Unidade 6 Vigas Curvas

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Unidade 6 – VIGAS CURVAS 
 
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6. VIGAS CURVAS 
 
 
OBJETIVOS: 
 
- Definir vigas de forte curvatura. 
- Determinar a posição da linha neutra em vigas de forte curvatura. 
- Aplicar as equações de equilíbrio da estática e determinar a fórmula da 
tensão normal. 
- Determinar a tensão normal resultante sob flexão-solicitação axial. 
 
 
6.1 – INTRODUÇÃO – NOTAÇÕES 
 
A distribuição das tensões normais em uma viga curva é determinada baseando-se 
nas seguintes considerações: 
 
1- A peça possui um plano vertical de simetria que contém todo carregamento 
externo. 
2- As seções planas permanecem planas após a deformação. As fibras neutras 
mantêm seus comprimentos originais. Assim, as fibras situadas à igual 
distância da linha neutra, alongam e encurtam de uma mesma quantidade e 
experimentam tensões iguais através da largura da seção. 
3- O módulo de elasticidade, E, é o mesmo para tração e compressão. 
4- O material trabalha dentro do regime elástico. 
 
) Ao contrário do que ocorre com as vigas retas, encontraremos que o eixo neutro de uma viga curva não passa pelo seu centro de gravidade. As tensões normais 
possuem uma lei de distribuição não linear, em relação à linha neutra. 
 
Notações: 
ro - raio da fibra mais externa. 
ri - raio da fibra mais interna. 
c0 - distância do eixo neutro à fibra mais externa. 
ci - distância do eixo neutro à fibra mais interna. 
r - raio do eixo centroidal. 
r - raio do eixo neutro. 
h - espessura da seção. 
e - distância dos eixos neutro e centroidal. 
ρ - distância do centro de curvatura a uma fibra qualquer. 
h – altura da seção transversal. Se r ≤ 5.h → viga de forte curvatura. 
 
 
6.2 – CÁLCULO DA TENSÃO NORMAL 
 
Para iniciar, definiremos o elemento abcd pelo ângulo φ. Um momento fletor M 
(positivo no sentido indicado, ou seja, de diminuir a curvatura) faz com que a seção bc gire de 
dφ, passando para b'c' (Fig. 70). O eixo Y tem origem na linha neutra (C) e é positivo no 
sentido do centro de curvatura (O). A deformação de uma fibra à distância ρ do centro O é: 
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-
+
e
y
rr
O
b
h
-
y
σ
b
b'
c c' ρ
G
C
M
y
a
d
φ
dφ
ri
Ci
Co ro LN
O
Figura 70 
 
 
ρφ
φρ∆ξ d )r(
l
l −== (6.1) 
 
A tensão normal correspondente é: 
ρφ
φρξσ d )-E(r=E = (6.2) 
Yr =− ρ 
ρφ
φσ Y.d E 

= 
 
Equação de uma hipérbole, pois a parte entre colchetes é constante. 
Desde que são nulas as forças externas atuantes na seção (resultante do binário M 
é nula - flexão pura), a resultante das forças normais na seção deve ser nula: 
 
0dA )-(r d EdA ==∫ ∫ ρρφ φσ 
ou 
0dAdA r d E =


 −∫ ∫ρφ φ (6.3) 
Resolvendo as expressões entre parênteses: 
∫∫
=−
ρ
ρ dA
A=r , 0AdA r (6.4) 
Esta importante equação é usada para localizar o eixo neutro em relação ao centro 
de curvatura da seção transversal. 
 
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) Esta equação indica que os eixos neutro e centroidal não são coincidentes. 
 
