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Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 145 9. DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE OBJETIVOS: - Definir volantes. - Determinar a força de inércia. - Determinar as expressões para cálculo das tensões radiais e circunferenciais em discos que giram à grande velocidade. - Determinar o aumento do raio em discos em rotação. - Determinar as tensões em discos em rotação com interferência inicial. 9.1 - DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES RADIAIS E CIRCUNFERENCIAIS EM UM DISCO DE ESPESSURA CONSTANTE Disco sujeito a uma rotação uniforme ω , com pressões atuantes em suas faces interna e externa. Figura 85 - Forças atuando em um elemento de um disco em rotação. Consideremos um elemento de um disco de raio r (Fig. 85). Considerando espessura unitária temos: volume do elemento: drdr1.dr.rd θθ = massa do elemento: drdr θρ força de inércia: drdrrdrdrrm 2222 θωρωθρω == ρ é a massa específica do material do disco. Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 146 Comentários sobre as forças da Fig. 85: 1 - As forças σH.dr.1, são iguais em intensidade, pela simetria rotacional; mas não têm a mesma direção. Não dependem de θ, somente de r. 2 - As forças radiais são diferentes por duas razões: primeira, as áreas são diferentes; segunda, as tensões são, provavelmente, diferentes. Estas forças também só dependem de r. 3 - Como σH e σr só dependem de r, toda diferencial que aparece é total e não parcial. A equação de equilíbrio da estática, segundo a direção radial fornece: como dθ é pequeno, 2 d 2 dsen θθ = radiano Simplificando: 22r rH .r.dr d r ωρσσσ =−− (9.1) ) Se há um movimento radial ou deslocamento do elemento de uma quantidade “s”, quando o disco gira, a deformação radial elementar é dada por: ( )Hrr E 1 dr dsd υσσε −== (9.2) A deformação circunferencial no raio r é: (9.3) Diferenciando: ( ) −+−= dr d dr d E r E 1 dr ds rH rH συσυσσ (9.4) Igualando (9.2) e (9.4) e simplificando: ( )( ) 0 dr d r dr d r1. rHrH =−++− συσυσσ (9.5) Substituindo (σH - σr) da equação (9.1), ( ) ( ) dr.d..r.d.drr.dd.r. 2 dsen.dr..2 22rrrH θωρθσσθσθσ =++−+ ( ) ( )r. E 1s E 1 r s rH rHH υσσ υσσε −= −== Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 147 ( ) ( )υωρσσ συσυωρσ +−=+ =−++ + 1.r dr d dr d 0 dr d r dr d r1.r dr d r 2rH rH22r Integrando, ( ) A.21. 2 r 22 rH ++−=+ υωρσσ (9.6) onde 2A é a constante de integração conveniente. Subtraindo da equação (9.1), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B 2 rA23. 8 rr A23. 2 rrr dr d r dr d. r 1 dr d r2 A23. 2 r dr d r2 224 r 2 22 r 2 r 2r r 22 r r −++−= ++−= =+ ++−=+ υωρσ υωρσ σσσ υωρσσ onde -B é a segunda constante de integração conveniente. Assim: ( ) 8 r.3 r BA 22 2r ρωυσ +−−= (9.7) e da equação (9.6): ( ) 8 r.31 r BA 22 2H ρωυ+−+=σ (9.8) 9.2 - CASO PARTICULAR DE UM DISCO SÓLIDO Para um disco sólido, a pressão no centro é dada para r = 0. ) Para r igual a zero, as equações acima fornecerão valores infinitos para as tensões, a menos que B seja nulo. Isto é B = 0; e então B/r2 = 0 que dá a única solução