Apostilha de Transferencia de Calor

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ESCOLA POLITÉCNICA DA USP 
DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA 
SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS 
www.pme.poli.usp.br/sisea 
 
 
 
 
 
 
 
PPMMEE –– 22336611 PPrroocceessssooss ddee TTrraannssffeerrêênncciiaa ddee CCaalloorr 
 
Prof. Dr. José R Simões Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2o semestre/2014 
versão 1.4 
primeira versão: 2005 
 Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2014 
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 
 
 
Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME 
2361 - Processos de Transferência de Calor ministrada aos 
alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da 
Escola Politécnica da USP. 
 
O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos 
assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de 
Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Witt. 
Também foram utilizados outros livros-texto sobre o 
assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o 
caso do “Transferência de Calor” de Holman. 
 
O objetivo deste material é servir como um roteiro de 
estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De 
forma nenhuma substitui um livro texto, o qual é mais 
completo e deve ser consultado e estudado. 
 
 
 
 
 Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
____________________________ 
http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2014 
3
 
 
Prof. José R. Simões Moreira 
 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644 
 
 
Breve Biografia 
 
Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em 
Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica - 
Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na 
Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da 
Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação interinstitucional do 
Instituto de Eletrotécnica e Energia (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de 
pós-graduação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq - nível 2, consultor 
ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, 
Avaliador in loco do Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica, 
atuando principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e 
processamento de gás natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos e 
sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor técnico de vários 
congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de 
Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, Transitórios em Sistemas 
Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máquinas e Processos 
de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização e extensão na área de 
Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natural, 
termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de 
especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética por 
meio do PECE da Poli desde 2011 em sua sexta edição. Tem sido professor de cursos de 
extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, válvulas e tubulações 
indústriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem participado de projetos 
de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq, 
Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras e Ultragaz. Foi agraciado em 2006 com a 
medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em 2000 - João Pessoa e na 
UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - Peru). Foi cientista visitante em 
Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suiça) dentro do programa 
ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion`. 
Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor 
visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliquées em Lyon (França) em junho e 
julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho tecnológico com apoio da indústria 
(Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui uma patente com aplicação na área 
automobilística. É autor de mais de 100 artigos técnico-científicos, além de ser autor de um 
livro intitulado "Fundamentos e Aplicações da Psicrometria" (1999) e autor de um capítulo do 
livro "Thermal Power Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou 13 mestres e 4 doutores, 
além de cerca de 40 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de 
cursos de especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando 
um número superior a 80 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos 
tecnico-científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de 
pesquisa da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos. 
 
 Notas de aula de PME 2361 – Processos de Transferência de Calor 
 
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AULA 1 - APRESENTAÇÃO 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de 
Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a 
seguinte pergunta entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há 
diferença entre elas”? 
Para desfazer essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de 
aplicação de cada disciplina. Mas, antes vamos recordar um pouco das premissas da 
Termodinâmica. 
 
A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é 
baseada em três leis fundamentais: 
 
- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – permite a medida de 
 temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura) 
- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva) 
- Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de 
 conversão de uma forma de energia em outra”) 
 
 
Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas: 
 
(a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira 
 
Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é 
colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, fG TT < 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 inicial final 
 
 
 As seguintes análises são pertinentes, cada qual, no âmbito de cada disciplina: 
 
Termodinâmica: TmcUQT ∆=∆= - fornece o calor total necessário a ser transferido do 
frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico 
médios – APENAS ISTO! 
 
frasco 
ambientef TT = Gf
TT =
t∆
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Transferência de calor: responde outras questões importantes, tais como: quanto 
tempo ( )t∆ levará para que o equilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente 
(gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou 
aumentar) esse tempo? 
 
Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t∆ para 
que o estado de equilíbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira( GT ) seja 
atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para 
que esse novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferência 
de Calor vai permitir estimar o tempo t∆ , bem como definir quais parâmetros podemos 
interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. 
 
De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de 
temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode 
ser interna a um corpo ou na superfície de contato entre uma superfície e outro corpo ou 
sistema (fluido). 
 
(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor 
 
 
TERMIDINÂMICA: cec qqw −= : não permite dimensionar os equipamentos 
(tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), 
apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, 
como o COP: 
c
e
w
qCOP = 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de 
transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas: 
 
- Qual o tamanho do evaporador / condensador? 
- Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos? 
- Como atingir maior / menor troca de calor? 
- Outras questões semelhantes. 
 
cw 
cq 
eq 
compressor 
válvula 
 
condensador 
evaporador 
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Problema-chave da transferência de calor: O conhecimento do fluxo de calor. 
 
O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: 
 
- Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; 
- Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio 
ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de 
circuitos de refrigeração; 
- Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, 
etc. 
 
 
1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e 
radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos. 
 
(a) Condução de calor 
 
- Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta 
temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para 
as menos energéticas. 
- Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por 
elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. 
Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E 
isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). 
 
A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822) 
 
 
 
 
dx
dTAq
x
 α 
 
 
onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq 
 T : temperatura 
 
A constante de proporcionalidade α é a condutividade ou condutibilidade térmica do 
material, k, ou seja: 
2T1
T . . 
x 
sólido 
xq 
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dx
dTkAqx = 
 
As unidades no SI das grandezas envolvidas são: 
[
x
q ] = W , 
[ A ] = 2m , 
 [T ] = K ou Co , 
[ x ] = m . 
assim, as unidades de k são: [ k ] = 
Cm
W
o
⋅
 ou 
Km
W
⋅
 
 
A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os 
valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção 
de apêndices dos livros-texto. 
 
Necessidade do valor de (-) na expressão 
 
Dada a seguinte distribuição de temperatura: 
 
Para 12 TT > 
T2
T1
T∆
x∆
T
xx1 x2
 
 
0<xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está, 
portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x) 
 
Além disso, do esquema; 0
0
0
>
∆
∆



>∆
>∆
x
T
x
T
, daí tem-se que o gradiente também será 
positivo, isto é: 
 
 0>
dx
dT
 mas, como 0>k (sempre), e 0>A (sempre), concluí-se que, 
então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de 
Fourier) para manter a convenção de que 0>xq 
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Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT > , conforme próximo esquema, a 
equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!) 
 
