Libro economia para ing word 2007

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CONTENIDO 
 
 
pág. 
 
 
INTRODUCCION 5 
 
CAPITULO I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 7 
 
1.1 DINERO 7 
 
1.1.1 ¿Que Ha Sido Históricamente Y Que Es El Dinero?. 7 
 
1.1.2 Propiedades Básicas Del Dinero. 7 
 
1.2 CUANTIFICACIÓN DEL DINERO 9 
 
1.3 INTERÉS 11 
 
1.3.2 Variables Que Inciden Sobre El Interés. 12 
 
1.3.3 Cuantificación Del Interés. 13 
 
1.3.4 Tasa De Interés. 14 
 
1.3.5 Tipos De Interés. 14 
 
1.3.6 Algunas Tasas De Interés Importantes. 14 
 
CAPITULO II. DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA 22 
 
2.1 DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA 22 
 
2.2 VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO 22 
 
2.3 SERIE UNIFORME (A) 25 
 
2.4 GRADIENTE 39 
 
2.4.1 Gradiente Aritmético (G). 39 
2 
 
 
2.4.2 Gradiente Geométrico (C). 46 
 
2.5 SERIES UNIFORMES CONSECUTIVAS CON CRECIMIENTO 
GEOMÉTRICO 53 
 
CAPITULO III. INTERESES: MODALIDADES, PERIODOS Y 
EQUIVALENCIAS 107 
 
3.1 RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE INTERESES DE DIFERENTES. 
PERÍODOS 107 
 
3.2 INTERÉS NOMINAL vs. INTERÉS EFECTIVO 109 
 
3.2.1 Interés Nominal. 109 
 
3.2.2 Interés Efectivo. 110 
 
3.2.3 Relación De Equivalencia Entre Interés Nominal Y Efectivo (R D E). 110 
 
3.3 ALGUNAS ANOTACIONES SOBRE NOMINAL Vs EFECTIVO 112 
 
3.4 TASAS DE INTERÉS EN CADENA 115 
 
3.5 UNIDAD DE VALOR REAL CONSTANTE (UVR) 141 
 
3.5.1 El Sistema Colombiano de Ahorro y Vivienda. 141 
 
CAPITULO IV. INFLACION Y DEVALUACION 158 
 
4.1 INFLACION 169 
 
4.2 DEVALUACIÓN 176 
 
4.2.1 Definición De Devaluación. 177 
 
4.2.2. Devaluación En Colombia. 177 
 
4.2.3 Determinación De La Tasa De Cambio. 181 
 
4.2.4 Devaluación O Revaluación. 182 
3 
 
 
4.2.5 Relaciones De Equivalencia 184 
 
4.3 ALGUNAS RELACIONES IMPORTANTES 193 
 
CAPITULO V. CRITERIOS ECONOMICOS PARA TOMA DE DECISIONES Y 
EVALUACION DE ALTERNATIVAS 223 
 
5.1 EVALUACION ECONOMICA DE PROYECTOS 224 
 
5.2 ANALISIS POR MEDIO DE FLUJOS NETOS 224 
 
5.3 INTERÉS DE OPORTUNIDAD Y RIESGO 225 
 
5.4 CRITERIOS CON BASE EN LA DIFERENCIA ENTRE INGRESOS Y 
EGRESOS 225 
 
5.4.1 Valor Presente Neto (Vpn). 226 
 
5.4.2 Valor Futuro Neto (Vfn). 228 
 
5.4.3 Valor Anual Neto (Van). 229 
 
5.4.4 Relación Entre Vpn, Vfn, Van El Vpn. 230 
 
5.5 CRITERIO RELACIÓN BENEFICIO/COSTO(B/C) 231 
 
5.6 CRITERIOS CON BASE EN LA RENTABILIDAD OBTENIDA 232 
 
5.6.1 Tasa Interna De Retorno (Tir). 232 
 
5.6.2 Verdadera Rentabilidad (Vr). 234 
 
5.7 CRITERIOS CON BASE EN EL MONTO FINAL ACUMULADO 237 
 
5.7.1 Valor Futuro De Los Flujos De Fondo (Vfff). 237 
 
5.8 CRITERIOS CON BASE EN EL TIEMPO DE RECUPERACION DE LA 
INVERSION 238 
 
5.8.1 Periodos De Recuperación En Pesos Corrientes Y Sin Interés. 238 
4 
 
 
5.8.2 Periodo De Recuperacion En Pesos Corrientes Incluyendo I*. 238 
 
5.8.3 Periodo De Recuperacion En Pesos Constantes. 238 
 
5.9 EVALUACION DE ALTERNATIVAS 238 
 
5.9.1 Clasificacion De Las Alternativas 239 
 
5.10 CRITERIOS DE EVALUACION SEGUN EL TIEMPO DE 
ALTERNATIVAS 240 
 
5.10.1 Alternativas Con Beneficios Diferentes, Mutuamente Excluyentes, 
Igual Vida Y Diferente Inversion. 240 
 
5.10.2 Alternativas Con Diferentes Beneficios, Mutuamente Excluyentes, 
Diferente Vida E Inversion. 241 
 
5.10.3 Alternativas Independientes Con Diferentes Beneficios, Vida E 
Inversion. 241 
 
5.10.4 Alternativas Complementarias. 242 
 
5.10.5 Alternativas Que Producen Iguales Beneficios. 242 
 
ANEXO 252 
 
5 
 
INTRODUCCION 
 
 
El presente libro es un texto a nivel introductorio para un primer curso en 
ECONOMIA PARA INGENIEROS, para estudiantes de Ingenierías. 
 
Este texto busca facilitar al estudiante, la consulta precisa pero profunda para el 
desarrollo de labores académicas en el área de economía para ingenieros. 
 
Creemos que este enfoque es el que mejor se adapta a las necesidades de estos 
lectores, por que les permite concentrarse en aplicaciones que tiene la Economía 
en las diversas ramas de la ingeniería, además creemos que el libro también 
puede servir como un útil libro de consulta. 
 
Nuestro objetivo central del texto y del curso es el de dar la herramienta que nos 
ayuda a explicar de una forma sencilla y fácil los diferentes conceptos financieros 
y económicos básicos para entender, analizar y evaluar situaciones y alternativas 
de inversión y endeudamiento. 
 
Los temas que se trataran en el presente texto, se encuentran ordenados de una 
forma comprensible para estudiantes de Ingenierías, donde cada uno de los temas 
se subdivide en grandes capítulos que, a su vez, se subdividen en módulos; con el 
objetivo de que el lector pueda identificar rápidamente el tema que le interese. 
Dentro del módulo, la titulación permitirá, de un vistazo rápido, decidir cuál tema 
se requiere consultar. 
 
6 
 
Este texto está cuidadosamente ilustrado, tiene cuadros, tablas que constituyen en 
si mismos módulos de información autónoma. 
 
Utilidad en si, es el fin perseguido en este texto, por eso se espera que sea de 
gran ayuda para el estudio del curso de Economía Para Ingenieros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
CAPITULO I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 
 
 
1.1 DINERO 
 
Básicamente los economistas definen dinero como algo que es generalmente 
aceptado para el pago de bienes y servicios o cancelación de deudas. Los billetes 
y monedas entonces encajan en esta definición; pero también los cheques son 
aceptados, luego los saldos en cuenta corriente constituyen dinero. De otro lado la 
palabra dinero (plata) es comúnmente usada para referirse a riqueza "Ardila tiene 
mucha plata"; involucrando no solo dinero sino todo tipo de propiedades. 
Igualmente es usada esta palabra para referirse a ingresos "Un ejecutivo gana 
mucha plata". 
 
1.1.1 ¿Que Ha Sido Históricamente Y Que Es El Dinero?. De una u otra forma 
diversos artículos han sido usados como dinero en distintos tiempos: Granos, lana, 
tabaco, metales, etc. La característica que todos ellos compartieron fue escasez, 
adicionalmente durabilidad y divisibilidad pero ante todo su aceptación general. La 
principal función del dinero es facilitar el intercambio de bienes y servicios. A 
diferencia de un sistema económico primitivo basado en el trueque, el intercambio 
con dinero le imprime facilidad y eficiencia a las transacciones. El dinero no sólo 
reduce el tiempo y esfuerzo dedicado al intercambio sino que permite la división y 
especialización de trabajo. 
 
1.1.2 Propiedades Básicas Del Dinero. 
 Servir como medio de intercambio 
 Servir como valor almacenable 
8 
 
La primera es la propiedad más evidente del dinero al ser usado para la compra 
de bienes y servicios, adicionalmente el dinero al ser almacenado en busca de 
compra de bienes y servicios en el futuro, sirve temporalmente como medio para 
almacenar poder adquisitivo (Aún cuando esta propiedad es rápidamente 
controlada por la inflación al menos en parte debe cumplirse); por último el dinero 
permite que los precios de los bienes y servicios se den de acuerdo a un mismo 
standard o unidad contable. 
 
Hoy se habla de dinero plástico, súper dinero e incluso sociedad sin dinero físico 
para referirse a operaciones automatizadas de transferencia de fondos de todo 
tipo con base en algún tipo de tarjeta que reúne información sistematizada sobre 
saldos disponibles por cada individuo en un sistema y que se actualice 
constantemente con cada transacción. Esto sería posible en un futuro con los 
avances de infraestructura y de las comunicaciones y sería lógico pensar en que 
este tipo de sistemas predomina por su seguridad, agilidad y eficiencia.De 
cualquier forma las propiedades presentadas se seguirán dando y tal vez aunque 
sea en un volumen relativamente pequeño el dinero físico seguirá siendo 
necesario. 
 
1.1.3 Banco De La República. 
 Funciones. 
A través del Banco se cumplen las disposiciones relativas al control monetario, de 
crédito y de cambio que dicte la Junta Monetaria. 
 
Es el encargado de computar el ingreso nacional del país. 
 
Es el Banco emisor del país, maneja la Casa de la Moneda de Bogotá encargada 
de la acuñación de la moneda fraccionaria. 
 
9 
 
Administra las reservas de oro y moneda extranjera en Colombia. 
 
Es el Banquero y Fiscal del Gobierno. 
 
Encargado de guardar las reservas en efectivo de los bancos y liquidador de las 
deudas y acreencias entre ellos. El encaje de estas instituciones debe mantenerse 
como depósitos disponibles sin intereses. 
 
Actúa como banquero de los Bancos particulares y oficiales, Corporaciones 
Financieras, Fondo Nacional del Café, Fondos Ganaderos e Instituciones de 
Desarrollo Cooperativo. 
 
Administrador y Banquero de PROEXPO, FIP, Fondo de Desarrollo Industrial y 
Desarrollo Eléctrico. 
 
Administra y maneja los convenios de pago suscritos con otros países. 
 
Depositario en Colombia de las disponibilidades del Fondo Monetario 
Internacional, Banco Mundial, Banco Interamericano de Desarrollo. 
 
Funciones relativas al cambio y comercio exterior. 
 
 
1.2 CUANTIFICACIÓN DEL DINERO 
 
Para determinar cuanto dinero hay en una economía se debe medir lo que es 
aceptado para el pago de bienes y servicios. 
 