finita. Para o raio externo R a tensão radial deve ser zero desde que não existem forças externas aplicadas. Deste modo, da equação (9.7), ( ) ( ) 8 R.3A 8 R.3A0 22 22 r ρωυ ρωυσ += +−== Substituindo nas equações (9.7) e (9.8), as tensões radial e circunferencial a um raio r, em um disco sólido, são dadas por: Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 148 (9.9) (9.10) Tensões máximas: ) No centro do disco, onde r = 0, as equações acima produzirão valores máximos para as tensões radiais e circunferenciais que serão as tensões máximas no disco e iguais à: ( ) 8 R.3 22 rH máxmáx ρωυσσ +== (9.11) Na face externa do disco, onde r = R, as equações fornecem: ( ) 4 R.1;0 22 Hr ρωυσσ −== (9.12) A distribuição completa das tensões radiais e circunferenciais, através do raio do disco, está indicada na Fig. 86. Figura 86 - Distribuição das tensões em um disco sólido em rotação. 9.3 - DISCOS EM ROTAÇÃO COM FURO CENTRAL As equações gerais de tensões para um anel em rotação podem ser obtidas do mesmo modo que aquelas para um disco sólido em rotação: ( ) ( ) 8 r.31 r BA 8 r.3 r BA 22 2H 22 2r ρωυσ ρωυσ +−+= +−−= Supondo o disco somente em rotação, sem pressão interna ou externa, as condições de contorno requeridas podem ser substituídas simultaneamente para determinar os valores apropriados para as constantes A e B. ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )2222222r 22 22222 H rR. 8 .3 8 r3 8 R.3 r.31R.3 88 r31 8 R.3 −ρωυ+=ρωυ+−ρωυ+=σ υ+−υ+ρω=ρωυ+−ρωυ+=σ Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 149 • Para r = R1, σr = 0 ( ) 8 R.3 R BA0 2 1 2 2 1 ρωυ+−−= • Para r = R2, σr = 0 ( ) 8 R.3 R BA0 2 2 2 2 2 ρωυ+−−= e, ( ) ( ) ( ) 8 RR .3A 8 RR .3B 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 ++= += ωρυ ωρυ Substituindo: (9.13) (9.14) As tensões máximas ocorrem para r = R1: ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]21222212222212máxH R1R34R31RRR38 υυρωυυρωσ −++=+−+++= (9.15) Quando o valor do raio interno se aproxima de zero, a tensão circunferencial máxima aproxima-se de: ( ) 22 2 máxH R34 υρωσ += isso é duas vezes o valor obtido no centro de um disco sólido em rotação, à mesma velocidade. Assim, a realização de um pequeno furo, no centro de um disco sólido, dobra o valor da máxima tensão circunferencial devido à própria rotação. Na face externa r = R2: ( ) ( )[ ]22212mínH R1R34 υυρωσ −++= Tensão radial máxima: ( ) −−++= 22 2 2 2 12 2 2 1 2 r rr RR RR 8 .3 ρωυσ quando 0 dr d r =σ , ( ) ( ) ( ) +− +++= −−++= 2 2 2 2 2 12 2 2 1 2 H 2 2 2 2 2 12 2 2 1 2 r r31 r RR RR3 8 r r RR RR 8 .3 υυρωσ ρωυσ Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 150 ( )21 2 2 2 1 4 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 12 2 2 1 RRr RRr r2 r 2RR0 r r RR RR dr d0 = = −= −−+= (9.16) Substituindo na equação original: ( ) [ ] ( ) [ ]2122212122212máxr RR8.3RRRRRR8.3 −+=−−++= ρωυρωυσ (9.17) Figura 87 - Distribuição das tensões em um disco vazado em rotação 9.4 - DISCO E EIXO ACOPLADOS COM INTERFERÊNCIA Os discos rotativos possuem um furo central circular para permitir a sua montagem, com interferência, em um eixo. A