De forma que a Lei da Condução de Calor é: 
 
 Lei de Fourier (1822) 
 
 
 
(b) Convecção de Calor 
 
A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701) 
 
 
 
 
 
 
 
 
)( 
∞
− TTAq Sα 
 
Onde a proporcionalidade α é dada pelo coeficiente de transferência de calor por 
convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que: 
 
 
 
onde: 
A : Área de troca de calor; 
ST : Temperatura da superfície; 
∞
T : Temperatura do fluido ao longe. 
 
- O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de 
muitos fatores, entre eles: geometria de contato (área da superfície, sua rugosidade e sua 
dx
dTkAq
x
−= 
 
)(
∞
−= TThAq S
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geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas 
envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores que interferem no seu valor. 
 
 
(c) Radiação Térmica 
 
A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de 
Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e 
Boltzmann, de forma teórica (1884). 
Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica 
 
 
 (para um corpo negro) 
 
 
−σ constante de Stefan – Boltzmann (5,669.10-8 W/m2 K4) 
 
Corpos reais (cinzentos) 4ATq εσ= , onde ε é a emissividade que é sempre 1≤ 
 
Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas 
ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de 
meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência 
de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de 
calor da irradiação solar que atinge nosso planeta. 
4ATq σ= 
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AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR 
 
 
CONDUÇÃO DE CALOR 
 
Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k 
 
Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente 
proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão: 
 
x
T
kq


 , onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a 
condutividade térmica do material. 
 
As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são: 
 
   
  
 x
T
A
q
k    
m
C
m
W
k
o
2
   
Cm
W
k
o
 ou 
Km
W
.
 
 
Sendo: 
k: propriedade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de forma 
experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de 
apêndice do livro texto.Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k 
 
q 
A 
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No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica 
enrolada em torno da haste do bastão. O calor gerado por efeito joule vai ser conduzido 
dentro da haste para fora do bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de 
temperatura (termopares, p. ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de 
temperaturas como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil 
temperatura é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo de calor fornecido 
é a própria potência elétrica IUIRq  2 . Sendo a seção transversal A conhecida, 
então, da lei de Fourier, determina-se a condutividade térmica do material da haste, k. 
Neste caso, 
x
T
A
q
k


 . 
 
Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é 
diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os 
mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico. 
 
Gases 
 
O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais 
energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a 
temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento 
molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica 
flui. Pode-se mostrar que. 
 
Tk  
 
Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados 
tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão, 
desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico. 
 
Líquidos 
 
Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos 
líquidos é o mesmo que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais 
complexa devido à menor mobilidade das moléculas. 
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Sólidos 
 
Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos: 
vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais 
efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons 
condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de 
calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente. 
 
O gráfico abaixo ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutibilidade 
térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutibilidade aumento de gases, para 
líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica. 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS 
CARTESIANAS 
 
 
 
 
 
 
 
Balanço de energia em um 
volume de controle elementar 
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BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI) 
 
 
Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de 
calor calor de variação calor que 
que entra no + gerada = da energia + deixa o 
 que V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C. 
 
 (I) (II) (III) (IV) 
Sejam os termos: 
 
(I) Fluxo de calor que entra no V.C. 
 
Direção x 
x
T
dAk
x
T
dzdykq xxx





 - 
Direção y 
y
T
dzdxkq yy


 
y
kqyy Direção zy
kqzz 
 
 
(II) Taxa de calor gerado 
 
dz q '''G  dydxEG
 
 
onde: '''gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume.  3mW 
 
(III) Taxa temporal de variação da energia interna 
 
t
T
cdzdydx
t
u
m
t
U
Ear









 
  
 
onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e  a densidade. 
CkgkJ o/
 
 
(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor: 
 
Direção x 
x
x
qqxxdxx  )(0 2dxdx
x
q
qq xxdxx 


 
 
Direção y 
 



 dy
y
q
qq
y
ydyy 
z
T
dydxkq zz


 
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Direção z 
 



 dz
z
q
qq zzdzz 
 
 
Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem: 
 
dz
z
q
qdy
y
q
qdx
x
q
q
t
T
cdxdydzdxdydzqqqq zz
y
y
x
xGzyx











  ''' 
 + ordem superior 
simplificando os termos zyx qqq e , , vem: 
 
, ''' dz
z
q
dy
y
q
dx
x
q
t
T
cdxdydzdxdydzq z
yx
G











  
 
e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor, 
 
 
dxdydzk
z
dxdydzk
y
dxdydzk
xt
T
cdxdydzdxdydzq zyxG 
z
T
 
y
T
 
x
T
 ''' 




























 
 
Eliminando o volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente: 
 
 
 
 
 
 
Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução geral analítica 
para a mesma porque se trata de um problema que depende das condições inicial e de 
contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que dependem da 
geometria do problema, do tipo (regime permanente) e das condições iniciais e de 
contorno. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: ),,,( tzyxTT  . A seguir 
são apresentados alguns casos básicos. 
 
