjuntos de Z ( números inteiros) 
 
Z+ = {x Є Z / x ≥ 0} – conjunto dos números inteiros positivos 
 
Z– = {x Є Z / x ≤ 0} – conjunto dos números inteiros negativos 
 
Z* = {x Є Z / x ≠ 0}– conjunto dos números inteiros com ausência do zero 
 
Z*+ = {x Є Z / x > 0} – conjunto dos números inteiros positivos com ausência do 
zero. 
 
Z*– = {x Є Z / x < 0} – conjunto dos números inteiros negativos com ausência do 
zero. 
 
 
Subconjuntos de Q (números racionais) 
 
Q+ = {x Є Q / x ≥ 0} – conjunto dos números racionais positivos 
 
Q– = {x Є Q / x ≤ 0} – conjunto dos números racionais negativos 
 
Q* = {x Є Q / x ≠ 0} – conjunto dos números racionais com ausência do zero 
 
Q*+ = {x Є Q / x > 0} – conjunto dos números racionais positivos com ausência do 
zero 
 
Q*– = {x Є Q / x < 0} – conjunto dos números racionais negativos com ausência do 
zero 
 
 
Subconjuntos de R (números reais) 
 
R+ = {x Є R / x ≥ 0} – conjunto dos números reais positivos 
 
R– = {x Є R / x ≤ 0} – conjunto dos números reais negativos 
 
R*+ = {x Є R / x > 0} – conjunto dos números reais positivos com ausência do zero 
 
R*– = {x Є R / x < 0} – conjunto dos números reais negativos com ausência do 
zero 
 
R* = (x Є R / x ≠ 0} – conjunto dos números reais com ausência do zero 
Intervalo 
Pode-se representar o conjunto dos números reais associando cada 
número x ∈ R a um ponto de uma reta r. assim se convencionarmos 
uma origem O, associando a ela o zero, adotamos uma unidade e um 
sentido positivo para esta reta, teremos aquela que denominamos 
reta orientada. 
 
Seja a e b números reais com a < b. os subconjuntos de R a seguir 
são chamados intervalos. 
 
Intervalo limitado 
Intervalo fechado: Números reais maiores ou iguais a a e menores ou 
iguais a b. 
 
Intervalo: [a, b] 
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} 
Intervalo aberto: Números reais maiores do que a e menores do que 
b. 
 
Intervalo: ]a, b[ 
Conjunto: {x ∈ R | a < x < b} 
Intervalo fechado à esquerda: Números reais maiores ou iguais a a e 
menores do que b. 
 
Intervalo: [a, b[ 
Conjunto: {x ∈ R | a ≤ x < b} 
Intervalo fechado à direita: Números reais maiores do que a e 
menores ou iguais a b. 
 
Intervalo: ]a, b] 
Conjunto: {x ∈ R | a < x ≤ b} 
 
Intervalos ilimitados 
Semi reta esquerda, fechada, de origem b: Números reais menores 
ou iguais a b. 
 
Intervalo: ]-∞ ,b] 
Conjunto: {x ∈ R | x ≤ b} 
Semi reta esquerda, aberta, de origem b: Números reais menores 
que b. 
 
Intervalo: ]-∞ ,b[ 
Conjunto: {x ∈ R | x 
Semi reta direita, fechada, de origem a: Números reais maiores ou 
iguais a a. 
 
Intervalo: [a,+∞ [ 
Conjunto: {x ∈ R | x ≥ a} 
Semi reta direita, aberta, de origem a: Números reais maiores que a. 
 
Intervalo: ]a, +∞ [ 
Conjunto: {x ∈ R | x>a} 
Reta numérica: Números reais. 
 
Intervalo: ] ∞- ,+∞ [ 
Conjunto: R 
 Expressão Numérica 
Introdução 
Nem todas as dificuldades encontradas na resolução de problemas ou 
cálculos matemáticos são relativas, pelo menos diretamente, ao 
assunto em estudo. Em alguns casos, existe uma evidente deficiência 
na explicação do conteúdo, por parte do professor, em outros falta à 
atenção adequada para a sua compreensão por parte do aluno. O fato 
é que para compreender os conteúdos matemáticos, além de ser 
preciso dedicar o máximo possível de atenção, é também necessário 
o descomplicamento do seu ensino, isto é, o professor deverá 
apresentar o desenvolvimento dos cálculos propostos, mas sempre 
que for possível, mostrar aos alunos os atalhos primordiais para a 
agilização de suas soluções. 
As expressões numéricas são altamente necessárias para 
solucionarmos problemas cotidianos. Através do conhecimento das 
operações básicas da matemática, bem como da interpretação dos 
dados contidos nos problemas, podemos organizar o problema, 
extrair suas informações principais, convertê-lo a um modelo 
matemático e, por fim, efetuar os cálculos para a sua resolução. 
Neste trabalho, mostrarei apenas as expressões numéricas simples, 
aquelas que apresentam apenas multiplicação, divisão, adição e 
subtração. 
Os elementos de uma expressão numérica. 
Uma expressão numérica é composta de alguns elementos que 
deverão ser observados atentamente antes do início de sua 
resolução. É importante também, antes de explorarmos os elementos 
em debate, chamar atenção para a ordem das operações 
matemáticas dispostas na expressão, ou seja, deveremos sempre 
resolver os produtos e os quocientes, para somente após operar com 
as adições e subtrações. Um pouco mais adiante detalharei mais essa 
informação. 
Em relação aos elementos de uma expressão, podemos destacar os 
parênteses ( ), os colchetes [ ], as chaves { }, os números e os 
símbolos de operação. Entre os parênteses, colchetes e chaves, 
também existe uma sequência resolutiva a ser seguida. Primeiro 
resolvemos a parte interna dos parênteses, em seguida os colchetes 
e, logo após, as chaves. Ao concluirmos esse ritual, nos restará uma 
expressão simples, contendo apenas o que chamamos de adição 
algébrica. 
Considerações sobre os sinais de adição (+) e subtração 
(-) 
 Quando o sinal de adição (+) anteceder um parêntese, 
colchete ou chaves deverá eliminar o parêntese, o colchete ou 
chaves, na ordem de resolução, reescrevendo os números 
internos com o seus sinais originais. 
 Quando o sinal de subtração (-) anteceder um parêntese, 
colchete ou chaves deverá eliminar o parêntese, o colchete ou 
chaves, na ordem de resolução, reescrevendo os números 
internos com o seus sinais invertidos. 
Resolvendo expressões 
Vejam a expressão numérica 15 x 2 – 30 ÷ 3 + 7 
15 x 2 – 30 ÷ 3 + 7 → primeiro resolveremos a multiplicação e a 
divisão, em qualquer ordem. 
30 – 10 + 7 → Agora resolveremos a adição e subtração, também 
em qualquer ordem. 
27 (Resultado Final) 
Acompanhem a resolução da expressão 10 x [30 ÷ (2 x 3 + 4) + 
15] 
10 x [30 ÷ (2 x 3 + 4) + 15] → primeiro resolveremos a 
multiplicação interna aos parênteses. 
10 x [30 ÷ (6 + 4) + 15] → resolveremos a adição interna aos 
parênteses, desta forma os eliminando. 
10 x [30 ÷ 10 + 15] → resolveremos a divisão interna aos colchetes. 
10 x [3 + 15] → resolveremos a adição interna aos colchetes. 
10 x [18] → eliminaremos os colchetes, como o sinal de multiplicação 
os antecede, apenas reescreveremos o número interno com o seu 
sinal de origem. 
10 x 18 → resolveremos a multiplicação. 
180 (Resultado Final) 
Observem a expressão 25 + {14 – [25 x 4 + 40 – (20 ÷ 2 +10)]} e acompanhem as sua respectiva resolução: 
25 + {14 – [25 x 4 + 40 – (20 ÷ 2 + 10)]} → primeiro resolveremos 
a divisão interna aos parênteses. 
25 + {14 – [25 x 4 + 40 – (10 + 10)]} → resolveremos a adição 
interna aos parênteses. 
25 + {14 – [25 x 4 + 40 – (20)]} → eliminaremos os parênteses, 
como o sinal que os antecede é negativo, inverteremos o sinal 
interno. 
25 + {14 – [25 x 4 + 40 – 20]} → resolveremos a multiplicação 
interna aos colchetes. 
25 + {14 – [100 + 40 – 20]} → resolveremos a adição e subtração, 
em qualquer ordem, internas aos colchetes. 
25 + {14 – [120]} → eliminaremos os colchetes, como o sinal que 
os antecede é negativo, inverteremos o sinal interno. 
25 + {14 – 120} → resolveremos a subtração interna aos colchetes. 
25 + {- 106} → eliminaremos as chaves, como o sinal que as 
antecede é positivo, manteremos o sinal interno original. 
25 – 106 → resolveremos a subtração 
- 81 (Resultado Final) 
Considerações finais 
Se observarmos atentamente a utilização dos critérios de resolução 
de expressões, ou seja, seguindo os passos resolutivos apresentados 
neste trabalho, poderemos chegar, com certo grau de facilidade, ao 
resultado final de quaisquer que seja a expressão proposta como 
atividade. Assim como em todo o grande campo da matemática, 
deveremos sempre depositar o máximo de atenção ao lidarmos com 
os cálculos por ela propostos, pois desprezarmos a importância de um 
dos seus elementos de composição, estaremos fortemente propensos 
ao insucesso em sua correta resolução. 
Lembro-lhes que a compreensão de conceitos e conteúdos 
matemáticos está intimamente ligada a prática constante de 
atividades que contemplem bons exercícios, situações-problema, 
exigência de raciocínio lógico, interpretação etc. Portanto, se queres 
realmente compreender a matemática, pratique-a. 
 
