Unidade 4   Torção em Perfis de Parede Fina
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Unidade 4 Torção em Perfis de Parede Fina

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Unidade 4 – TORÇÃO EM PERFIS DE PAREDE FINA

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4. TORÇÃO UNIFORME EM PERFIS DE PAREDE FINA

OBJETIVOS:

- Determinar as leis de variação da tensão cisalhante e do momento
 torçor em função dos conceitos formulados pela analogia da
 membrana.
- Definir perfis de parede fina de seção aberta e fechada.
- Determinar a lei de variação de tensão cisalhante, proveniente de um
 torque, para um perfil de parede fina de seção aberta, usando a
 analogia da membrana.
- Determinar a lei de variação de tensão cisalhante, proveniente de um
 torque, para um perfil de seção fechada de parede fina, usando a
 analogia da membrana.
- Determinar o ângulo de torção para ambos os tipos de perfis.
- Dimensionar os dois tipos de perfis sob torção-flexão, usando as
 teorias de resistência e impondo as condições de resistência e rigidez.

4.1 - NOÇÕES SOBRE A ANALOGIA DA MEMBRANA

Existem, em mecânica, problemas que diferem em sua essência física, mas podem
ser expressos pelas mesmas equações diferenciais. Devido a isto, é possível estabelecer
analogias entre ambos.

Em alguns casos, a solução de um problema, ou seja, o estabelecimento de uma
relação entre suas variáveis, exige a integração de uma equação diferencial em derivadas
parciais de grande complexidade e para a qual só é possível conseguir soluções aproximadas.
Em compensação, a natureza física de um segundo problema, análogo ao outro em sua
expressão analítica, permite uma interpretação simples das relações que ligam as mesmas
variáveis. Isto possibilita estabelecer as leis que regem o primeiro problema. Um exemplo do
problema complexo é o problema da torção. Sua solução exata deve-se a Saint Venant. Neste
problema, a denominada analogia da membrana, devido à Prandtl (1903), permite determinar
com facilidade a distribuição das tensões de cisalhamento na seção de um eixo sob torção, por
analogia.

) Pode-se demonstrar que a equação diferencial que rege o comportamento da superfície elástica de uma membrana deformada, uniformemente carregada, de
mesmo contorno da seção transversal de um elemento sujeito ao torque, tem a
mesma forma que a equação que determina a distribuição das tensões cisalhantes
através da seção de uma barra sujeita à torção.

A membrana é fixada por seus bordos e submetida a uma pressão interna

uniforme. Experimentalmente, esta membrana é obtida considerando um furo, com o contorno
da seção sob torção a estudar, em uma placa. Sobre este furo é colada a membrana elástica
através de seus bordos. Por meio de uma pressão de ar adequada, forma-se a superfície da
membrana deformada e através de micrômetros e outros instrumentos de medição pode-se
obter a geometria desta superfície, em particular, as curvas de níveis, declividade máxima e
volume (Figura 41).

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Figura 41 - Analogia da membrana

As analogias são as seguintes:

) 1- a tangente a uma curva de nível, em qualquer ponto da membrana, dá a direção da tensão de cisalhamento no ponto correspondente da seção transversal da barra
sob torção (Figura 41).

2- a declividade máxima da membrana, em qualquer ponto, é proporcional à
intensidade da tensão de cisalhamento no ponto correspondente da barra sob
torção (Figura 41).

3- o volume compreendido entre a membrana deformada e o plano que passa pelo
seu contorno, é proporcional ao momento torçor suportado pela barra.

No caso elementar da seção circular, verifica-se que a declividade máxima maior,

α, ocorre em todos os pontos da periferia e é nula no centro do círculo. Esta declividade
máxima manifesta-se na direção do meridiano. Portanto, a tensão de cisalhamento é máxima
nas bordas e nula no centro (Figura 42).

Figura 42 - Seção circular sob torção

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No caso da seção retangular, verifica-se, analisando a membrana deformada, que
no meio dos lados maiores ocorrem as maiores declividades, α, e, portanto são os pontos de
máximas tensões de cisalhamento. Nos cantos e no centro de gravidade, a declividade é nula e
a tensão de cisalhamento é zero (Figura 43).

Figura 43 - Seção retangular sob torção

No caso de seções vazadas de parede fina, a membrana deformada apresenta uma
declividade α praticamente constante ao longo da espessura, ou seja, as tensões de
cisalhamento se distribuem uniformemente através da espessura do eixo sob torção (Figura
44).

Figura 44

Nos outros casos, a forma da superfície da membrana deformada é facilmente
imaginada para uma dada seção transversal da barra sob torção. Assim, as conclusões
qualitativas relativas à distribuição das tensões cisalhantes na seção sob torção, podem ser
tiradas imediatamente.

4.2 - TORÇÃO UNIFORME EM PERFIS DE PAREDE FINA

No dimensionamento de vigas, em estrutura metálica, na construção de máquinas,
no projeto de aeronaves, muitas vezes, é necessário calcular a torção em perfis de parede fina.
Nestes, a espessura é cerca de um décimo da dimensão média de sua largura ou altura.

Estes perfis se dividem em abertos e fechados. Na Figura 45 os perfis 1, 2, 3 e 4
são exemplos de perfis de seção aberta ou perfis abertos e os outros fechados. A diferença é
que nos perfis fechados a seção transversal encerra um contorno.

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Figura 45 - Seções transversais abertas e fechadas.

A natureza da distribuição das tensões cisalhantes de torção na seção transversal
da barra de parede fina é estabelecida de modo simples utilizando-se os conhecimentos
adquiridos no estudo da analogia da membrana. Imaginemos uma placa plana com um furo
cuja configuração é semelhante a do perfil em estudo. Sobre o furo estiquemos (colando pelas
bordas) uma membrana elástica (uma película de sabão, por exemplo). Se aplicarmos uma
pressão uniforme sob a membrana, ela se deforma de maneira distinta de acordo com o perfil
fechado ou aberto, Fig.46.

) Quando se trata de um perfil fechado, a área interior ao perfil não está vinculada com a placa, mas presa na própria membrana e se desloca sob pressão juntamente
com ela (Figura 46-b e Figura 44).

Já na seção aberta, composta de retângulos, a superfície da membrana deformada

toma o aspecto da superfície de uma meia cana (Figura 46-a). Isto determina a diferença entre
as formas da membrana deformada para os casos de perfis de seção aberta e fechada.

Figura 46 - Membrana deformada em perfis fechado e aberto.

Para a seção aberta composta por retângulos podemos assumir uma distribuição
linear para as tensões cisalhantes, Figura 46a. A declividade da membrana é maior nas laterais
da parede, diminui linearmente até zero no centro, e volta a crescer linearmente, em sentido
contrário até a outra lateral da parede.

Para os perfis de seção fechada, a declividade da membrana é constante e a
distribuição das tensões é uniforme através da espessura da parede, Figura 46b.

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4.3 - PERFIS DE SEÇÃO ABERTA

No estudo de torção em barras de seção retangular, verificamos que quando a
relação a/b, lado maior pelo lado menor, tende para o infinito (aproximadamente 10), os
valores de α e β tendem simultaneamente para 1/3, Tabela 1.
• Tabela 1 - Valores dos coeficientes α, β e η.
a/b 1 1.5 1.75 2 2.5 3 4 6 8 10 ∞
α 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
β 0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
η 1.000 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742

Façamos uma adaptação nas fórmulas