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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS - CAMPUS VARGINHA

5a Lista de Exerc´ıcios de Matema´tica III

Professor Silvio Salgado

Assunto: Introduc¸a˜o as Equac¸o˜es Diferenciais

1) Para cada uma das equac¸o˜es diferenciais a seguir, classifique-as em lineares ou na˜o lineares e

determine sua ordem.

a)
d2y

dx2
+ 9y = 2 b)x3y(4) − x2y′′ + 4xy′ − 3y = 0 c)t2d

2y

dt2
+ t

dy

dt
+ 2y = sin t+ et

3

+ 2

d)x x
′
+ 2x = 1 + x2 e)

dx

dt
=

√
1 + (

d2x

dt2
)2 f)

dx

dt
+ tx2 = 0

2) Um importante tipo de equac¸a˜o diferencial , a equac¸a˜o de Van der Pol, usualmente citada no

estudo de sistemas que implicam caos determin´ıstico e cuja soluc¸a˜o implica amplitudes

autolimitadas, foi extensamente estudada por Van der Pol em virtude de suas investigac¸o˜es acerca

de oscilac¸o˜es ele´tricas em tubos de va´cuo (va´lvulas eletroˆnicas). Essa equac¸a˜o possui a forma

x
′′ − α(1− x2)x′ + x = 0

em que x = x(t). Classifique essa equac¸a˜o em linear ou na˜o linear e determine sua ordem.

3)Verifique se a func¸a˜o dada e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial. Considere c1 e c2 constantes reais.

a)2y
′
+ y = 0, y = e−

x2

2 b)
dy

dx
− 2y = e3x, y = e3x + 10e2x

c)y=2xy
′
+ y(y

′
)2, y2 = c1(x+

1
4
c1) d)y

′
+ 2xy = 1, y = e−

x2

2

∫ x
0

et
2

dt+ c1e
−x2

e)t2x
′′ − tx′ + 2x = 0, x = t cos(ln t) f)x′′′ − x′′ + 9x′ − 9x = 0, x = c1 sin 3t+ c2t ln t+ 4t2

4) Determine os valores de r de modo que a equac¸a˜o diferencial ordina´ria y
′′ − y = 0 admita uma

soluc¸a˜o da forma y = ert.

5) Represente geometricamente algumas curvas integrais associadas a equac¸a˜o diferencial
dy

dx
= y.

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