 
(PUC) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade 
revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% 
têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa 
própria nem automóvel? 
 
Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, 
colocando a quantidade de elementos dos conjuntos. Começamos sempre 
pela intersecção (8%). Ao colocar o número de elementos de um conjunto, 
não podemos esquecer de descontar os da intersecção. 
 
Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 
14% + x = 100 %. Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que 
não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%. 
 
Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e 
constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 
tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de 
problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente 
problemas de imagem é: 
(A) 4 000 
(B) 3 700 
(C) 3 500 
(D) 2 800 
(E) 2 500 
 
Solução: Resposta na altermativa (B). Observe o diagrama construído com 
base no enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na 
imagem, S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o 
conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado. 
Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao 
colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de 
descontar os da intersecção x. 
 
Temos que 4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de 
televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. 
Segue que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de aparelhos que 
apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700. 
 
 
 
(UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em 
seu cargo; os senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, 
houve eleição para os três cargos em 1989. 
A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, 
em que ano? 
 
Solução: Temos que encontrar o menor número (diferente de zero) que é 
múltiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, ou seja, temos que encontrar 
o Mínimo Múltiplo Comum de 3, 4 e 6. 
 
Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encontramos 22× 3. Logo, M.M.C. (3 , 4 
, 6) = 12. Assim, a próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 
2001. 
 
 
Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos 
acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo 
que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. 
Quantos alunos fizeram a prova? 
 
Solução: Temos que 90 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a 
segunda, então, 260 - 90 = 170 acertaram apenas a segunda questão. Se 470 
acertaram somente uma das questões e 170 acertaram apenas a segunda, 
segue que, 470 - 170 = 300 acertaram somente a primeira. Como 210 
erraram a primeira, incluindo os 170 que também erraram a primeira, temos 
que, 210 - 170 = 40 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de 
Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 
é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram 
as duas. Observe que a interseção entre P1 e P2 é o conjunto dos que 
acertaram as duas questões. 
 
Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 300 + 90 + 170 + 40 = 600. 
 
 
Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações 
Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado 
e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 
400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 
leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três 
obras; Calcule: 
a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras. 
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. 
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras. 
 
Solução: Começamos sempre colocando no diagrama o número de 
elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um 
conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção 
 
200 - 20 = 180 ; 
150 - 20 = 130 ; 
100 - 20 = 80 ; 
600 - 180 - 20 - 130 = 270 ; 
400 - 180 - 20 - 80 = 120 ; 
300 - 130 - 20 - 80 = 70. 
270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 
80 + 70 = 870 
Assim: 
a) O número de pessoas que 
leu apenas uma das obras é 
270 + 120 + 70 = 460 : 
b) O número de pessoas que 
não leu nenhuma das três 
obras é x = 1000 - 870 = 130 
; 
c) O número de pessoas que 
leu duas ou mais obras é 180 
+ 20 + 130 + 80 = 410 
 
 
(PUC - adaptado) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três 
programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela 
abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. 
 
Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum 
Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x 
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que 
não assistem a qualquer dos três programas é: 
(A) 200 
(B) 300 
(C) 900 
(D) 100 
(E) 500 
 
Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos 
dos conjuntos. Começamos sempre colocando o número de elementos da 
intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não 
esquecer-nos de descontar os da intersecção que tem 100 elementos. 
 
Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 
+ x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a 
qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200. 
Assim, (A) é a opção correta.Números Racionais 
 
 
Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais 
Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma 
de fração. 
 
Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes: 
Por exemplo: 
 
♦ Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos. 
 
Esses números têm a forma com a , b Z e b ≠ 0. 
 
♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita: 
 
 
 
Esses números têm a forma com a , b Z e b ≠ 0. 
 
 
♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita 
periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas: 
 
 
 
As dízimas periódicas de expansão infinita podem ser escritas na forma : 
com a, b Z e b ≠ 0. 
 
- O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula. 
 
Q = {x = , com a Z e b Z*} 
 
 
 
- Outros subconjuntos de Q: 
 
Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. 
 
Q* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero. 
 
Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero. 
 
Q- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero. 
 
Q*+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos. 
 
Q*- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos. 
 
 
- Representação Geométrica 
 
 
 
Entre dois números racionais existem infinitos outros números 
racionais. 
 
Fração equivalente 
Frações que representam o mesmo resultado 
 
Quase sempre, aprendemos o conceito de fração equivalente cortando uma 
pizza em vários pedaços. Independente de você gostar ou não de pizza, dividi-
la em quatro partes e comer dois dos seus pedaços é a mesma coisa que 
dividi-la em oito partes e devorar quatro pedaços. Pode parecer diferente, mas 
a quantidade de pizza é a mesma. 
 
 
Experiência 
Tanto faz usarmos para dizer o que comemos de uma barra de 
chocolate. Essas frações são equivalentes e, portanto, representam o mesmo 
resultado. Se você não estiver convencido, pegue um cartão com formato 
retangular, igual ao de uma barra de chocolate, e faça a experiência, usando as 
frações que foram sugeridas. No mesmo retângulo, pinte uma cor diferente 
para cada fração citada no exemplo. Você perceberá rapidamente a 
equivalência. 
 
 
Utilidade da fração equivalente 
Agora, talvez a pergunta mais importante seja: para que serve a fração 
equivalente? 
 
