F2 OscilacoesEOndas

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CEFET - RJ
Uned Angra dos Reis
1 O oscilador harmoˆnico
Figure 1: A natureza da´ a b**** para o oscilador harmoˆnico, segundo o professor Josue´, homenageado neste ano
pela UFC
Sistemas oscilato´rios dominam todas as a´reas da fı´sica e das engenharias. Um peˆndulo desviado de seu ponto
de equilı´brio tende a voltar a`quela posic¸a˜o por forc¸as restauradoras internas do material de que e´ feito. O som que
ouvimos e´ uma combinac¸a˜o extremamente cuidadosa entre oscilac¸o˜es de densidade, pressa˜o e de deslocamento
de camadas de ar; exemplos devem ser infinitos e talvez o professor Josue´ esteja mesmo certo nesse sentido
A maneira usual que tratamos as oscilac¸o˜es no curso de fı´sica 1 foi o de descrever a energia potencial U(r) de
um sistema conservativo, o qual, pro´ximo ao ponto de equilı´brio, pode ser aproximado em uma func¸a˜o parabo´lica,
admitindo soluc¸o˜es perio´dicas com ponto de eqiuilı´brio no ponto de mı´nimo do potencial U e com pontos de
retorno nos valores ma´ximos alcanc¸ados para a energia potencial do sistema
Como exemplo, podemos tomar o caso de um sistema massa mola, onde para pequenos deslocamentos da
posic¸a˜o de equilı´brio a forc¸a e´ tida como restauradora
F(x) = −kx (1)
onde k e´ a constante ela´stica da mola enquanto x e´ o deslocamento, em metros, de uma massa na ponta da mola da
posic¸a˜o relaxada da mola. A energia potencial da mola e´ facilmente calculada com o auxı´lio da func¸a˜o trabalho,
que e´ igual ao negativo da energia potencial, dando que
U(x) =
1
2
kx2. (2)
A equac¸a˜o de movimento resultante pode ser obtida tanto por me´todos de conservac¸a˜o de energia quanto pela
segunda lei de Newton, resultando em
m
d2x
dt2
= −kx (3)
Devido a`s configurac¸o˜es deste exemplo, ele e´ chamado de oscilador harmoˆnico unidimensional e, observa-se,
muitos sistemas naturais obedecem a esse tipo de descric¸a˜o, desde que os deslocamentos das quantidades fı´sicas
1
descritas sejam pequenas: no caso de um sistema massa-mola, se os deslocamentos na˜o forem suficientemente
pequenos, pode ocorrer distorc¸o˜es ı˜rreversı´veis da mola e, assim, a forc¸a ela´stica dela ja´ na˜o devera´ mais ser dada
pela lei de Hooke (1), de modo que precisaremos de formulac¸o˜es na˜o lineares, as quais fogem dos objetivos deste
curso
O objetivo principal deste capı´tulo e´ o de estudar sistemas cujas equac¸o˜es sejam dadas na forma de (3) e que,
nos casos gerais, sera˜o dadas na forma
x¨+ω2x = 0 (4)
onde a frequeˆcia angular ω sera´ especificada para cada problema em particular. A partir daı´, procuraremos as
soluc¸o˜es possı´veis para as equac¸o˜es na forma de (4) e o nosso trabalho sera´ simplesmente ajustar as condic¸o˜es de
contorno de cada problema, encontrando ω e os valores para a amplitude de movimento e a fase inicial
1.1 Oscilac¸o˜es Harmoˆnicas
Um lembrete: nos cursos de mecaˆnica ba´sica fomos capazes de concluir que o problema geral era o de encontrar
soluc¸o˜es para as equac¸o˜es de movimento de algum problema dado; encontra´vamos as soluc¸o˜es gerais e, em
seguida, aplica´vamos as condic¸o˜es de contorno para que as soluc¸o˜es ficassem unı´vocas, ou seja, so´ se referissem
a`quele problema especı´fico
Aqui na˜o e´ diferente. Tanto e´ que oscilac¸o˜es harmoˆnicas sa˜o soluc¸o˜es, equac¸o˜es de movimento, de sistemas
conservativos e restauradores. Nos primeiros to´picos estudados, no caso de MRUV, a situac¸a˜o era dada por
d2x
dt2
= a (5)
onde a e´ uma acelerac¸a˜o constante. A soluc¸a˜o dela e´ dada por
x(t) = x(0)+ v(0)t+
1
2
at2, (6)
onde as constantes x(0) e v(0) sa˜o obtidas com dados especı´ficos do problema:
x(0) = x0
dx
dt
(0) = v0
(7)
As soluc¸o˜es sa˜o dadas pelo me´todo das equac¸o˜es diferenciais caracterı´sticas1, que consiste em supor uma
soluc¸a˜o perio´dica para a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de movimento x(t)
x(t) = eiωt (8)
de modo que podemos facilmente substituir na equac¸a˜o de movimento (3), resultando em
mω2eωt = −keωt , (9)
de tal forma que obtemos a soluc¸a˜o em termos de ω , que chamamos de frequeˆcia natural de oscilac¸a˜o
ω =
√
k
m
(10)
e enta˜o a soluc¸a˜o pode ser dada por
x(t) = ei
√
k/mt . (11)
1E´ o me´todo mais simples que se tem para resolver equac¸o˜es diferenciais de ordens 2 em diante; qualquer livro, por pior que seja, sera´
capaz de explicar esse me´todo de maneira que tenhamos tudo o que precisamos
2
Observe agora uma outra situac¸a˜o: em vez de considerar a proposta de soluc¸a˜o (8), use agora que
x(t) = e−iωt (12)
e observe que ela tambe´m satisfaz a` equac¸a˜o diferencial (3). Dessa forma, tem-se duas soluc¸o˜es distintas que satis-
fazem uma mesma equac¸a˜o diferencial. Por isso, podemos invocar ao conceito de linearidade das soluc¸o˜es: se uma
equac¸a˜o diferencial tem x1 e x2 como soluc¸o˜es, enta˜o a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ uma combinac¸a˜o
linear entre as soluc¸o˜es encontradas. Assim, a soluc¸a˜o geral para (3) e´ a combinac¸a˜o linear
x(t) = a1eiωt +a2e−iωt (13)
onde as constantes a1 e a2 sa˜o determinadas a partir das condic¸o˜es iniciais de cada problema especı´fico.
