F2 OscilacoesEOndas
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F2 OscilacoesEOndas

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CEFET - RJ
Uned Angra dos Reis

1 O oscilador harmoˆnico

Figure 1: A natureza da´ a b**** para o oscilador harmoˆnico, segundo o professor Josue´, homenageado neste ano
pela UFC

Sistemas oscilato´rios dominam todas as a´reas da fı´sica e das engenharias. Um peˆndulo desviado de seu ponto
de equilı´brio tende a voltar a`quela posic¸a˜o por forc¸as restauradoras internas do material de que e´ feito. O som que
ouvimos e´ uma combinac¸a˜o extremamente cuidadosa entre oscilac¸o˜es de densidade, pressa˜o e de deslocamento
de camadas de ar; exemplos devem ser infinitos e talvez o professor Josue´ esteja mesmo certo nesse sentido

A maneira usual que tratamos as oscilac¸o˜es no curso de fı´sica 1 foi o de descrever a energia potencial U(r) de
um sistema conservativo, o qual, pro´ximo ao ponto de equilı´brio, pode ser aproximado em uma func¸a˜o parabo´lica,
admitindo soluc¸o˜es perio´dicas com ponto de eqiuilı´brio no ponto de mı´nimo do potencial U e com pontos de
retorno nos valores ma´ximos alcanc¸ados para a energia potencial do sistema

Como exemplo, podemos tomar o caso de um sistema massa mola, onde para pequenos deslocamentos da
posic¸a˜o de equilı´brio a forc¸a e´ tida como restauradora

F(x) = −kx (1)
onde k e´ a constante ela´stica da mola enquanto x e´ o deslocamento, em metros, de uma massa na ponta da mola da
posic¸a˜o relaxada da mola. A energia potencial da mola e´ facilmente calculada com o auxı´lio da func¸a˜o trabalho,
que e´ igual ao negativo da energia potencial, dando que

U(x) =
1
2
kx2. (2)

A equac¸a˜o de movimento resultante pode ser obtida tanto por me´todos de conservac¸a˜o de energia quanto pela
segunda lei de Newton, resultando em

m
d2x
dt2

= −kx (3)

Devido a`s configurac¸o˜es deste exemplo, ele e´ chamado de oscilador harmoˆnico unidimensional e, observa-se,
muitos sistemas naturais obedecem a esse tipo de descric¸a˜o, desde que os deslocamentos das quantidades fı´sicas

1

descritas sejam pequenas: no caso de um sistema massa-mola, se os deslocamentos na˜o forem suficientemente
pequenos, pode ocorrer distorc¸o˜es ı˜rreversı´veis da mola e, assim, a forc¸a ela´stica dela ja´ na˜o devera´ mais ser dada
pela lei de Hooke (1), de modo que precisaremos de formulac¸o˜es na˜o lineares, as quais fogem dos objetivos deste
curso

O objetivo principal deste capı´tulo e´ o de estudar sistemas cujas equac¸o˜es sejam dadas na forma de (3) e que,
nos casos gerais, sera˜o dadas na forma

x¨+ω2x = 0 (4)

onde a frequeˆcia angular ω sera´ especificada para cada problema em particular. A partir daı´, procuraremos as
soluc¸o˜es possı´veis para as equac¸o˜es na forma de (4) e o nosso trabalho sera´ simplesmente ajustar as condic¸o˜es de
contorno de cada problema, encontrando ω e os valores para a amplitude de movimento e a fase inicial

1.1 Oscilac¸o˜es Harmoˆnicas

Um lembrete: nos cursos de mecaˆnica ba´sica fomos capazes de concluir que o problema geral era o de encontrar
soluc¸o˜es para as equac¸o˜es de movimento de algum problema dado; encontra´vamos as soluc¸o˜es gerais e, em
seguida, aplica´vamos as condic¸o˜es de contorno para que as soluc¸o˜es ficassem unı´vocas, ou seja, so´ se referissem
a`quele problema especı´fico

Aqui na˜o e´ diferente. Tanto e´ que oscilac¸o˜es harmoˆnicas sa˜o soluc¸o˜es, equac¸o˜es de movimento, de sistemas
conservativos e restauradores. Nos primeiros to´picos estudados, no caso de MRUV, a situac¸a˜o era dada por

d2x
dt2

= a (5)

onde a e´ uma acelerac¸a˜o constante. A soluc¸a˜o dela e´ dada por

x(t) = x(0)+ v(0)t+
1
2
at2, (6)

onde as constantes x(0) e v(0) sa˜o obtidas com dados especı´ficos do problema:
x(0) = x0

dx
dt
(0) = v0

(7)

As soluc¸o˜es sa˜o dadas pelo me´todo das equac¸o˜es diferenciais caracterı´sticas1, que consiste em supor uma
soluc¸a˜o perio´dica para a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de movimento x(t)

x(t) = eiωt (8)

de modo que podemos facilmente substituir na equac¸a˜o de movimento (3), resultando em

mω2eωt = −keωt , (9)

de tal forma que obtemos a soluc¸a˜o em termos de ω , que chamamos de frequeˆcia natural de oscilac¸a˜o