Vamos imaginar que uma pesquisa de opinião, sobre determinada marca de 
sabonete, está sendo feita em uma cidade. Dentre os habitantes, um total de 
2.500 pessoas foram entrevistadas. Três marcas de sabonete são 
apresentadas a essas pessoas. Terminada a pesquisa, 500 escolheram a 
marca A, 600 a marca B e 1.200 optaram pela C. O restante não gosta de 
nenhuma das três. O resultado dessa pesquisa pode ser registrado por meio de 
frações, já que as opções feitas podem ser entendidas como pedaços em 
relação a um todo de 2.500 pessoas. 
 
Vejamos, de acordo com esse exemplo, como as frações representam uma 
boa ferramenta de análise e comparação: ao registrarmos as 
frações não podemos deixar de pensar que, para escrevê-las ou 
pronunciá-las, seria mais fácil se pudéssemos simplificá-las. A equivalência é 
um recurso que ajuda a realizar essa simplificação. 
 
 
Regra 
Utilizando a experiência do retângulo que representa a barra de chocolate com 
as frações equivalentes observamos que há uma regra para esse tipo 
de fração. 
 
Multiplicando ou dividindo, simultaneamente, o numerador e o denominador por 
um mesmo número, alteramos o valor numérico dos dois indicadores da fração, 
mas sem alterar a equivalência. Assim, podemos continuar indefinidamente a 
nossa seqüência da barra chocolate com 
 
Para registrar e falar é mais interessante diminuir os valores numéricos dos 
numeradores e dos denominadores. As frações simplificadas ocupam menos 
espaço, gastam menos grafite ou tinta e tornam mais clara a visualização do 
problema. Com esse objetivo em mente, devemos sempre dividir em vez de 
multiplicar. 
 
 
Na prática 
Voltando à pesquisa de opinião sobre sabonetes, o registro para o produto A 
ficará mais simples fazendo Essa simplificação poderia ser feita em 
várias etapas. Em vez de dividirmos por 500, poderíamos começar pelo 2, 
depois usaríamos o 5, e assim sucessivamente, em várias etapas, até chegar 
no mesmo resultado de . 
 
No entanto, quanto maior o número escolhido - um número que consiga dividir 
simultaneamente o numerador e o denominador -, mais rápida será a 
simplificação. 
 
Assim, as frações mais simples, que representam as opções da população 
pelos produtos B e C, poderão ser calculadas em uma única etapa. Para o 
produto B obtemos . E para o C fazemos . 
 
Esses são procedimentos importantes na resolução de problemas, mesmo para 
os que não gostam de matemática. E por falar dos que não gostam, é bom 
registrar que, na nossa pesquisa, dos habitantes não gostam de nenhum 
dos três produtos. 
 
Simplificar uma fração consiste em reduzir o numerador e o denominador 
através da divisão pelo máximo divisor comum aos dois números. Uma fração 
está totalmente simplificada quando verificamos que seus termos estão 
totalmente reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si. 
Uma fração simplificada sofre alteração do numerador e do denominador, mas 
seu valor matemático não é alterado, pois a fração quando tem seus termos 
reduzidos se torna uma fração equivalente. 
 
A fração possui as seguintes frações equivalentes: . Elas 
são formadas por elementos diferentes, mas todas possuem o mesmo valor 
proporcional. Nesse exemplo, temos que a fração é a fração irredutível 
de . 
 
Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador pelo 
mesmo número. Você pode simplificar uma fração por partes, veja: 
 
 
 
Ou você pode simplificar a fração uma única vez. Para isso, você deve 
identificar o máximo divisor comum aos dois termos. Observe: 
O máximo divisor comum aos números 24 e 36 é o 12. Então, simplificamos da 
seguinte maneira: 
 
 
 
Observe mais alguns exemplos de simplificação. 
 
 
 
O MDC entre 32 e 40 é 8. 
 
 
O MDC entre 63 e 81 é 9. 
 
 
O MDC entre 90 e 120 é 30. 
 
 
O MDC entre 36 e 66 é 6. 
 
 
Portanto, para que uma fração se torne irredutível, devemos dividir o 
numerador e o denominador pelo maior divisor comum ou realizar a 
simplificação por partes. Lembre-se de que toda fração irredutível possui 
inúmeras frações equivalentes. 
 
 
 
 
 
Medidas de Comprimento 
 Sistema Métrico Decimal 
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles 
possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada 
vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era 
necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. 
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de 
vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia 
o sistema métrico decimal. 
 
 Metro 
A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido 
inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo 
Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado 
oficialmente em 1928. 
 
 Múltiplos e Submúltiplos do Metro 
 Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e 
submúltiplos,cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi 
e mili. Observe o quadro: 
 
 
 
Múltiplos 
Unidade 
Fundamental 
Submúltiplos 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
km hm dam m dm cm mm 
1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m 
 Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os 
submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, 
utilizamos: 
mícron (µ) = 10
-6
 m angströn (Å) = 10
-10
 m 
 Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): 
Ano-luz = 9,5 · 10
12
 km 
 O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico 
decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo: 
Pé = 30,48 cm 
Polegada = 2,54 cm 
Jarda = 91,44 cm 
Milha terrestre = 1.609 m 
Milha marítima = 1.852 m 
Observe que: 
1 pé = 12 polegadas 
1 jarda = 3 pés 
 
Leitura das Medidas de Comprimento 
 A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de 
unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m. 
Sequencia prática 
 1º) Escrever o quadro de unidades: 
km Hm dam m dm cm mm 
 
 
 
 2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira 
sob a sua respectiva. 
km Hm dam m dm cm mm 
 1 5, 0 4 8 
 3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a 
parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma. 
15 metros e 48 milímetros 
 Outros exemplos: 
6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros" 
82,107 dam 
lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete 
centímetros". 
0,003 m lê-se "três milímetros". 
 
Transformação de Unidades 
 
 
 
 
 
 Observe as seguintes transformações: 
 Transforme 16,584hm em m. 
km hm dam m dm cm mm 
 Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 
x 10). 
 16,584 x 100 = 1.658,4 
 Ou seja: 
 16,584hm = 1.658,4m 
 
Medidas de capacidade 
 A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este 
recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente. 
 A unidade fundamental de capacidade chama-se litro. 
 Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta. 
 1l = 1dm
3
 
 Múltiplos e submúltiplos do litro 
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos 
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro 
kl hl dal l dl cl ml 
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l 
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. 
 
Relações 
1l = 1dm
3
 
1ml = 1cm
3
 
1kl = 1m
3
 
 Leitura das medidas de capacidade 
 Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal 
kl hl dal l dl cl ml 
 2, 4 7 8 
 Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros". 
 
Medidas de massa 
Introdução 
 Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa: 
 Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em 
qualquer lugar da terra ou fora dela. 
 Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da 
terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo: 
 A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis 
vezes maior na terra do que na lua. 
 Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade 
lunar. 
Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", 
é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas". 
 
Quilograma 
 A unidade fundamental de massa chama-se quilograma. 
O quilograma (kg) é a massa de 1dm
3
 de água destilada 
à temperatura de 4ºC. 
 Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática 
o grama como unidade principal de massa. 
 
Múltiplos e Submúltiplos do grama 
Múltiplos 
Unidade 
principal 
Submúltiplos 
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama 
kg hg dag g dg cg mg 
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g 
 Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente 
inferior. Exemplos: 
1 dag = 10 g 
1 g = 10 dg 
 
Medidas de tempo 
Introdução 
 É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo: 
 Qual a duração dessa partida de futebol? 
 Qual o tempo dessa viagem? 
 Qual a duração desse curso? 
 Qual o melhor tempo obtido por esse corredor? 
 Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de 
medida de tempo. 
 A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo. 
 