1.1.1 Exercı´cios
1. A fo´rmula de Euler: considere a equac¸a˜o diferencial
d f
dt
= λ f
f (0) = 1
(14)
(a) Mostre que f (x) = eix e´ soluc¸a˜o e satisfaz a` condic¸a˜o de contorno
(b) Mostre que f (x) = cosx+ isenx tambe´m e´ soluc¸a˜o e satisfaz a` mesma equac¸a˜o diferencial
(c) Com a igualdade de condic¸o˜es dos dois itens anteriores, somos obrigados a concluir que se duas
func¸o˜es satisfazem uma mesma equac¸a˜o diferencial e a`s mesmas condic¸o˜es de contorno, enta˜o as
func¸o˜es sa˜o iguais, ou seja:
eix = cosx+ isenx (15)
que e´ a equac¸a˜o de Euler
(d) Mostre que f (x1+ x2) = f (x1) f (x2) para ambos os lados da equac¸a˜o de Euler
(e) Mostre que
e−ix = cosx− isenx (16)
(f) Mostre que
cos(x) = R
(
eix
)
=
1
2
(
eix+ e−ix
)
sen(x) = I
(
eix
)
=
1
2i
(
eix− e−ix) (17)
2. Forma polar de um nu´mero complexo: Das equac¸o˜es (17), temos uma maneira interessante de ver o nu´mero
complexo e±ix. Se considerarmos um eixo cartesiano onde a abscissa representaria a parte real e a ordenada
representasse a parte imagina´ria de um nu´mero complexo, enta˜o um ponto P = z neste plano poderia ser
decomposto por z= x+ iy= R(z)+ iI(z) ou ainda por ρ(cosθ + isenθ) onde ρ seria o mo´dulo do nu´mero
complexo, dado por ρ =
√
x2+ y2. Um nu´mero complexo escrito na forma z= ρeiθ tem, enta˜o, duas partes,
onde ρ e´ definido como o mo´dulo e eiθ e´ definida como a fase de um nu´mero complexo. Mostre que
(a) e±ipi/2 =±i
(b) e±ipi =−1
(c) e2ipi = 1
(d) z1z2 = r1eiθ1r2eiθ2 = r1r2ei(θ1+θ2)
3
Figure 2: Forma polar de um nu´mero complexo
(e)
z1
z2
=
r1
r2
ei(θ1−θ2)
(f) ea+ib = ea(cosb+ isenb)
(g)
d
dt
z=
dx
dt
+ i
dy
dt
3. Mostre que se a soluc¸a˜o geral de um oscilador harmoˆnico e´ dada por
x(t) = a1eiωt +a2e−iωt (18)
enta˜o essa mesma soluc¸a˜o pode ser dada por
x(t) = acos(ωt)+bsen(ωt) (19)
e encontre a e b em termos de a1 e a2.
