Unidade 4   Torção em Perfis de Parede Fina
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Unidade 4 Torção em Perfis de Parede Fina


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Unidade 4 \u2013 TORÇÃO EM PERFIS DE PAREDE FINA 
 
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4. TORÇÃO UNIFORME EM PERFIS DE PAREDE FINA 
 
 
OBJETIVOS: 
 
- Determinar as leis de variação da tensão cisalhante e do momento 
 torçor em função dos conceitos formulados pela analogia da 
 membrana. 
- Definir perfis de parede fina de seção aberta e fechada. 
- Determinar a lei de variação de tensão cisalhante, proveniente de um 
 torque, para um perfil de parede fina de seção aberta, usando a 
 analogia da membrana. 
- Determinar a lei de variação de tensão cisalhante, proveniente de um 
 torque, para um perfil de seção fechada de parede fina, usando a 
 analogia da membrana. 
- Determinar o ângulo de torção para ambos os tipos de perfis. 
- Dimensionar os dois tipos de perfis sob torção-flexão, usando as 
 teorias de resistência e impondo as condições de resistência e rigidez. 
 
 
4.1 - NOÇÕES SOBRE A ANALOGIA DA MEMBRANA 
 
Existem, em mecânica, problemas que diferem em sua essência física, mas podem 
ser expressos pelas mesmas equações diferenciais. Devido a isto, é possível estabelecer 
analogias entre ambos. 
Em alguns casos, a solução de um problema, ou seja, o estabelecimento de uma 
relação entre suas variáveis, exige a integração de uma equação diferencial em derivadas 
parciais de grande complexidade e para a qual só é possível conseguir soluções aproximadas. 
Em compensação, a natureza física de um segundo problema, análogo ao outro em sua 
expressão analítica, permite uma interpretação simples das relações que ligam as mesmas 
variáveis. Isto possibilita estabelecer as leis que regem o primeiro problema. Um exemplo do 
problema complexo é o problema da torção. Sua solução exata deve-se a Saint Venant. Neste 
problema, a denominada analogia da membrana, devido à Prandtl (1903), permite determinar 
com facilidade a distribuição das tensões de cisalhamento na seção de um eixo sob torção, por 
analogia. 
 
) Pode-se demonstrar que a equação diferencial que rege o comportamento da superfície elástica de uma membrana deformada, uniformemente carregada, de 
mesmo contorno da seção transversal de um elemento sujeito ao torque, tem a 
mesma forma que a equação que determina a distribuição das tensões cisalhantes 
através da seção de uma barra sujeita à torção. 
 
A membrana é fixada por seus bordos e submetida a uma pressão interna 
uniforme. Experimentalmente, esta membrana é obtida considerando um furo, com o contorno 
da seção sob torção a estudar, em uma placa. Sobre este furo é colada a membrana elástica 
através de seus bordos. Por meio de uma pressão de ar adequada, forma-se a superfície da 
membrana deformada e através de micrômetros e outros instrumentos de medição pode-se 
obter a geometria desta superfície, em particular, as curvas de níveis, declividade máxima e 
volume (Figura 41). 
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Figura 41 - Analogia da membrana 
 
As analogias são as seguintes: 
 
) 1- a tangente a uma curva de nível, em qualquer ponto da membrana, dá a direção da tensão de cisalhamento no ponto correspondente da seção transversal da barra 
sob torção (Figura 41). 
2- a declividade máxima da membrana, em qualquer ponto, é proporcional à 
intensidade da tensão de cisalhamento no ponto correspondente da barra sob 
torção (Figura 41). 
3- o volume compreendido entre a membrana deformada e o plano que passa pelo 
seu contorno, é proporcional ao momento torçor suportado pela barra. 
 
No caso elementar da seção circular, verifica-se que a declividade máxima maior, 
\u3b1, ocorre em todos os pontos da periferia e é nula no centro do círculo. Esta declividade 
máxima manifesta-se na direção do meridiano. Portanto, a tensão de cisalhamento é máxima 
nas bordas e nula no centro (Figura 42). 
 