Segundo 
 O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as 
sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar. 
 O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio. 
 As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal. 
 
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo 
Quadro de unidades 
Múltiplos 
minutos Hora dia 
min H d 
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s 
 São submúltiplos do segundo: 
 décimo de segundo 
 centésimo de segundo 
 milésimo de segundo 
 
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de 
medidas de tempo não é decimal. 
 Observe: 
 
 
 
Equações de primeiro grau 
(com uma variável) 
 Introdução 
 
 Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra 
equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 
2x + 8 = 0 
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0 
 
Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x - 5 < 3 (Não é igualdade) 
 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
A equação geral do primeiro grau: 
ax+b = 0 
 
onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos 
dois lados, obtemos: 
ax = -b 
dividindo agora por a (dos dois lados), temos: 
 
 
 
 Considera a equação 2x - 8 = 3x -10 
 
 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " 
desconhecida". 
 Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e 
o que sucede, 2ºmembro. 
 
 
 
 Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 
 
 
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, 
sendo a e bnúmeros racionais, com a diferente de zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação do 2º Grau 
 
 
Fórmula de Bhaskara 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição 
incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são 
caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja: 
2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é 
classificada como do 1º grau. 
 
2x² + 2x + 6 = 0, temos duas incógnitas x nessa equação, em que uma delas 
possui o maior expoente, determinado por 2. Essa equação é classificada 
como do 2º grau. 
x³ – x² + 2x – 4 = 0, nesse caso temos três incógnitas x, em que o maior 
expoente igual a 3 determina que a equação é classificada como do 3º grau. 
Cada modelo de equação possui umaforma de resolução. Trabalharemos a 
forma de resolução de uma equação do 2º grau, utilizando o método de 
Bhaskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir 
suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Por 
exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² – 10x + 24 = 0 são x = 4 ou x = 6, 
pois: 
Substituindo x = 4 na equação, temos: 
x² – 10x + 24 = 0 
4² – 10 * 4 + 24 = 0 
16 – 40 + 24 = 0 
–24 + 24 = 0 
0 = 0 (verdadeiro) 
Substituindo x = 6 na equação, temos: 
x² – 10x + 24 = 0 
6² – 10 * 6 + 24 = 0 
36 – 60 + 24 = 0 
– 24 + 24 = 0 
0 = 0 (verdadeiro) 
Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação. Mas como 
determinarmos os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É 
sobre essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a 
seguir. 
Vamos determinar pelo método resolutivo de Bhaskara os valores da seguinte 
equação do 2º grau: x² – 2x – 3 = 0. 
Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação ax² + bx + c = 0, 
onde a, b e c são os coeficientes da equação. Portanto, os coeficientes da 
equação x² – 2x – 3 = 0 são a = 1, b = –2 e c = –3. 
Na fórmula de Bhaskara utilizaremos somente os coeficientes. Veja: 
 
1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta (?) 
∆ = b² – 4 * a * c 
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3) 
∆ = 4 + 12 
∆ = 16 
2º passo 
 
Os resultados são x’ = 3 e x” = –1. 
Exemplo 2 
Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0. 
Os coeficientes são: 
a = 1 
b = 8 
c = 16 
∆ = b² – 4 * a * c 
∆ = 8² – 4 * 1 * 16 
∆ = 64 – 64 
∆ = 0 
 
No exemplo 2 devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. 
Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única. 
Exemplo 3 
Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º 
grau. 
∆ = b² – 4 * a * c 
∆ = 6² – 4 * 10 * 10 
∆ = 36 – 400 
∆ = –364 
Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o 
número seja negativo, a equação não possui raízes reais. 
 
RAZÃO 
O conceito de razão é a forma mais comum e prática de fazer a comparação relativa entre 
duas grandezas. Ao dividir uma grandeza por outra, estamos comparando a primeira com a 
segunda, que passa a ser a base da comparação. Por exemplo, se a área de um retângulo 
mede 300 cm² e a área de um outro retângulo mede 210 cm², ao fazermos a razão das áreas, 
temos: 
210300=710=0,7 
Estamos calculando o quanto a área menor representa da maior. Em outras palavras, a área 
menor representa 0,7, ou 70%, da área maior. Isso é uma comparação muito significativa e 
fácil de ser feita. 
RAZÃO. Dados dois números reais a e b, com b diferente de zero, chamamos derazão entre a 
e b ao quociente ab=k 
Observe que k é um número real. O numerador a chamamos de antecedente, e o 
denominador b chamamos de consequente dessa razão (lê-se “a está para b”). A razão 
k indica o valor do número a quando comparado ao número b, tomando-o como unidade. 
Exemplo: Uma escola tem 1200 m² de área construída e 3000 m² de área livre. A razão da 
área construída para a área livre é: 
A) 6/5 
B) 3/5 
C) 4/5 
D) 1/10 
E) 2/5 
Solução: razão = área construída área livre=12003000=25(letra E) 
Isso significa que a área construída representa 25=0,4,ou 40%, da área livre. 
APLICAÇÕES DO CONCEITO DE RAZÃO 
Escala. Ao compararmos mapas com os lugares a serem representados por eles, 
representamos as distâncias em escala menor que a real. O conceito é dado pela seguinte 
razão: 
Escala = medida no mapamedida real ; (ambos na mesma unidade de medida). 
Exemplo: a escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 metros foi 
representado por um segmento de 3 cm é: 
A) 1 : 10.000 
B) 1 : 2.000 
C) 1 : 3.000 
D) 1 : 6.000 
E) 1 : 4.000 
Solução 
Primeiramente, transformamos os 60 m para centímetros, para trabalharmos no mesmo 
sistema de unidades: 
60 m=60⋅100 cm=6000 cm60 m=60⋅100 cm=6000 cm 
Portanto, 
Escala = 3cm6000cm=12000=1:20003cm6000cm=12000=1:2000 (letra B) 
 
Velocidade Média. É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. A 
velocidade média será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades 
escolhidas para calcular distância e tempo. Alguns exemplos de unidades para a velocidade 
média são km/h, m/s, cm/s etc. 
Velocidade média = distância percorrida tempo total de percurso 
Exemplo: A distância entre as cidades do Rio de Janeiro e São Paulo é de, aproximadamente, 
400 km. Um carro levou 5 horas para percorrer esse trajeto. Determine sua a velocidade 
média. 
Solução 
Velocidade 
= distância percorridatempo total de percurso=400km5hdistância percorridatempo total de
 percurso=400km5h = 80 km/h 
O significado desse valor é que a cada hora o carro percorreu, aproximadamente, 80 km. 
Densidade. A densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. A 
densidade também será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades 
escolhidas para medir a massa e o volume. Alguns exemplos de unidades para a densidades 
são g/cm³, kg/m³ etc. 
Densidade = massa volume=mv massa volume=mv 
Exemplo: Uma quantidade de óleo de cozinha ocupava completamente uma jarra com 1 litro de 
volume. Sabe-se que a densidade do óleo é de, aproximadamente, 0,86 g/cm³. Determine a 
massa do óleo, em gramas. 
Solução 
Como a densidade é dada em g/cm³, isso significa que o volume deve ser dado em cm³. Assim, 
fazendo a conversão, 1l = 1 dm³ = 1000 cm³. 
Daí, densidade = massa volume⇒0,86=m1000⇒m=0,86⋅1000 = 860 g 
Portanto, a massa de óleo contida na jarra é de 860 g. 
PROPORÇÃO 
Chamamos de proporção a igualdade de duas razões. 
a1b1=a2b2=k (também escrito por a1:b1 :: a2:b2), 
onde a1, a2, b1, b2 são números reais com b1 e b2 diferentes de zero. O número k é o que 
chamamos de constante da proporção (Lê-se “a1 está para b1 assim como a2está para b2). 
O antecedente da primeira razão (a1) e o consequente da segunda (b2) são chamados 
de extremos, enquanto o consequente da primeira razão (b1) e o antecedente da segunda 
razão (a2) são chamados de meios. Os nomes são sugestivos quando consideramos a 
segunda forma de expressar a proporção (a1:b1 :: a2:b2) 
 