Casos: 
 
A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe 
de T) 
 
kkkk zyx  
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T g
T













1
'''
2
2
2
2
2
2
2
  
 
 
t
T
 
z
T
 
y
T
 
x
T "'
































cqk
z
k
y
k
x
Gzyx  
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onde,  = c
k
 é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no 
SI é: 
   
   s
m
s
s
J
mW
Kkg
J
m
kg
Km
W
c
k ²²
3






















 
 
Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
onde: 
2
2
2
2
2
2
2
zyx 







 é o operador matemático chamado de Laplaciano no 
sistema cartesiano de coordenadas. 
Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois, 
embora ela tenha sido deduzida para o sistema cartesiano de coordenadas, ela é 
independe do sistema de coordenadas adotado. Caso haja interesseem usar outros 
sistemas de coordenadas, basta substituir o Laplaciano do sistema de interesse, como 
exemplificado abaixo, 
 
- Cilíndrico: 
2
2
2
2
2
2 11
zrr
r
rr 
















 
 
- Esférico: 
2
2
222
2
2
2 
sen 
1
 sen 
sen 
11


 






















rrr
r
rr
 
 
B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' Gq 
 
 
 (Eq. de Fourier) 
 
C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0


t
T
 
 
 
 (Eq. de Poisson) 
 
 
D) Regime permanente e k constante e uniforme 
 
 (Eq. de Laplace) 
t
T
k
q
T G




1'''2 
 
 
12
t
T
T




 
 0
'''
2 
k
q
T G
 
02  T
 
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AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME 
PERMANENTE SEM GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA 
 
O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o 
caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e 
propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado 
na figura abaixo onde uma parede de espessura L, cuja face esquerda é mantida a uma 
temperatura T1 enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se 
imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de 
temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da 
parede é linear. 
 
 
 
 
Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida 
na aula anterior, isto é: 
t
T
k
q
T G




1'''2 
 
Introduzindo as simplificações do problema, vem: 
 
 i. Não há geração interna de calor: 0 Gq 
 ii. Regime permanente: 0



t
T
 
 iii. Unidimensional:  D1 2
2
2
x

 
 
Assim, com essas condições, vem que 0
2
2

x
Td
, e a solução procurada é do tipo T(x). 
 
Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis: 
dx
dT
 
Logo, substituindo na equação, vem que 0
dx
d
 
 
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Integrando por separação de variáveis vem: 
 
  1Cd , ou seja: 1C 
 
Mas, como foi definido 
dx
dT
  1C
dx
dT
 
Integrando a equação mais uma vez, vem: 
 
21)( CxCxT  Que é a equação de uma reta, como já antecipado. 
 
Para se obter as constantes, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse 
exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos 
matemáticos isso quer dizer que 
 
(A) em x = 0  1TT  
(B) e em x = L  2TT  
 
De (A): 12 TC  
e de (B): 112 TLCT   
L
TT
C 121

 
 
Assim, 
 
 
 
 
Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT  , como mostrado na figura abaixo. 
 
Cálculo do fluxo de calor transmitido através da 
parede 
. 
Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por: 
dx
dT
kq  
e, substituindo a distribuição de temperaturas, 
vem: 
   
L
TT
kT
L
x
TT
dx
d
kq 12112





 , ou, 
em termos de fluxo de calor por unidade de área, 
temos: 
    mW 212''
L
TT
k
q
q



 
 
Esquecendo o sinal de (-), vem 
 
 
 
 
 
112 )()( T
L
x
TTxT  
L
T
kq

'' 
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Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos: 
 
 Aumentar o fluxo de calor q”: 
. Com o uso de material bom condutor de calor, isto é com k 
. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L 
 
Ou diminuir o fluxo de calor q”: 
. Com o uso de material isolante térmico k 
. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L 
 
 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM 
GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO. 
 
Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor 
unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica 
constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua 
aplicação é para tubos cilíndricos. 
 
 
A equação geral é da forma 
t
T
k
q
T G




1'''2 
 
 
 
Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em 
coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é: 
 
t
T
k
q
z
TT
rr
T
r
rr
G



















111 '''
2
2
2
2
2
 
 
Introduzindo as simplificações: 
 
 i. Não há geração interna de calor: 0 Gq 
 ii. Regime permanente: 0



t
T
 
 iii. Unidimensional:  D1 , que é válido para um tubo muito longo, ou 
 seja, T não depende de z, logo 02
2



z
T
 
 iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 02
2




T
 
 
As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na 
direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em: 
 
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0





dr
dT
r
dr
d
, onde a solução procurada é do tipo )(rTT  
 
As condições de contorno para a ilustração indicada acima são: 
 
A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr  
A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é: 
ee TTrr  
 
Solução: 
 
1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em: 
 
 





10 Cdrdr
dr
dT
rd  1C
dr
dT
r  
 
Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem: 
 
   21 Cr
dr
CdT 
 
 
 
 
 
Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não 
linear como no caso da parede plana. 
 
Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação da condições de contorno: 
 
(A) ii TTrr   21 )ln( CrCT ii  
 
(B) ee TTrr   21 ) ln( CrCT ee  
 
Fazendo-se (A) – (B), temos que 
e
i
1
r
r
ln CTT ei  , ou 
e
i
1
r
r
ln
 ei
TT
C

 
 
Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas: 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de temperatura, supondo ei TT  . 
 
  21 )ln( CrCrT  
  e
ei T
TT
rT 


e
e
i r
r
ln
r
r
ln
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Te 
Ti 
re ri 
raio 
Lei logarítmica 
T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de calor é obtido através da Lei de Fourier, isto é, 
dr
dT
kq  
Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular aofluxo de calor e não a área 
transversal da seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica 
ilustrada abaixo. 
 
 rLA 2 (casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo 
 
Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier, 
21 )ln()( CrCrT  , vem: 
 
 ])ln([2 21 CrC
dr
d
rLkq   
 ou, efetuando a derivação, temos: 
 
r
kLrCq
1
2 1 
 ou, ainda: 12 kLCq  
 
Substituindo, 1C : 
 










e
i
r
r
ln
2 ie
TT
kLq 
 (W) 
 
 
O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas! 
Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área ''q depende da posição radial 
 








e
i
ie
r
r
TT
rL
kL
A
q
q
ln
)(
2
2''


 
 








e
i
ie
r
r
TT
r
k
q
ln
)(''  2mW 
 
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AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS 
 
 
Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes 
compostas. 
 
 
 
Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o 
mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as 
seguintes equações: 
 
- parede 1: 
1
21
1
)(
L
TT
Akq

  
Ak
qL
TT
1
1
21  
 
- parede 2: 
2
32
2
)(
L
TT
Akq

  
Ak
qL
TT
2
2
32  
 
- parede 3: 
3
43
3
)(
L
TT
Akq

  
Ak
qL
TT
3
3
43  
 
Assim, somando os termos _____________ 
de todas as paredes: 
Ak
L
qTT
i
i 41 
ou, simplesmente, 
 
R
T
q

 
 
onde o T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a 
resistência térmica da parede composta, dada por 
Ak
L
R
i
i 
 
ANALOGIA ELÉTRICA 
 
Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos 
de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência: 
qi  
TU  
TÉRMICOÔHMICO
RR  
 
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Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de 
paredes podem ser resolvidas. 
 