Determinemos a distribuição das tensões normais na seção. 
Equilibremos o momento externo aplicado, através do momento interno resistente: 
 
∫ ∫ ==− MdA)-(r d EdAr 2ρρφ φσρ )).(( 
Mas: 
 r2rr 222 ,)( ρρρ +−=− logo: 


 −+


 −=−+−


= ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ dArdAdAdArrd E)dArdAdArdA (r d EM 2 ρρφ φρρφ φ
 
Como r é constante, comparando os dois primeiros termos entre parênteses com a 
equação (6.3) verificamos que eles desaparecem e finalmente teremos: 
 
∫ ∫+−= )( dA dArd EM ρφ φ 
A primeira integral é a área da seção e a segunda é igual à r .A (momento estático 
de toda área em relação a um eixo passante por 0, centro da curvatura), logo: 
 
A.e.d EA).rr(d EM φ
φ
φ
φ =−= (6.5) 
Finalmente, tirando o valor de E.dφ/φ da equação (6.2) e substituindo na 
expressão de M acima, teremos: 
 
 
A.e.
M.y 
yreA
yM
ρσ =−= ).(.
. pois: (6.6) 
yr
yr
l.transversa seçãoda curvatura de
 centro o e gravidade de centro o entre sempre, situada,fica neutra linha a0err
−=
=−
⇒>=−
ρ
ρ
 
) Esta equação mostra que a distribuição das tensões normais é hiperbólica. As tensões máximas ocorrem nas fibras internas e externas e são: 
 
 ,
reA
cM
i
i
i ..
.=σ 
reA
cM
o
o
o ..
.=σ 
Estas equações foram demonstradas para flexão pura, que não é o caso mais 
comum. Normalmente, tem-se uma carga excêntrica. 
 
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) Neste caso esta carga deve ser reduzida ao centro de gravidade da seção transversal sob consideração, e devemos trabalhar como se tivéssemos uma carga cêntrica mais 
uma flexão pura. 
 
Deste modo, em adição às tensões normais de flexão, aparecem tensões normais 
uniformemente distribuídas sobre a seção (carga cêntrica) que deverão ser adicionadas 
algebricamente às tensões normais de flexão para se ter a tensão total nos diversos pontos. 
A seção ideal de uma viga curva pode ser projetada relacionando as tensões nas 
fibras mais internas e mais externas, com as tensões limites da tração e compressão do 
material. No caso de materiais dúteis (Syt = Syc) as tensões nas fibras mais internas e mais 
externas deverão ser iguais para se aproveitar ao máximo o material e a seguinte relação deve 
ser satisfeita: 
o
i
o
i
r
r
c
c = 
Finalizando, podemos dizer que uma viga é de forte curvatura se r /h ≤ 5 e para 
tais vigas a fórmula geral para cálculo da tensão normal é: 
 
).(.
.
yreA
yM
A
N
−±=σ (6.7) 
 
Se r /h > 5, podemos supor a viga reta e usar a seguinte fórmula conhecida: 
 
I
yM
A
N .±=σ , que é a fórmula para viga reta, já usada anteriormente. 
O erro que se comete, neste caso, não excede à ± 7%. 
 
No estudo da distribuição das tensões normais nas vigas de forte curvatura, nós 
ignoramos a tensão normal radial que ocorre devido à compressão mútua das fibras do 
material. Ela não tem maior importância para as vigas curvas do que para as vigas retas como 
pode ser determinado em experiências em modelos construídos com materiais frágeis. Elas 
são particularmente elevadas em seções cujas larguras variam bruscamente (vigas I). 
É permitido calcular as tensões tangenciais nas seções transversais de uma viga 
curva (devido ao cortante) usando a expressão da tensão tangencial para vigas retas: 
 
Ib
MV s
.
.=τ 
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Fórmulas para a determinação da linha neutra em barras de forte curvatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
 BELYAEV, N. M., Strength of Materials., 1ª ed., Editorial Mir. Moscou. 
 
 
 SHIGLEY, Joseph Edward., Elementos de Máquinas., Vol. 1, Livros Técnicos e 
Científicos Editora S.A. 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
¾ Exercício 6.1 
Para a viga de forte curvatura abaixo, pede-se: 
a - valor máximo de P sabendo que S yt = 1400 kgf / cm2 
b - diagrama das tensões normais de flexão e tensões normais de solicitação axial, 
indicando as intensidades das tensões . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
)dr4r2(4
d=r
neutra linha)a
22
2
−−
 
 
kgf 3448=P 1400=0,406P 
P148,0 e P406,0
: Logo
cm 4,536- = y cm 464,3y
Ae
My
A
P
cm 50,24=A ,0,536=r-r=e ,12P = M
cm 7,464 =r cm 8 =d , cm 8r
BA
BA
BA
2
∴>
−==
+=
±=
→=
σσ
σσ
ρσb) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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¾ Exercício 6.2 
Para a viga de forte curvatura abaixo, sabendo que P = 10 kN, determinar as 
tensões normais em A e B. 
 
