P1- Vetores Resposta

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Respostas da Primeira Avaliac¸a˜o de Vetores e Geometria Anal´ıtica
1. (a) Falso.
Tome −→u = (1, 0) e −→v = (0, 1).
‖−→u ‖ = ‖−→v ‖ = 1, mas −→u 6= −→v .
(b) Falso.
Tome −→u = (1, 0),−→v = (0, 1) e −→w = (1, 1).−→
w = −→u +−→v mas ‖−→w‖ = √2, ‖−→u ‖ = ‖−→v ‖ = 1.
Portanto, ‖−→w‖ 6= ‖−→u ‖+ ‖−→v ‖.
(c) Verdadeiro.
Se −→u e´ ortogonal a −→v ⇒ −→u .−→v = 0
Se −→v e´ ortogonal a −→w ⇒ −→v .−→w = 0−→
u .(−→v +−→w)= −→u .−→v +−→u .−→w= 0+0=0. Portanto −→u e´ ortogonal a −→v +−→w .
(d) Verdadeiro.
O versor de 5−→v e´ dado por 5
−→
v
‖5−→v ‖ =
5
−→
v
|5|.‖−→v ‖ =
5
−→
v
5.2
=
5
−→
v
10
=
−→
v
2
.
(e) Verdadeiro.
Se −→v e´ paralelo a −→u ⇒ −→v = α−→u .
proj−→
u
(−→v ) =
(−→
v .
−→
u
−→
u .
−→
u
)
−→
u =
(
(α−→u ).−→u
−→
u .
−→
u
)
−→
u =
(
α(−→u .−→u )
−→
u .
−→
u
)
−→
u =
(
α‖−→u ‖2
‖−→u ‖2
)
−→
u = α−→u =
−→
v
2. −→u⊥−→w ⇒ −→u .−→w = 0 ⇒ y+ z = 0 ⇒ z = −y.
O aˆngulo entre −→u e −→v e´ de 60o ⇒ cos 60o =
−→
u .
−→
v
‖−→u ‖ ‖−→v ‖ ⇒ x+
√
3y = 2.
−→
u = (x, y, z) = (2−
√
3y, y,−y)
‖−→u ‖ = 2 ⇒ y = 0 ou y = 4
√
3
5
.
−→
u = (2, 0, 0) ou −→u = (−2
5
,
4
√
3
5
,−
4
√
3
5
).
3. (a)
−→
AB.
−→
AC=0 ⇒ m = 2.
(b) proj−→
BC
(
−→
BA) =
(−→
BA.
−→
BC
−→
BC.
−→
BC
)
−→
BC =
(
24
19
,
8
19
,
24
19
)
.
(c)
−−→
BM = proj−→
BC
(
−→
BA) ⇒ M = B+ proj−→
BC
(
−→
BA) ⇒ M =
(
5
19
,
8
19
,
5
19
)
.
4.
−−→
NM =
−−→
ND+
−−→
DM ⇒ −−→NM = 4
5
−−→
AD+
3
4
−→
DC ⇒ −−→NM = 4
5
−→
BC+
3
4
−→
AB.
−→
AB+
−→
BC =
−→
AC ⇒ −→AB = −→AC−−→BC.
−−→
NM =
4
5
−→
BC+
3
4
−→
AB ⇒ −−→NM = 4
5
−→
BC+
3
4
(
−→
AC−
−→
BC) ⇒ −−→NM = 3
4
−→
AC+
1
20
−→
BC.