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Departamento
de Ciências
Exatas e
Aplicadas -
ICEA/UFOP -
Monlevade
Prof. Marcos
Goulart Lima
1.Sistema de
equações
lineares e
matrizes
1.6 Matrizes
particionadas
1.5 Encontrando
A−1
Sabendo que a inversa é única podemos escrever B = A−1.
Exercícios: Verifique que:
1) Se A =
[
a b
c d
]
e ad − bc 6= 0 então
A−1 = 1ad−bc
[
d −b
−c a
]
2) Se A e B são invertíveis então (AB)−1 = B−1.A−1.
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1.Sistema de
equações
lineares e
matrizes
1.6 Matrizes
particionadas
1.5 Encontrando
A−1
Potências de uma matriz
Definição:
A0 = I
An = A.A.A...A︸ ︷︷ ︸
n vezes
A−n = A−1.A−1.A−1...A−1︸ ︷︷ ︸
n vezes
Ar+s = Ar + As
Ars = (Ar )s
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1.Sistema de
equações
lineares e
matrizes
1.6 Matrizes
particionadas
1.5 Encontrando
A−1
Teorema: Se A é invertível então:
a) A−1 é invertível e (A−1)−1 = A.
b) An é invertível e (An)−1 = (A−1)n.
c) Seja k 6= 0, então ka é invertível e (kA)−1 = 1k (A−1).
Exemplo: Calcular In,
[
1 2
1 0
]2
,
[
1 2
1 0
]3
.
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1.Sistema de
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lineares e
matrizes
1.6 Matrizes
particionadas
1.5 Encontrando
A−1
Expressões polinomiais envolvendo matrizes
Se A é uma matriz quadrada e p(x) = a0 +a1x1 +a2x2 + ...+anxn
é um polinômio qualquer, então definimos
p(A) = a0I + a1A+ a2A2 + ...+ anAn.
Exemplo: Se p(x) = x2 + 1 e A =
[
1 3
1 0
]
. Calcule p(A).
Teorema: Sejam A,B matrizes e k um número real. Se os
tamanhos das matrizes são tais que as operações indicadas
podem ser efetuadas, então:
a) (AT )T = A
b) (A± B)T = AT ± BT
c) (kA)T = kAT
d) (AB)T = BTAT .
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1.Sistema de
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matrizes
1.6 Matrizes
particionadas
1.5 Encontrando
A−1
Teorema: Se A é uma matriz invertível, então AT também é
invertível e (AT )−1 = (A−1)T .
Exemplo: Seja A =
[
1 2
4 0
]
. Calcule A−1, AT e (AT )−1.
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1.6 Matrizes
particionadas
1.5 Encontrando
A−1
Encontrando A−1
Relembre as operações elementares.
Definição: Uma matriz nxn que pode ser obtida de In executando
uma única operação elementar sobre linhas é chamada de
matriz elementar.
Exemplos: Quais são as operações elementares efetuadas nas
matrizes identidade abaixo?
[
1 0
0 −1
]
,

1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
,

1 0 0 0
0 6 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
,
 1 0 30 1 0
0 0 1
.
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1.Sistema de
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1.6 Matrizes
particionadas
1.5 Encontrando
A−1
Teorema: Se a matriz elementar E resulta de efetuar uma certa
operação elementar em Im e se A é uma matriz m × n, então o
produto EA é a matriz uqe resulta quando esta mesma operação
sobre linhas é efetuada em A
Exemplo: Seja A =
 1 0 12 2 2
3 1 0
. Encontre a matriz elementar
correspondente a cada operação em A. Em seguida efetue a
multiplicação para verificar se a matriz elementar encontrada está
correta.
a) Multiplicar a segunda linha de A por 1/2.
b) trocar a primeira linha de A com a terceira.
c) Trocar a primeira linha de A por ela mais (-1/2) multip´licado
pela segunda (L1 + (−1/2)L2).
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1.6 Matrizes
particionadas
1.5 Encontrando
A−1
Exercícios(casa): Encontre a matriz escalonada de
A =
[
1 2 3
2 2 1
]
através do produto de matrizes elementares.
Exercícios(casa): Encontre a matriz escalonada de
A =

1 2 8 1
2 2 1 4
1 2 2 1
2 2 2 1
 através do produto de matrizes
elementares.
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1.Sistema de
equações
lineares e
matrizes
1.6 Matrizes
particionadas
1.5 Encontrando
A−1
Teorema: toda matriz elementar é invertível e sua inversa
também é uma matriz elementar.
Teorema: Se Anxn é uma matriz então são equivalentes:
a) A é invertível
b) Ax = 0 tem somente a solução trivial
c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In
d) A pode ser expressa como produto de matrizes elementares.
Exercício: Ler demonstração desse teorema no livro.
Um método para inverter matrizes
	1.Sistema de equações lineares e matrizes
	1.6 Matrizes particionadas
	1.5 Encontrando A-1