4. Suponha que as amplitues de oscilac¸a˜o a e b sa˜o tais que elas teˆm os mesmos valores ma´ximos e mı´nimos,
”mas na˜o na mesma hora”; uma maneira de usar essa informac¸a˜o e´ usar que a = Acosφb = −Asenφ (20)
onde φ e´ uma constante de fase a ser definida nas condic¸o˜es iniciais do problema. Use as informac¸o˜es acima
para encontrar que a soluc¸a˜o geral (19) pode ser dada por
x(t) = Acos(ωt+φ) (21)
e encontre A, cosφ e senφ em termos de a e b
1.2 Interpretac¸a˜o Fı´sica dos paraˆmetros
Uma forma muito aceita das soluc¸o˜es para as equac¸o˜es de movimento dos hosciladores harmoˆnicos e´ a dada na
forma (21), que e´ uma soluc¸a˜o que oscila dentro do intervalo de valores ma´ximos para |x(t), que sa˜o A e −A e,
por isso, A e´ chamado de amplitude de oscilac¸a˜o
4
Ale´m do mais,a func¸a˜o cos(ωt+φ) e´ uma func¸a˜o perio´dica que perı´odo 2pi no argumento ωt e, por isso, o
perı´odo de oscilac¸a˜o τ e´ dado por
2pi = wτ ⇒ τ = 2pi
ω
=
1
f
(22)
onde f e´ a frequeˆcia de oscilac¸a˜o da soluc¸a˜o; a frequeˆncia f mede o nu´mero de ciclos por segundo e, por isso,
sua unidade e´ o Hertz. Note a diferenc¸a sutil entre w e f : ω chama-se frequeˆncia angular - exatamente como a
velocidade angular no MCU - que tambe´m e´ medida em 1/s, mas na˜o se costuma usar Hertz como unidade para
ω
Figure 3: Variac¸a˜o de φ no MHS
O argumento da func¸a˜o cosseno em (21)
θ(t) = ωt+φ (23)
chama-se fase do movimento e φ e´ nada mais que a fase inicial, a
fase quando t = 0. Para cada valor de φ tem-se um valor diferente
para o inicio da func¸a˜o em t = 0. Ha´ onsiderac¸o˜es interessantes
quando comparamos as soluc¸o˜es de acordo com a defasagem rel-
ativa φ : quando a defasagem e´ φ = 0, temos oscilac¸o˜es coerentes;
quando duas oscilac¸o˜es esta˜o defasadas por φ = pi/2, observa-
mos que quando uma esta´ no valor ma´ximo, a outra e´ nula e
quando uma esta´ no valor mı´nimo, −A, a outra tambe´m e´ nula,
por isso essa defasagem leva o nome de quadratura; quando a
defasagem e´ de φ = pi , temos que para cada valor do argumento
de uma func¸a˜o, tem-se o oposto na outra e, por isso, chamamos
essa defasagem relativa de oposic¸a˜o de fase
Da frequeˆncia natural de oscilac¸a˜o dada em (10), tem-se que
ω2 =
k
m
; (24)
como a constante ela´stica k e´ medida em Newtons por metros,
tem-se que as unidades de ω2 sa˜o dadas por Newtons po metro
vezes massa, que significa a quantidade de forc¸a restauradora por
unidade de deslocamento e por unidade de massa. Observe que ela
na˜o depende da amplitude de oscilac¸a˜o. Esses comportamentos
servem tambe´m para sistemas oscilato´rios em geral e podem ser
interpretados como: quanto maior a forc¸a restauradora por unidade de deslocamento do equilı´brio e quanto menor
a massa, mais ra´pidas sa˜o as oscilac¸o˜es
1.2.1 Ajuste das condic¸o˜es de contorno
A velocidade do oscilador harmoˆnico e´ obtida atrave´s da equac¸a˜o (21) com
v(t) =
dx(t)
dt
= −ωAsen(ωt+φ) (25)
tal que para satisfazer as condic¸o˜es iniciais deve-se ter x(0) = Acosφv(0) = −ωAsenφ (26)
de modo que a soluc¸a˜o geral (19) por
x(t) = x0 cos(ωt)+
v0
ω
sen(ωt) (27)
5
e onde encontra-se que 
A =
√
x20+
v20
ω2
cosφ =
x0
A
senφ = − v0
ωA
(28)
Figure 4: Variac¸a˜o de φ no MHS
Observe agora a equac¸a˜o para a ve-
locidade do OHS dada em (25); ob-
serve que enquanto a posic¸a˜o e´ dada pela
func¸a˜o cosseno, a velocidade depende do
seno; observe tambe´m que cos(θ+pi/2) =
−senθ . Analisando essas duas func¸o˜es,
somos capazes de concluir que
As func¸o˜es posic¸a˜o e velocidade no
MHS esta˜o em quadratura, o que quer dizer
- veja a Figura (4) - que a velocidade
aparece adiantada em pi/2 com relac¸a˜o
ao deslocamento; isso significa que nas
posic¸o˜es de deslocamento ma´ximo, temos
as menores velocidades - caracterizando
as proximidades dos pontos de retorno -
e, vice versa, os ma´ximos de velocidade
sa˜o os pontos mais pro´ximos do ponto de
equilı´brio