10 
 
Esta medición puede hacerse incluyendo lo que es generalmente aceptado para el 
pago de bienes y servicios, o menos estrictamente incluyendo en una medida 
cada vez más amplia otros instrumentos menos líquidos hasta llegar a una oferta 
monetaria ampliada. 
 
1.2.1 Medios De Pago (M1). Es la concepción más básica de dinero, consistente 
con la definición ya expresada de dinero. Incluye solo al efectivo en circulación 
mas los depósitos en cuenta corriente. 
 
M1 = Efectivo + Depósitos en Cuenta Corriente 
 
Para 1998 los medios de pago (M1) alcanzaron un valor cercano a los nueve 
billones de pesos. Con un crecimiento a Junio cercano al 2% anual. Muy inferior al 
crecimiento del resto de la década que oscilaba entre el 9% y el 45%. 
 
 
1.2.2 Otras Medidas Del Dinero. 
 
M2: Le adiciona a los medios de pago lo que se denominan cuasidineros, que son 
otros instrumentos con cierto grado de liquidez pero que no son generalmente 
aceptados para el pago de bienes y servicios. Se incluyen las cuentas de ahorro 
tradicional, las cuentas de ahorro en UPAC, CDTs en general. 
 
M2 = M1 + CUASIDINEROS 
 
M3: Le adiciona a M2 los depósitos a la vista, los depósitos fiduciarios y las 
cédulas del BCH en poder del público. 
 
11 
 
M3 = M2 + Depósitos a la vista + Depósitos fiduciarios + Cédulas del BCH en 
poder del público. 
 
M3 + BONOS: Es el agregado utilizado para medir la oferta monetaria ampliada y 
es considerado como un indicador más certero para el control del dinero y la 
política monetaria puesto que involucra realmente todos los instrumentos y la 
generación de crédito por parte del sistema financiero. A mediados de 1998 su 
valor ascendía a los 54 billones de pesos con una variación cercana al 1% anual. 
 
M3 + Bonos = M3 + Bonos del sistema financiero 
 
 
1.3 INTERÉS 
 
Quien está en posesión del dinero tiene ventaja relativa respecto a quien no. Esta 
ventaja, está reflejada en las múltiples posibilidades de intercambio mediante las 
cuales se puede generar utilidad; en esencia esta es la razón de ser del interés. 
 
1.3.1 Definición. Interés se puede definir como la retribución pagada o recibida 
por el uso del dinero. Interés es la renta que se paga por utilizar el dinero ajeno ó 
que se recibe por invertir nuestro dinero. Estas situaciones se presentan en 
diferentes formas, es conveniente desarrollar una serie de relaciones de 
equivalencia mediante las cuales se puede evaluar con certeza el rendimiento 
obtenido de una determinada inversión o el costo real que representa una 
determinada fuente de financiamiento. 
 
A continuación pasaremos del plano cualitativo al plano cuantitativo para definir el 
interés y su uso en las relaciones financieras de equivalencia. 
12 
 
1.3.2 Variables Que Inciden Sobre El Interés. Adicionalmente el interés puede 
ser mayor ó menor dependiendo de una serie de factores como son: 
 
 Riesgo. Una alternativa que no presenta riesgo es preferida a otra con igual 
interés y algún nivel de riesgo. Algunos inversionistas están dispuestos a afrontar 
un determinado nivel de riesgo tratando de obtener una mayor rentabilidad; es 
decir a mayor nivel de riesgo mayor será el interés. 
 
 Inflación. Es importante hacer énfasis a la relación entre tasas de interés y 
tasas de inflación; la inflación es el porcentaje de incremento en el nivel general de 
precios. Diversas economías (países) presentan diversas tasas de inflación y de 
interés, se observa que en países con mayor nivel de inflación tienen a su vez 
mayores tasas de interés y esto es lógico ya que un inversionista busca 
incrementar durante el periodo de la inversión no sólo el monto del dinero invertido 
sino su capacidad de compra, es decir, que al final de la inversión, con el dinero 
obtenido se pueda comprar mayor número de bienes y servicios de los que podía 
adquirir al comienzo de la inversión. Por lo tanto desde este punto de vista entre 
mayor sea la inflación mayor será el interés. 
 
 Dinero Circulante. El dinero, al igual que cualquier otra mercancía, está 
sujeto a las fuerzas de oferta y demanda que sobre él se ejercen. El gobierno de 
todo país ejerce un control sobre el dinero en circulación y para ello efectúa las 
llamadas OMAS* en las que según su conveniencia, compra ó vende papeles del 
gobierno, para expandir ó contraer el dinero circulante; otra forma de control es el 
encaje bancario, donde todo banco debe depositar en el Banco de la República un 
porcentaje de sus captaciones y según sea el caso el gobierno puede incrementar 
o disminuir dicho porcentaje. Si el dinero circulante se incrementa, existirán más 
pesos para comprar y el mismo número de bienes y servicios, lo cual genera por 
fuerzas de oferta y demanda un incremento en el nivel de precios, lo que significa 
13 
 
inflación. El dinero puede ser demandado para realizar algún proyecto; entre 
mayor número de proyectos exista y mayor sea su rentabilidad esperada (Tasa de 
crecimiento de la economía), es de esperarse que las tasas de interés sean 
mayores. *Operaciones de Mercado Abierto 
 
 Comercio y Finanzas Internacionales. A nivel internacional, la moneda de 
un país está también sujeta a fuerzas de oferta y demanda relacionadas con el 
comercio exterior y las inversiones internacionales. El precio de una moneda está 
reflejado en su tasa de cambio respecto a las otras monedas, si mucha gente 
adquiriera pesos para realizar inversiones en Colombia ó comprar productos, 
dicho incremento en demanda generaría un incremento del valor del peso 
respecto a otras monedas ó revaluación del peso, pero si los colombianos 
adquirieran dólares para comprar artículos en el exterior ó para realizar 
inversiones externas, la tasa de cambio del peso respecto al dólar aumentaría y 
esto es llamado devaluación. Si aumentara la demanda de dólares se generaría 
una devaluación del peso en busca de equilibrio, desde este punto de vista la 
inflación generó devaluación. En general entonceslos niveles de inflación, 
devaluación e interés están interrelacionados. 
 
 Acciones Gubernamentales: Se debe tomar en cuenta que el gobierno juega 
un rol importante no solo como regulador, sino como actor en el mercado 
financiero, ya que él en algunos casos es un captador importante de dinero con lo 
cual el interés tiende al alza, en otros casos un inversionista fuerte y en general 
muchas de sus acciones inciden sobre el interés. 
 
 
1.3.3 Cuantificación Del Interés. Desde el punto de vista de un préstamo, 
Interés es el costo del capital, es decir, es la suma pagada por el uso del dinero 
ajeno y desde el punto de vista de un inversionista es el retorno obtenido, ó monto 
14 
 
adicional al dinero invertido; el interés expresado como porcentaje del dinero 
invertido es denominado rentabilidad. 
 
1.3.4 Tasa De Interés. Desde el punto de vista de un proyecto de 
endeudamiento, la tasa de interés es la diferencia entre la suma cancelada al final 
del periodo y la suma que se recibe en préstamo, dividida por la suma recibida 
inicialmente. Generalmente se expresa como un porcentaje para un periodo de 
tiempo determinado. 
 
1.3.5 Tipos De Interés. El interés puede ser simple o compuesto, dependiendo 
de si el interés acumulado al comienzo de un periodo es considerado para el 
cálculo del interés al mismo periodo. 
 
 Interés Simple. El interés por periodo es calculado con base en el capital que 
se posee al comienzo del periodo sin tenerse en cuenta el posible interés 
acumulado al comienzo del mismo. 
 
 Interés Compuesto. El interés se calcula con base en el capital inicial más 
cualquier suma de interés acumulado al principio del periodo. 
 
 NOTA: En adelante, siempre que se hable de interés se estará haciendo 
referencia a un interés compuesto. 
 
 
1.3.6 Algunas Tasas De Interés Importantes. 
 
 Tasas de captación de Intermediarios financieros. 
DTF: Es la tasa de captación, promedio para los depósitos a término fijo a 90 días 
realizado por los Bancos Comerciales, las Corporaciones Financieras y las 
15 
 
Compañías de Financiamiento comercial. Su cálculo se realiza semanalmente 
como el promedio ponderado de todas las captaciones efectuadas por las diversas 
Instituciones Financieras. (También existe el cálculo para 180, 360 días). 
 
TBS: Es similar al DTF, pero sólo para Bancos y mide diversos plazos desde 7 
días hasta un año. Las tasa de Captación de las demás Instituciones Financieras 
se miden con puntos porcentuales diferenciales respecto a la TBS. 
 
TCC: Es la tasa de captación de Corporaciones. 
 
 Corrección Monetaria. Es la tasa de variación de la UPAC (Unidad de poder 
adquisitivo constante). Es la tasa usada en las Corporaciones de Ahorro y 
Vivienda y se calcula como el 74% de la DTF promedio en las 4 semanas previas 
al mes que se esta calculando. 
 
 Tasas Bursátiles. 
TCB mercado Primario en la bolsa de Medellín. : Es la tasa de captación Bursátil 
para CDT (certificado de Depósito a Término), emitidos en el. 
 
TRB: Es la tasa de Rentabilidad Bursátil, para títulos de renta fija. (CDT 
Aceptación, títulos de participación, papeles comerciales, etc.) que se negocian en 
el mercado secundario (cuando pasa de un inversionista a otro, a diferencia del 
primario que es cuando recién se emiten los títulos). 
 
IRBB: Índice de rentabilidad de la bolsa de Bogotá, para papeles de renta fija. 
 
IBOR: Índice de rentabilidad de la bolsa de occidente, para papeles de renta fija. 
 
 
16 
 
 Tasas Internacionales. 
Prime Rate: Es la tasa de colocación, de los Bancos de Estados Unidos a sus 
buenos clientes. 
 
LIBOR: (London InterBank Offered Rate) Es la tasa de interés interbancaria, o 
sea a la que unos bancos muy grandes que trabajan con captaciones y 
colocaciones en Eurodólares o Euromonedas, en general le prestan a otros 
bancos. Se utiliza adicionalmente como referencia para créditos internacionales. 
 
TASAS DE INTERÉS DE CAPTACIÓN TOTAL SISTEMA - EFECTIVO ANUAL 
PROMEDIO MENSUAL ( Porcentaje) 
 
Mes 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 
Enero 33.90 35.81 31.94 26.07 25.68 32.82 32.66 25.78 24.67 
Febrero 33.32 33.87 28.38 25.55 25.27 34.89 32.39 25.48 
Marzo 34.06 36.13 29.97 26.09 25.31 35.03 32.90 25.10 
Abril 34.94 32.27 26.98 26.22 25.25 35.69 33.09 24.33 
Mayo 34.47 35.79 24.26 25.79 26.21 34.63 31.58 23.38 
Junio 35.04 36.23 22.11 26.02 28.30 33.33 31.36 23.21 
Julio 36.23 36.78 21.39 25.58 28.94 29.81 31.84 22.96 
Agosto 35.36 38.52 25.50 24.33 31.07 29.11 30.07 23.07 
Septiembre 36.37 38.62 27.26 24.26 30.94 30.91 28.12 22.87 
Octubre 36.75 37.62 27.66 24.88 33.05 29.51 28.14 23.54 
Noviembre 36.15 37.20 26.87 25.44 36.27 29.54 28.06 24.09 
Diciembre 37.52 36.39 26.98 26.37 37.87 33.58 27.76 24.32 
Fuente: Encuesta semanal de la Superintendencia Bancaria, a 
bancos, corporaciones financieras, compañías de financiamiento 
comercial y corporaciones de ahorro y vivienda. 
 