 
 
 
Solução: 
N.m 1300P30)10+-(100=M
mm 3 =127-130=r-r=e
mm 100 =r ,mm 90 = h ,mm 190r
mm 127
1
r
r
h
r
0,5h=r
mm 13090
3
1100r
3-
12
1
22
−=
=
=
−
=+=
ln
 
Solicitação axial: P ( comp ) 
 MPa8,2
)10(
2
90.80
10000
A
P
23
−=−=−=
−
σ 
Flexão Pura 
M = - 1300 N. m 
yA =127 - 100 = 27 mm 
yB = - (190 - 127) = -63 mm 
 
σ ρ
σ
σ
=
= − = −
= − − = +
−
−
−
−
My
Ae
MPa
MPa
A
B
1300 27 10
40 90 3 100 10
32 5
1300 63 10
40 90 3 190 10
40 0
3
3 4
3
3 4
. .( )
. . . .( )
,
.( ).( )
. . . .( )
,
 
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Tensões resultantes: 
σ
σ
A
R = − − = −
= − =
32 5 2 8 35 3
40 0 2 8 37 2
, , ,
, , ,
 MPa
 MPaB
R
 
 
¾ Exercício 6.3 
Uma viga curva de raio interno 15 cm tem seção indicada baixo. Está sujeita a um 
momento fletor M. Pede-se “x” de modo que e a tensão de flexão na fibra mais interna tenha o 
mesmo módulo que a tensão da fibra mais externa. 
 
 
 
Solução: 
 
5. .2,5 15.5.12,5
5 15.5
12,5 937,5
5 75
A 75 575 5 , r = 35 20 (2,798 0,288 )5ln ln
20 15
xc
x
xc
x
xA x
xx
+=
+
+=
+
+= + =
++
 
0 0
75 5 15
152,798 0,288 0,429
75 5 3535
2,798 0,288
(35(2,798 0,288 ) 75 5 ).0,429 75 5 15(2,798 0,288 )
15,472 
i iy
y
x
x
x
x
x x x x
x cm
ρ
ρ=
 + − +  = = + − + 
+ − − = + − +
=
 
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¾ Exercício 6.4 
Para a viga curva da Figura abaixo, pede-se determinar as tensões normais 
resultantes, máxima e mínima, na seção BB. O valor de P e 1800 kgf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
1) Seção CD analisada como viga reta : 
 * Localização do C.G. 
c
A
I
My
I
cm
cm
L N
C
=
=
=
=
= =
= − = −



2 5
15 625
81 4
1800 15 2 5
81 4
829 2
1800 15 5 0
81 4
1658 5
2
2
,
,
,
. . ,
,
, /
. . ,
,
, /
.
 cm
 cm
 kgf
 kgf
2
4
D
σ
σ
σ
 
 
 
2) Seção CD analisada como viga de forte curvatura 
 
r h
viga de fo
y
P
A
My
Ae
C
C
D
<
< →
= + = −
= +
= = >
= − = −



5
15 37 5
2 184 5 316
1800 15 2 184
15 625 0 316 12 5
955 4 829 2
1800 15 5 316
15 625 0 316 20
1453 5
,
, ,
. . ,
, . , . ,
, ,
. . ,
, . , .
,
rte curvatura
r = 15
r = 14,684
e = r - r = 0,316 , A = 15,625 cm
 cm , y cm , M = + 1800.15
 
2
D
σ ρ
σ
σ
 
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3) Seção BB: 
 
 
 
 
2115
) trac. ( kgf 1800P
42906
20316062515
316554000
Ae
My
71911
512316062515
184254000
Ae
My
cm 020 cm 3165y
cm 512 cm 1842y
Kgf.cm 54000M
P
2
1
22
11
,
,
.,.,
),.(
,
,.,.,
,.
,,
,,
=
≅
−≅−==
+≅==
=→−=
=→+=
=
σ
ρσ
ρσ
ρ
ρ
 
 
Tensões resultantes 
 
σ
σ
1
2
2027
2791
R
R
=
= −
 kgf / cm
 kgf / cm
2
2