 
Propriedade fundamental da proporção 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. O que denotamos por: 
ab=cd⟺bc=ad 
Pela comutatividade do produto, podemos escrever a mesma proporção de várias maneiras 
distintas: 
ab=cd⟺dc=ba⟺db=ca⟺ac=bd , entre outras. 
(Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e 
utensílios como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por 
descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados 
da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). 
Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária 
não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária 
ecológica? 
a) 24 litros b) 36 litros c) 40 litros d) 42 litros e) 50 litros 
Solução 
Chamemos de x o número de litros de água despejados pela bacia ecológica. Daí, 
1560=6x→15x=360→x=24litros 
Assim, a economia será de: 60−24=36litros 
Resposta: letra B 
 
 
Regra de Três Simples e Composta 
 
Um pouco de história 
Estuda-se em proporção a relação entre grandezas. Em alguns casos 
vemos que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, o 
aumento de uma implica o aumento da outra, em outros, 
inversamente proporcionais,isto é, o aumento de uma implica a 
redução da outra. Seja em quaisquer dos casos anteriores, podemos 
resolver grande parte dos problemas relacionados às grandezas 
proporcionais utilizando regra de três simples ou composta. 
O conhecimento e a utilização de conceitos semelhantes à regra de 
três são muito antigos, tendo sua provável origem na China antiga, 
podendo ser observados em tempos muito distantes. Vários 
problemas envolvendo manipulações muito próximas do que hoje 
conhecemos como regra de três podem ser vistos no Papiro Rhind, 
documento confeccionado no Egito há cerca de 3000 anos. Mais 
recente que o Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemático italiano 
Leonardo Fibonacci (1175-1250) revela vários problemas envolvendo 
a regra de três. 
Apesar de sua criação ser tão remota, as aplicações relativas à regra 
de três são as mais variadas. Tratando da matemática utilitária, 
podemos dizer que a regra de três é primordial a nossa vida, pois 
soluciona questões corriqueiras com muita simplicidade e economia 
de tempo. 
Vejam abaixo alguns problemas envolvendo regra de três simples e 
composta, direta e inversamente proporcionais. 
1. Um quilo (usarei “quilo” simplificadamente para representar 
quilograma (Kg)) de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 
pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães? 
2. Quatro pedreiros constrói uma pequena casa em 90 dias. Dois 
pedreiros construirá a mesma casa em quanto tempo? 
3. Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas 
mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para 
montar 50 máquinas? 
4. Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas 
peças desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 
dias de trabalho? 
Ainda neste artigo, em momento oportuno, solucionaremos os 
problemas propostos acima. 
Grandezas diretamente proporcionais 
Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o 
aumento de uma implica o aumento da outra. Ao dobrarmos uma 
grandeza, a outra também será dobrada, ao triplicarmos uma, a 
outra também será triplicada. Em outras palavras, grandezas 
diretamente proporcionais variam sempre na mesma razão. 
Vejam o exemplo 
NÚMERO DE 
PESSOAS DE CERTA 
FAMÍLIA 
DESPESA SEMANAL 
COM 
ALIMENTAÇÃO (R$) 
RAZÃO 
4 200 1/50 
5 250 1/50 
Observação: A tabela acima é meramente ilustrativa e supõe que 
com o ingresso de mais um membro nesta família aumentará 
proporcionalmente sua despesa semanal. 
Grandezas inversamente proporcionais 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento 
de uma implica na redução da outra, ou seja, quando dobramos uma 
delas, a outra se reduz a metade; quando triplicamos uma delas, a 
outra fica reduzida a terça parte, etc. 
Os números racionais x, y e z são inversamente 
proporcionais aos números racionais a, b e c, 
respectivamente, quando se tem: x . a = y . b = z . c 
 
Veja o exemplo 
NÚMERO DE 
OPERÁRIOS DE 
CERTA OBRA 
DIAS GASTOS PARA 
CONCLUI-LA (DIAS) 
RELAÇÃO 
x.a = y.b 
12 60 12 . 60 =720 
6 120 6 . 120 =720 
Razão: 
12/6 = 2/1 
60/120 = 1/2 
Note que 12/6 e 60/120 possuem razões inversas, isto é, 2/1 
é o inverso de 1/2. 
Regra de três simples 
Quando, em uma relação entre duas grandezas, conhecemos três 
valores de um problema e desconhecemos apenas um, poderemos 
chegar a sua solução utilizando os princípios da regra de três simples. 
Para isso, basta que multipliquemos os meios entre si e os extremos 
também entre si. Acompanhem: 
 
 
 
Exemplo: os números 6 e 10 são diretamente proporcionais a 12 e x 
respectivamente. Nessas condições, vamos encontrar o valor de x 
que torne essa afirmação verdadeira. 
 
Vamos à solução dos problemas (1) e (2) propostos no 
início deste trabalho. 
(1) Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 
pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães? 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x emontar uma tabela 
contendo os valores. 
 
Inicialmente teremos que analisar se as grandezas quantidade de 
farinha de trigo e número de pães são inversa ou diretamente 
proporcionais. 
 Se duplicarmos a quantidade de farinha de trigo, a quantidade 
de pães também duplicará. Se triplicarmos a farinha, os pães 
também serão triplicados, e assim por diante. Sendo assim, 
somos levados a concluir que essas duas grandezas são 
diretamente proporcionais; 
 Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de 
acordo com o quadro acima e partir para sua solução; 
 As flechas no mesmo sentido indicam que as grandezas são 
diretamente proporcionais. 
 
Conclusão: para fazer 18 pães precisaremos de 1,5 kg de farinha de 
trigo. 
(2) Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. 
Dois pedreiros construirão a mesma casa em quanto tempo? 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela 
contendo os valores. 
 
Como no caso anterior, teremos que analisar se as 
grandezas quantidade de pedreiros e dias gastos na construção são 
inversa ou diretamente proporcionais. 
 Se aumentarmos o número de pedreiros, a duração da obra 
será reduzida, portanto, essas grandezas são inversamente 
proporcionais; 
 Sabendo dessa informação, basta escrevermos a proporção de 
acordo com o quadro acima e partir para sua solução; 
 Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos 
inverter uma das frações; 
 As setas contrárias indicam que as grandezas são inversamente 
proporcionais. 
 
Conclusão: se reduzirmos o número de pedreiro a dois, teremos a 
obra concluída em 180 dias. 
Regra de três composta 
Quando trabalhamos com três grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais e, num determinado problema, existem seis valores, 
dos quais cinco são conhecidos e apenas um desconhecido, pode-se 
encontrar o valor da incógnita através da regra de três composta. 
Vamos à solução dos problemas (3) e (4) propostos no 
início deste trabalho. 
(3) Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas 
mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para montar 50 
máquinas? 
 