pressão de interferência gerada pela montagem deve ser suficiente para que o disco não se solte do eixo durante o movimento de rotação e não deve ser muito elevada para não criar grandes tensões no disco.No instante do acoplamento disco-eixo sob pressão, a velocidade de rotação é nula e o conjunto comporta-se como um cilindro composto em que o cilindro interior é o eixo e o exterior o disco. A montagem pode-se realizar com o aquecimento do disco. A interferência radial será a diferença entre o raio do eixo e o raio interno do disco. Como o conjunto é tratado como um cilindro composto (ω = 0) pode-se calcular a pressão de contato conhecendo-se a interferência radial. Quando o disco acoplado com interferência contra o eixo ficar solto no eixo, o que ocorre a uma velocidade particular “ω” deixa de haver interferência. Isto corresponde a anular a pressão de contato inicialmente estabelecida pelo ajuste. 9.5 - TENSÕES COMBINADAS DE ROTAÇÃO E TÉRMICA EM DISCOS UNIFORMES E CILINDROS ESPESSOS Se um componente é livre de expandir-se e sua temperatura varia uniformemente, a expansão ocorre sem o aparecimento de tensões térmicas. No caso de discos sujeitos a gradientes térmicos, uma parte do material tende a expandir-se mais rapidamente do Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 151 que a outra experimentando, cada uma, diferença de temperatura e como resultado são desenvolvidas tensões térmicas. Suponhamos um disco, inicialmente sem tensão, sujeito a uma variação de temperatura, T, a uma rotação uniforme, ω, com pressões atuando em suas faces interna e externa. seja R1 e R2 seus raios interno e externo, Fig. 88. Imaginemos um elemento deste disco, de raio genérico r, espessura dr e largura unitária, formado pelo ângulo central dθ, Fig. 89. As tensões radiais e circunferenciais e a força de inércia foram estabelecidas neste elemento. A força de inércia aparece devido ao movimento do disco. Sua presença permite considerarmos o mesmo em estado de equilíbrio instantâneo (princípio de D’Alembert). Calculemos estas forças: Figura 88 Figura 89 Força de inércia = volume x massa específica x aceleração F = ( )( ) drdrrdr1rd 222 θρωωρθ = força radial na face interna = 1rdr θσ força radial na face externa = ( )( ) 1ddrrd rr θσσ ++ força circunferencial =σ Hdr1 Comentários sobre as forças: As forças circunferenciais são iguais em intensidade pela simetria rotacional, mas não têm a mesma direção. Não dependem de θ mas de r. Elas são iguais através da espessura dr. As forças radiais nas faces interna e externa são diferentes pois as áreas também o são e as tensões são, provavelmente, diferentes. Elas dependem somente de r. Como todas as forças dependem somente de r, toda equação diferencial que aparece é total e não parcial. Estabeleçamos a equação de equilíbrio da estática na direção Y: ΣFY=0 Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 152 ( )( ) 0drdr ddrrdrd 2 ddr2 22rrrH =−++−+ θωρθσσθσθσ sen como dθ é pequeno e expresso em radianos então sen(dθ/2) = dθ/2, em radianos. Simplificando dθ e desprezando o produto de infinitésimos: σ σ σ ρ ωH r rr ddr− − = r 2 2 (9.18) Como ocorre um movimento radial (ou deslocamento do elemento de uma quantidade “s”) quando o disco gira, a deformação radial será: Figura 90 ( )[ ]ε σ νσ αr r Hdsdr E E= = − +1 T (9.19) onde o termo EαT é a tensão térmica. α é o coeficiente de dilatação térmica linear do material do disco. E é o módulo de elasticidade. ν é o coeficiente de Poisson. T variação de temperatura. A deformação circunferencial é: ( )[ ]ε σ νσ αH H rsr E E= = − +1 T (9.20) Diferenciando (9.20) e igualando com (9.19), pois, a deformação radial é igual à circunferencial, temos: ( )ds dr E E r d dr d dr E dT drH r H r= − + + − + 1 σ νσ α σ ν σ α T (9.21) A função que fornece a variação da temperatura com o raio “r” deve ser conhecida (função T). Igualando (9.19) e (9.21) e simplificando: Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 153 ( )( )σ σ ν σ ν σ αH r Hr ddr− + + − + =1 0 r d dr Er dT dr r (9.22) Substituindo o valor de σH-σr da equação (9.18) em (9.22) temos: ( )1 02+ + + − + =ν σ ρω σ ν σ αr ddr r d dr r H r r d dr Er dT dr 2 r ( )d dr d dr r E dT dr H rσ σ ν ρω α+ = − + −1 2 integrando: ( ) 2A+T E 2 r1 22 rH αρωνσσ −+−=+ (9.23) onde 2A é a constante de integração conveniente. (9.23) - (9.18) fornece: ( ) 2A+T E 2 r3 dr d r2 22 r r αρωνσσ −+−=+ Mas: ( )1 22r ddr r r ddrr r rσ σ σ= + Logo: ( ) ( ) 2A+T E 2 r3r dr d r 1 22 r 2 αρωνσ −+−= integrando: ( )r E Trdr Ar Br2 2 28 3 2 2 σ ρω ν α= − + − + −∫r 4 onde -B é a constante de integração. Calculando σr: ( )σ ν ρω αr A Br r E r Trdr= − − + − ∫2 2 2 23 8 (9.24) Eliminando σr em (9.23) e (9.24) calculamos σH: ( )σ ν ρω α αH A Br r E Trdr= + − + − ∫2 2 21 3 8 T + Er 2 (9.25) As equações (9.24) e (9.25) fornecem as variações das tensões radiais e circunferenciais, em função de “r”, para discos de espessura constante sob pressão, rotação e variação de temperatura. Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 154 Observemos que: σ r A Br= − 2 é a equação de Lamé, para a tensão radial, aplicada à cilindros de parede espessa sob pressão (interna e ou externa). ( )σ ν ρωr A Br r= − − + 2 2 2 3 8 permite o cálculo de σr para discos em rotação sob temperatura constante. O termo entre colchetes aparece como conseqüência da rotação do disco. ( )σ ν ρω αr A Br r E r Trdr= − − + − ∫2 2 2 23 8 permite o cálculo de σr para discos em rotação sob variação de temperatura. O termo entre colchetes aparece como resultado da variação de temperatura. Análise idêntica pode ser feita para o cálculo da tensão circunferencial. A solução de (9.24) e (9.25) é conseguida quando se conhece a relação de T com r, ou seja, de que forma a temperatura varia através do raio do disco. Devido ao processo como (9.24) e (9.25) foram deduzidas, os efeitos devido a pressão, rotação e térmico podem ser considerados simultaneamente e os valores de A e B são encontrados pelas condições de contorno. Para uma variação de temperatura de forma linear de T = 0, para r = 0, ou seja, se: T = kr, então, se não houver rotação: σ αr A Br E= − −2 kr3 (9.26) σ αH A Br E= + +2 2 kr3 (9.27) Nas aplicações práticas onde a