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Departamento
de Ciências
Exatas e

Aplicadas -
ICEA/UFOP -
Monlevade

Prof. Marcos
Goulart Lima

1.Sistema de
equações
lineares e
matrizes
1.6 Matrizes
particionadas

1.5 Encontrando
A−1

Sabendo que a inversa é única podemos escrever B = A−1.

Exercícios: Verifique que:

1) Se A =
[
a b
c d

]
e ad − bc 6= 0 então

A−1 = 1ad−bc

[
d −b
−c a

]
2) Se A e B são invertíveis então (AB)−1 = B−1.A−1.

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1.Sistema de
equações
lineares e
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1.6 Matrizes
particionadas

1.5 Encontrando
A−1

Potências de uma matriz

Definição:

A0 = I
An = A.A.A...A︸ ︷︷ ︸

n vezes
A−n = A−1.A−1.A−1...A−1︸ ︷︷ ︸

n vezes
Ar+s = Ar + As

Ars = (Ar )s

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1.Sistema de
equações
lineares e
matrizes
1.6 Matrizes
particionadas

1.5 Encontrando
A−1

Teorema: Se A é invertível então:
a) A−1 é invertível e (A−1)−1 = A.
b) An é invertível e (An)−1 = (A−1)n.
c) Seja k 6= 0, então ka é invertível e (kA)−1 = 1k (A−1).

Exemplo: Calcular In,
[

1 2
1 0

]2
,
[

1 2
1 0

]3
.

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1.Sistema de
equações
lineares e
matrizes
1.6 Matrizes
particionadas

1.5 Encontrando
A−1

Expressões polinomiais envolvendo matrizes

Se A é uma matriz quadrada e p(x) = a0 +a1x1 +a2x2 + ...+anxn
é um polinômio qualquer, então definimos

p(A) = a0I + a1A+ a2A2 + ...+ anAn.

Exemplo: Se p(x) = x2 + 1 e A =
[

1 3
1 0

]
. Calcule p(A).

Teorema: Sejam A,B matrizes e k um número real. Se os
tamanhos das matrizes são tais que as operações indicadas
podem ser efetuadas, então:
a) (AT )T = A
b) (A± B)T = AT ± BT
c) (kA)T = kAT

d) (AB)T = BTAT .

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1.Sistema de
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1.6 Matrizes
particionadas

1.5 Encontrando
A−1

Teorema: Se A é uma matriz invertível, então AT também é
invertível e (AT )−1 = (A−1)T .

Exemplo: Seja A =
[

1 2
4 0

]
. Calcule A−1, AT e (AT )−1.

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1.Sistema de
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lineares e
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1.6 Matrizes
particionadas

1.5 Encontrando
A−1

Encontrando A−1

Relembre as operações elementares.

Definição: Uma matriz nxn que pode ser obtida de In executando
uma única operação elementar sobre linhas é chamada de
matriz elementar.

Exemplos: Quais são as operações elementares efetuadas nas
matrizes identidade abaixo?

[
1 0
0 −1

]
,


1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0

,


1 0 0 0
0 6 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

,
 1 0 30 1 0

0 0 1

.

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1.Sistema de
equações
lineares e
matrizes
1.6 Matrizes
particionadas

1.5 Encontrando
A−1

Teorema: Se a matriz elementar E resulta de efetuar uma certa
operação elementar em Im e se A é uma matriz m × n, então o
produto EA é a matriz uqe resulta quando esta mesma operação
sobre linhas é efetuada em A

Exemplo: Seja A =

 1 0 12 2 2
3 1 0

. Encontre a matriz elementar
correspondente a cada operação em A. Em seguida efetue a
multiplicação para verificar se a matriz elementar encontrada está
correta.
a) Multiplicar a segunda linha de A por 1/2.
b) trocar a primeira linha de A com a terceira.
c) Trocar a primeira linha de A por ela mais (-1/2) multip´licado
pela segunda (L1 + (−1/2)L2).

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1.Sistema de
equações
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1.6 Matrizes
particionadas

1.5 Encontrando
A−1

Exercícios(casa): Encontre a matriz escalonada de

A =
[

1 2 3
2 2 1

]
através do produto de matrizes elementares.

Exercícios(casa): Encontre a matriz escalonada de

A =


1 2 8 1
2 2 1 4
1 2 2 1
2 2 2 1

 através do produto de matrizes
elementares.

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1.Sistema de
equações
lineares e
matrizes
1.6 Matrizes
particionadas

1.5 Encontrando
A−1

Teorema: toda matriz elementar é invertível e sua inversa
também é uma matriz elementar.

Teorema: Se Anxn é uma matriz então são equivalentes:
a) A é invertível
b) Ax = 0 tem somente a solução trivial
c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In
d) A pode ser expressa como produto de matrizes elementares.

Exercício: Ler demonstração desse teorema no livro.

Um método para inverter matrizes

	1.Sistema de equações lineares e matrizes
	1.6 Matrizes particionadas
	1.5 Encontrando A-1