● Vamos chamar o valor desconhecido de x e montar uma tabela 
contendo os valores: 
Analisemos as 
grandezas a fim de saber se são direta ou inversamente proporcionais 
entre si. 
 Fixando a grandeza quantidade de homens, vamos relacionar 
as grandezas tempo de montagem com número de máquinas. 
Se dobrarmos o tempo de montagem, dobraremos o número de 
máquinas. Logo, essas duas grandezas são diretamente 
proporcionais. 
 Fixando a grandeza número de máquinas, vamos relacionar as 
grandezas quantidade de homens com tempo de montagem. Se 
dobrarmos o número de homens, teremos reduzido à metade o 
tempo de montagem. Logo, essas duas grandezas são 
inversamente proporcionais. 
 Sabendo dessas informações, basta escrevermos a proporção 
de acordo com a tabela acima; 
 Como temos grandezas inversamente proporcionais, devemos 
inverter uma das frações; 
 
Conclusão: Com 15 homens, serão construídas 50 máquinas em 20 dias. 
(4) Trabalhando 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças 
desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários em 9 dias de trabalho? 
● Chamaremos o valor desconhecido de x: 
 
Vamos fazer a análise dos dados contidos na tabela acima. 
 Fixando a grandeza dias de trabalho, vamos relacionar as grandezas número 
de operários com quantidade de peças. Ao dobrarmos o número de 
operários, dobraremos também o número de peças fabricadas. Dessa forma, 
essas duas grandezas são diretamente proporcionais; 
 Fixando agrandeza número de operários e relacionando as grandezas dias 
de trabalho com quantidade de peças, temos: ao dobrarmos o número de 
dias de trabalho, dobraremos também a quantidade de peças produzidas, ou 
seja, estas grandezas também são diretamente proporcionais; 
 Portando esses dados, deveremos escrever a devida proporção de acordo 
com a tabela acima; 
 Como temos grandezas diretamente proporcionais, manteremos as frações 
em suas formas originais. 
 
Conclusão: com 7 operários, em 9 dias serão produzidas 840 peças. 
“A sede de conhecimento nos faz trilhar por caminhos novos, viver 
aventuras, compartilhar saberes, modelar e remodelar paradigmas.” 
Robison Sá. 
PORCENTAGEM 
 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, 
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: 
 A gasolina teve um aumento de 15% 
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 
 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 
 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. 
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 
 
 
Razão centesimal 
 Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. 
Alguns exemplos: 
 
 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 
 
 As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas 
percentuais. 
 Considere o seguinte problema: 
 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
 Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de 
cavalos. 
 
 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. 
 Portanto, chegamos a seguinte definição: 
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
 Exemplos: 
 Calcular 10% de 300. 
 
 
 Calcular 25% de 200kg. 
 
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 
 
EXERCÍCIOS: 
 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% 
dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 
 
 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa 
percentual de lucro obtida? 
 Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que 
aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 
 
 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
 
 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. 
 
 
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o 
novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o 
acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: 
Acréscimo ou Lucro 
Fator de 
Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
 
 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 
 Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 
 Veja a tabela abaixo: 
Desconto 
Fator de 
Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
 
Geometria plana 
Semelhança de Triângulos 
 
Identificando dois triângulos semelhantes 
Sabemos que triângulos são polígonos. Sendo assim, o estudo que é feito para 
identificar a semelhança de figuras poligonais será válido para o estudo da 
semelhança de triângulos. Com isso, dois triângulos serão semelhantes se 
satisfizerem duas condições simultaneamente: se seus lados correspondentes 
possuírem medidas proporcionais e se os ângulos correspondentes forem iguais 
(congruentes). 
 
Se invertermos a afirmação feita acima, teremos um fato verdadeiro: as condições 
são satisfeitas somente quando os triângulos são semelhantes. 
 
Vejamos um desenho para que possamos compreender melhor: 
 
 
 
Antes, temos que determinar a correspondência dos vértices de cada triângulo, 
pois assim determinaremos a correspondência dos lados e dos ângulos entre 
estes dois triângulos. 
 
Os vértices A, B, C correspondem, respectivamente, aos vértices A’, B’, C’. Sendo 
assim, montaremos as razões de proporcionalidade entre os lados 
correspondentes. 
 
 
 
Uma das condições é que todos os lados correspondentes possuam uma 
proporcionalidade, que chamaremos neste caso de k. Ressaltando que essa razão 
foi construída pela divisão de cada lado correspondente: veja que o lado A’B’ do 
segundo triângulo corresponde ao lado AB do primeiro triângulo. Por este fato, a 
divisão foi feita entre eles, e de mesmo modo com os outros lados. 
 
Entretanto, apenas a condição de proporcionalidade dos lados não é suficiente 
para afirmarmos a semelhança entre os dois triângulos. Necessitamos que seus 
ângulos correspondentes sejam iguais. 
 
 
 
Sendo assim, indicaremos a semelhança destes triângulos desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Verifique se os triângulos a seguir são proporcionais. 
 
 
 
Ao verificarmos a congruência dos ângulos, teremos que: 
 
 
 
Temos agora que verificar a proporcionalidade dos lados. 
 
 
Note que todos os lados possuem a mesma razão de proporcionalidade (1/2). 
 
Sendo assim, podemos afirmar que 
 
 
 
Teorema de Tales 
 
Teorema de Tales: importante ferramenta na determinação de medidas utilizando a proporcionalidade 
Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que 
viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e 
proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, 
Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na 
posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma 
proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe 
a ilustração: 
 
Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide 
com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da 
seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da 
pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a 
proporção: 
 
 
O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de 
correspondência: 
 
“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos 
transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”. 
 
Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a 
seguir: 
 
Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação: 
 
Exemplo 1 
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o 
valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir: 
 
AB = 2x – 3 
BC = x + 2 
A’B’ = 5 
B’C’ = 6 
 
Determinando o valor de x: 
 
 
AB = 2x – 3 → 2*4 – 3 = 5 
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6 
 
 
 
Exemplo 2 
Determine o valor de x na figura a seguir: 
 
 
Relações Métricas 
 
Triângulo retângulo 
 
Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um 
ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º 
recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo 
retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos 
catetos, hip² = c² + c². 
 
 
Relações métricas no triângulo retângulo 
 
Observeos triângulos: 
 
 
Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer 
algumas relações métricas importantes: 
 
 
h² = mn b² = ma c² = an bc = ah 
 
 
Aplicações do Teorema de Pitágoras 
 
Diagonal do quadrado 
 
Dado o quadrado de lado l, a diagonal D do quadrado será a hipotenusa de um 
triângulo retângulo com catetos l, com base nessa definição usaremos o 
teorema de Pitágoras para uma expressão que calcula a diagonal do quadrado 
em função da medida do lado. 
 
 
 
Altura de um triângulo equilátero 
 
O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l 
dos lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar 
um triângulo retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o 
teorema de Pitágoras temos: 
 
 
 
 
Diagonal do bloco retangular (paralelepípedo) 
 
Observe o bloco de arestas a, b e c, iremos calcular a diagonal (d), mas 
usaremos a diagonal x da base em nossos cálculos. Veja: 
 
x² = a² + b² 
d² = x² + c² 
 
substituindo, temos: 
 
 
Diagonal do cubo (caso particular do paralelepípedo) 
 
Consideremos o cubo um caso particular de um bloco retangular, então: 
a = b = c = l 
 
 
Área das figuras planas 
O cálculo da área de figuras planas é parte do estudo da geometria básica, e visa 
saber qual é a área da extensão de uma figura bidimensional, como um quadrado que 
poderia representar uma superfície de uma mesa, por exemplo. A medida de uma 
superfície é denominada pelo título de área. A referência de unidade usada é o metro 
quadrado (m²) e a letra usada para representação de área neste estudo será S. 
 