17 
 
 
 
 
EJERCICIOS 
 
EJERCICIOS DESARROLLADOS 
 
1. Tasa de interés. 
Cuál será la tasa de interés aplicada al prestar $1.000 hoy, para cancelar $1.200 
al final de 1 año? Definiendo la tasa de interés como "i" se tendría: 
 
i = ( 1200 - 1000 ) / 1000 
i = 0.2 ó 20% 
 
La respuesta se puede dar en forma porcentual o decimal como se prefiera. Se 
pagarán entonces $200 por intereses, y el interés será el 20%. Cuando estamos 
evaluando un proyecto, al tomar la decisión, se debe tener un punto de 
comparación (interés mínimo) a partir del cual, el interés de una alternativa será 
atractivo ó no. 
18 
 
2. Interés Simple. 
Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $1.000 al 30% de interés 
simple anual durante dos años? 
 
....|_______________________|_______________| 
$1.000...........................$1.000 + $300 ................$1.000 + $300 + $300 
 
Al final del primer año se tiene los $1.000 más los $300 por interés; y al final del 
segundo año se tendrá los $1.000 iniciales, $300 por interés del primer año y $300 
por interés del segundo año ($1.600). 
 
3. Interés Compuesto. 
Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $1.000 al 30% de interés 
compuesto anual durante dos años? 
 
....|_______________________|_______________| 
$1.000...........................$1.000 + $300 .....................$1.300 + $390 
 
Al final del primer año se tiene $1.300. Para el segundo año el cálculo será sobre 
los $1.300 que se poseen al comienzo del periodo, y no solo sobre los $1.000 
iniciales; por tanto los intereses causados en el segundo año son: 
 
Primer año = $1.000 x 0.30 = $300 
Segundo año = $1.300 x 0.30 = $390 
Suma final = $1.300 + $390 = $1.690 
 
 
 
 
19 
 
1. Una entidad financiera ofrece duplicar el dinero invertido en 5 años. ¿Cuál 
sera la tasa de interés efectiva mensual y anual obtenida en dicha inversión? 
 
DATOS : 
 
P = Cantidad inicial 
F = 2P (Cantidad final) 
n = 5 años = 60 meses 
i (mensual)= ? 
i(anual)=? 
 
Utilizando la fórmula: 
F=P(1+i) ^n 
Despejo: 
 i = (F/P)^(1/n) - 1 
2P = P (1+i)^n 
i = (2) ^ (1/n) – 1 
 
Reemplazando valores: 
i (m) = (2) ^ (1/60) – 1 = 0.0116 (1.16% mensual) 
i (a) = (2) ^ (1/5) – 1 = 0.1487 (14.87% anual) 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
2. Su familia adquirió un lote al inicio de 1972 por el valor de $10’000.000 y acaba 
de hacer un negocio para venderlo al final del año 2007 por $640’000.000. ¿Qué 
tan rentable fue el negocio?DATOS : 
P = $10’000.000 
F = $640’000.000 
n = 36 años = 432 meses “del inicio de 1972 al final de 2007” 
i (mensual)= ? 
i(anual)=? 
 
Utilizando la fórmula: 
F=P(1+i) ^n 
Despejo: 
 i = (F/P)^(1/n) – 1 
 
Reemplazando valores: 
i (a) = (640/10) ^ (1/36) – 1 = 0.1224 (12.24% anual) 
i (m) = (640/10) ^ (1/432) – 1 = 0.00967 (0.967% mensual) 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
Ejercicio1. Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $99.000 al 
22% de interés compuesto anual durante tres años? 
 
Ejercicio2. Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $99.000 al 
22% de interés simple anual durante tres años? 
 
21 
 
Ejercicio3. Cuál será la tasa de interés aplicada al prestar $99.000 hoy, para 
cancelar $180.000 al final de 1 año? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
CAPITULO II. DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA 
 
 
2.1 DIAGRAMAS DE FLUJO DE CAJA 
 
Un diagrama de flujo de caja es la representación gráfica de los ingresos y 
egresos ocasionados durante la vida de un proyecto. Se emplean en estos 
diagramas flechas verticales, que señalando hacia arriba representan un flujo de 
caja positivo (INGRESO), y señalando hacia abajo representan un flujo de caja 
negativo (EGRESO). Cada flecha parte de una línea horizontal que representa el 
tiempo, y está subdividida en periodos (días, meses, etc.). 
 
 
 Esta representación gráfica será utilizada a lo largo de este tutorial para 
ilustrar cualquier proyecto de inversión o endeudamiento. 
 
 
2.2 VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO 
 
Este concepto significa que cantidades iguales de dinero no tienen el mismo valor 
si se encuentran en puntos diferentes en el tiempo y si la tasa de interés es mayor 
23 
 
que cero. Es importante reconocer que un peso que se recibe en el futuro valdrá 
menos que un peso que se tenga actualmente, debido a que el dinero puede 
ganar un cierto interés cuando se invierte por un periodo determinado. 
 
RELACIONES ENTRE CANTIDADES DE DINERO SITUADAS ENTRE 
DIFERENTES PERIODOS DE TIEMPO 
 
Existe hoy (momento cero) una cantidad de dinero P, sobre la cual se genera un 
interés compuesto i en cada periodo de tiempo (días, meses, bimestres, 
trimestres, año, etc.). 
 
Se desea conocer el monto total acumulado en un tiempo determinado. Sea: 
 
P : Valor presente 
F : Valor futuro 
n : número de periodos entre P y F 
i : tasa de interés por periodo (%) 
 
 
 
La cantidad final acumulada "F" depende del número de periodos "n" así: 
Si n = 1. Cuando ha transcurrido un periodo tenemos la cantidad inicial (P) más el 
interés generado en ese periodo ("P" multiplicado por la tasa de interés "i"). 
Utilizando la nomenclatura definida se tendría : 
24 
 
F = P + P * ( i ) = P * (1+i) 
 
 
 
Cuando ha transcurrido un periodo tenemos la cantidad inicial más el interés 
generado en ese periodo. 
 
Si n = 2. Cuando han transcurrido dos periodos tenemos la cantidad obtenida 
hasta el primer periodo (P(1+i)), más el interés generado por esa cantidad en el 
segundo periodo. De forma que el monto acumulado al final del segundo periodo 
será: 
 
F = P * ( 1+i ) + P * ( 1+i ) * i = P * (1+i) ^ 2 
 
 
 
Si n = 3. Para un tercer periodo tenemos la cantidad acumulada hasta el segundo 
periodo (P(1+i)2) más el interés generado por dicha cantidad en el nuevo periodo. 
 
F = P * ( 1+i ) ^2 + P * ( 1+i ) ^2 * i = P * ( 1+i ) ^3 
 
25 
 
 
 
En forma general podemos deducir la relación para n periodos de tiempo: 
 
[ 1 ] 
e inversamente, 
[ 2 ] 
 
En la relación básica desarrollada F= P(1+i)n existen cuatro variables P, F, i, n. 
 
 
2.3 SERIE UNIFORME (A) 
 
Es un flujo uniforme que se presenta durante n periodos de tiempo (mes, trimestre, 
semestre, etc.) consecutivos, cada uno de ellos con un valor A. 
 
Gráficamente se representa de la siguiente forma: 
 
 
 
26 
 
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE UNA SERIE UNIFORME (A) Y UN 
VALOR FUTURO (F) SITUADO EXACTAMENTE AL FINAL DE LA SERIE 
(PERIODO n) 
 
Sea: 
P: Valor presente 
A: Valor de la serie uniforme 
n: número de flujos de la serie uniforme 
i: tasa de interés periódica 
 
El valor futuro podría ser expresado como la suma de cada uno de los flujos 
individuales "A" trasladados hacia el periodo "n", así: 
 
Supongamos que cada A es un valor presente ubicado en su respectivo periodo. 
En la expresión básica F= P (1+i)n ; P representa un monto situado atrás con 
relación a F y n es el número de periodos que separan a P de F. 
 
Análogamente: 
Para el valor presente A situado en el periodo 1: F = A (1+i) ^ (n-1) 
Para el valor presente A situado en el periodo 2: F = A (1+i) ^ (n-2) 
Para el valor presente A situado en el periodo 3: F = A (1+i) ^ (n-3) 
Para el valor presente A situado en el periodo n-1: F = A(1+i) ^(n - (n-1)) = A(1+i) 
Para el valor presente A situado en el periodo n: F = A(1+i)^(n-n) = A 
 
Para obtener el valor futuro de la serie uniforme, se deben sumar los valores 
futuros generados por cada A en los diferentes periodos: 
(1) F= A(1+i)^(n-1) + A(1+i)^(n-2) + A(1+i)^(n-3) + ... + A(1+i) + A 
 
Multiplicando (1) por (1+i) se obtiene: 
27 
 
(2) F(1+i)= A(1+i)^n + A(1+i)^(n-1) + A(1+i)^(n-2) + ... + A(1+i)^2 + A(1+i) 
 
Y al hacer la substracción (2) - (1) se obtiene: 
F(i)= A(1+i)^n - A 
 
Finalmente se obtiene la expresión: 
 
[ 3 ] 
 
e inversamente 
 
[ 4 ] 
 
 
 
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE UNA SERIE UNIFORME (A) Y UN 
VALOR PRESENTE (P) SITUADO UN PERIODO ATRÁS DEL PRIMER FLUJO 
DE LA SERIE 
 
 
 
 
28 
 
Combinando la expresión 
[4] 
 
con la expresión [1] F=P(1+i)n se 
obtiene: 
 
[ 5 ] 
 
inversamente: 
[ 6 ] 
 
 
 
OTRA FORMA DE NOTACIÓN DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA 
Las relaciones de equivalencia que hemos obtenido hasta el momento tienen la 
forma: 
 
Donde: 
Y: Valor buscado 
X: Valor conocido 
(Y / X, i, n): Factor de equivalencia que se lee : 
"Dado un X, hallar un Y, al i % en n periodos". 
 
Con esta forma de notación las relaciones de equivalencia son: 
 
29 
 
 
[1] F = P ( F / P , i , n ) 
 
[2] P = F ( P / F , i , n ) 
 
 [3] F = A ( F / A , i , n ) 
 
[4] A = F ( A / F , i , n ) 
30 
 
 
 
 [5] A = P ( A / P , i , n ) 
 
[6] P = A ( P / A , i , n ) 
 
 
Una forma simple y rápida de hallar los factores de equivalencia es realizando 
programas sencillos de calculadora que pida los valores de i y de n, obteniéndose 
un resultado muy preciso. Otra forma (la tradicional) es utilizando las tablas de 
factores. Sin embargo las tablas jamás podrán presentar todas las combinaciones 
para los posibles valores de tasas de interés y número de periodos, requiriéndose 
en muchos casos de interpolaciones que conducen a resultados inexactos. 
 
 
 
 
 
31 
 
Ejemplos 
 
3. Usted decide invertir durante un año, al final de cada trimestre $100.000. 
¿Cuánto habrá acumulado al final del año si los depósitos obtienen un interés del 
2,5% trimestral? 
 
DATOS : 
F = ? 
n = 4 trimestres 
i = 2,5% trimestral 
 
 
F1= 100.000 
 
F2= 100.000 (1+0.025)
1 = 102,500 
 
F3= 100.000 (1+0.025)
2 = 105062,5 
 
F4= 100.000 (1+0.025)
3 = 107689,06 
 
FT = F1 + F2 + F3 + F4 = 415251,56 
 
32O usando fórmula para serie uniforme: 
 
F = A [ ( 1 + i )n - 1 ] / i 
 F = 100.000 [ ( 1 + 0,025 )4 - 1 ] / 0,025 
 F = $415251,56 
 
 
 Cuanto debería haberse depositado, para obtener el mismo valor final, si el 
momento del deposito hubiera sido al principio y no al final de cada trimestre. 
 
 
Aant (1+i) = A 
Aant = A / (1+i) 
 
 F = Aant (1+i) [ ( 1 + i )n - 1 ] / i 
 F = (100.000 / 1,025)(1,025) * [ ( 1 + 0,025 )4 - 1 ] / 0,025 
 F = $415251,56 
 
* Cuanto debería haberse depositado para obtener el mismo valor final si al 
momento del depósito hubiera sido al inicio y no al final de cada trimestre 
 
 
33 
 
F=415251.56
A=?
0 4
i=2.5%
 
 
 
Aplicando la formula 
 
 
Se obtiene 
 
 
 
4. Su empresa recibe un préstamo a corto plazo (1 año) el cual deberá ser 
cancelado mediante cuotas trimestrales fijas (cuota trimestral vencida) si el 
préstamo es de y la tasa de interés es del 3% trimestral, determine el 
valor de la cuota a pagar 
 
 
 
 
 
34 
 
P=10'000.000
A=?
0 4
i=3%
 
 
Aplicando la formula 
 
 
Remplazando 
 
 
Se obtiene 
 
 
¿Cual hubiera sido el valor de las cuotas si paga anticipado? 
 
Aplicando la formula 
 
 
Se obtiene 
 
 
 
35 
 
5. Cual será el valor de la cuota a pagar en el préstamo anterior si el plazo 
hubiera sido dos años y las cuotas del segundo año fueran planeadas para 
incrementarse en un 10% respecto al primer año 
 
 
 
 
 
 
 
P=10'000.000
A1
0
4
i=3%
8
A2=1.1A1
 
 
Resolviendo 
 
 
 
Obtenemos 
 
 
 
Como 
36 
 
 
 
Ítem Valor 
préstamo 10.000.000,00 
plazo años 2 
Periodos 4 
interés 
trimestral 0,030 
 
Periodo 
Trimestral 
Saldo 
inicial 
Interés 
causado 
Cuota a 
pagar 
Abono a 
capital 
Saldo 
final 
1 10000000 300000 1360553,18 1060553,183 8939446,82 
2 8939446,817 268183,4045 1360553,18 1092369,778 7847077,04 
3 7847077,039 235412,3112 1360553,18 1125140,872 6721936,17 
4 6721936,167 201658,085 1360553,18 1158895,098 5,563E+06 
5 5,563E+06 1,669E+05 1496608,501 1329717,269 4,233E+06 
6 4,233E+06 1,270E+05 1496608,501 1369608,787 2,864E+06 
7 2,864E+06 8,591E+04 1496608,501 1410697,051 1,453E+06 
8 1,453E+06 4,359E+04 1496608,501 1453017,962 -4,424E-09 
 
 
6. Si la modalidad del pago se mantuviera a dos años con cuotas fijas trimestrales 
vencidas y en lugar de aumentar en el segundo año tuviéramos unas cuotas 
extraordinarias al final de cada semestre por valor de ¿Cuál seria el 
valor de las cuotas a pagar? 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
P=10'000.000
A
0
4
i=3%
8
140.000
 
Resolviendo 
 
 
 
Se obtiene 
 
 
Ítem Valor 
Préstamo 10000000 
plazo años 2 
Periodos 
trimestrales 
8 
interés trimestral 0,03 
cuota 
extraordinaria 
140000 
interés semestral 0,0609 
periodos 
semestrales 
4 
38 
 
 
Periodo 
Trimestral 
Saldo 
 inicial 
Interés 
causado 
Cuota a 
pagar 
Abono a 
capital 
Saldo 
final 
1 10000000 300000 1355598,371 1055598,371 8944401,629 
2 8944401,629 268332,0489 1495598,371 1227266,322 7717135,307 
3 7717135,307 231514,0592 1355598,371 1124084,312 6593050,995 
4 6593050,995 197791,5298 1495598,371 1297806,841 5295244,154 
5 5295244,154 158857,3246 1355598,371 1196741,046 4098503,107 
6 4098503,107 122955,0932 1495598,371 1372643,278 2725859,83 
7 2725859,83 81775,79489 1355598,371 1273822,576 1452037,253 
8 1452037,253 43561,1176 1495598,371 1452037,253 -5,3551E-09 
 
 
***¿Cuál será el saldo al cabo del primer año con las dos modalidades de pago? 
(una vez pagado la cuota? 
 
P=10'000.000
1'496.623
0
4
i=3%
8
1'360.566
 
 
 
 
39 
 
2.4 GRADIENTE 
 
En ocasiones se pueden presentar flujos periódicos que cambian periodo a 
periodo en una determinada cantidad o porcentaje; en éstos casos se dice que 
existe un GRADIENTE. 
 
Analizando la forma de aumento (o disminución) del flujo podemos clasificar el 
gradiente como Gradiente Aritmético o Gradiente Geométrico. 
 
2.4.1 Gradiente Aritmético (G). Un gradiente, a diferencia de una serie uniforme, 
es un flujo que varía cada periodo. Si la variación periodo a periodo es un valor 
constante G se dice que es un gradiente aritmético y si dicha variación fuere 
porcentual tomaría el nombre de gradiente geométrico. 
 
Tomemos inicialmente el caso del gradiente aritmético y específicamente del 
gradiente aritmético positivo (o creciente) que se presenta cuando el flujo crece tal 
como se observa en la siguiente gráfica. 
 
 
 
 
Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y un valor futuro 
(F) 
40 
 
 
 
Donde: 
G : Valor del Gradiente 
F: Valor futuro 
i : Tasa de interés compuesto por periodo 
n : número de periodos 
Analicemos cada uno de los flujos: 
Para el segundo periodo en el que se presenta el primer flujo (G) y tomando este 
G como un valor presente, el valor futuro generado sería: 
 
F = G * ( 1+i )^( n-2 ) 
 
(n-2 es el número de periodos entre el primer flujo G y el periodo final n). 
Para el tercer periodo en el que se presenta un flujo de valor 2G; el valor futuro 
generado sería: 
 
(1) F = 2 * G * ( 1+i )^( n-3 ) 
 
(n-3 puesto que el interés se genera a partir del periodo 3). 
Para el periodo n-1 el flujo es (n-2)G, por tanto, el valor futuro generado es: 
(2) F = (n-2) * G * (1+i)^(n - (n-1)) = (n-2) * G * (1+i) 
41 
 
En el periodo n, el flujo (n-1)G es el mismo valor futuro puesto que no genera 
interés. 
 
El valor futuro generado por el Gradiente Aritmético es la suma de cada uno de los 
valores futuros generados por el flujo de los diferentes periodos. 
 
Obtendremos: 
(3) F= G * ( 1+i )^(n-2) + 2G * (1+i)^(n-3) + ... + (n-2)G * (1+i) + (n-1) * G 
 
Multiplicando por el factor (1+i) 
(4) F(1+i)= G(1+i)^(n-1) + 2G(1+i)^(n-2) +...+ (n-2)G(1+i)^2 + (n-1)G(1+i) 
 
Restando (3) de (4) se obtiene: 
(5) F(i) = [G(1+i)^(n-1) + G(1+i)^(n-2) +...+ G(1+i)^2 + G(1+i) + G] - nG 
 
Obsérvese que la parte señalada (con letra inclinada) es similar a la ecuación (1) 
obtenida en el análisis de la serie uniforme cuya fórmula general es [3]. 
Podemos escribir: 
 
 
(6) 
 
Finalmente despejamos 
[7] 
 
42 
 
 e inversamente 
[8] 
 
 
Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y un valor 
presente (P) 
 
 
 
Recordemos que [2] : F = P * (1+i) ^n 
Reemplazando [2] en [7] tenemos: 
P * (1+i) ^n = G * [ (1+i)^n -1 - n * i] / i^2 
 
Luego, 
[9] 
 
 
 e inversamente 
43 
 
[10] 
 
 
Relación de equivalencia entre un Gradiente Aritmético (G) y una Serie 
Uniforme (A) 
 
 
 
 De la relación [3] r 
 
Reemplazando [3] en [7] 
 
 
 [11] 
 
e inversamente 
44 
 
 [12] 
G= A[(i)(1+i)n- i)/ ((1+i)n-1-n(i))] 
 
 
 
 
7. Los $ 10000000 del préstamo trimestral se van a pagar en una cuota creciente 
en $ 50000 ¿Cuál será el valor de la primera cuota trimestral? 
 
 
 
 
P=10'000.000
0
4
i=3%
8
A
A+50.000
A+100.000
A+350.000
 
 
Aplicando la formula 
 
 
Remplazando 
 
45 
 
 
 
Cuota trimestral: 
 
***¿Cuál será el valor de la primera cuota si trimestralmente decreciera? 
 
Resolviendo 
 
 
 
El valor de la primera cuota es 
 
 
 Gradiente Aritmético Decreciente (negativo). En algunos casos el flujo 
(ingresos ó egresos), presenta una disminución constante G en cada periodo. 
 
Por ejemplo, observemos el siguiente flujo de egresos: 
 
 
 
Como en cada periodo disminuye una cantidad G (en este caso G=100.000) 
respecto al periodo anterior a partir del primer flujo, se dice que es un 
GRADIENTE ARITMÉTICO DECRECIENTE ó NEGATIVO. 
 
46 
 
La evaluación de éste tipo de flujo es: Tomar una serie uniforme con el primer 
valor del flujo y a ésta, restarle un Gradiente Aritmético (G) para quitar el exceso 
de la siguiente forma: 
 
 
 
 
P= 500.000 (P/A, i%,4) - 100.000(P/G, i%,4) 
El mismo tratamiento se dará para un flujo de ingresos: 
 
 
 
P= 500.000(P/A, i%,4) - 100.000(P/G, i%,4) 
 
 
2.4.2 Gradiente Geométrico (C). Este tipo de gradiente se presenta cuando el 
flujo crece cada periodo un porcentaje constante (Delta : D), siendo C el flujo 
inicial. 
 