 
 
 
Circuito elétrico equivalente 
 
 
Fluxo de calor que é: 
T
total
R
T
q

 
5//1 RRRRT  
com 
432//
1111
RRRR
 
 
 
 
CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR 
 
Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. 
 
Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 
 
1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor 
 
2RIP  (W) 
 
Onde: P : potência elétrica transformada em calor por efeito joule(W) 
R : resistência ôhmica ( ) 
I : corrente elétrica (A) 
 
Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V) 
 UIP  ou 
R
U
P
2
 
 
q 
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Em termos volumétricos, '''
Gq )/(
3mW , 
V
P
qG 
'''
 (W/m3), onde V : volume onde o 
calor é gerado. 
 
2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0( ''' Gq como, por 
exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma 
reação endotérmica, 0''' Gq . 
 
3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc... 
 
 
 
Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). 
 
 Lb  
T1
T2
2b
i
 
 
 
 
 
Equação geral 
 
t
T
k
q
T G




1
'''
2 sendo que 0


t
T
 (regime permanente.) 
 0
'''
2 
k
q
T G )(xTT  
 
Condições de contorno: 
 
(1) Lx  1TT  
 
(2) Lx  2TT  
 
 
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Solução 
 Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): 
dx
dT
 , 
Então 
k
q
dx
d G
'''


 
 
Integrando essa equação por partes, vem: 
 
 

 1
'''
Cdx
k
q
d G , mas como 1
'''
 então , Cx
k
q
dx
dT
dx
dT G  
 
Integrando novamente: 
 
 
 
 
Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas. 
 
 Como no caso da resistência elétrica '''
Gq (geração de calor) é positivo e, 
claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é negativa 
 parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''
Gq 
for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas 
(processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima. 
 
Determinação das constantes 1C e 2C : 
 
Condições de contorno 
 
(1) 
21
2'''
1
2
CLC
k
Lq
T G  - temperatura da face esquerda conhecida 
(2) 
21
2'''
2
2
CLC
k
Lq
T G  - temperatura da face direita conhecida 
 
Somando (1)+(2), vem: 
 
 
2
2'''
21 2C
k
Lq
TT G 

  
k
LqTT
C G
22
2'''
21
2 

 . 
 
Substituindo em (1) ou (2), tem-se 
L
TT
C
2
12
1

 
 
Então, a distribuição final de temperaturas é: 
 
 
 
 
 
 
 
21
2'''
2
)( CxC
k
xq
xT G 

 
22
)(
2
)(
)( 2112
22''' TT
L
x
TT
k
xLq
xT G



 
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 CASOS: 
 
(A) Suponha que as duas faces estejam à mesma 
temperatura: STTT  21 . Daí, resulta que: 
 
 
 
 
 
É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, 
ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco 
comum de uma reação endotérmica, ou '''
Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo 
e, no plano central, haveria a mínima temperatura. 
 
Também poderia se chegar a essa expressão usando 0
dx
dT
 
 
S
G
CMÁX
T
k
Lq
TT 
2
2'''
 
 
 O fluxo de calor (lei de Fourier) 
 
dx
dT
kAq  ou 
 
dx
dT
k
A
q
q '' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem: 
 










 S
G T
k
xLq
dx
d
kq
2
)( 22
'''
'' , 
 
ou, simplesmente: 
 
 
No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das 
condições de contorno. 
 
Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0'' q 
 
 
 
 
 
 (B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: 21 TT  
S
G T
k
xLq
xT 


2
)(
)(
22'''
 
'''''
Gxqq  
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Plano em que ocorre a máximatemperatura, máxT ( máxx ) 
 
Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx : 
 
0
máxx
dx
dT
k ou 
 
 0
22
)()(
2
21
12
22
'''





 

TT
L
x
TTxL
k
q
dx
d G , que resulta em: 
 
0
2
)( 12
'''



L
TT
x
k
q
máx
G 
 
Cuja solução é: 
 
 
 
Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se 
o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso! 
 
PENSE: Suponha que você é um engenheiro perito e é chamado para dar um parecer 
sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico. 
Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não 
sobreaquecimento à luz da matéria exposta acima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
'''
12
2
)(
G
máx
Lq
kTT
x


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AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS 
MACIÇOS EM REGIME PERMANENTE COM GERAÇÃO 
INTERNA DE CALOR 
 
Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna 
de calor em cilindros maciços. Como exemplo de 
aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule 
devido à passagem de corrente elétrica em fios 
elétricos, como indicado na figura ao lado. 
 
Partindo da equação geral da condução de calor: 
 0
1
'''
2 



t
T
k
q
T G

 (Regime permanente) 
 
Onde é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é: 
 
  
2
2
2
2
2
2 11
z
TT
rr
T
r
rr
T

















 
 
Hipóteses adicionais 
- simetria radial: 0
2
2




 (não há influência da posição angular numa seção 
 transversal) 
- o tubo é muito longo: 0
2
2



z
 (não há efeitos de borda na direção axial) 
 
Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou 
seja, )(rTT  
 
Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem: 
 
0
1
'''






k
q
dr
dT
r
dr
d
r
G 
 
Ou, integrando por partes: 
 
1
'''
Crdr
k
q
dr
dT
rd G 





  , ou, ainda: 1
2'''
2
C
k
rq
dr
dT
r G  
 
Integrando novamente por separação de variáveis: 
 
 
2
1
'''
2
Cdr
r
C
r
k
q
dT G 








  
 
 
 
21
2'''
ln
4
)( CrC
k
rq
rT G  
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28
* condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2: 
 
(1) STrrT  )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida 
(2) 0
0

rdr
dT
 simetria radial na linha central 
 
Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência, 
também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha. 
 