ω =
√

k
m

(10)

e enta˜o a soluc¸a˜o pode ser dada por

x(t) = ei
√

k/mt . (11)

1E´ o me´todo mais simples que se tem para resolver equac¸o˜es diferenciais de ordens 2 em diante; qualquer livro, por pior que seja, sera´
capaz de explicar esse me´todo de maneira que tenhamos tudo o que precisamos

2

Observe agora uma outra situac¸a˜o: em vez de considerar a proposta de soluc¸a˜o (8), use agora que

x(t) = e−iωt (12)

e observe que ela tambe´m satisfaz a` equac¸a˜o diferencial (3). Dessa forma, tem-se duas soluc¸o˜es distintas que satis-
fazem uma mesma equac¸a˜o diferencial. Por isso, podemos invocar ao conceito de linearidade das soluc¸o˜es: se uma
equac¸a˜o diferencial tem x1 e x2 como soluc¸o˜es, enta˜o a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ uma combinac¸a˜o
linear entre as soluc¸o˜es encontradas. Assim, a soluc¸a˜o geral para (3) e´ a combinac¸a˜o linear

x(t) = a1eiωt +a2e−iωt (13)

onde as constantes a1 e a2 sa˜o determinadas a partir das condic¸o˜es iniciais de cada problema especı´fico.

1.1.1 Exercı´cios

1. A fo´rmula de Euler: considere a equac¸a˜o diferencial
d f
dt

= λ f

f (0) = 1

(14)

(a) Mostre que f (x) = eix e´ soluc¸a˜o e satisfaz a` condic¸a˜o de contorno

(b) Mostre que f (x) = cosx+ isenx tambe´m e´ soluc¸a˜o e satisfaz a` mesma equac¸a˜o diferencial

(c) Com a igualdade de condic¸o˜es dos dois itens anteriores, somos obrigados a concluir que se duas
func¸o˜es satisfazem uma mesma equac¸a˜o diferencial e a`s mesmas condic¸o˜es de contorno, enta˜o as
func¸o˜es sa˜o iguais, ou seja:

eix = cosx+ isenx (15)

que e´ a equac¸a˜o de Euler

(d) Mostre que f (x1+ x2) = f (x1) f (x2) para ambos os lados da equac¸a˜o de Euler

(e) Mostre que

e−ix = cosx− isenx (16)

(f) Mostre que

cos(x) = R
(
eix
)

=
1
2
(
eix+ e−ix

)
sen(x) = I

(
eix
)

=
1
2i
(
eix− e−ix) (17)

2. Forma polar de um nu´mero complexo: Das equac¸o˜es (17), temos uma maneira interessante de ver o nu´mero
complexo e±ix. Se considerarmos um eixo cartesiano onde a abscissa representaria a parte real e a ordenada
representasse a parte imagina´ria de um nu´mero complexo, enta˜o um ponto P = z neste plano poderia ser
decomposto por z= x+ iy= R(z)+ iI(z) ou ainda por ρ(cosθ + isenθ) onde ρ seria o mo´dulo do nu´mero
complexo, dado por ρ =

√
x2+ y2. Um nu´mero complexo escrito na forma z= ρeiθ tem, enta˜o, duas partes,

onde ρ e´ definido como o mo´dulo e eiθ e´ definida como a fase de um nu´mero complexo. Mostre que

(a) e±ipi/2 =±i
(b) e±ipi =−1
(c) e2ipi = 1

(d) z1z2 = r1eiθ1r2eiθ2 = r1r2ei(θ1+θ2)

3

Figure 2: Forma polar de um nu´mero complexo

(e)
z1
z2
=

r1
r2
ei(θ1−θ2)

(f) ea+ib = ea(cosb+ isenb)

(g)
d
dt
z=

dx
dt

+ i
dy
dt

3. Mostre que se a soluc¸a˜o geral de um oscilador harmoˆnico e´ dada por

x(t) = a1eiωt +a2e−iωt (18)

enta˜o essa mesma soluc¸a˜o pode ser dada por

x(t) = acos(ωt)+bsen(ωt) (19)

e encontre a e b em termos de a1 e a2.

4. Suponha que as amplitues de oscilac¸a˜o a e b sa˜o tais que elas teˆm os mesmos valores ma´ximos e mı´nimos,
”mas na˜o na mesma hora”; uma maneira de usar essa informac¸a˜o e´ usar que a = Acosφb = −Asenφ (20)
onde φ e´ uma constante de fase a ser definida nas condic¸o˜es iniciais do problema. Use as informac¸o˜es acima
para encontrar que a soluc¸a˜o geral (19) pode ser dada por

x(t) = Acos(ωt+φ) (21)

e encontre A, cosφ e senφ em termos de a e b

1.2 Interpretac¸a˜o Fı´sica dos paraˆmetros

Uma forma muito aceita das soluc¸o˜es para as equac¸o˜es de movimento dos hosciladores harmoˆnicos e´ a dada na
forma (21), que e´ uma soluc¸a˜o que oscila dentro do intervalo de valores ma´ximos para |x(t), que sa˜o A e −A e,
por isso, A e´ chamado de amplitude de oscilac¸a˜o

4

Ale´m do mais,