47 
 
 
 
Relación de equivalencia entre un Gradiente Geométrico (C,D ) y un valor 
futuro (F) 
 
 
Donde: 
 
C : Valor inicial del Gradiente Geométrico 
D : Porcentaje compuesto de crecimiento por periodo 
i : Tasa de interés compuesto por periodo 
n : Número de periodos 
F : Valor futuro 
 
Analicemos cada uno de los flujos: 
48 
 
 
Para el primer periodo se presenta el flujo inicial C, tomando este C como un valor 
presente, el valor futuro generado sería: 
F = C (1+i)^(n-1) 
 
Para el periodo (n-1), el flujo es C(1+D )^(n-2) y el valor futuro correspondiente: 
F= C (1+i)(1+D )^(n-2) 
 
En el periodo n, el flujo es C(1+D )^(n-1) y no genera interés puesto que es el 
último periodo. El valor futuro generado por el gradiente geométrico es la suma de 
cada uno de los valores futuros generados por el flujo de los diferentes periodos. 
Efectuando esta suma se obtiene: 
(5) F = C (1+i)^(n-1) + C(1+D )(1+i)^(n-2) + . . . + 
C(1+D )^(n-2)(1+i) +C(1+D )^(n-1) 
 
Tratando de que cada elemento en la serie equivalga al anterior multiplicamos por 
el factor (1+i) y dividimos por el factor (1+D ): 
(6) 
F 
= 
C 
 
+ 
C(1+i)n-
1 + ... 
+C(1+D 
)n-
3(1+i)2 
+ 
C(1+D 
)n-
2(1+i) 
 
49 
 
 
Restando (5) de (6): 
F 
 
= 
C 
 
- 
C(1+D 
)n-1 
 
 [13] 
 
para todo i ¹ D 
 [14] 
 
para todo i ¹ D 
(1:Diferente) 
 
Si i = D , la ecuación (5) se convertiría en: 
F= C(1+i)^(n-1) + C(1+i)(1+i)^(n-2) + ... + C(1+i)^(n-2)(1+i) + C(1+i)^(n-1) 
 
luego, 
[15] 
 
50 
 
para i = D 
 
 
[16] 
 
para i = D 
 
Teniendo en cuenta que F=P(1+i)n obtenemos las fórmulas: 
 [17] 
 
 [18] 
 
 
 
 
 
 
Relación de equivalencia entre un Gradiente Geométrico (C,D ) y un valor 
presente (P) 
 
 
51 
 
 
Reemplacemos [2] en [13] 
P(1+i)n= C *(1+i)n - (1+D )n/(i-D ) 
 
 
luego, 
 [19] 
 
[20] 
 
 
De manera similar, es decir, haciendo los reemplazos necesarios, podemos 
encontrar relaciones de equivalencia entre: 
 
- Gradiente Geométrico y Serie Uniforme 
 [21] 
52 
 
 
 
[22] 
 
 
 
8. Usted ingresa a laborar con un salario de 3`000.000 mensuales al final 
de cada año su empleador depositara salarios en un fondo de cesantías 
suponga que su salario se incrementara anualmente en un y que la 
rentabilidad anual del fondo de cesantías es del ¿Cuánto abra acumulado al 
cabo de años sin retiros 
 
 
 
 
 
3'360.000
0
30
F=?
 
 
Aplicando la formula 
53 
 
 
 
Remplazando 
 
Obtenemos 
 
 
 
***Cual será el salario en el año 30? 
 
Aplicando la formula 
 
 
Remplazando 
 
 
 
Obtenemos 
 
 
2.5 SERIES UNIFORMES CONSECUTIVAS CON CRECIMIENTO GEOMÉTRICO 
 
En nuestro medio es común encontrar casos en los que durante un año se 
presentan flujos mensuales constantes y anualmente el flujo mensual crece un 
porcentaje D. Tal es el caso de ciertas modalidades de pago para prestamos de 
vivienda y en general del comportamiento de los salarios. 
 
A continuación se desarrolla un modelo general para este tipo de flujos. 
54 
 
 
NOTA: Por facilidad cuando se hable de periodos mayores piense en años y 
cuando se hable de periodos menores piense en meses; pero en general el 
modelo se desarrolla para cualquier tipo de periodo menores y mayores. 
 
Si: 
n: Número de periodos mayores ó número de series uniformes. 
 
m: Número de periodos menores de cada serie uniforme que hay en un periodo 
mayor ó número de periodos en los cuales la cuota es constante 
 
P: Valor presente equivalente del modelo 
 
D: Porcentaje compuesto de crecimiento por series de (m) periodos. 
 
b: Valor Inicial de la primera serie uniforme. 
 
i: Tasa de Interés de uno de los periodos menores.(im) 
 
ii: Tasa de interés de uno de los periodos mayores (in) 
 
n* m: Número total de periodo del modelo. 
(a) P = B[(ii/i)] * [(1+ii)n - (1+ 
 
(b) P=B [ii/i] [(1+ii)n - (1+)n ] / [(1+ii)n (ii -)] 
B=P [i/ii][(1+ii)n (ii - )n ] / [(1+ii)n -(1 -)n] 
 
55 
 
 
 
 
Cada serie uniforme consta de (m) periodos menores con un interés (i) y si cada 
una de ellas la convertimos en un futuro relativo equivalente, entonces se 
obtendrán (n) flujos en forma de gradiente geométrico, con un incremento relativo 
de D, (figura (b)) así la expresión para el primer flujo generado por la serie 
uniforme inicial es: 
 
 
 La expresión para el segundo flujo y para el tercer flujo, considerando el 
incremento (D ) relativo es: 
 
 
 
Y así sucesivamente hasta el enésimo (n) flujo futuro de expresión. 
56 
 
 
 
 
que no genera intereses por ser el último periodo mayor. 
 
Determinando todos los anteriores (n) flujos el gradiente geométrico de (n) 
periodos mayores con un interés (ii) donde ii = (1+i)m - 1 Expresión final para el 
interés de cada periodo mayor. 
 
De tal forma que si los flujos relativos se llevan a un flujo total futuro se puede 
hallar el equivalente al C del gradiente. 
 
Entonces: 
 
Cgrad = 
 
 
 
 
 
Permitiendo ya esta expresión y utilizando las anteriores expresiones para hallar 
un P y un F de un gradiente geométrico, obtener las expresiones similares para 
este modelo. 
Así de la anterior expresión : P = Cgrad 
 
Se halla la similar quedando así: 
 [23] 
57 
 
 
 
 
[24] 
 
 
 
De igual forma se da la expresión F =Cgrad 
 
Se encuentra la análoga para este modelo: 
[25] 
 
 
[26] 
 
Las fórmulas [23], [24], [25] y [26] no solo son de gran utilidad (puesto que es el 
modelo más usado en las Corporaciones de Ahorro y Vivienda) sino que se 
pueden considerar como el modelo general en el cual las fórmulas anteriores para 
58 
 
las relaciones de equivalencia entre P, F, A, y C son casos específicos de dicho 
modelo general. 
 
 
9. Con los datos del ejercicio anterior sobre cesantías deseamos conocer ahora 
cuanto es el monto acumulado en pensiones si para ello el empleador deposita 
mensualmente en un fondo de pensiones de su salario recuerde que el 
salario inicial es de 3’000.000, el incremento anual es del y el interés del fondo 
de pensiones es del 
 
 
 
 
 
 
 
Para hallar el i mensualaplicamos 
 
 
Remplazando 
 
 
Obtenemos 
 
 
 
Aplicando la formula 
 
59 
 
 
Remplazando 
 
 
 
Obtenemos 
 
 
 
10. Un profesor se va en condiciones de estudio al exterior durante dos años y 
desea saber cuanto debería dejar en una cuenta bancaria para que su familia 
pueda cubrir los gastos mensuales que están estimados en y que 
crecen mensualmente en un suponga que el dinero en la cuneta recibirá un 
interés mensual de 
 
a. 
 
 
 
P=?
0
24
2'000.000
 
Aplicando la formula 
 
60 
 
 
Remplazando 
 
 
Obtenemos 
 
b. 
 
Aplicando la formula 
 
Remplazando 
 
Obtenemos 
 
 
 
11. Del ejercicio anterior Suponiendo que usted disfrutara de la pensión 15 años 
cual seria el porcentaje mensual del salario que Ud. tendría si hubiera seguido 
trabajando que recibiría como pensión 
 
 
 
 
 
 
61 
 
2.154'000.000
0
15
B
B+delta
 
 
Aplicando la formula 
 
 
Remplazando 
 
 
Obtenemos 
 
 
 
12. Su familia decidió adquirir una vivienda que vale para ello dispone 
de en ahorros y el resto será financiado a 20 años con una tasa del 
 mensual. Determine el valor de las cuotas mensuales a pagar en las 
siguientes modalidades 
 
a. Cuotas fijas 
b. Cuota creciente $5000 mensuales 
c. Cuota creciente 0.5% mensual 
d. Cuota fija mensual con crecimiento anual del 6% 
 
62 
 
 Cuotas fijas: 
 
 
 
 
60'000.000
0
240
i=1.1%
 
 
Aplicando la formula 
 
Reemplazando 
 
Obtenemos 
 
 
 Cuota creciente $5000 mensual: Gradiente aritmético 
 
63 
 
60'000.000
0
240
A
A+1'200.000
A+10000
A+5000
 
 
 
 
 
 
Luego 
 
 Cuota creciente 0.5% mensual: Gradiente geométrico 
 
60'000.000
0
240
 
 
Aplicando la formula 
 
64 
 
Reemplazando 
 
Obteniéndose 
 
 
 Crecimiento anual 6%: cuota fija 
 
Aplicando la formula 
 
 
 
 
 
Reemplazando 
 
 
Obteniéndose 
 
 
 
 Series Geométricas Consecutivas con Crecimiento Geométrico. Existen 
sistemas en nuestro medio en los cuales es común encontrar casos en los que 
durante un año se presentan flujos mensuales que aumentan un porcentaje (X) y a 
su vez anualmente aumentan otro porcentaje (Y) . Tal es el caso de ciertas 
modalidades de pago para prestamos de vivienda y prestamos en el extranjero. 
 
 
65 
 
A continuación se desarrolla un modelo general para este tipo de flujos. 
 
NOTA: Por facilidad cuando se hable de periodos mayores piense en años y 
cuando se hable de periodos menores piense en meses; pero en general el 
modelo se desarrolla para cualquier tipo de periodo menores y mayores. 
 
Si: 
 
n : Número de periodos mayores ó número de series uniformes. 
 
m : Número de periodos menores de cada serie uniforme que hay en un periodo 
mayor ó número de periodos en los cuales la cuota aumenta un porcentaje X 
 
P : Valor presente equivalente del modelo 
 
Y : Porcentaje compuesto de crecimiento por series de (m) periodos. 
 
c : Valor Inicial de la primera serie uniforme. 
 
i : Tasa de Interés de uno de los periodos menores.(im) 
 
ii : Tasa de interés de uno de los periodos mayores (in) 
 
n * m : Número total de periodo del modelo. 
 