Da segunda condição de contorno, vem que: 
 
0
2
lim 1
'''
0







 r
C
k
rqG
r
 
 
Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula. 
Da primeira condição de contorno. 
 
2
2'''
4
C
k
rq
T GS  ou, k
rq
TC GS
4
2
0
'''
2  
 
Finalmente, a equação da condução de calor fica: 
 
 
 
 
 
É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) ! 
 
 
 
Sendo, S
G
máx T
k
rq
T 
4
2
0
'''
 
 
 
 
 
 
 
 
  SG Trr
k
q
T  220
'''
4
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29
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado 
externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT . 
 
Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''
Gq uniforme. 
a) calcule a distribuição de temperaturas; 
b) determine o fluxo de calor total removido (internamente); 
c) determine a temperatura da superfície externa. 
 
 
 
Solução: 
 
Hipóteses: as mesmas que as anteriores. 
 
Eq. 0
1
'''






k
q
dr
dT
r
dr
d
r
G 
 
Condições de contorno: 
 
 (1) ii TrrT  )( (temperatura interna constante) 
 
 
(2) 0
erdr
dT
 (fluxo de calor nulo na superfície) 
 
A solução geral, como já visto, é: 
 
21
2'''
ln
4
)( CrC
k
rq
rT G  
 
Onde 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico: 
 
k
rq
C eG
2
2'''
1  ; 














 )ln(2
4
22'''
2 i
e
ieG
i r
r
r
k
rq
TC 
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30
i
ie
ieG T
r
r
r
rr
k
rq
rT 
















 ln2
4
)(
2
222'''
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
O fluxo de calor é: 
 
dr
dT
kAq  
 
 
)()2( rT
dr
d
rLkq  
Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem: 
 
 22''' ieG rrq
L
q
  (W/m) 
 
A temperatura máxima é: 
 
emáx TT  
 
i
i
e
e
eieG
emáx T
r
r
r
rr
k
rq
TT 













 ln2
4 2
222'''
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
 
Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada 
uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a Co95 e o coeficiente de 
transferência de calor vale CmkW o2/10 . 
Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua 
condutibilidade térmica vale CmW o/5,22 
 
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CT oc 267 
Solução: 
 
 
Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume. 
R
U
RiP
2
2  ; 
A
L
R  
m 81070 
mL 3,0 , 26
232
100425,8
4
)102,3(
4
m
D
A 



  



 


2
6
8
106111,2
100425,8
3,01070
R 
kWP 830,3
106111,2
100
2




 
3,0100425,8
1083,31083,3
6
33






LAV
P
qG 
3
910587,1
m
W
qG  
hA
P
TTTThAP PP   )( 
3,0)102,3(1010
1083,3
95
33
3



P
T 
CT oP 222 
k
rq
TT oGPc
4
2
 
5,224
)106,1(10587,1
222
239




cT 
 
 
 
 
 
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RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações 
 
 
 
- paredes planas 
 
 
R
TT
q 21

 
kA
L
R  
 
 
- circuito elétrico 
 
 
 
 
- paredes compostas- Circuito elétrico 
 
 
 
Ainda, 
 
 
 
 
onde 
432//
1111
RRRR
 
5//1 RRRREQ  
EQR
TT
q 21

 
 
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- Tubo cilíndrico 
 
 
R
TT
q ei

 ; 
kL
r
r
R i
e
2
ln 





 
 
 
 
- Tubo cilíndrico composto 
 
 
- Circuito elétrico 
 
 
 
ieq RR  
 
 
 
 
 
 
 
Para dois tubos: 
 
Lk
r
r
R
1
1
2
1
2
ln







 
Lk
r
r
R
2
2
3
2
2
ln







 
 
Lk
r
r
R
i
i
i
eq 2
ln 1 







 
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Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor? 
 
 
 
Lei de convecção (Newton) 
 
)(  TThAq p e 
hA
TT
q p
1
 
onde, 
hA
1
 é a resistência térmica de convecção 
 
- Circuito elétrico 
 
 
 
Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes: 
 
 
 
 
 
 
- Convecção em tubo cilíndrico 
 
 
 
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Tabela resumo de Resistências Térmicas 
 
 Circuito Elétrico 
Fluxo de 
Transferência 
de calor 
Resistências 
Térmicas 
Parede plana 
 
 
 
 
R
TT
q 21

 
kA
L
R  
Parede plana com 
convecção 
 
 R
TT
q 21 

 
321 RRRR 
AhkA
L
Ah
R
21
11
 
 
 
Paredes compostas 
 
 
EQR
TT
q 21

 
5//1 RRRREQ 
432//
1111
RRRR
 
Tubo cilíndrico 
 
 
R
TT
q ei

 
kL
r
r
R i
e
2
ln 





 
Tubo cilíndrico 
composto 
 
 
EQ
ei
R
TT
q

 
Lk
r
r
R
i
i
i
eq 2
ln 1 







 
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36
Convecção em tubo 
cilíndrico 
 
 
EQ
ei
R
TT
q

 
hAkL
r
r
R i
e
eq
1
2
ln









 
 
 
COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U 
 
O coeficiente global de transferência de calor é definido por: 
 
totalTUAq  
 
 
Claramente, U está associado com a resistência térmica, 
 
 
- parede plana 
 
AhkAAh
R
21
111
 
 
TUA
R
T
q 

 
 
R
UA
1
 ou 
RA
U
1
 
Logo, 
 
21
11
1
hk
L
h
U

 
 
- tubo cilíndrico 
 
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Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à 
área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são 
intercambiáveis mediante a seguinte expressão: 
 
totaliitotalee TAUTAU  
 
Logo, iiee AUAU  
U referido à área externa 
  
e
r
r
e
e
hkL
A
U
i
e 1
2
ln
1



 
U referido à área interna 
 
  
ee
ir
r
i
i
hA
A
kL
A
U
i
e


2
ln
1
 
 
 
RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO 
 
As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isolados do meio 
ambiente a fim de restringir a perda de calor do fluido (ou frio), cuja geração implica 
em custos. Aparentemente, alguém poderia supor que a colocação pura e simples de 
camadas de isolamentos térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais 
pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta 
operação. 
 