Observa-se a mesma defasagem, quadratura,
entre as func¸o˜es velocidade e acelerac¸a˜o;
isso significa dizer que os pontos de
maiores valores para velocidade sa˜o os
pontos de menores acelerac¸o˜es, ou seja,
menores valores para a forc¸a restauradora
ela´stica, caracterizando as proximidades
do ponto de equilı´brio; por outro lado, os
maiores valores para a acelerac¸a˜o - que sa˜o
os maiores valores para a forc¸a ela´stica -
ocorrem nos pontos de menores valores para a velocidade, caracterizando as proximidades dos pontos de retorno
Na mesma Figura, observa-se a mesma defasagem, quadratura, e´ observada entre as func¸o˜es velocidade e
acelerac¸a˜o; isso quer dizer que . Interessante observar que a posic¸a˜o e a acelerac¸a˜o esta˜o, assim, defasadas em
pi , caracterizando uma oposic¸a˜o de fase: o ma´ximo da acelerac¸a˜o implica num deslocamento ma´ximo, mas em
sentido contra´rio; e, vice versa
1.2.2 Energia do oscilador
Pode-se calcular muito facilmente as energias cine´ticas e potencial para o OHS:
K =
1
2
mv2 =
1
2
mω2A2sen 2(ωt+φ)
U =
1
2
kx2 =
1
2
mω2A2 cos2(ωt+φ)
(29)
6
onde, na equac¸a˜o para a energia potencial foi usado que ω2 = k/m. Somando membro a membro, tem-se a energia
total do sistema:
E = K+U
(30)
=
1
2
mω2A2 (31)
que e´ constante durante todo o movimento2. Observe que a energia total do OHS e´ proporcional: ao quadrado
da frequeˆcia, o que significa que quanto maior a frequeˆncia angular do OHS, mais energe´tico ele e´; e tambe´m
ao quadrado da amplitude, mostrando que quanto maior a amplitude, muito maior e´ a energia do oscilador. A
Figure 5: Balanc¸o de energia cine´tica e potencial para osciladores harmoˆnicos conhecidos: peˆndulo simples e
sistema massa-mola
Figura (1.2.2) mostra o comportamento das energias mecaˆnicas de dois osciladores harmoˆnicos simples; levando
em conta que o sistema seja conservativo, encontramos uma maneira de visualizar o conceito de transformac¸a˜o de
energias mecaˆnicas ∆K =−∆U
Se uma func¸a˜o f (s) e´ definida dentro de um intervalo definido e invaria´vel, por exemplo, 0≤ s≤ τ , define-se
a me´dia f (s) dessa func¸a˜o como
f (s) =
1
τ
∫ τ
0
f (s)ds. (32)
Com essa definic¸a˜o, e´ fa´cil mostrar que
K = U
=
1
2
E
=
1
4
mω2A2 (33)
2Claro, pois o sistema e´ conservativo!
7
o que quer dizer que a energia cine´tica me´dia por unidade de perı´odo e´ igual a` energia potencial me´dia por unidade
de perı´odo; ambas me´dias sa˜o iguais, portanto, a` metade da energia total do OHS
Pode-se encontrar a energia cine´tica para cada ponto no do OHS: sabendo que a energia total do OHS e´ igual
a` energia potencial ela´stica do ponto de retorno, tem-se
E = K+U
⇒ K = E−U
K =
1
2
k(A2− x2) (34)
Figure 6: Variac¸a˜o de K e U no MHS
Observe a Gigura (6). Como o gra´fico
da energia potencial U(x) e´ uma para´bola
com concavidade para cima e com centro
no ponto de equilı´brio e limitada aos pon-
tos de retorno, a energia cine´tica K tem que
ser igual a uma para´bola com concavidade
para baixo, tambe´m com centro no ponto
de equilı´brio e limitada aos pontos de re-
torno
Observe a equac¸a˜o (34). Lembrando
que
v =
dx
dt
,
pode-se encontrar a velocidade em qual-
quer ponto x por
v(x) =
√
k
m
√
A2− x2 (35)
mostrando que a velocidade chega a zero
quando x=±A, nos pontos de retorno.
1.3 Aplicac¸o˜es
E´ nesta parte que vemos a enorme quantidade de sistemas oscilato´rios que teˆm equac¸o˜es de movimento dadas por
(3), comec¸ando de sistemas macrosco´picos ate´ a sistemas quaˆnticos
1.3.1 O peˆndulo de torc¸a˜o
Figure 7: Variac¸a˜o de K e U no MHS
Este e´ um dos dispositivos macrosco´picos mais sensı´veis ja´ de-
senvolvidos; ja´ foi usado para, por exemplo, determinar o valor
da constante gravitacional G, no se´culo XVII, com precisa˜o na or-
dem de uma parte a cada 100 000. O dispositivo consiste de um
fio suspenso a um teto por uma das pontas enquanto que na outra