(c) 
66 
 
 
 
 
Cada serie geométrica consta de (m) periodos menores con un interés (i) y si cada 
una de ellas la convertimos en un futuro relativo equivalente, entonces se 
obtendrán (n) flujos en forma de gradiente geométrico, con un incremento relativo 
de Y , (figura (c)) así la expresión para el primer flujo generado por la serie 
geométrica inicial es: 
 
 
 
La expresión para el segundo flujo y para el tercer flujo, considerando el 
incremento (D ) relativo es: 
 
 
 
67 
 
 
 
Y así sucesivamente hasta el enésimo (n) flujo futuro de expresión. 
 
 
 
que no genera intereses por ser el último periodo mayor. 
 
La expresión quedaría como una serie geométrica con C : 
 
Para hallar F quedaría así: 
 
 
Para hallar P quedaría así: 
 
 
Para hallar C dado un F quedaría así: 
 
68 
 
Para hallar C dado un P quedaría así: 
 
 
 
 
EJERCICIOS DESARROLLADOS 
 
 
 Valor del Dinero a través del Tiempo. 
 
Ejemplo 1. Se dispone de 1'000.000 de pesos el cual se deposita en una entidad 
financiera que le pagará un interés mensual del 2.5% sobre la cantidad inicial 
acumulada cada mes. ¿Cuánto se tendrá al final de 1 año? 
 
DATOS : 
P=1'000.000 
i= 2.5% mensual 
n= 12 meses 
F= ? 
 
Aplicando la fórmula F = P * ( 1+i )^n 
F=1'000.000 (1+0.025)^12 
F = 1'344.888,82 
 
 
 
 
69 
 
Ejemplo 2. Cuánto deberá depositarse hoy en una entidad financiera que paga un 
interés trimestral del 8.5%, para tener $4'000.000 dentro de 2 años? 
 
DATOS : 
 
F= $4'000.000 
i= 8.5% trimestral 
n= 8 trimestres (2 años) 
P=? 
P = F * (1+i)^(-n) 
P= 4'000.000 (1+0.085)^(-8) 
P= 2'082.677,79 
 
 
Ejemplo 3. Una entidad financiera ofrece que, por cualquier monto que se le 
entregue, devolverá el doble al cabo de 30 meses. ¿Qué interés está pagando? 
 
DATOS : 
P = Cantidad inicial 
F = 2P (Cantidad final) 
n = 30 meses 
i = ? 
Utilizando la fórmula i = (F/P)^(1/n) - 1 
2P = P (1+i)^30 
2 = (1+i)^30 
i= 0.023 (2.3% mensual) 
 
 
 
70 
 
Ejemplo 4. Cada cuánto se duplica el dinero invertido al 2%? 
 
DATOS : 
P= Cantidad inicial 
F= 2P (cantidad duplicada) 
n=? 
n = [ log(F/P) ] / ( log(1+i) ) 
2P = P * (1+0.02)^n 
log 2 = n*log(1.02) 
n = 35 periodos de tiempo 
 
 
Relación de Equivalencia entre una Serie Uniforme (A) y un valor Presente 
(P) situado un Periodo atrás del primer flujo de la serie. 
 
Ejemplo 5. Usted decide ahorrar mensualmente $10.000 los cuales depositará al 
final de cada mes en una entidad financiera que paga un interés del 2.5% 
mensual. ¿Cuánto habrá acumulado al cabo de 2 años? 
 
A = $10.000 
i = 2.5% mensual 
n = 24 meses 
F = ? 
71 
 
 
F= $323.490,38 
 
 
Ejemplo 6. Cuánto debe ahorrar mensualmente un estudiante que desea reunir 
$2'000.000 al final de sus 5 años de carrera con el fin de montar su propia 
empresa, si los ahorros le rentan el 3% mensual? 
 
A = ? 
F = 2'000.000 
n = 60 meses 
i = 3% mensual 
 
 
 
 
A= 12.265,92 
 
 
 
72 
 
Ejemplo 7. Usted va a comprar un carro que vale $5'000.000 bajo las siguientes 
condiciones: 
cuota inicial: 40% 
Saldo financiado a 5 años al 2% mensual con cuotas mensuales iguales. 
¿Cuánto pagará mensualmente? 
 
P = $3'000.000 
n = 60 meses 
i = 2% mensual 
A = ? 
 
 
 
 
A= $86.303,90 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
Ejemplo 8. Usted asume una hipoteca a 25 años por $75’250.000, con una tasa 
de interés mensual del 2%. Piensa ser propietario de la casa durante 4 años y 
luego venderla, liquidando el préstamo con un pago final. Cuál será el monto de 
este pago al final de 4 años?. Las cuotas son fijas y deberán ser pagadas 
mensualmente. 
 
 
 
 
Primero hallamos el valor de la mensualidad: 
A = P [ ( 1 + i )n i ] / [ ( 1 + i )n - 1 ] 
A = 75’250.000 [ ( 1 + 0,02 )300 ( 0,02 ) ] / [ ( 1 + 0.02 )300 -1 ] 
A = $1’508.968,521Ahora hallamos cuánto se ha pagado durante los primeros 4 años: 
F = A [ ( 1 + i )n - 1 ] / i 
F = 1’508.968,52 [ ( 1 + 0,02 )48 - 1 ] / 0,02 
F = $119’741.962,6 
 
Al final de los primeros 4 años se han pagado $ 119’741.962,6 
Si llevamos el valor de la hipoteca al periodo 48, podemos restar estos dos valores 
F = P ( 1 + i )n 
F = $194’677.046,5 
 
74 
 
El pago que se debe hacer para cancelar la hipoteca es: 
$194’677.046,5 - $119’741.962,5 = $74’935.084 
 
 
Ejemplo 9. Una empresa requiere $2'000.000, los cuales va a recibir como 
préstamo bancario con las siguientes condiciones: 
Plazo: 1 año 
interés: 8% trimestral 
Forma de pago: cuotas trimestrales iguales vencidas, las cuales incluyen intereses 
y abonos a capital. 
a. Determine el valor de la cuota. 
n = 4 trimestres 
i = 8% trimestral 
P = 2'000.000 
A = ? 
 
 
 
A= $603.841,61 
 
 
 
 
75 
 
b. Ilustre mediante un cuadro periodo a periodo los siguientes conceptos: 
- Saldo inicial 
- Intereses causados 
- Cuota a pagar 
- Abono a capital 
- Saldo final 
 
PERIODO 
SALDO 
INICIAL 
INTERES 
CAUSADO 
CUOTA A 
PAGAR 
ABONO A 
CAPITAL 
SALDO 
FINAL 
I 2'000.000 160.000 603.841.61 443.841.61 1'556.158.39 
II 1'556.158.39 124.492.67 603.841.61 479.348.94 1'076.809.45 
III 1'076.809.45 86.144.76 603.841.61 517.696.85 559.112.60 
IV 559.112.60 44.729.01 603.841.61 559.112.60 - 0 - 
2'000.000 
 
 
Los intereses son causados por el saldo inicial de cada periodo. Los abonos a 
capital se calculan como la cuota a pagar menos los intereses causados. 
 
El saldo final se obtiene restando el abono a capital del saldo inicial. Este saldo 
final será el saldo inicial para el próximo periodo. 
 
c. Compruebe que el total de los abonos a capital es exactamente el préstamo 
recibido, y que el saldo al final del año es exactamente cero. 
 
El cuadro nos muestra que la suma de abonos a capital nos da exactamente los 
$2'000.000 recibidos, y que el saldo al final del año (cuarto periodo) es cero. 
76 
 
d. Analice los saldos periodo a periodo y la relación interés-abono a capital 
durante los diferentes periodos. 
 
Los saldos van disminuyendo cada periodo más rápidamente, dado que el abono 
a capital aumenta periodo a periodo, mientras que los intereses sobre el saldo 
inicial del periodo correspondiente van disminuyendo. 
 
 
 
Ejemplo 10. Para comprar maquinaria usted ha recibido un préstamo de 
$65’000.000 por dos años, con un interés semestral del 16%, pagadero en cuotas 
semestrales iguales vencidas las cuales incluyen interés y abonos a capital. 
Calcule el valor de la cuota y haga un cuadro donde se incluyen abono a capital, 
interés, saldo inicial y saldo final. 
 
 
 
 
 
 
A = P [ ( 1 + i )n i ] / [ ( 1 + i )n - 1] 
A = 65’000.000 [ ( 1 + 0,16 )4 ( 0,16 ) ] / [ ( 1 + 0,16 ) - 1 ] 
77 
 
A = $ 23’229.379,5159 
 
PERIOD
O 
SALDO 
INICIAL 
INTERES 
CAUSADO 
CUOTA A 
PAGAR 
ABONO A 
CAPITAL 
SALDO 
FINAL 
1 
65’000.000,0
0 
10’400.000,0
0 
23’229.379,5
1 
12’829.379,5
1 
52’170.620,4
8 
2 52’170.620,4
8 
8’347.299,27 23’229.379,5
1 
14’882.080,2
3 
37’288.540,2
4 
3 37’288.540,2
4 
5’966.166,43 23’229.379.5
1 
17’263.213,0
7 
20’025.327,1
6 
4 
20’025.327,1
6 
3’204.052,34 23’229.379.5
1 
20’025.327,1
6 
-0- 
 65’000.000,0 
 
 
Otra forma de Notación de las Relaciones de Equivalencia 
 
 
Ejemplo 11. Cuánto deberá invertirse hoy, Julio 1 de 1997 para hacer retiros 
trimestrales vencidos iguales por $500.000 cada uno durante 1999, si los 
depósitos obtienen un interés del 8% trimestral? 
 
 
 
78 
 
 
Existen dos formas de resolver este problema: 
a. Utilizando la relación de equivalencia entre la serie uniforme ($500.000) y un 
valor presente situado un periodo atrás del primer flujo de la serie, en este caso en 
el periodo 6. 
 
 
 
Hasta el momento: P '= A ( P/A , i , n ) [6] 
 
donde: 
P ' : Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el punto 6. 
A : $500.000 
P : Es P' 
i : 8% trimestral 
n : 4 (porque la serie uniforme es de 4 flujos) 
 
Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor presente situado en el 
periodo 6 (P'), es necesario llevarlo ahora al periodo cero que es el momento en el 
cual hacemos el depósito. 
 
Para hacer este traslado consideramos a P' como un valor futuro (F) con respecto 
a P (en el periodo cero), por lo tanto tenemos: 
P= P' (P/F,i,n) [2] 
 
79 
 
 
donde: 
P : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo cero 
P' = A(P/A,i,n) 
F = P' 
i = 8% trimestral 
n = 6 (porque P' está situado exactamente en el periodo 6 y es necesario llevarlo 
al periodo cero). 
En definitiva: P = A ( P/A , i , n ) ( P/F , i , n ) 
 
 
 
 P = $1'043.600,867 
b. Utilizando la relación de equivalencia entre la serie uniforme ($500.000), y un 
valor futuro situado exactamente al final de la serie, en este caso en el periodo 10. 
 