 
  
hLrkL
TT
q
e
r
r
i
i
e
 2
1
2
ln


  
 
ou, 
 
hrk
TTL
q
e
r
r
i
i
e 1ln
)(2


 

 
 
 
Note que no denominador dessa expressão que 
o raio externo tem duas contribuições: um no 
termo de condução e a outra no termo de 
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h
k
rcrit  
convecção. De forma que, se o raio externo do isolamento aumentar por um lado ele 
diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que por outro lado a 
resistência térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá 
origem a um ponto de maximização. Do Cálculo, sabe-se que o máximo da 
transferência de calor ocorre em: 
 
 
  

















 
2.
1
.
1
2
1ln
)(2
0
e
rhe
rk
hrk
TTL
dr
dq
e
r
r
i
e
i
e

 
 
Assim, 
 
2
11
ee hrkr
  
 
critr é o chamado raio crítico de isolamento. 
Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que 
h
k
 a transferência de calor 
será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio 
crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao 
desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de 
isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão 
de fato diminuir a perda de calor. 
Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por 
convecção de h = 
Cm
W
o2
7 (convecção natural), teste de alguns valores da 
condutividade de materiais isolantes. 
 
material  
Cm
W
ok critr (mm) 
Teflon 0,350 50,0 
Papel 0,180 25,7 
Couro 0,159 22,7 
Borracha macia 0,130 18,6 
Silicato de cálcio 0,055 7,9 
Lã de vidro 0,038 5,4 
Poliestireno expandido 0,027 3,9 
Folhas de papel e alumínio 
de vidro laminado 
0,000017 0,0024 
 
 
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Como se vê, o raio crítico é relevante para pequenos diâmetros, tais como, fios elétricos. 
 
Exercícios sugeridos do Incropera: 3.4; 3.5; 3.11; 3.32; 3.34; 3.38 
 
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AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS 
 
Considere uma superfície aquecida (resfriada) que se deseja trocar calor com um fluido. 
 
 
 
 
Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por, 
  TThAq s ,onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a 
área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe). 
Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por 
exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso, 
aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o 
fluxo de calor trocado, comodado pela expressão anterior. Porém, há um preço a pagar 
e este preço é o fato que vai se exigir a utilização de equipamentos de maior porte de 
movimentação do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos). 
Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste 
em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como a ilustrada 
abaixo. 
 
 
Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo 
aumento da área exposta. 
 
Exemplos de aplicação de aletas: 
 
(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar (velho fusca); 
(2) motores elétricos; 
(3) condensadores; 
(4) dissipadores de componentes eletrônicos. 
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TIPOS DE ALETAS 
 
A figura abaixo indica uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem 
centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao 
processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc). 
 
 
 
Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a) 
aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil 
retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil 
parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico equipado 
com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico 
truncado; (i) pino parabólico. 
 
EQUAÇÃO GERAL DA ALETA 
 
 
 
 
Volume de controle 
elementar, C 
 
 
Hipóteses: 
 
- regime permanente; 
- temperatura uniforme na seção transversal; 
- propriedades constantes. 
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Balanço de energia 
 
































convecçãopCVdo
saiquequecalordefluxo
III
conduçãopCVo
deixaquequecalordefluxo
II
conduçãopCVno
entraquecalordefluxo
I
/../../..
 
 
(I) 
dx
dT
kAq xx  
(II) )( 2dxodx
dx
dq
qq xxdxx  expansão em serie de Taylor 
(III) )(  TThAqc 
 )(  TThPdxqc 
 
P : perímetro “molhado”, isto é, a superfície externa da aleta que se encontra em 
contato com o fluido. 
 
Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem: 
 dxTThPdxdx
dx
dq
qq xxx   )( 
0)(  TThP
dx
dqx 
 
Ou, substituindo a lei de Fourier da condução: 
 
0)( 





 TThP
dx
dT
A
dx
d
k x 
 
Sendo dTdTT    
 
0







k
hP
dx
d
A
dx
d
 Equação Geral da Aleta 
)(x  
)(xAA  
 
 
ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR 
 
Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de 
seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta de seção retangular ou 
circular. Assim, da equação geral para esse caso, com A = cte, vem: 
 
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43
mxmx ececx  21)( 
02
2
2
 


m
d
d
, 
kA
hP
m 2 
A solução é do tipo: , 
 
conforme solução indicada abaixo no “ lembrete de cálculo” , já que o polinômio 
característico possui duas raízes reais e distintas (m e –m). 
 
 
LEMBRETE DE CÁLCULO 
 
Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constates 
 
0
2
2
 cy
dx
dy
b
dx
yd
 
 
Assume nxey  
 
Substituindo, vem 
 
nxnxnx cebmeem 2  nxe 
Obtém-se o polinômio característico 
 
02  cbnn 
 
Caso 1: 1n e 2n reais e distintos 
 
xnxn ececy 21 21  
 
Caso 2: 1n e 2n reais iguais 
 
xnxn xececy 11 21  
 
Caso 3: conjugados complexos 
 qipn 1 ; qipn 2 
 
 )]()cos([ 21 qxsencqxcey
px  
 
Onde, 
2
b
p  ; 
2
4 2bc
q

 
 
 
 
 
 
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44









 
x
kA
hP
b
mx
b e
x
ex



)(
)( 
Determinação das constantes 1c e 2c vêm das condições de contorno: 
 
a1 Condição de Contorno 
 
 






TT
TT
xpara
bb
b
 )0(
)0(
0 
 
0
2
0
1
 ececb 
 
 
 
 
 
 
A outra relação entre as condições de contorno, depende do tipo de aleta, conforme 
os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados: 
 
(a) aleta muito longa 
 Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa que, do 
ponto de vista matemático, tem-se 
 
 
0  ouTTx 
 
Assim, 
 
  bmxmx
x
ccecec 2121 0lim0 


 
De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é: 
 
 
 
 
 
