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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS - CAMPUS VARGINHA
5a Lista de Exerc´\u131cios de Matema´tica III
Professor Silvio Salgado
Assunto: Introduc¸a\u2dco as Equac¸o\u2dces Diferenciais
1) Para cada uma das equac¸o\u2dces diferenciais a seguir, classifique-as em lineares ou na\u2dco lineares e
determine sua ordem.
a)
d2y
dx2
+ 9y = 2 b)x3y(4) \u2212 x2y\u2032\u2032 + 4xy\u2032 \u2212 3y = 0 c)t2d
2y
dt2
+ t
dy
dt
+ 2y = sin t+ et
3
+ 2
d)x x
\u2032
+ 2x = 1 + x2 e)
dx
dt
=
\u221a
1 + (
d2x
dt2
)2 f)
dx
dt
+ tx2 = 0
2) Um importante tipo de equac¸a\u2dco diferencial , a equac¸a\u2dco de Van der Pol, usualmente citada no
estudo de sistemas que implicam caos determin´\u131stico e cuja soluc¸a\u2dco implica amplitudes
autolimitadas, foi extensamente estudada por Van der Pol em virtude de suas investigac¸o\u2dces acerca
de oscilac¸o\u2dces ele´tricas em tubos de va´cuo (va´lvulas eletro\u2c6nicas). Essa equac¸a\u2dco possui a forma
x
\u2032\u2032 \u2212 \u3b1(1\u2212 x2)x\u2032 + x = 0
em que x = x(t). Classifique essa equac¸a\u2dco em linear ou na\u2dco linear e determine sua ordem.
3)Verifique se a func¸a\u2dco dada e´ soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco diferencial. Considere c1 e c2 constantes reais.
a)2y
\u2032
+ y = 0, y = e\u2212
x2
2 b)
dy
dx
\u2212 2y = e3x, y = e3x + 10e2x
c)y=2xy
\u2032
+ y(y
\u2032
)2, y2 = c1(x+
1
4
c1) d)y
\u2032
+ 2xy = 1, y = e\u2212
x2
2
\u222b x
0
et
2
dt+ c1e
\u2212x2
e)t2x
\u2032\u2032 \u2212 tx\u2032 + 2x = 0, x = t cos(ln t) f)x\u2032\u2032\u2032 \u2212 x\u2032\u2032 + 9x\u2032 \u2212 9x = 0, x = c1 sin 3t+ c2t ln t+ 4t2
4) Determine os valores de r de modo que a equac¸a\u2dco diferencial ordina´ria y
\u2032\u2032 \u2212 y = 0 admita uma
soluc¸a\u2dco da forma y = ert.
5) Represente geometricamente algumas curvas integrais associadas a equac¸a\u2dco diferencial
dy
dx
= y.
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