 
 
Hasta el momento: F = A ( F/A , i , n ) [3] 
 
 
80 
 
 
Donde: 
F : Es el valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10 
A : $500.000 
i : 8% trimestral 
n : 4 (porque la serie es de 4 flujos) 
 
Dado que la serie uniforme queda convertida en un valor futuro situado en el 
periodo 10 (F), es necesario llevarlo al periodo cero, siendo F un valor futuro 
respecto a P (en el periodo cero). 
 
Entonces : P = F ( P/F , i , n ) 
donde: 
P : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 0 
F : Valor equivalente a la serie uniforme A en el periodo 10 
i : 8% trimestral 
n : 10 (porque F está situado en el periodo 10 y es necesario llevarlo a cero) 
 
En definitiva : P = A ( F/A , i , n ) ( P/F , i , n ) 
 
 
 
 P = $1'043.600,867 
 
 
 
81 
 
 
Ejemplo 12. Usted recibe un préstamo de $2'000.000, el cual deberá pagar de la 
siguiente forma: 
Plazo : 2 años 
Interés : 2.5% mensual 
Pagos mensuales vencidos por un valor A durante el primer año, y por un valor 2A 
durante el segundo año. 
Determine el valor de la cuota. 
 
a. Primera forma de solución: 
 
 
 
 * Llevamos la serie A al periodo cero (P1) 
 P1= A(P/A,i,n) [6] 
 P1= A(P/A,2.5%,12) 
 * Llevamos la serie 2A al periodo 12 
 P2= 2A(P/A,i,n) 
 P2= 2A(P/A,2.5%,12) 
 * Llevamos el valor P2 al periodo cero (P2'). P2 es con respecto a P2' un valor 
futuro, por tanto: 
 P2'= P2(P2/F,i,n) [2] 
 P2'= 2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12) 
82 
 
 * Hacemos P igual al valor equivalente de la serie A (retiros hechos en el primer 
año) en el periodo cero (P1), más el valor equivalente de la serie 2A (retiros 
hechos en el segundo año) en el periodo cero. 
 P= P1+P2' 
 P= A(P/A,2.5%,12)+2A(P/A,2.5%,12)(P/F,2.5%,12) 
 2'000.000 = A(10,2577646)+2A(10,2577646)(0,74355585) 
 A= $78.393,84695 
 
 b. Segunda forma de solución 
 Tenemos dos series, cada una de valor A, la primera con 24 flujos (del 1 al 24), la 
cual llamaremos serie I y la segunda con 12 flujos (del 13 al 24), que llamaremos 
serie II. 
 
 * Llevamos la serie I al periodo 24 (F1) 
 F1= A(F/A,i,n) 
 F1= A(F/A,2.5%,24) 
 
 * Llevamos la serie II al periodo 24 (F2) 
 F2= A(F/A,i,n) 
 F2= A(F/A,2.5%,12) 
 
 * Llevamos F1 al periodo cero (P1) 
 P1=F1(P/F,i,n) 
 P1=A(F/A,2.5%,24)(P/F,2.5%,24) 
 
 * LlevamosF2 al periodo cero (P2) 
 P2=F2(P/F,i,n) 
 P2=A(F/A,2.5%,12)(P/F,2,5%,24) 
83 
 
 * Hacemos P igual al valor equivalente de la serie I en el periodo cero (P1), más el 
valor equivalente de la serie II en el periodo cero (P2) 
 P=P1+P2 
 P=(A(F/A,2.5%,24)+A(F/A,2.5%,12))(P/F,2.5%,24) 
 2'000.000=A(17.885)+A(7.627) 
 A = $78.394,48 
 
 c. Tercera forma de solución 
 Aplicando el mismo procedimiento, pero esta vez llevando cada una de las series 
a un valor presente, es decir, llevar la serie I al punto cero; la serie II al punto 12 y 
luego a valor presente cero. Debemos obtener el mismo resultado. 
 
 * Llevando la serie I al periodo cero (P1) 
 P1=A(P/A,2.5%,24) 
 P1=17,885A 
 
 * Llevando la serie II al periodo 12 (P2) 
 P2=A(P/A,2.5%,12) 
 P2=10,2577 
 
 * Llevando P2 (tomándolo como F y llevándolo al periodo cero) 
 P2=F(P/F,2.5%,12) 
 P2=7,627A 
 
 * Hacemos P igual al periodo equivalente de la serie I en el periodo cero(P1),mas 
el valor equivalente de la serie II en el periodo cero (P2) 
 P=P1+P2 
 2'000.000=A(17.885)+A(7.627) 
 A = $78.394,48 
84 
 
Ejemplo 13. Usted requiere saber de cuánto dinero debe disponer hoy Enero 1 de 
1997, generando un interés del 2% mensual para poder hacer retiros mensuales 
vencidos durante 1998 de $20.000 cada uno, al final del 98 $100.000 adicionales; 
durante 1999 $30.000 mensuales, y al final del 99 $150.000 adicionales. 
 
 
 
 P=[100.000+20.000(F/A,2%,12)](P/F,2%,24)+ 
[150.000+30.000(F/A,2%,12)](P/F,2%,36) 
 P = $ 499.724,79 
 
 
Ejemplo 14. Usted va a comprar un equipo de sonido en un almacén de 
electrodomésticos, el cual ofrece un crédito cooperativo al 2.5% mensual. La 
forma de pago será cuotas mensuales vencidas iguales durante 2 años. Al cabo 
de 6 meses se podría finalizar la deuda cancelando el saldo, el cual sería de 
$120.000. Cuál es el valor de compra del equipo de sonido? 
 
 
85 
 
Posibles formas de pago: 
 * P= A(P/A,2.5%,24) 
 
 
 
 120.000= A(P/A,2.5%,18) 
 120.000= A(14,353363) 
 A= $8.360,41 
Reemplazando el valor de A en *: 
 P = 8.360,41(P/A,2.5%,24) 
 P = $149.525,81 
 
 
Ejemplo 15. Un almacén vende cualquiera de sus electrodomésticos de contado o 
a crédito. Si es de contado, el valor pagado es el precio de lista menos un 30% de 
descuento. Si es a crédito, debe cancelarse como cuota inicial el 20%, y el resto 
se pagará en 10 meses con cuotas iguales cada una de ellas por un valor igual al 
80% del precio en lista dividido por 10. ¿Cuál es el interés real mensual de 
comprar a crédito? 
 
 
86 
 
 PL: Precio de lista 
 Hallando el flujo neto equivalente a la diferencia entre las dos formas de pago 
tenemos: 
 
 
Donde 0.5 PL representa el dinero que realmente esta siendo financiado ya que a 
crédito de todas formas debe darse 0.2 PL como cuota inicial y si el comprador 
dispusiera de 0.5 PL adicionales completaría el precio de compra de contado que 
es 0.7 PL y se evitaría el pago de las diez cuotas adicionales. En otras palabras, el 
comprador paga diez cuotas mensuales equivalentes al 8% del precio de lista a 
cambio de no tener que pagar hoy un 50% del precio de lista (precio de contado 
menos cuota inicial), lo que puede ser interpretado como un préstamo. 
 
 0.7PL=0.2PL + 0.08PL(P/A,i%,10) 
 0.5PL=0.08PL(P/A,i%,10) 
 (P/A,i%,10)=6,25 
 Debemos hallar un valor de i despejando la fórmula y con calculadora hallamos 
que : i = 9,6140% 
 Luego el comprador esta pagando un interés mensual cercano al 10% 
 
 
 
 
87 
 
Gradiente Aritmético 
 
Ejemplo 16. Usted va a depositar dentro de 6 meses $50.000, dentro de 9 meses 
$100.000, dentro de 1 año $150.000, y así sucesivamente hasta que hace el 
último depósito dentro de 4 años. ¿Cuánto tendrá en ese entonces acumulado, si 
los depósitos ganan un interés del 8% trimestral? 
 
G = $50.000 
i = 8% trimestral 
n = 16 trimestres 
F = ? 
 
 F= 50.000 * (1+0,08)16 -1 -16(0,08)/(0,08)2 
 F= $8'952.676,90 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
Ejemplo 17. ¿Cuánto debería invertir hoy para hacer los siguientes retiros: 
Dentro de 4 trimestres $200.000 
Dentro de 5 trimestres $210.000 
Dentro de 6 trimestres $220.000 
y así sucesivamente hasta el décimo segundo trimestre, con un interés del 7.5% 
trimestral? 
 
 
Separemos el flujo en 2 partes: 
Una serie uniforme con A= $200.000 y un gradiente aritmético de valor 
G=$10.000. 
 
 
 
El valor P puede calcularse de diferentes formas. Debe tenerse en cuenta que sólo 
pueden sumarse cantidades si éstas se encuentran en el mismo punto. Podemos 
resolver el problema de diversas formas: 
89 
 
a. Primera Solución: Llevando cada flujo a presente (periodo 3) y luego el total al 
punto cero 
 
P= [200.000 (P/A,7.5%,9) + 10.000(P/G,7.5%,9)] (P/F,7.5%,3) P=1'207.759,22 
 
b. Segunda Solución: Llevando cada flujo a futuro (periodo 12) y después 
trasladarlo a presente. P= [200.000(F/A,7.5%,9) + 10.000(F/G,7.5%,9)] 
(P/F,7.5%,12) 
 
P= (2'445.969,767+430.646,511)*(P/F,7.5%,12)=$1'207.759,22 
 
c. Tercera Solución: Obteniendo el A equivalente para G y así tener una única 
serie uniforme 
 
P= {[10.000(A/G,7.5%,9) + 200.000] (P/A,7.5%,9)}(P/F,7.5%,3) 
P=1'500.395,508*(P/F,7.5%,3) P=1'207.759,22 
 
 
 Gradiente Aritmético Decreciente (Negativo) 
 
Ejemplo18. ¿Cuánto debería depositarse hoy al 10% mensual para obtener los 
siguientes flujos? 
 
90 
 
 
 
Un posible planteamiento con su solución sería: 
P = 1'000.000(P/A,10%,12) + 100.000(P/G,10%,5)(P/F,10%,3)+ 
 500.000(P/A,10%,4)(P/F,10%,8)+[1'100.000(P/A,10%,7) – 
 400.000(P/G,10% ,7)](P/F,10%,12) 
 P = $8'148.273,705 
 
Otro planteamiento podría ser: 
 P = 1'000.000(P/A,10%,4)+[100.000(P/G,10%,4)+1'100.000(P/A,10%,9)]* 
(P/F,10%,4) + 
 [400.000(P/A,10%,4)*(P/F,10%,8)] + 700.000 (P/A,10%,6)- 
 400.000(P/G,10%,6)]*(P/F,10%,13) 
 P= $8'148.273,05 
 
 
 
91 
 
 Gradiente Geométrico. 
 