 
 
Figura 42 - Seção circular sob torção 
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No caso da seção retangular, verifica-se, analisando a membrana deformada, que 
no meio dos lados maiores ocorrem as maiores declividades, \u3b1, e, portanto são os pontos de 
máximas tensões de cisalhamento. Nos cantos e no centro de gravidade, a declividade é nula e 
a tensão de cisalhamento é zero (Figura 43). 
 
 
Figura 43 - Seção retangular sob torção 
 
 
No caso de seções vazadas de parede fina, a membrana deformada apresenta uma 
declividade \u3b1 praticamente constante ao longo da espessura, ou seja, as tensões de 
cisalhamento se distribuem uniformemente através da espessura do eixo sob torção (Figura 
44). 
 
 
Figura 44 
 
 
Nos outros casos, a forma da superfície da membrana deformada é facilmente 
imaginada para uma dada seção transversal da barra sob torção. Assim, as conclusões 
qualitativas relativas à distribuição das tensões cisalhantes na seção sob torção, podem ser 
tiradas imediatamente. 
 
 
4.2 - TORÇÃO UNIFORME EM PERFIS DE PAREDE FINA 
 
No dimensionamento de vigas, em estrutura metálica, na construção de máquinas, 
no projeto de aeronaves, muitas vezes, é necessário calcular a torção em perfis de parede fina. 
Nestes, a espessura é cerca de um décimo da dimensão média de sua largura ou altura. 
Estes perfis se dividem em abertos e fechados. Na Figura 45 os perfis 1, 2, 3 e 4 
são exemplos de perfis de seção aberta ou perfis abertos e os outros fechados. A diferença é 
que nos perfis fechados a seção transversal encerra um contorno. 
 
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Figura 45 - Seções transversais abertas e fechadas. 
 
A natureza da distribuição das tensões cisalhantes de torção na seção transversal 
da barra de parede fina é estabelecida de modo simples utilizando-se os conhecimentos 
adquiridos no estudo da analogia da membrana. Imaginemos uma placa plana com um furo 
cuja configuração é semelhante a do perfil em estudo. Sobre o furo estiquemos (colando pelas 
bordas) uma membrana elástica (uma película de sabão, por exemplo). Se aplicarmos uma 
pressão uniforme sob a membrana, ela se deforma de maneira distinta de acordo com o perfil 
fechado ou aberto, Fig.46. 
 
) Quando se trata de um perfil fechado, a área interior ao perfil não está vinculada com a placa, mas presa na própria membrana e se desloca sob pressão juntamente 
com ela (Figura 46-b e Figura 44). 
 
Já na seção aberta, composta de retângulos, a superfície da membrana deformada 
toma o aspecto da superfície de uma meia cana (Figura 46-a). Isto determina a diferença entre 
as formas da membrana deformada para os casos de perfis de seção aberta e fechada. 
 
 
 
Figura 46 - Membrana deformada em perfis fechado e aberto. 
 
Para a seção aberta composta por retângulos podemos assumir uma distribuição 
linear para as tensões cisalhantes, Figura 46a. A declividade da membrana é maior nas laterais 
da parede, diminui linearmente até zero no centro, e volta a crescer linearmente, em sentido 
contrário até a outra lateral da parede. 
Para os perfis de seção fechada, a declividade da membrana é constante e a 
distribuição das tensões é uniforme através da espessura da parede, Figura 46b. 
 
 
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4.3 - PERFIS DE SEÇÃO ABERTA 
 
No estudo de torção em barras de seção retangular, verificamos que quando a 
relação a/b, lado maior pelo lado menor, tende para o infinito (aproximadamente 10), os 
valores de \u3b1 e \u3b2 tendem simultaneamente para 1/3, Tabela 1. 
 
\u2022 Tabela 1 - Valores dos coeficientes \u3b1, \u3b2 e \u3b7. 
 
a/b 1 1.5 1.75 2 2.5 3 4 6 8 10 \u221e 
\u3b1 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
\u3b2 0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
\u3b7 1.000 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742
 
Façamos uma adaptação nas fórmulas