se tem um disco com graduac¸a˜o angular; nos casos em que se pre-
cisa de maior precisa˜o, se coloca um espelho no disco de forma a
acusar o menor deslocamento angular possı´vel com instrumentos
de medidas o´ticos capazes de descobrir variac¸o˜es de tamanhos de
comprimento de arco da ordem de nanometros
Para qualquer deslocamento angular φ , existira´ um torque
restaurador τ com resposta linear - semelhante a` resposta da Lei
de Hooke - na forma
τ = −kφ (36)
8
onde k e´ o mo´dulo de torc¸a˜o ela´stica que depende puramente do material, do comprimento e do diaˆmetro do fio; o
sinal negativo mostra que a forc¸a e´ sempre restauradora. Se o momento de ine´rcia com relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜oque passa pelo centro do disco e´ I, enta˜o a “segunda lei de Newton” nos da´
Iφ¨ =−kφ , (37)
que e´ uma equac¸a˜o da forma de (4) onde a frequeˆncia angular e´ dada por
ω2 =
k
I
(38)
As soluc¸o˜es sa˜o, enta˜o, dadas por
φ(t) = φ0 cos(ωt+ϕ) (39)
onde φ0 e ϕ sa˜o dadas por condic¸o˜es de contorno especı´ficas em cada problema
1.3.2 O peˆndulo simples
Figure 8: Variac¸a˜o de K e U no MHS
O peˆndulo simples consiste de uma partı´cula de massa
m presa a um fio inextesı´vel de comprimento l e que
oscila pro´ximo ao ponto de equilı´brio do sistema em
aˆngulos pequenos. Fora do ponto de equilı´brio, a
massa executa uma trajeto´ria circular de raio l sob a
ac¸a˜o da forc¸a peso p = mg que, nesse caso, tem o pa-
pel de uma forc¸a restauradora. Aplicando a segunda
lei de Newton, tem-se duas equac¸o˜es de movimento,
sendo uma angular e outra radial, dadas por
mar =−mlθ˙ 2 = mgcosθ +mv
2
l
−T
maθ = mlθ¨ = −mgsenθ
(40)
Sobre essas equac¸o˜es, temos alguns fatos a consid-
erar:
1) que o fio do peˆndulo e´ inextesı´vel, o que implica que
na˜o haja variac¸a˜o radial, muito menos acelerac¸a˜o ra-
dial; por isso, a primeira das equac¸o˜es e´ nula, levando
ao fato de que a tensa˜o no fio seja dada por
T = mgcosθ +m
v2
l
, (41)
onde o u´ltimo termo e´ se refere a` acelerac¸a˜o centrı´peta
devido ao movimento circular uniforme, mostrando
que a tensa˜o na corda depende da posic¸a˜o angular do
peˆndulo e da velocidade, dando que a tensa˜o e´ maior
em θ = 0, exatamente onde a velocidade e´ a ma´xima
2) A equac¸a˜o angular tem a forma da equac¸a˜o (4)
com
ω =
√
g
l
(42)
que e´ a frequeˆncia angular de um peˆndulo simples. Observe que a frequeˆcia independe da massa, mas somente do
comprimento l do fio. O perı´odo de oscilac¸a˜o do peˆndulo e´ dado por
τ =
2pi
ω
= 2pi
√
l
g
, (43)
9
mostrano que o perı´odo de oscilac¸a˜o e´ independente da amplitude do movimento: isso quer dizer que peˆndulos
constituı´dos de fios com os mesmos comprimentos teriam o mesmo perı´odo de oscilac¸a˜o mesmo se tiverem am-
plitudes de oscilac¸o˜es diferentes3
A energia cine´tia do peˆndulo e´ dada por
K =
1
2
mv2 =
1
2
ml2ω2 (44)
enquanto que a energia potencial e´ dada por
U = W0→θ =
∫ θ
0
mgsenθ ′ l dθ ′
= mgl (1− cosθ)
(45)
1.3.3 O peˆndulo fı´sico
Figure 9: Variac¸a˜o de K e U no MHS
o peˆndulo simples e´ uma idealizac¸a˜o de um sistema
que executa um MHS e que em certas circunstaˆncias
teˆm condic¸o˜es difı´ceis de serem satisfeitas. Um
peˆndulo fı´sico ja´ considera que qualquer corpo rı´gido
suspenso por qualquer ponto pode executar movimen-
tos harmoˆnicos simples em torno de um eixo horizon-
tal; este dispositivo tambe´m e´ chamado de peˆndulo
composto. A situac¸a˜o fı´sica pode ser resumida em:
um corpo pendurado onde o centro de massa oscila em
torno de um ponto de equilı´brio
Seja G a posic¸a˜o do centro de massa de uma barra
a uma distaˆncia s do ponto de suspensa˜o O. Se θ e´ o
aˆngulo formado entre o eixo que liga G a O em relac¸a˜o
ao eixo vertical, o torque τ com relac¸a˜o a O e´
τ = −mgssenθ (46)
Se I e´ o momento de ine´rcia do peˆndulo com
relac¸a˜o ao eixo que passa por O, enta˜o a equac¸a˜o de
movimento resulta em
τ = Iα
τ = I
d2θ
dt2
⇒ I d
2θ