Ou, substituindo a definição de  , vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
bcc  21 










 

 xkA
hP
b
e
TT
TxT )(
 
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45
 
 
O fluxo de calor total transferido pela aleta 
 
 
O fluxo de calor total transferido pela aleta pode 
ser calculado por dois métodos: 
 
(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total 
transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta) 
 
(2) dxTThPqaleta )(
0


  (o fluxo de calor total transferido é a integral do 
fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta) 
 
Usando o método (1), vem: 
 
00 

x
b
x
baleta
dx
d
kA
dx
dT
kAq

 
 
Mas, cteAAb  
 
0
)(

 
x
mx
b
mx
baleta emkAe
dx
d
kAq  
kA
hP
kAq baleta  
 hPkAq baleta  ou )(  TThPkAq baleta 
 
 
Pelo outro método (2): 
 
 dxhPqaleta 


0
 ; cteP  
 dxehPq mxbaleta 


0
 
 
  bbmb
mx
b
mx
baleta hPkA
m
hP
e
m
hP
m
e
hPdxehPq 

 





 1limlimlim
0
0








 




  
 
ou, )(  TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior! 
 
 
 
(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática 
(finito) 
 Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na 
extremidade da aleta é muito pequeno. Portanto, 
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46










mLmL
mL
b
ee
e
c 1 
admite-se que é adiabático: 
 
 
 
LxLx dx
d
dx
dT



0 (extremidade adiabática), ou   021  mxmx ecec
dx
d
 
 
De onde, se obtém, 
mLmL
mL
b
ee
e
c



2 
 
Mas como bcc  21 , então: 
 
 
Logo, substituindo na equação, vem: 
mx
c
mLmL
mL
mx
c
mLmL
mL
b
e
ee
e
e
ee
e 







21

 
Ou 
 
  2/
2/)()(
mLmL
xLmxLm
b ee
ee







 ou 
 
 
 mL
xLmx
b cosh
)(cosh)( 



 
 
lembrete de funções hiperbólicas: 
 
FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA 
senhx 
2
xx ee 
 
xcosh 
xcosh 
2
xx ee 
 
senhx 
tghx 
x
senhx
cosh
 
xh2sec 
 
O fluxo de calor total transferido pela aleta 
 
O mesmo resultado do caso anterior 
 



 

 00 cosh
)(cosh
x
b
x
aleta
mL
mxL
dx
d
kA
dx
d
kAq

 
 
)(
)cosh(
)(
m
mL
mLsenhkA b 



 
 
)(mLtghmkA b 
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     
  )(cosh
)()(cosh)(
mLsenh
mk
hmL
xLmsenh
mk
hxLmx
b 




 
 
  )()cosh(
)()(
mLsenh
mk
hmL
mLconh
mk
hmLsenh
hPkAq b


  
)(mLtghhPkAq b 
 
(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade 
 
Caso realista. 
Condição de contorno na extremidade: 
 
em 



 

)( TTh
dx
dT
kLx L
Lx
 condução na extremidade = convecção 
 
Distribuição de temperaturas 
 
 
 
 
 
 
Fluxo de calor 
 
 
 
 
 
 
Comprimento Corrigido de Aleta 
 
Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática – 
mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da 
espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta, 
LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples. 
b t
L t/2
Lc=L+t/2
 
 
2/tLLc  
 
O erro introduzido por 
essa aproximação será 
menor que 8% desde que 
5,0
k
ht
 
 
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AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE DE ALETAS 
 
 
Eficiência de Aleta 
 
A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para 
o projeto de novas configurações e geometrias de aletas. Para alguns casos simples, 
existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal 
constante. Situações geométricas ou que envolvem condições de contorno mais 
complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial 
geral que governa o processo de transferência de calor na aleta. Na prática, a seleção de 
aletas para um caso específico, no entanto, geralmente usa o método da eficiência da 
aleta. Sendo que a eficiência de aleta, A , é definida por 
 
 
idealcasobasetempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo
realcasoaletapotransmitidcalordefluxo
A



.
/
 
 
 
 
Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/2 
 
Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a 
aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em: 
 
c
c
bc
cb
A
mL
mLtgh
hPL
mLtghhPkA )()(



 , com 
kA
hP
m  
 
Por outro lado, o perímetro molhado é dado por 
 
btbP 2)(2  (para t << b, aleta fina), sendo btA  , de onde se obtém: 
cc L
kt
h
mL
2
 
 
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Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta 
 
Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode 
ser obtido por meio de maxqq AA  , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é 
aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é: 
 
bahAq max , 
 
onde Aa é a área total exposta da aleta e  TTbb 
 
 
Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é: 
 
baaA hAq  
 
Note que a eficiência da aleta, a , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação. 
Na página seguinte há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas. 
 
 
Deve-se usar aleta quando: 
 
(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico) 
 
(2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e 
alumínio, por razões que veremos adiante. 
 
O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade. 
 
 
 
 
Exemplo de Aplicação 
 
Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são 
instaladas aletas circulares de alumínio por um processo 
de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de 
0,1 cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm, 
como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100 oC 
e o coeficiente de transferência de calor for de 65 
W/m2 K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta. 
 
 
Solução 
 
Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de 
aproximadamente 240 W/mK (obtido por consulta a uma tabela de propriedades 
termofísicas dos sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado 
na página 50 à frente. 
 
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50
m
t
LLmL
mt
c 0155,0
2
 015,001,0
2
)5,25,5(
 001,0




 
    255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,0 5,055,12123c25   PcP kAhLmtLA
 
Para o uso do gráfico, precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o raio 
interno da aleta. 
 
24,2
25,1
2/1,075,22/
1
2
1
2 




r
tr
r
r c Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos 
%91A . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é: 
, 5,177500394,06591,0 WhAq baaA   Já que a área exposta da aleta, 
vale,   . 00394,02 22122 mrrA ca   
 
Exemplo de Aplicação (cont...) 
 
Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor 
total transferido pelo tubo, se o mesmo tiver 1 m de comprimento. 
 