Cálculo da área de um triângulo 
Triângulos são polígonos de três lados e três ângulos. A sua área pode ser calculada 
multiplicando-se a base pela altura, que deve ser obtida tomando por base a ponta do 
triângulo até a sua base. 
 
Em um triângulo equilátero, ou seja, que possui os três ângulos internos iguais, 
pode=se calcular por meio da seguinte fórmula, onde l representa a medida dos 
lados. 
 
Cálculo da área de um paralelogramo 
Paralelogramo é um quadrilátero que possui lados opostos iguais e paralelos. A área 
do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se a base pela altura como 
representado na fórmula abaixo, sendo que h representa a altura e b a base. 
 
Cálculo da área de um losango 
Losango é um paralelogramo que, além de todos os lados opostos serem iguais e 
paralelos, possui os quatro lados iguais, todos os ângulos internos iguais, e suas 
diagonais são perpendiculares, sendo possível dividi-lo em quatro triângulos iguais 
(como mostrado na imagem abaixo). Se as medidas de h e b estiverem disponíveis, é 
possível usar a mesma fórmula do paralelogramo para chegar ao valor da área. 
 
Para realizar o cálculo sem as informações de altura e base, consideraremos a área 
de um dos quatro triângulos formados. Considerando que a base b é a metade da 
diagonal , e a altura h como a metade da diagonal , para realizar o cálculo da área 
total, multiplica-se o valor da área do triângulo por quatro. 
 
Simplificando: 
 
Cálculo da área de um quadrado 
Os quadrados são losangos, no entanto, nem todos os losangos serão quadrados da 
mesma forma que todos os quadrados são retângulos, mas nem todos os retângulos 
são quadrados. 
O quadrado é um losango que além de possuir os quatro lados iguais com diagonais 
perpendiculares, possui todos os ângulos internos iguais a 90°. Podemos utilizar as 
mesmas fórmulas do losango e do paralelogramo para calcular a área de um 
quadrado. 
Quando tivermos acesso à medida do lado do quadrado, usamos a fórmula do 
paralelogramo: 
 
Como a base e a altura são iguais, pode-se simplificar a fórmula: 
 S= l² 
Quando dispormos da medida das diagonais do quadrado, podemos usar a fórmula 
usada para o losango: 
 
Como as duas diagonais são iguais, podemos troca-las por d, simplificando: 
 
Cálculo da área de um retângulo 
Retângulos são quadriláteros equiângulos, ou seja, que possuem todos os ângulos 
internos iguais, e possuem os lados opostos também iguais. Os retângulos que 
possuem os quatro lados iguais são chamados de quadrados. 
O cálculo da sua área, por ser um paralelogramo, usa a fórmula: 
 
Cálculo da área de um círculo 
O perímetro de uma circunferência, quando dividido pelo seu diâmetro, resultará 
sempre no mesmo valor, independente da circunferência. Este valor é denominado 
pela letra grega pi, representada pelo símbolo π. 
O pi é um número irracional, tendo desta forma infinitas casas decimais. No entanto, 
é tomado como base o valor 3,14159265. Para cálculos onde a precisão pode ser 
menor, utiliza-se o 3,1416 ou até mesmo 3,14. 
O perímetro da circunferência é obtido por meio da fórmula: 
P=2πR 
Sua área pode ser calculada: 
S= π.r² 
Sendo r o raio do círculo. 
Cálculo da área de um setor circular 
O cálculo pode ser realizado por meio da área total do círculo e, em seguida, 
montando-se uma regra de três, onde a área total estará para 360° assim como a área 
do setor estará para o número de graus do setor. 
S representa a área total do círculo, a área do setor circular e a o número de graus: 
 
A partir disso, chegamos a seguinte fórmula em graus: 
 
E a esta em radianos: 
 
Onde r representa o raio do círculo referente ao setor e a é o ângulo também do 
setor. 
Cálculo da área de coroas circulares 
 
O cálculo de uma coroa circular pode ser feito por meio do cálculo da área total do 
círculo menos a área total do círculo inscrito. Representando em fórmula: 
 S= π(R² – r²) 
Onde R simboliza o raio do círculo e r representa o raio do círculo inscrito. 
 
Geometria – comprimento da circunferência e área do 
círculo 
1. Introdução 
Qual é a área total em azul de cada figura sabendo-se que o 
comprimento aproximado do contorno da moeda de R$ 0,01 é 16π mm 
e da moeda de R$ 0,10 é 20 mm? 
Qual é o comprimento da circunferência interna da boia, sabendo-se 
que a área do círculo determinado pelo contorno dessa circunferência é 
igual a 0,25  m2? 
Qual é o comprimento da circunferência obtida pelo contorno externo 
do bambolê, sabendo que o diâmetro é igual a 90 cm? 
 
 
 
 2. Comprimento da circunferência e área do círculo 
Circunferência [do latim circumferentia]: contorno de um círculo. 
Círculo [do latim circulus]: superfície plana e fechada, limitada por uma 
circunferência. 
Corda [do latim chorda]: segmento determinado por dois pontos quaisquer da 
circunferência. 
Raio [do latim radiu]: segmento com uma extremidade no centro e outra na 
circunferência. 
Diâmetro [do grego diámetros, pelo latim diametros]: corda que passa pelo 
centro da circunferência. 
Secante [do latim secante]: designativo da reta que intercepta uma curva em dois 
pontos distintos. 
Tangente [do latim tangente]: que tange ou tangencia. 
Concêntrico [do latim concentricu]: que tem o mesmo centro. 
a) Comprimento da circunferência e área do círculo 
Observe a circunferência de centro O e raio r, C(O,r). 
 
Contornando a circunferência com uma tira de papel milimetrado ou fio de linha 
e depois o esticando, podemos medir o seu comprimento aproximado. 
 
Você viu no laboratório que o quociente entre a medida do comprimento (C) e a 
medida do diâmetro (d) de uma circunferência é uma constante de valor 
aproximadamente igual a 3,14 e representada pela letra grega (lê-se “pi"). 
 
 
Temos: 
 
 A medida do diâmetro de uma circunferência é igual ao dobro da medidado 
raio (d = 2r). Substituindo 2r em d, temos 
 
Podemos concluir que: C =  . d 
sendo d = 2r e substituindo 2r em d, temos que: C =  . 2r ou C = 2r 
Observe os polígonos regulares inscritos e circunscritos à circunferência (C) 
determinada pelo contorno da moeda de R$ 0,10. 
 