dt2
= −mgssenθ
⇒ I d
2θ
dt2
≈ −mgsθ (47)
que tem a mesma forma da equac¸a˜o (3); de fato, e´
uma equac¸a˜o diferencial ideˆntica a` do movimento do
peˆndulo onde o comprimento do fio deve ser sub-
stituı´do por
l =
I
ms
(48)
3Desde que se respeite a condic¸a˜o de que senθ ≈ θ
10
1.3.4 O Peˆndulo para grandes amplitudes de oscilac¸a˜o
Ja´ vimos que se pode escrever a energia total do peˆndulo, de fio inextensı´vel de comprimento l, apenas em termos
de θ :
E =
1
2
ml2θ˙ 2+mgl(1− cosθ), −pi < θ ≤ pi. (49)
Nada impede que se trate todo o problema para os casos em que θ ∈ [−∞,∞], mas se o sistema for conservativo,
o balanc¸o de energia sera´ o mesmo para qualquer translac¸a˜o de ±2npi, n ∈ N. Assim, as energias potencial e
cine´tica sa˜o func¸o˜es perio´dicas de perı´odos 2pi e continuam defasadas entre si por pi/2. A forc¸a restauradora sera´
F(θ) = −∇U =− dU
d(lθ)
=−mgsenθ (50)
onde e´ possı´vel encontrar os pontos de equilı´brio em func¸a˜o de θ diretamente: F = 0⇒ θ = 0, pi , cujas energias
de equilı´brio se obteˆm fazendo dotθ = 0, obtendo E = 0 para θ = 0 e para θ = pi tem-se
E = E0 = 2mgl; (51)
estes pontos de equilı´brio correspondem aos casos onde tem-se a situac¸a˜o de equilı´brio esta´vel e quando o peˆndulo
esta´ sobre uma situac¸a˜o de equilı´brio insta´vel, respectivamente. Na situac¸a˜o de equilı´brio esta´vel, o peˆndulo esta´
na posic¸a˜o mais baixa, com o fio na horizontal; na situac¸a˜o insta´vel, ele esta´ com o fio na vertical para cima, o que
chama a atenc¸a˜o a` necessidade de usar uma haste ideal em vez de um fio, para que o fio na˜o se dobre.
Para energias menores que 2mgl, o peˆndulo oscila entre os pontos de retorno ±θ0. A energia total e´ dada por
E = mgl(1− cosθ0) (52)
e, na equac¸a˜o da energia total, encontra-se
mgl(1− cosθ0) = 12ml
2θ˙ 2+mgl(1− cosθ)
⇒ 0 = 1
2
ml2θ˙ 2+mgl(cosθ0− cosθ)
⇒ dθ
dt
= ±
√
2g
l
(cosθ0− cosθ) (53)
que e´ uma equac¸a˜o diferencial separa´vel para θ em func¸a˜o de t, dando que
dt = ±
√
l
2g
dθ√
cosθ0− cosθ
. (54)
Aqui, o sinal positivo vale para metade do perı´odo, que pode ser entendido como de t0→ t0+ τ/2, como o tempo
gasto pelo peˆndulo ir de −θ0→ θ0; o sinal positivo fica entendido como o tempo gasto para percorrer o caminho
contra´rio. Assim, a metade do tempo gasto pelo peˆndulo no caminho −θ0→ θ dura o intervalo de tempo
∫ t0+τ/2
t0
dt =
√
l
2g
∫ θ0
−θ0
dθ√
cosθ0− cosθ
. (55)
Exercı´cio: Nos casos quem que a energia E << 2mgl, que equivale a dizer que θ0 << 1, pode-se aproximar o
cosseno por sua primeira ordem em se´ries de Taylor. Mostre que nesses casos o perı´odo do peˆndulo pode ser dado
por
τ
2
=
√
l
g
∫ θ0
−θ0
dθ√
θ 2−θ 20
. (56)
11
A Eq. (56) tem soluc¸a˜o dada por
τ = 2
√
l
g
[
sen−1
(
θ
θ0
)]θ0
−θ0
= 2pi
√
l
g
. (57)
A tı´tulo de curiosidade, quando na˜o for mais possı´vel fazer a aproximac¸a˜o θ0 << 1, sera´ necessa´rio fazer o uso
de integrais elı´pticas; estas sa˜o tabeladas e o me´todo usado para estes resultados e´ feito atrave´s de se´ries de Taylor
para as func¸o˜es nos integrandos. Estas correc¸o˜es de primeira ordem fornecem ao perı´odo a correc¸a˜o
τ ≈ 2pi
√
l
g
(
1+
1
16
θ 20
)
. (58)
Assim, como o perı´odo comec¸a a depender do valor da amplitude de oscilac¸a˜o, enta˜o ele deixa de ser iso´crono.
1.4 Oscilac¸o˜es de um fluido em vasos comunicantes em forma de U
Figure 10: Vasos comunicantes.
Vasos comunicantes representam um grande problema para engenheiros
civis da a´rea de urbanizac¸a˜o quando se deparam com enchentes; ja´ no´s,
fı´sicos, nos divertimos. Seja uma quantidade de fluido de densidade ρ
em um vaso comunicante em formato de U inicialmente em equilı´brio e
de comprimento l; se uma quantidade de fluido e´ deslocada por uma das
colunas, enta˜o o sistema sai do equilı´brio inicial e comec¸a a oscilar; para
tempos suficientemente curtos, pode-se desprezar o trabalho realizado
pela viscosidade da a´gua com as paredes do vaso.