temperatura é mais elevada na parte interna do disco de parede espessa do que na parte externa, as tensões térmicas são positivas na superfície externa e de compressão na interna. Este fato é considerado como favorável nas aplicações em cilindros de parede espessa sob pressão interna, pois tende a reduzir as tensões de tração elevadas na superfície interna provocadas pela pressão interna. BIBLIOGRAFIA DEN HARTOG, J. P., Advanced Strength of Materials, McGraw-Hill Book Company, U.S.A., 1952. HEARN, E. J., Mechanics of Materials, 1ª ed., Pergamon Press Ltd., Gt. Britain (Page Bros. Ltd., Norwich). FEODOSIEV, V. I., Resistencia de Materiales, Editorial Mir, Moscou, 1992. Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 155 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ¾ Exercício 9.1 Determinar a tensão circunferencial no raio interno e externo de um disco de aço de 300 mm de diâmetro, tendo um furocentral de 100 mm de diâmetro, sabendo-se que é feito para rodar a 5000 rpm. Qual é a posição e a intensidade da máxima tensão radial? Dados: Massa específica do aço: 7470 kg/m3 Coeficiente de Poisson: 0,3 Módulo de elasticidade: 208 GN/m2 Solução: R1 = 50 mm; R2 = 150 mm; s/rad52430 n. == πω ( ) ( ) +− +++= 22 2 2 2 12 2 2 1 2 H r.31r R.R RR.3 8 υυρωσ ( ) ( )[ ]2222250H 05,0.9,115,015,005,0.3,38524.7470 −++=σ 250 H m/MN39=σ ; 2150H m/MN11=σ m087,0R.Rr 21 == ; 287H m/MN24=σ ( ) −−++= 22 2 2 2 12 2 2 1 2 r r.r R.R RR 8 3 ρωυσ ; 287r m/MN4,8=σ • Para r = 50 mm ⇒ 0,m/MN39 3221 === σσσ • Para r = 87 mm ⇒ 0em/MN4,8,m/MN24 32221 === σσσ • Para r = 150 mm ⇒ 0,m/MN11 3221 === σσσ 31 max eq σσσ −= ⇒ σeqmax = 39 MN / m2 (r = 50 mm) • Cálculo de ∆R = s na face interna: ( ) ( ) 69 3 rH 10.0.3,03910.208 10.50s. E 1 R s −=∴−= − συσ s = 9,4.10 –6 m ⇒ s = 9,4.10 –3 mm Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 156 ¾ Exercício 9.2 Um disco sólido de aço, de 300 mm de diâmetro e de espessura constante, tem um anel de aço de 450 mm de diâmetro externo e mesma espessura acoplado a ele. Se a tensão de interferência é reduzida a zero quando a velocidade de rotação atinge 3000 rpm, calcular: a) a pressão radial na interface, quando parado. b) a diferença de diâmetro entre as superfícies acasaladas, disco e anel, antes da montagem. Dados: Massa específica do aço: 7470 kg/m3 Coeficiente de Poisson: 0,3 Módulo de elasticidade: 207 GN/m2 Solução: (à 3000 rpm anel e eixo giram sem interferência) Aumento do raio do eixo: ( ) ( )[ ]222H r.31R.38 υυρωσ +−+= [ ] 26222150H m/N10.9,215,0.9,115,0.3,38314.7470 =−=σ ( ) 0;. E R. E Rs rHrHeixo ==−= σσσυσ m10.1,210.9,2. 10.207 15,0s 669eixo −== Aumento do raio interno do anel: ( ) ( ) +− +++= 22 2 2 2 12 2 2 1 2 H r.31r R.R RR.3 8 υυρωσ ( ) ( )[ ] 262222150H m/N10.7,3315,0.9,12.225,015,0.3,38314.7470 =−+=σ )0(m10.4,210.7,33. 