Solução 
 
O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo 
anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será: 
 
aletas. há não que em tubodo área a é onde ),( sassasa ATThAq  
 
  221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa   
 
Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065  
 
O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100  
 
Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será 
 
Wqqq casaT 5,209417506,344  e %6,83%100
2095
1750
%  
 
Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor. 
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Ap – área de seção transversal de aleta 
 
 
 
 
Tipo Aa área total exposta da aleta 
b – largura da 
aleta 
Lc = L-corrigido 
t = espessura 
Retangular cbL2 
Triangular   2/122 )2/(2 LLb  
Parabólica   2/122 )2/(05,2 LLb  
Anular   2/121222 rrb c  
 
Fluxo de calor transmitido 
pela aleta: 
 
baahAq 
 
 TTbb
 
Aa é a área total exposta da 
aleta 
 
 
Para obter a eficiência da 
aleta, use os dados 
geométricos disponíveis e 
os indicados nos gráficos. 
Uma vez obtida a 
eficiênciada aleta, calcule 
o fluxo real de calor 
através da simples 
expressão acima. 
 
Comentários: 
 
Aleta triangular (y ~ x) 
requer menos material 
(volume) para uma mesma 
dissipação de calor do que 
a aleta retangular. Contudo, 
a aleta de perfil parabólico 
é a que tem melhor índice 
de dissipação de calor por 
unidade de volume (q/V), 
mais é apenas um pouco 
superior ao perfil triangular 
e seu uso é raramente 
justificado em função de 
maior custo de produção. 
A aleta anular é usada em 
tubos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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52
Efetividade da Aleta 
 
Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de cálculo, mas não 
indica se a transferência de calor realmente aumenta ou não com a instalação de aletas. 
Claro que está informação é crucial se o engenheiro pretende decidir pela instalação de 
aletas para incrementar a transferência de calor.Tal análise só pode ser feita através da 
análise da efetividade. Para que se possa efetivamente tomar uma decisão sobre o uso 
ou não de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade de aleta, . 
Nesse método, compara-se o fluxo de calor devido à presença da aleta com o fluxo 
de calor caso ela não tivesse sido instalada, ou seja: 
 
bb
aleta
aletas
aleta
hA
q
q
q

 
/
 
 
 
 
 
 
 
Note que o fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta, 
conforme ilustração acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2. 
 
 
Para aleta retangular da extremidade adiabática 
 
bb
cb
hA
mLtghhPkA



)(
 
 
Nesse caso: A = Ab e, portanto, 
kPhA
mLtgh c
/
)(
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos de Aplicação 
 
Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L 
= 5 cm e r = 1 cm é submetida a três condições de resfriamento, quais sejam: 
 
A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K 
B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K 
C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K 
 
Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados 
 
- k aço inox = 19 W/m K 
- Comprimento corrigido: Formula 
 
 
 
Solução: 
 
kPhA
mLtgh c
/
)(
 , com 
 
h
h
kr
h
rk
rh
kA
hP
m 24,3
01,0.19
222
2



 e  2/01,005,024,3  hmLc , ou 
seja: hmLc 178,0 . 
 
No denominador tem-se: h
h
k
hr
rk
rh
kP
hA
0162,0
19.2
01,0.
22
2



. 
Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem: 
 
h
htgh
0162,0
)178,0(
 
 
 
 
 
 
 
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Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h) 
 
Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0
145,1
1
50000162,0
)5000178,0(

tgh
 
 
 
Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5
162,0
945,0
1000162,0
)100178,0(

tgh
 
 
Caso C : h = 10 W/m2K 0,10
051,0
510,0
100162,0
)10178,0(

tgh
 
 
Comentário 
 
- Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No 
caso A, por exemplo, a instalação de aletas pioraria a transferência de calor. Um critério 
básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso de aletas. 
 
Caso (A)  31,1
kP
hA
 
Caso (B)  026,0
kP
hA
 
Caso (C)  00262,0
kP
hA
 
 
- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor 
coeficiente de transferência de calor que é também o de maior resistência térmica. 
 
Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja 
constituída de três materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h 
= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade. 
Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se: 
 
A – Cobre  k = 368 W/m K 
B – Aço inox  k = 19 W/m K 
C – Alumínio  k = 240 W/m K 
 
 
Solução: 
 
kkkr
h
m
4,141
01,0.
100.22
 e, portanto,  
kk
mLc
76,7
2/01,005,0
4,141
 
 
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55
No denominador, agora temos: 
kkk
hr
kP
hA
2
1
2
01,0.100
2
 
 
Substituindo ambos resultados, obtém-se: 
 
)/76,7(2 ktghk  
 
 
Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7 
 
Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8 
 
Caso (C): k = 240 W/m K (alumínio) ε = 10,1 
 
Comentário: 
 
O material da aleta é bastante importante no que toca a efetividade de uma aleta. Deve-
se procurar usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio). 
Geralmente, o material empregado é o alumínio por apresentar várias vantagens, tais 
como: 
 
(1) É fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado; 
(2) Tem custo relativamente baixo; 
(3) Possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do 
equipamento; 
(4) Tem excelente condutividade térmica. 
 
Claro, que cada caso é um caso. Em algumas situações as aletas podem ser parte do 
projeto original do equipamento e serem fundidas juntamente com a peça, como ocorre 
com as carcaças de motores elétricos e os cilindros de motores resfriados a ar, por 
exemplo. Nesse caso, as aletas são feitas do mesmo material da carcaça do motor. 
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56
AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME 
TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO 
 
Introdução 
 
Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas 
condições de temperatura no seu contorno como, por exemplo, pela sua exposição a um 
novo ambiente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio térmico. 
Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais, tratamento 
térmico, entre outros. 
No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma 
temperatura uniforme T0. Subitamente, ele é exposto a um ambiente que está a uma 
temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está 
indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de 
certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência 
pessoal. 
 
1∞T
10 ∞= TT
2∞T
2∞T
t∆ 
 
 
Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo 
ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo não ocorre de forma 
uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma indicativa a 
temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas 
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57
de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é 
uniforme dentro do corpo,