Ejemplo 19. 10 estudiantes recién ingresados piensan asociarse y crear un fondo 
de ahorros mensuales de tal forma que al culminar sus 5 años de estudio posean 
un capital de $10'000.000 con el propósito de fundar su propia empresa. Sus 
ingresos les permiten incrementar el ahorro mensual en un 2% y la entidad 
financiera les ofrece un interés mensual del 2.5%. ¿Cuánto deberá ser el ahorro 
mensual inicial de cada uno de los estudiantes? 
 
F = $10'000.000 
D = 2% mensual 
i = 2.5% mensual 
n = 60 meses 
C = ? 
 
 
C= 
 
= $44.692,3795 
Cuota individual inicial = C/10 = $4.469,24 
 
 
 
 
92 
 
Ejemplo 20. El montaje de una empresa requiere hoy una inversión de 
$100'000.000. En dicha empresa se producirán y venderán mensualmente 10.000 
unidades de un producto "J". Producir cada "J" cuesta el primer mes $200 y éste 
valor crecerá mensualmente 2%. Dicho producto se podrá vender el primer mes 
por un valor $V y reajustar su precio en 1.5% mensual. Si el producto "J" tiene una 
vida de 5 años, ¿cuál será el precio de venta que hace que el proyecto genere una 
rentabilidad bruta mensual del 3%? 
 
 
 
Tenemos: 
P=$100'000.000 
C=10.000V 
C'=$2'000.000 
P=C (P/C,3%,1.5%,60) - C'(P/C',3%,2%,60) 
100'000.000=10.000V*((1,03)60-(1,015)60)/(1,03)60(0,03-0,015)-
2'000.000*((1,03)60-(1,02)60)/(1,03)60(0,03-0,02) 
100'000.000=10.000V (39,02031719)-2'000.000(44,31) 
V= $483,40 
 
93 
 
Ejemplo 21. Elseñor Carlos Suarez decide comprar una pequeña parcela por 
valor de $50.000.000, la cual deberá pagar de la siguiente manera: cuota inicial 
20% ( de contado ) y el 80% financiado por una corporación de ahorro y vivienda 
durante 15 años. Si el interés es del 2,5% mensual , determine el valor de la cuota 
a pagar en los siguientes casos : 
 
Cuota fija mensual vencida 
Cuota mensual creciente 
Cuota variable mensual creciendo mensualmente en 0,7% 
 
El objetivo de este ejemplo es de carácter ilustrativo, por lo tanto se muestra el 
comportamiento en una gráfica del interés causado y del abono a capital de cada 
uno de los tres casos mencionados anteriormente durante el periodo establecido. 
 
CUADRO COMPARATIVO DE LAS DIFERENTES MODALIDADES DE PAGO 
 
Valor Presente $40.000.000 
Tasa de interés 2,5% 
Número de Periodos 180 
Delta 0,70% 
La anualidad es 1.011.880,47 
Cuota Gradiente Aritmético 26.725,830 
Cuota Gradiente Geométrico 750.946,97 
94 
 
 
 
 
 
95 
 
 Series Uniformes Consecutivas. 
 
Ejemplo 22. Una modista entra a trabajar en una fábrica de confección, pero su 
deseo es crear su propia empresa dentro de 10 años. Para ello piensa utilizar las 
cesantías acumuladas al final, y además ahorrar semestralmente la prima de 
servicios (medio salario cada semestre) en una entidad financiera que paga un 
interés efectivo anual del 35%. Si en salario del primer año es de $250.000 y 
crecerá anualmente al ritmo de la inflación esperada (20% anual ), determine: 
 
a. Capital acumulado al final de 10 años de trabajo?. 
Capacum= Cesacum + Fprimas (1) 
Cesantías acumuladas: 
F = P ( 1 + i ) n 
F = 250.000 ( 1 + 0, 20 )10 
F = $ 1’547.934,10 
Cesacum = ( 1’547.934,10 ) ( 10 ) 
Cesacum = $ 15’479.341 
 
El valor futuro de las primas de servicio generan un gradiente geométrico, pues el 
salario aumenta en un delta igual a la inflación: 
F = B ( i / ii ) [ ( 1 + i )n - ( 1 + D )n ] / ( i - D ) 
ii = 35% anual 
B = 125.000 
D = 20% 
n = 10 años 
m = 2 semestres 
 i = ( 1 + ii )(1/m) - 1 
 i = (1 + 0,35 )(1/2) - 1 
 i = 0,1619 = 16,19% semestral. 
96 
 
 F = 125.000 ( 0,35 / 0,1619 ) [ ( 1 + 0,35 )10 - ( 1 + 0,20 )10 ] / ( 0,35 - 0,20 ) 
 F = $ 25’067.875,53 
 
Reemplazando los valores en (1): 
 Capacum = 15’479.341 + 25’067.875,53 
 Capacum = $ 40’547.216,53 
 
b. El patrimonio (capital) de la empresa equivale a un capital actual de cuanto?. 
 P = [ F / ( 1 + i )n ) donde: 
 F = Capacum 
 i = 20% anual 
 n = 10 años 
 P = [ 40’547.216,53 / ( 1 + 0,20 )10 ] 
 P = $ 6’548.601,84 
 
 
Ejemplo 23. Usted decide comprar un apartamento por $20'000.000 el cual 
deberá ser pagado así: 30% contado y 70% financiado por una Corporación de 
Ahorro y Vivienda durante 15 años. Cuál sería la cuota a pagar en cada uno de los 
siguientes casos, dado un interés del 2% mensual. 
 
 a)Cuota fija mensual vencida 
 n =1 
 m =180 meses 
 D = 0 
 P = $14'000.000 
 i = 2% mensual 
 ii = [(1+0.02)180-1] entonces ii=3432.08 % 
 
97 
 
 
 
Aplicamos 
 
 
 b = 14'000.000 
 
 b = $288.158,32 
 b) Cuota fija mensual creciendo anualmente en un 10% 
 D =10% anual 
 i=2% mensual 
 ii=(1+0.02)12-1= 0.2682 
 n=15 años 
 m=12 meses 
 
 
98 
 
Aplicando la formula de la parte a) obtendremos: 
 b = 14'000.000 
 
 
 b = $199.165,55 
 c) Cuota variable mensual creciendo mensualmente en 0.75%: 
 D = 0.75% mensual 
 i = 2% mensual 
 ii = 2% mensual 
 n = 180 meses 
 m = 1 
 
 
 
 b = 14'000.000 
 
 b = $196.334,12 
 
 
 
 
 
99 
 
Ejemplo 24. En una empresa, con el beneplácito de los trabajadores y con el 
propósito de acumular una buena jubilación, se decide depositar en un solo fondo 
individualizado para cada empleado los siguientes montos: 
 
Mensualmente el 10% del salario, semestralmente las primas (½ salario) y 
anualmente las cesantías. 
 
Cuánto recibiría mensualmente como jubilación en el 2027 (expresado como 
porcentaje del salario que tendría en dicho año), un trabajador que ingresa al inicio 
de 1997 con un salario de $1’000.000 y recibe incrementos anuales del 20%, si el 
dinero depositado obtiene una rentabilidad anual del 32% y la pensión de 
jubilación se recibirá durante 15 años con incrementos anuales del mismo 20%. 
El problema se puede interpretar como un conjunto de tres tipos de flujo: 
Series uniformes con crecimiento geométrico (para el 10% del salario): 
 
 
 
 B= 100.000 ii= 0.32 D = 0.2 m= 12 n=30 
 i= (1+ii)1/m-1 = (1+0.32)1/12 -1 = 0.023405691 
100 
 
 Hallando el futuro de esta serie al final del año 2026 
 F1= 100.000 (F/B, D = 0.2, i= 0.023405691, ii= 0.32, (12*30)) 
 F1= $44.487’169.210 
 
 
 
 Series uniformes con crecimiento geométrico, para las primas: 
 b= 500.000 D = 0.2 n= 30 ii=0.32 
 i= (1+0.32)½ -1 = 0.148913 
 
 Calculando el futuro para el final del 2026: 
 F2= 500.000 (F/b, D = 0.2, i= 0.148913, ii= 0.32, (2*30)) 
 F2= $34’961.897,81 
 
Un gradiente geométrico para las cesantías: 
 c= 1’000.000 D = 0.2 n= 30 i= 0.32 
 F3= 1’000.000 (F/C, D = 0.2, i= 0.32, 30) 
 F3= $32.539’153.950 
 
101 
 
 El total acumulado al final año 2026 es: 
 F= F1 + F2 + F3 = $111.988’220.970 
 
 El salario en ese momento sería: SF = 1’000.000 (1+0.2)
30 
 SF= $237’376.313,80 
 
 Para el tiempo que recibe la jubilación: 
 
 
 
 Series uniformes con crecimiento geométrico: 
 b=? P= 11.988’220.970 m=12 n=15 
 D = 0.2 ii= 0.32 i= 0.023405691 
 b= 111.988’220.970 (b/P, D = 0.2, i= 0.023405691, ii= 0.32, (12*15)) 
 b= $1.292’302.593 Þ Primera jubilación, en el 2027. 
 
Expresado como porcentaje del salario de ese año: 
 b%= 
 
 b%= 544.4109% 
 
102 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
 1. Usted deposita $ 2’000.000 en una cuenta de ahorro que rinde el 2% mensual, 
si no hace ningún otro depósito en la cuenta, cuánto tiempo debe pasar para que 
la cuenta llegue a $ 3’000.000?. 
R / 20,4753 meses. 
 
2. Tras un examen cuidadoso de la finanzas personales, usted decide que el pago 
máximo mensual que puede pagar en una hipoteca es de US$630. 
 
Puede ofrecer un pago inicial de US$ 12.000 y la tasa de interés mensual es del 
1%. Si asume una hipoteca de 30 años, cuál es el precio máximo que puede pagar 
R / 73.247,5486. 
 
 3. Se abre una cuenta de jubilación el 15 de Abril de 1985 con un depósito de 
$2’000.000. Desde entonces, ha depositado $160.000 en la cuenta cada mes. Si 
la cuenta devenga interés mensuales del 15%, cuánto dinero tendrá en la cuenta 
el 15 de Abril del año 2.000?. 
R / $174.068.657,4 
 
 4. Usted está financiando la compra de un nuevo auto con un préstamo a 3 años, 
con un interés mensual del 1.8%. El precio de compra del auto es de $10’000.000 
y la financiación es del 70%. Cuánto valor deben tener los pagos mensuales?. 
Qué tasa interés tendría que obtener para reducir el pago mensual en $10.000?. 
R / $265.886,8229; 1,5667% mensual. 
 
 5. Hallar el valor presente de 15 pagos que decrecen aritméticamente en $400, si 
el primer pago es de $5.000 con un interés del 4%. 
Rta. $27.697,74 
103 
 
 6. Hallar $X del siguiente flujo de caja con un interés del 20% 
 
 
 
7. Hallar el primer pago de un gradiente aritmético creciente en $300, que tenga 
50 pagos y que sea equivalente a 50 pagos que crecen un 20%, con un primer 
pago de $1.000 suponga una tasa del 20%. 
R/ $6.835,90