Observe que, aumentando o número de lados dos polígonos circunscritos e 
inscritos, o perímetro dos polígonos circunscritos diminui e o perímetro dos 
polígonos inscritos aumenta. 
Chamando de 2pIn o perímetro dos polígonos inscritos e do 2pCIn o perímetro dos 
polígonos circunscritos com 
n  l n > 2, temos: 
2pIn < 2pCIn 
Aumentando o número de lados dos polígonos inscritos (com número muito 
grande de lados), temos que seu perímetro aumenta e será aproximadamente 
igual ao comprimento da circunferência determinada pelo contorno da moeda 
de real e aumentando o número de lados dos polígonos circunscritos (com 
número muito grande de lados), temos que seu perímetro diminui e também 
será aproximadamente igual ao comprimento da mesma circunferência. 
Assim: 
2pIn C e 2pCIn C 
Determinando a razão entre as medidas dos perímetros dos polígonos inscritos 
pelo diâmetro da circunferência determinada pelo contorno da moeda, temos 
que: 
 
Quanto mais lados tiver o polígono e quanto menor for o polígono, maior será a 
precisão da razão , assim mais casas decimais o número terá. 
Uma das primeiras aproximações numéricas dessa razão foi o número 
racional , obtido por Arquimedes. Depois de muito tempo, 
verificou-se que o valor numérico dessa razão não é um número racional e sim 
um número irracional (decimal não exato e não periódico), que passou a ser 
representado pela letra grega “pi" (). Hoje, com os computadores, o número p 
é escrito com milhares e milhares de casas decimais, 
 
Assim como , o número  também não pode ser escrito na forma de fração, 
pois é irracional. 
Observe alguns arredondamentos do número  : 
p 3 (maior inteiro) 
p 3,1 (com uma casa decimal) 
p 3,14 (com duas casas decimais) 
p 3,142 (com três casas decimais) 
p 3,1416 (com quatro casas decimais) 
Substituindo em 3,142pIn por C e 3,14 por p, temos: 
 
 
ou c = d.  
 
 
A medida do comprimento (C) de uma circunferência de raio r é igual ao 
produto da medida do diâmetro pelo número . 
Sendo d = 2r, podemos escrever C = d . p = 2r . p = 2pr, ou seja, 
C = 2  r 
Qual é a medida do comprimento da circunferência determinada pelo 
contorno externo de um canudinho de refrigerante, sabendo que a 
medida do diâmetro dessa circunferência é de aproximadamente 4 
mm? 
Temos que 
C =  . d 
C =  . 4 mm 
C = 4 mm 
Resposta: A medida é 4  mm. 
Qual é a medida do comprimento da circunferência máxima da Terra, 
em notação científica, sabendo que o raio dessa circunferência é igual a 
6378 km? Use π 3,14. 
 
Temos que: 
d = 6378 km e C =  p . r 
C = 2 .  . 6378 km = 12756  km = 12756 . 3,14 km 40053,84 km 
 4,005384 . 104 km 
Resposta: A medida é 4,005384 . 104 km. 
3. Área do Círculo 
Observe os círculos. 
 
Traçando o diâmetro de cada círculo, obtemos dois semicírculos, 
 
Dividindo cada um dos semicírculos em setores menores e iguais, podemos 
obter figuras equivalentes aos círculos de raios r1 e r2, respectivamente. 
 
A medida do comprimento de cada circunferência é dada por 
C1 =  . d1 = 2r1 
C2 =  . d2 = 2r2 
A medida do comprimento de cada semicircunferência é dada por 
 
Dividindo esses setores circulares em partes iguais e as menores possíveis, 
podemos obter dois paralelogramos de áreas equivalentes aos círculos de raios 
r1 e r2, respectivamente. 
 
Para cada paralelogramo, podemos obter um retângulo de área equivalente aos 
círculos de raios r1 e r2respectivamente. 
Não se esqueça de que a medida do lado menor de cada paralelogramo é igual 
à medida da altura de seu respectivo retângulo. 
Determinando a área de cada retângulo, temos: 
 
Concluímos que a área do círculo de raio r1 é dada por AC1 = (r1)2 e a área do 
círculo de raio r2 é dada por AC2 = (r2)2. 
A área de um círculo de raio r é igual ao produto do quadrado do raio pelo 
número π. 
Assim, calculamos o comprimento da circunferência e a área do círculo 
determinado por uma circunferência. 
Uma pista circular tem 20 m de diâmetro. Quantas voltas completas um 
corredor precisa dar em torno da pista para totalizar 1 km? (use  
 3,14) 
d = 20 m 
r = 10 m 
C = 2 r 
C = 2 . 3,14 . 10 m = 62,8 m 
1 km = 1000 m 
 
Resposta: Precisará dar 16 voltas em torno da pista. 
Um disco circular de papelão, usado para colocar pizza, tem diâmetro 
igual a 30 cm. Qual é a área do disco? Use p 3,14. 
 
Resposta: A área do disco é 0,07065 m2. 
Resposta: A área do disco é 0,07065 m2. 
Sabendo que o diâmetro aproximado de uma moeda de R$ 0,10 é igual 
a 20 mm, quantas circunferências tangentes, conforme figura, serão 
traçadas, contornando com lápis essa moeda sobre uma folha de papel 
retangular de 30 cm x 20 cm? Qual é o comprimento total das 
circunferências? Se pintarmos todas as circunferências, qual é a área 
total de todos os círculos sobre a folha retangular? Qual é a área não 
pintada da folha? 
 
d = 20 mm = 2 cm 
r = 1 cm 
Dividindo cada uma das dimensões da folha pelo diâmetro da moeda, temos: 
 
Serão contornadas 10 fileiras com 15 circunferências cada uma, ou seja, 150 
circunferências. 
O comprimento de uma circunferência é determinado por: 
C = 2 . r 
C = 2 .  . 1 = 2 cm 
Para as 150 circunferências: 
CTotal = 150 . 2 .  cm = 300 cm 
para π 3,14, temos: 
CTotal 300 . 3,14 cm 942 cm 
A área total de um círculo é determinada por: 
A =  r2 =  . 12 cm2 
para  3,14, temos C 3,14 cm2 
Para os 150 círculos, temos: 
ATotal = 150 .  cm2 
Para  3,14, temos ATotal 150 . 3,14 cm 471 cm2. 
A área da folha é determinada pelo produto da base pela altura: 
AF = (30 x 20) cm2 = 600 cm2 
área não pintada (ANP) é a diferença entre a área da folha e a área total dos 
círculos: 
ANP = AF – AT (600 – 471)cm2 129 cm2 ou (600 – 150 )cm2 
Resposta: Serão traçadas 150 circunferências, de comprimento total aproximado de 
942 cm, a área total aproximada dos 150 círculos é de 471 cm2 e a área total 
aproximada não pintada é de 129 cm2. 
Observe os polígonos regulares inscritos. 
 
O segmento de reta perpendicular a um dos lados de um polígono regular, com 
extremidades no centro do polígono e em um dos lados desse polígono, chama-
se apótema de um polígono regular. 
Observe que a área de cada triângulo é igual à metade do produto do lado 
desse polígono pela altura (apótema). 
Aumentando infinitamente o número de lados, o perímetro (2p) do polígono é 
aproximadamente igual ao comprimento da circunferência e o apótema do 
polígono é aproximadamente igual ao raio. 
Temos que a área do polígono é dada pelo produto do semiperímetro pelo 
apótema. 
 
Como o perímetro do polígono é aproximadamente igual ao comprimento da 
circunferência, temos que a área do círculo é dada por: 
 
A área de um círculo de raio r é dada por AC = r2. 
 
 
 
 
 
 
Geometria espacial 
Fórmulas para Cálculo de Volume de sólidos 
Em geral, o volume de sólidos refere-se à capacidade desse sólido e é 
calculado levando-se em consideração suas três dimensões. 
 
Cada tipo de sólido possui uma fórmula para o cálculo de seu volume 
Podemos encontrar o volume de todos os sólidos geométricos. O volume 
corresponde à “capacidade” desse sólido. Tente imaginar alguns sólidos 
geométricos, é possível preenchê-lo com algum material,