10.207 15,0s r 56 9anel === − σ interferência radial = (R1 + sanel) – (R + seixo); (R1 = R) interferência radial = 2,4.10 –5 – 2,1.10 –6 = 2,19.10 –5 m interferência diametral = (2,19.10 –5).2 = 4,38.10 –5 m Pressão de contato: ( )Hi0H5i0 E R10.19,2 σσδδ −==+ − p6,2,p 0HHi =−= σσ ⇒ p).16,2(10.207 15,010.19,2 9 5 +=− p = 8,4 MN / m2 Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 157 ¾ Exercício 9.3 Um disco de aço de 3 in de raio interno e 15 in de raio externo, é acoplado contra um eixo, também de aço, e a interferência radial, quando parado, é de 0,003 in. Pede- se: a) velocidade angular, w, para a qual a interferência desaparece como resultado da rotação. b) tensão circunferencial na face interna do disco com a velocidade acima. Dados: E = 30.106 lbf/in2 γ = 0,28 lbf/in3 ν = 0,3 g = 386 in/s2 ρ = γ/g Solução: in003,0i0 =+ δδ , ρ = γ / g = 0,28 / 386 Quando o conjunto girar à velocidade ω: sd - se = 0,003 in (d – disco; e – eixo) Cálculo de sd à velocidade ω - sem interferência: ( ) ( ) +− +++= 22 2 2 2 12 2 2 1 2 H r.31r R.R RR.3 8 υυρωσ ( ) ( )[ ] 222223H 136,03.9,12.153.3,38.386.28,0 ωωσ =−+= 2 6d 136,0.10.30 3s ω= Cálculo de se à velocidade ω - sem interferência: ( )[ ] 223H 00114,09.9,19..3,38.386 .28,0 ωωσ =−= 2 6e 00114,0.10.30 3s ω= 003,0i0 =+ δδ = sd - se 003,0)00114,0136,0.( 10.30 .3 6 2 =−ω ω ≅ 472 rad / s Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 158 ¾ Exercício 9.4 Determinar a velocidade angular máxima, w, que um disco de aço de 150 mm de raio externo e 50mm de raio interno pode girar, sem escoar, sabendo-se que o material do disco possui: Syt = 500 MN/m2. Usar a teoria da máxima tensão tangencial e considerar o ponto mais perigoso como o ponto mais interno (r = R1). Trabalhar com quatro casas decimais após a vírgula. Dados: ρ = 7470 kg/m3 ν = 0,3 E = 207.109 N/m2 Solução: Ponto mais perigoso ocorre para: 0Rr Rr r1 max H1 =⇒= ⇒= σ σ ( ) ( )[ ] 2222250H 93,14105,0.9,12.15,005,0.3,38.7470 ωωσ =−+= Ponto na face interna: 0,3,141 32 2 1 === σσωσ 62 31eq 10.50093,141 ==−= ωσσσ ω ≤ 1877 rad / s Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 159 ¾ Exercício 9.5 Determinar a tensão circunferencial que aparece na face interna de um rotor com ranhuras, com as dimensões indicadas abaixo, quando ele gira a 1800 rpm. Dados: γ = 0,28 lbf/in3 ν = 0,3 g = 386 in/s2 Solução: r.. g .dVa.dmdF 2n ωγ== θωγωγθ d.dr.r. g b..r.. g .b.dr.d.rdF 2 2 2 == (b – largura do disco) −== ∫ ∫ 3 1626g b...2d.dr.r.g b..F 33226 16 2 0 2 2 ωγπθωγ π 2 332 in/lb7238 3 1626. g.16 . b.16.2 Fp = −== ωγπ 8 r..).3( r BA 22 2r ωρυσ +−−= σr = 0 para r = 4” σr = 7238 para r = 16” 99956B0040A 9169B0630A ,, ,, =− =− B = 0,17.106 ; A = 10620 8 r..)..31( r BA 22 2H ωρυσ +−+= 8386 51881628091 16 1017010620 26 4 H . ,.., .,., −+=σ σ H4 = 21139 lb / in2 Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 160 ¾ Exercício 9.6 Um pequeno disco de aço, inicialmente sem tensão, de raio interno 0,2m e externo 0,3m, é sujeito a uma distribuição de temperatura da forma T = a + b.ln(r), para assegurar fluxo constante de calor através da parede do cilindro. As tensões são dadas pelas fórmulas abaixo: ( )σ α νr A B r ET= − − −2 2 1 ( ) ( )σ α ν α νH A B r E T E b= + − − − −2 2 1 2 1 Se a temperatura na superfície interna e externa é mantida à 200ºC e 100ºC, respectivamente, determinar a máxima tensão circunferencial que acontece na parede do cilindro. Para