Considere a Figura (10) e suponha que uma porc¸a˜o de a´gua sobe
uma altura z numa das paredes do tubo. A energia potencial garantida
ao sistema e´ igual a` da porc¸a˜o de a´gua, de massa mD de fluido deslocado
de sua posic¸a˜o de equilı´brio, que e´ dada por
U(z) = mgz= ρAzgz= ρAgz2. (59)
Ao descer da posic¸a˜o de altura ma´xima, todo o fluido e´ posto em movi-
mento e a energia cine´tica obtida por este fluido e´ dada por
1
2
mT
(
dz
dt
)2
=
1
2
ρAl
(
dz
dt
)2
. (60)
Como o sistemae´ conservativo, por hipo´tese, a energia total e´ dada por
E =
1
2
ρAl
(
dz
dt
)2
+ρAgz2. (61)
Se essa relac¸a˜o for comparada com a equac¸a˜o da energia de um oscilador harmoˆnico, nota-se que seu conteu´do
fı´sico em nada se perde se for feita a correspondeˆncia θ→ z e com os ajustes: ρAg→ k/2=Mω2/2 com M= ρAl,
o que permite concluir que
ρAg=
1
2
ρAlω2 ⇒ ω2 = 2g
l
, (62)
mostrando que a oscilac¸a˜o corresponde a` de um peˆndulo simples suspenso por um fio de comprimento l/2. Este
resultado ja´ era previsto por Newton.
1.5 Massas acopladas a uma mola
12
Figure 11: Massas acopladas.
Este e´ o primeiro caso a ser tratado onde se tem mais de um
corpo em movimento e onde eles esta˜o em interac¸a˜o. A forc¸a
entre eles e´ ela´stica e, em ambos os casos, dirigidas ao centro
de massa. No caso ideal, assume-se que a mola seja ideal, que o
atrito das massas m1 e m2 a` superfı´cie de contato e´ nulo e que todo
o movimento ocorra apenas em uma dimensa˜o. Se l e´ o compri-
mento de equilı´brio da mola e as posic¸o˜es das massas sejam dadas
por x1 e x2 com relac¸a˜o a um referencial fixo externo O, enta˜o a
deformac¸a˜o da mola para qualquer instante e´ dada por
x = (x2− x1)− l (63)
e as forc¸as sentidas por cada uma das massas sa˜o iguais e opostas
F1 = kx =−F2. (64)
As equac¸o˜es de movimento sa˜o  m1x¨1 = kxm2x¨2 = −kx
Exercı´cio: Lembrando da aplicac¸a˜o da primeira lei de Newton para sistemas de partı´culas onde na auseˆncia
de forc¸as externas, o sistema tendera´ a manter seu estado dinaˆmico e sabendo que este sistema na˜o tem qualquer
forc¸a externa atuando, mostre que a acelerac¸a˜o do centro de massa e´ nula.
Para resolver este problema, lembre-se que a determinac¸a˜o do centro de massa X e´ encontrada com
X =
m1x1+m2x2
M
⇒ X¨ = 0, (65)
onde M =m1+m2. Multiplicando a primeira das Eq.s em (65) por m1, a segunda por m2 e somando-as, encontra-
se que
µ x¨ = −kx (66)
que e´ uma equac¸a˜o da forma de (3), com frequeˆncia angular dada por
ω =
√
k
µ
(67)
onde µ = m1m2/(m1 +m2) e´ a massa reduzida do sistema; nesta coordenada, o sistema se comporta como uma
partı´cula de coordenada x2− x1 presa a uma forc¸a central com origem no centro de massa; o CM permanece em
ine´rcia enquanto as partı´culas oscilam em torno do centro de massa
Exercı´cio: Encontre as velocidades de cada uma das partı´culas
Exercı´cio: Mostre que a velocidade do centro de massa e´ nula
Exercı´cio: Mostre que a acelerac¸a˜o do centro de massa e´ nula
A energia cine´tica do sistema e´ a soma das energia cine´ticas individuais com a energia cine´tica do centro de
massa, ou seja
K =
1
2∑miv
′2
i +
1
2
mV 2 (68)
sendo que V e´ a velocidade do centro de massa4.
Exercı´cio: Escreva a energia cine´tica do sistema nas coordenadas do centro de massa. Para resolver esse
exercı´cio, e´ necessa´rio que voceˆ escreva as coordenadas x1 e x2 em termos de X .
A energia total E do sistema e´ dada por
E = ECM+E ′ (69)
4Em todos os casos onde as coordenadas aparecerem com linha, x′, isso so´ quer dizer que essas coordenadas sa˜o relativas ao centro de
massa do sistema.
13
1.5.1 Para saber mais
Figure 12: Potencial de Lennard-Jones.