o aço: E = 209 GN/m2, ν = 0,3, α = 11.10-6/ºC Solução: Cálculo de “b”. T = a + blnr 200 = a + bln(0,2) 100 = a + bln(0,1) b = -249 αE/2(1-ν) =11.10-6 .209.109 /2.09 = 1,6.106 Condições de contorno: Para r = 0,3, σr =0 e T = 100 Para r = 0,2, σr =0 e T = 200 B = -11,5.106 e A = 0,32.108 Entrando com esses valores na expressão de σH temos: Tensão circ. na face interna = -180MN/m2 Tensão circ. na face externa = 140MN/m2 ¾ Exercício 9.7 Determine as expressões para as tensões radiais e circunferenciais desenvolvidas em um disco sem furo de raio R, quando sujeito à um gradiente térmico da forma: T = kr. Determine a posição e a intensidade das máximas tensões que ocorrem no disco de 150 mm de diâmetro quando a variação de temperatura é 150ºC. E = 206,8GN/m2, α = 12.10-6/ºC Usar as expressões (9.24) e (9.25). Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 161 Solução: 2 2 2 2 3 2 r H2 2 , mas: Trdr , a constante de integração será assimilada por A 3 logo : e 3 3 r H B EA Trdr r r B EA Trdr ET r r rK r dr k B EKr B EKrA A EKr r r ασ ασ α α ασ σ α = − − = + + − = = = − − = + + − ∫ ∫ ∫ ∫ Como as tensões no centro do disco não são infinitas (r=0) , B deve ser zero e B/r2 =0 . Outracondição: σr =0 para r =R. 0 = A - αEKR/3 → A = αEKR/3 Substituindo e simplificando: σr = αEK(R - r)/3 e σH = αEK(R - 2r)/3 A variação das duas tensões com o raio é linear e em ambos os casos os valores máximos ocorrem no centro: σrmáx =σHmáx = αEKR/3 = 12.10-3. 206,8.109 .K .0,095/3 Mas: T = Kr Para r = 0, T = 0 no centro do disco. Para uma variação de temperatura de 150º C, o valor de T para r =R é 150º. Logo : 150 = K.0,095 K = 2000 º/m, logo: Tensão circ. máxima = tensão radial máxima = 124MN/m2 Quais seriam os valores das tensões se a temperatura do centro do disco for 30ºC, a variação de temperatura 150ºC e o gradiente térmico dado por: T = a+br? ( )Trdr a br rdr ar br∫ ∫= + = +2 32 3 A constante de integração será assimilada por A Então: σ αr A Br E r ar br= − − + 2 2 2 3 2 3 σ α αH A Br E r ar br ET= + + + −2 2 2 3 2 3 onde T = a + br Na face interna do disco, r = 0, T = 30ºC 30 = a+b.0, a = 30 Na face externa: T = 30+150 = 180 180 = a+b(0,095) 150 = 0,095.b, b = 2000 Substituindo e lembrando que B/r2 = 0; A = 161,5.106 Resp. Tensão radial no centro = 124,3MN/m2 Tensão circ. no centro = 124,3MN/m2 Unidade 9 – DISCOS DE ESPESSURA CONSTANTE QUE GIRAM À GRANDE VELOCIDADE Página 162 ¾ Exercício 9.8 Determine as expressões para as tensões desenvolvidas em um disco com furo sujeito a um gradiente térmico da forma: T = -kr. Qual é a máxima tensão circunferencial e radial neste caso se os diâmetros interno e externo são 80mm e 160mm, respectivamente? A temperatura no raio externo é -50ºC. E = 206,8GN/m2, α = 12.10-6/ºC Solução : 2 2 2 2 3 r 2 constante 3 A constante será assimilada por A, logo : 3 r H B EA Trdr r r B EA Trdr ET r r rT Kr Trdr K B EKrA r ασ ασ α ασ = − − = + + − = − ∴ = − + = − + ∫ ∫ ∫ r = R2 = 80, T = -50 Resp. Tensão circ. na face interna = -33,98MN/m2 Tensão circ. na face externa = 28,46MN/m2
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