Este sistema de duas massas presas a uma mola mostra, como boa
aproximac¸a˜o, o comportamento de uma mole´cula diatoˆmica; as
ligac¸o˜es quı´micas que a sustentam sa˜o experimentalmente medi-
dos de modo que obedecem a` relac¸a˜o
U(r) = D
[(a
r
)12−2(a
r
)6]
. (70)
Observe na Figura (12) que nos pontos de energia mais baixa, o
sistema tem a energia potencial de uma para´bola. Isso sugere que
pode-se aproximar este potencial por uma para´bola centrada no
ponto de menor energia, o qual chamaremos de a. Os desloca-
mentos deste ponto de equilı´brio sera˜o na forma
x = r−a. (71)
A aproximac¸a˜o seria, enta˜o, na forma
U(r) = −D+ 1
2
k(r−a)2. (72)
Qual seria a forma de k adequada? Para ver isso, podemos derivar as Eq.s (70) e (72) duas vezes e avalia´-las em
r = a. Fazendo isso, encontra-se
k = 72
D
a2
. (73)
Assim, a forc¸a restauradora relacionada a (72) que atua sobre o sistema
µ x¨= F(x) = − d
dx
U(x) =−kx
de modo que o sistema oscila entre o ponto de equilı´brio, a, com frequeˆncia
ω =
√
k
µ
. (74)
Fı´sicos usam essas informac¸o˜es para, uma vez medidas as frequeˆncias ω de vibrac¸a˜o das mole´culas, encontra-se o
raio molecular e suas energias de dissociac¸a˜o. Na pra´tica, para mole´culas de carbono 12 e de oxigeˆnio 16, tem-se
que a massa reduzida e´ da ordem de µ ≈ 1,16× 10−26kg e as frequeˆncias de vibrac¸a˜o sa˜o da ordem de 1,4×
1014Hz, ou seja, radiac¸o˜es que esta˜o na faixa da luz infravermelha. Mesmo que os resultados corretos necessitem
o emprego da fı´sica quaˆntica, os resultados aproximativos apresentam qualitativamente bem os comportamentos
moleculares.
1.6 Superposic¸a˜o de MHSs
Ha´ na natureza sistemas cujos movimentos sa˜o descritos como na˜o somente MHS, mas como movimentos harmoˆnicos
acoplados, resultando em trajeto´rias bem mais complexas se comparadas com as do peˆndulo simples. Ocorre,
enta˜o, que o movimento geral pode ser descrito como a composic¸a˜o de movimentos harmoˆnicos simples. As
formas dos movimentos resultantes dependem fortemente da relac¸a˜o entre os paraˆmetros e das direc¸o˜es
E´ aqui que vemos grandes vantagens em usar as varia´veis complexas. Sabendo que
cos(ωt+φ) = Re
{
ei(ωt+φ)
}
, (75)
podemos fazer as composic¸o˜es de dois MHSs, x1 e x2 da forma
x1+ x2 = A1 cos(ω1t+φ1)+A2 cos(ω2t+φ2)
= A1Re
{
ei(ω1t+φ1)
}
+A2Re
{
ei(ω2t+φ2)
}
(76)
14
os quais ganham grandes simplificac¸o˜es quando as amplitudes A1 e A2 sa˜o iguais:
x1+ x2 = ARe
{
ei(ω1t+φ1)+ ei(ω2t+φ2)
}
(77)
e assim fica mais fa´cil de se considerar uma grande quantidade de casos
1.6.1 Mesmas direc¸a˜o e frequeˆncias, amplitudes gerais
Figure 13: Peˆndulo duplo em fase
Neste caso, tem-se que o movimento resultante e´ dado por
x1+ x2 = Re
{
eiωt+φ1
(
A1+A2eφ2−φ1
)}
(78)
No caso de um peˆndulo duplo, o movimento do segundo peˆndulo e´ de-
scrito pela composic¸a˜o dos dois movimentos acoplados; se os peˆndulos teˆm
aˆngulos de abertura θ1 e θ2, respectivamente, e se eles estiverem em fase,
a Figura (13) mostra o comportamento desse movimento e a amplitude sera´
dada por
A= Re
{
A1+A2ei(φ2−φ1)
}
(79)
Observe tambe´m que se as amplitudes e os aˆngulos forem iguais, o movi-
mento e´ reduzido ao movimento de um oscilador de comprimento igual a 2l
1.6.2 Mesma direc¸a˜o e frequeˆncias diferentes; batimentos
Sejam dois osciladores cujas equac¸o˜es de movimento sejam dadas por x1 = A1 cos(ω1t+φ1)x2 = A2 cos(ω2t+φ2) (80)
A diferenc¸a de fase entre os dois osciladores e´ dada por
θ2−θ1 = (ω2−ω1)t+φ2−φ1
de modo que pode-se tomar as defasagens nulas, sem perdas de generalidade. Observa-se que o movimento
resultante
x1+ x2 = Re
{
eiω1t + eiω2t
}
(81)
so´ sera´ perio´dico em certas circustaˆncias: para que ele seja perio´dico, e´ necessa´rio que haja um perı´odo τ onde o
sistema volte a` sua posic¸a˜o inicial de forma que os osciladores tenham executado n1 e n2 oscilac¸o˜es, respectiva-
mente:
ω1t = 2n1pi
ω2t = 2n2pi
 ω1ω2 = τ2τ1 = n1n2 (82)
com n1 e n2 inteiros, de forma que
n1τ1 = n2τ2 = τ (83)
15